复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级数的收敛半径；能用1(1)1n n z z z ∞==<-∑将简单函数表示为级数．教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间接法和01(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用1(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：§4.2.1 复变函数项级数设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为1()nn fz ∞=∑.【定义】※设1()nn fz ∞=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()n n S z S z →∞=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数1()nn fz ∞=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称1()nn fz ∞=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1()n n f z ∞=∑在E 上的和函数.记为1()()nn S z fz ∞==∑或者()lim ()n n S z S z →∞=, {}()n S z 称为1()nn fz ∞=∑的部分和函数列.§4.2.2 幂级数1．【幂级数的定义】通常把形如：20010200()()()nnn C z z C C z z C z z ∞=-=+-+-∑0()nn C z z ++-+L L的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数与中心点.若00z =, 则幂级数0()n nn C z z ∞=-∑可简化为n nn cz ∞=∑(标准幂级显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化. 2. 阿贝尔（Abel ）定理 对于幂级数()nnn C z z ∞=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,考虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若()nnn C z z ∞=-∑在某点10z z ≠收敛,则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若()nnn C z z ∞=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周020:C z z z z -=-的外部发散.分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设∞10()n n C z z M -≤于是 000101010()()()nn n nn n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0101z z z z -<- ，所以 0010nn z z M z z ∞=--∑收敛, 从而10()nnn C zz ∞=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛. (2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得300()nnn C zz ∞=-∑收敛, 由(1)知00()n n n C z z ∞=-∑必在20z z ≠收敛, 这与题设它在20z z ≠发散矛盾, 故()nnn C z z ∞=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.根据定理1, 我们可把幂级数()nnn C z z ∞=-∑分成三类：Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数()nnn C z z ∞=-∑都发散(例如:11nn n nz ∞=+∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的)；∞(例如:11n n n z n ∞=+∑:11111lim lim11(1)n n n nn C e R C n n-+→∞→∞==⋅=++收敛)； Ⅲ. 既存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑收敛, 也存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑发散. 对Ⅲ ，可以证明存在正数R使得()nnn C z z ∞=-∑在圆周0z z R -=内部绝对收敛, 而在它的外部发散, 此时我们把这个正数R 称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛半径,而圆域0z z R -<和圆周0z z R -=分别称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛圆域和收敛圆周. 另外,我们还规定: 对于Ⅰ, 0R =, 此时的收敛圆缩为一点0z ； 对于Ⅱ, R =+∞, 此时的收敛圆扩充成了整个复平面.显然, 由收敛半径的定义及规定： 任何幂级数的收敛半径都是存在的.3．幂级数的收敛半径由上面给出的收敛半径知,幂级数的敛散性基本上可由其收敛半径来确定. 下面, 我们给出收敛半径的计算公式. 【定理】(收敛半径的计算公式)若幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数nC满足1limn n nC C λ+→∞=(比值法) 或n λ=（根值法）则它的收敛半径 10;;0.R λλλλ⎧<<+∞⎪⎪==+∞⎨⎪+∞=⎪⎩.证明 证明分三步：先证系数满足1limn n nC C λ+→∞=时,公式成立. 因 11000()lim ()n n n n n C z z z z C z z λ++→∞-=⋅--. 当0λ=时, 对任意z ,01z a λ⋅-=<.由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 所以它的收敛半径R =+∞.当λ=+∞时, 对任意0z z ≠,01z z λ⋅-=+∞>. 由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑发散, 所以它的收敛半径0R =.当0λ<<+∞时, 对任意满足01z z λ-<的z ,01z z λ⋅-<. 由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 而对任意满足1z z ->的z ,1z z λ⋅->.由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑发散,所以它的收敛半径1R λ=.最后证系数满足n λ=时,公式成立.例1 求幂级数201nn n zz z z ∞==+++++∑L L 的收敛范围与和函数.解 级数的部分和为 1()(1)1nn z S z z z-=≠- 当1z <时,因为 lim 0nn z →∞=, 1lim ()(1)1n n S z z z→∞=≠-, 此时幂级数收敛,且和函数为 1()1S z z=-. 当1z ≥时,因为 lim 0nn z →∞≠, 此时幂级数发散.故由阿贝尔定理知 级数的收敛半径为1R =,且在1z <内nn z∞=∑收敛且绝对收敛；且有20111n n n z z z z z∞==+++++=-∑L L . 例2 求下列幂级数的收敛半径，并讨论它们在收敛园上的敛散性（1）0nn z ∞=∑，（2）1n n z n ∞=∑，（3）21nn z n ∞=∑解： 对于这三个级数，都有 1lim11n n nc R c +→∞=⇒=， 0nn z∞=∑在1z =上由于lim 0nn z →∞≠，故在1z =上级数处处发散.1nn z n ∞=∑在1z =上的1z =-处收敛，在1z =处发散. 21nn z n∞=∑因为在1z =上处处绝对收敛，所以级数处处收敛. 例3 求幂级数0(1)nn z n ∞=-∑的收敛半径：解： 记1n c n =, 因为1lim lim11n n n n c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径1R =, 此时它的收敛圆为11z -=.当0z =时，级数0(1)nn n ∞=-∑为收敛的交错级数当2z =时，级数01n n∞=∑为调和级数，发散，即级数在收敛圆上的情况较复杂.例4：求下列幂级数的收敛半径 解 (1)1!nn n z∞=⋅∑：1(1)!limlim lim(1)!n n n n n c n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞，1!nn n z∞=⋅∑收敛半径为0R =.(2) 0(1)!nn z n ∞=-∑：记 1!n c n =, 因为11lim lim 01n n n n c c n +→∞→∞==+,所以0(1)!nn z n ∞=-∑收敛半径R =+∞,此时它的收敛圆为1z -<+∞, 即整个复平面. 级数在收敛园周上处处收敛，且绝对收敛. (3) 记 12n n c =,因为12n n ==, 所以12nn n z ∞=∑收敛半径2R =,此时它的收敛圆为2z <,收敛圆周为2z =.（4）211(1)n n n z n ∞=+∑：因为1lim(1)nn n e nλ→∞==+=，所以211(1)n n n z n ∞=+∑收敛半径为1R e =.(5)1(1)nn n i z ∞=+∑：因为n n λ===所以1(1)nn n i z ∞=+∑收敛半径为R =. （6）1in nn ez π∞=∑：因为1n n λ===，所以1in nn ez π∞=∑收敛半径为1R =.§4.2.3 幂级数和的几个性质 1. 加减性：设有两个同类幂级数()nn n az a ∞=-∑和0()nnn b z a ∞=-∑, 其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,()()()()nnn nn n n n n n az a b z a a b z a ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑.2. 乘积性：设有两个同类幂级数()nnaz a ∞-∑和()n n b z a ∞-∑,其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内, 00()()nn n nn n a z a b z a ∞∞==-⋅-∑∑01100()()n n n n n a ba b a b z a ∞-==+++-∑L .例4 设有幂级数0n n z∞=∑与01(01)1n n n z a a ∞=<<+∑,求 级数01nn n n a z a ∞=+∑的收敛半径. 提示：易验证幂级数0nn z ∞=∑与01(01)1n n n z a a ∞=<<+∑的收敛半径均为 1.但级数01nn n n a z a ∞=+∑的收敛半径为 1111lim lim 1(1)n n n n n nC a R C a a a ++→∞→∞+===>+.(注意三个级数的关系) 3. 连续性：【定理】※设幂级数0()n n n az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则()f z 在其收敛圆:K z a R -<内也连续.4. 逐项积分性【定理4 】※设幂级数0()n n n az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , C 为其收敛圆:K z a R -<内任一条以a 为起点z 为 终点的简单曲线, 则0()()()z zn n C a a n f d f d a a d ζζζζζζ∞===-∑⎰⎰⎰ 10()1n n n a z a n ∞+==-+∑.幂级数逐项积分所得的级数仍为幂级数, 且它们的收敛半径相 同(从而收敛圆也相同) 在收敛圆内幂级数可以逐项积分任意次. 5 .和函数的解析性与逐项微分性【定理5】※设幂级数0()n n n cz a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则(1)()f z 在其收敛圆:K z a R -<内解析；(2) ()f z 在其收敛圆:K z a R -<内可逐项求导至任意阶, 即()1()!(1)2()p p p f z p c p p c z a +=++-+L L(1)(1)()n p n n n n p c z a -+--+-+L L (1p =, 2, L ). (3) ()()!p p f a c p =, (0p =, 1, 2, L ) 结论:复合运算:如果当z r <时,0()n nn f z a z ∞==∑,又设在z R <内,()g z 解析且满足()g z r <,那么当z R <时,0[()][()]n n n f g z a g z ∞==∑.此代换运算在函数展开为幂级数时有着广泛的应用.例6 把函数 1z 表示成形如 0(2)n n n C z ∞=-∑的幂级数. 解 111122(2)212z z z ==⋅-+---，由01(1)1n n z z z ∞==<-∑知 当212z -<-时，有 212221222212n z z z z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--L L ， 故 ()()()22311111122(1)22222n n n z z z z +=--+-++--+L L 且在21222z z -<⇒-<-内级数收敛. 练习：1. 求下列幂级数的收敛半径, 并指出各自的收敛圆和收敛圆周. (1) 1n n z n ∞=∑; (2)1(2)2nn n n z ∞=-∑; (3)1(1)n n n n z ∞=-∑; (4)212(1)n n n z ∞=-∑.解 (1) 记1n c n =, 因为1lim lim 11n n n nc n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径 111R ==, 此时它的收敛圆为1z <, 收敛圆周为1z =. (2) 记2n n n c =, 因为1111lim lim 22n n n nc n c n +→∞→∞+=⋅=, 2R =, 此时它的收敛圆为22z -<, 收敛圆周为22z -=.(3) 记n n c n =,因为lim n n n →∞==+∞, 0R =, 此时它的收敛圆为空集, 收敛圆周为空集.(4) 记 0,212,2n n k c k n k =-⎧=⎨=⎩, 因为0,212n k n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩,从而1n =, 所以收敛半径111R ==, 此时它的收敛圆为 11z -<, 收敛圆周为11z -=.小结：1.幂级数求收敛半径时，常用方法：通项比值法或根值法； 需注意的是：比值的顺序是有要求的，根值法要开n 次方. 即11lim ,,n n n n C R C λλλ+→∞===. 2．幂级数的性质对幂级数的相关运算及证明很重要，要注意性 质成立的条件.易犯错误：利用比值法求收敛半径时，比值的顺序写颠倒，或忘了加绝对值.利用根值法求收敛半径时 ,将根指数写为2.。