复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数

教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用

判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级

数的收敛半径；能用

1

(1)1n n z z z ∞

==<-∑将简单函数表示为级数．

教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间

接法和

01

(1)1n n z z z ∞

==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用

1

(1)1n n z z z ∞

==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

§4.2.1 复变函数项级数

设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为

1

()n

n f

z ∞

=∑.

【定义】※设1

()n

n f

z ∞

=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E

的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()

n n S z S z →∞

=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数

1

()n

n f

z ∞

=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称

1

()n

n f

z ∞

=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1

()n n f z ∞

=∑在E 上的

和函数.记为1

()()n

n S z f

z ∞

==

∑或者()lim ()n n S z S z →∞

=, {}()n S z 称为

1

()n

n f

z ∞

=∑的部分和函数列.

§4.2.2 幂级数

1．【幂级数的定义】通常把形如：

20

010200

()

()()n

n

n C z z C C z z C z z ∞

=-=+-+-∑

0()n

n C z z ++-+L L

的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑的系数与中心点.

若00z =, 则幂级数0

()

n n

n C z z ∞

=-∑可简化为

n n

n c

z ∞

=∑(标准幂级

显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化. 2. 阿贝尔（Abel ）定理 对于幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,考

虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在某点10z z ≠收敛,

则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周

020:C z z z z -=-的外部发散.

分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)

证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设

∞

10()n n C z z M -≤

于是 000101010

()()()n

n n n

n n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0

10

1z z z z -<- ，

所以 00

10n

n z z M z z ∞

=--∑收敛, 从而

10

()n

n

n C z

z ∞

=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛. (2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得

3

00

()n

n

n C z

z ∞

=-∑收敛, 由(1)知00

()n n n C z z ∞

=-∑必在20z z ≠收敛, 这

与题设它在20z z ≠发散矛盾, 故

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.

根据定理1, 我们可把幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑分成三类：

Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑都发散

(例如:1

1n

n n n

z ∞

=+

∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的)；

∞