高中数学《等比数列求和习题课 》课件
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等比数列求和课件ppt
2、求等比数列 91，92，94，98，…的前十项和。
3、若等比数列 an满足a2 a4 20, a3 a5 40 ,则公比 q =__________;前 n 项和 Sn =_____.
小结 1.等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
2、在推导公式中运用的两种方法：错位相减 法、方程法。
3、等比数列前n项和公式运用。
作业：
1、思考：推导等比数列前n项和公式的其它方法。
2、书面作业:教材习题2.5A组（必做）；教材习题2.5B组 （选做）
等比数列前n项和
复习
等比数列：一个数列从第二项开始，每一项与它的前一向的
比为一个常数。这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比 数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0），即：
a n 1 an
nN
等比数列的通项公式：an a1qn1 (n N )
an am q m1 (a1 q 0)
∴
当q=1时， 当q=-1时，
2、等比数列中， 解： ∵
∴
，求 。 ，求 。
等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
对于a1, q, an , n, sn ,可知三求二。
练习：
1、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落 下，问当它第5次着地时，共经过了多少米？
方法一：
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
3、若等比数列 an满足a2 a4 20, a3 a5 40 ,则公比 q =__________;前 n 项和 Sn =_____.
小结 1.等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
2、在推导公式中运用的两种方法：错位相减 法、方程法。
3、等比数列前n项和公式运用。
作业：
1、思考：推导等比数列前n项和公式的其它方法。
2、书面作业:教材习题2.5A组（必做）；教材习题2.5B组 （选做）
等比数列前n项和
复习
等比数列：一个数列从第二项开始，每一项与它的前一向的
比为一个常数。这个数列就叫做等比数列。这个常数就叫做等比 数列的公比。公比通常用字母q表示（q≠0），即：
a n 1 an
nN
等比数列的通项公式：an a1qn1 (n N )
an am q m1 (a1 q 0)
∴
当q=1时， 当q=-1时，
2、等比数列中， 解： ∵
∴
，求 。 ，求 。
等比数列前n项和sn
a1
(1 q 1 q
n
)
a1 anq 1 q
na1
(q 1) (q 1)
对于a1, q, an , n, sn ,可知三求二。
练习：
1、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落 下，问当它第5次着地时，共经过了多少米？
方法一：
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
等比数列求和ppt-沪教版PPT优选课件
证明：数列
Sn n
为等比数列.
2020/10/18
5
例3.已知数 an的 列首a1项 32，an1a2nan1,
(1)证明：a数 1n 1列 是等比数列。
(2)求数an列 的通项公式？
2020/10/18
6
例 4.设二次 anx方 2an程 1x10有两根
与 ，且6满 2足 63
（ 1）试 an表 用a示 n1？
(2)证明：数 an列 32是等比数列。
(3)当a176时，求 an数 的列 通项公
2020/10/18
7
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
则a1n
的前n项和(为
)
1
1
S
qn
A. S
B.qnS
18
3
例1. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1. 求证：数列{an}是等比数列，并求出其 通项公式.
2020/10/18
4
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，
a n 1 n n2S n(n 1 ,2 ,3 , ).
2020/10/18
1
练习：
1.若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则 实数m＝__________.
2. 等比数列中，S4＝10，S8＝30，则 S12＝_______.
2020/10/18
2
3.等比数a列 n的首项1， 为公比q为 ，前n项和
为S ,由原数列各项的成 倒一 数个 组新数 a1n列 ，
数学必修五课件等比数列求和课件
(1 2 3 n10 ) ( 1 4 ) n ) (1 ) ( 2 2 2 2 4 28 2 1 1 n 1 [1 n(n 1) 1 12 ( 2 ) ] 1 2 2 1 2 14 101 63 1024 2 12 2 n n 1 2 1 n 2 2
a1 a qn1 ) q (S an an1nq 1
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
an a2 a3 q a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1 S n a1 q 即 S n an
1 a1 2 , S3 14.则q
2或-3
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
归纳要熟记公式： an a1q n 1
Sn a1 1 q n 1 q
或
a1 an q Sn q 1 1 q
宣威五中
刘彩云
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d an1 an d
an am (n m)d
an1 an q
an am q
nm
an 1 qs
Sn
mn r s
(m, n, r, s N * )
n为奇数，q为－ 1时此法不适用
(1 q)Sn a1 an q
过程分析
引
探
释
练
升
延
a1 (1 q n ) a (1 qqn 1 探 1 q ) 1 S n Sn 究 q na 1 q 1 q 问 1
a1 a qn1 ) q (S an an1nq 1
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
an a2 a3 q a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1 S n a1 q 即 S n an
1 a1 2 , S3 14.则q
2或-3
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
归纳要熟记公式： an a1q n 1
Sn a1 1 q n 1 q
或
a1 an q Sn q 1 1 q
宣威五中
刘彩云
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d an1 an d
an am (n m)d
an1 an q
an am q
nm
an 1 qs
Sn
mn r s
(m, n, r, s N * )
n为奇数，q为－ 1时此法不适用
(1 q)Sn a1 an q
过程分析
引
探
释
练
升
延
a1 (1 q n ) a (1 qqn 1 探 1 q ) 1 S n Sn 究 q na 1 q 1 q 问 1
高一数学等比数列求和2(PPT)4-1
知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
杂多糖。化学分析纯化后的黑木耳多糖，甘露糖、葡萄糖、木糖和己糖醛酸是其主要成分，其摩尔比为.:.:.:.。无脊椎动物组织中的氨基葡聚糖类似物、海洋 藻类中的岩藻糖硫酸化多糖以及肝素等均具有抗凝血或抗血小板聚集活性，但黑木耳中抗凝血活性的多糖与它们有着结构性的不同。 [] 腺苷类物质 黑木耳 中含有一种水溶性成分，可以； 在线学习网 / 在线学习网 ；抑制血小板聚集，后经多次试验证实为腺苷类物质。 [] 木耳黑色素 从黑木耳中分离到的黑色素是一种呈色的多糖肽，由葡萄糖、甘露糖、半乳糖、岩藻糖和一短肽链组成，这些成分解离为单糖体时不呈色，能溶于水，具有 增强机体免疫功能的生理活性。从木耳子实体中分离的黑刺菌素有抗真菌作用。 [] 其他成分 黑木耳中含有麦角甾醇、二氢麦角甾醇、卵磷脂、脑磷脂和鞘 磷脂，还含有维生素A、维生素D及维生素K等。 [] 主要价值 自古以来黑木耳就是我国著名的食用菌和药用菌，食用之上品，被誉为弥足珍贵的食用菌之王。 黑木耳有降血脂、抗血栓、抗衰老、抗肿瘤等功能，无论是直接食用还是作为食品配方用料，都是一种较为理想的保健食品资源。 [] 药用功能 中医认为， 黑木耳性味甘平，具有清肺润肠、滋阴补血、活血化瘀 黑木耳 黑木耳 、明目养胃等功效。能用于治疗崩漏、痔疮、血痢、贫血及便秘等症状。同时它所含 有的发酵素和植物碱可促进消化道和泌尿道腺体分泌，并协同分泌物催化结石，对胆结石、肾结石等有明显的化解作用。关于黑木耳的现代药用研究，始于 世纪8年代，最先发现它有显著抑制血小板凝聚的作用，从而引起世人关注。吴梧桐等从黑木耳中提取分离出重要的活性成分黑木耳多糖。随后的余年至今对 黑木耳多糖展开了大量的药理研究，揭示了黑木耳广泛的生理活性和极高的药用保健功能。 [] 提高机体免疫功能 免疫是人与动物防止生物性致病因子的一 个生理过程。陈琼华等发现，黑木耳多糖能增加小鼠的脾脏指数、半数溶血值和E-玫瑰花结形成率，促进巨噬细胞吞噬功能和淋巴细胞转化，进而提高机体 免疫功能。章灵华等报道，小鼠腹腔注射黑木耳多糖后，体液免疫和细胞免疫有明显增加。张才擎等研究认为，黑木耳多糖对大鼠红细胞凝集作用影响较小， 但可明显增强小白鼠巨噬细胞吞噬功能。 [] 抗肿瘤作用 黑木耳多糖的抑肿瘤作用是作用于机体防御系统而间接产生的，其重要机理在于增强机体细胞的免 疫功能。AMisaki等研究了从黑木耳子实体提取多糖的化学结构与其抗肿瘤活性的相关性，认为黑木耳中的水溶性葡聚糖成分有明显的抗肿
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
杂多糖。化学分析纯化后的黑木耳多糖，甘露糖、葡萄糖、木糖和己糖醛酸是其主要成分，其摩尔比为.:.:.:.。无脊椎动物组织中的氨基葡聚糖类似物、海洋 藻类中的岩藻糖硫酸化多糖以及肝素等均具有抗凝血或抗血小板聚集活性，但黑木耳中抗凝血活性的多糖与它们有着结构性的不同。 [] 腺苷类物质 黑木耳 中含有一种水溶性成分，可以； 在线学习网 / 在线学习网 ；抑制血小板聚集，后经多次试验证实为腺苷类物质。 [] 木耳黑色素 从黑木耳中分离到的黑色素是一种呈色的多糖肽，由葡萄糖、甘露糖、半乳糖、岩藻糖和一短肽链组成，这些成分解离为单糖体时不呈色，能溶于水，具有 增强机体免疫功能的生理活性。从木耳子实体中分离的黑刺菌素有抗真菌作用。 [] 其他成分 黑木耳中含有麦角甾醇、二氢麦角甾醇、卵磷脂、脑磷脂和鞘 磷脂，还含有维生素A、维生素D及维生素K等。 [] 主要价值 自古以来黑木耳就是我国著名的食用菌和药用菌，食用之上品，被誉为弥足珍贵的食用菌之王。 黑木耳有降血脂、抗血栓、抗衰老、抗肿瘤等功能，无论是直接食用还是作为食品配方用料，都是一种较为理想的保健食品资源。 [] 药用功能 中医认为， 黑木耳性味甘平，具有清肺润肠、滋阴补血、活血化瘀 黑木耳 黑木耳 、明目养胃等功效。能用于治疗崩漏、痔疮、血痢、贫血及便秘等症状。同时它所含 有的发酵素和植物碱可促进消化道和泌尿道腺体分泌，并协同分泌物催化结石，对胆结石、肾结石等有明显的化解作用。关于黑木耳的现代药用研究，始于 世纪8年代，最先发现它有显著抑制血小板凝聚的作用，从而引起世人关注。吴梧桐等从黑木耳中提取分离出重要的活性成分黑木耳多糖。随后的余年至今对 黑木耳多糖展开了大量的药理研究，揭示了黑木耳广泛的生理活性和极高的药用保健功能。 [] 提高机体免疫功能 免疫是人与动物防止生物性致病因子的一 个生理过程。陈琼华等发现，黑木耳多糖能增加小鼠的脾脏指数、半数溶血值和E-玫瑰花结形成率，促进巨噬细胞吞噬功能和淋巴细胞转化，进而提高机体 免疫功能。章灵华等报道，小鼠腹腔注射黑木耳多糖后，体液免疫和细胞免疫有明显增加。张才擎等研究认为，黑木耳多糖对大鼠红细胞凝集作用影响较小， 但可明显增强小白鼠巨噬细胞吞噬功能。 [] 抗肿瘤作用 黑木耳多糖的抑肿瘤作用是作用于机体防御系统而间接产生的，其重要机理在于增强机体细胞的免 疫功能。AMisaki等研究了从黑木耳子实体提取多糖的化学结构与其抗肿瘤活性的相关性，认为黑木耳中的水溶性葡聚糖成分有明显的抗肿
等比数列求和(1)PPT课件
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
例题 分析
例3：求和： Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解： ①当a＝1时，Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时，
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点？
求和首先就是要消去… …，如何消呢？
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式，有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
例题 分析
例3：求和： Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解： ①当a＝1时，Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时，
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点？
求和首先就是要消去… …，如何消呢？
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式，有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
高中数学习题课数列求和课件新人教a必修5
(������∈N*),求数列{bn}的前
n
项和
Tn.
解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= ������(������12+������������),
∴an=2n+1,Sn=n(n+2).
(3)错位相减法
若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对 应项乘积组成的新数列为{anbn}.当求该数列的前n项和时,常常将 {anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减, 即可转化为特殊数列的求和,这种数列求和的方法称为错位相减法.
题型一 题型二 题型三
保留了哪些项.
3.常见的裂项相消技巧有:
(1)
1 ������(������+1)
=
1 ������
−
1 ������+1
;
(2)
1 (2������-1)(2������+1)
=
1 2
1 2������-1
-
1 2������+1
;
1 ������(������+������)=1 ������
1 ������
(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….
①求其通项公式an;
②求这个数列的前n项和Sn.
解①an=1+2+22+…+2n-1=
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
等比数列求和公式课件
元？ • 10×36=360 • 公司还款多少元？
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
高中数学 2.5等比求和(第2课时)课件 新人教A版必修5
Sn
1 2 1 +2 1
2
22
23
2 1 24
L
2 1 2n
（2n-1）21n1
1 2
(1 2
1 22
+
1 23
1 24
L
1 2n1
)
（2n-1）21n1
1 2
1 2
(1
1 2n1
)
1 1
2n 1 2n1
2
1 2
1
1 2n1
2n 1 2n1
得
2n+3 Sn =3- 2n1
6、等比数列an 中，S 3 、S 9 、S 6 成等差数列，求证： a2 ， a8 ， a5 也成等差数列。
则数列{anbn}的前n项和可以错位相减法求解
【课后作业】
30 1、等比数列an 中， an >0，S n =2，S 3n =14，则 S 4n =____。
8 2、等比数列an 中，若 S 2 =2，S 4 =6，则 a5 a6 =
。
1
3、等比数列an 中，S 1 、2 S 2 、3 S 3 成等差数列，则an 的公比 q = 3 。
第组号 第组号 第组号 第组号
【合作探究】
例 1、等比数列{ an }中，S 5 =10，S10 =50，求 S15
（法一）
解：显然q 1，
则
S5 S10
= =
a（1 1 q5 ) 1 q
a（1 1 q10 ) 1 q
10 50
（法二）
解：Q S5，S10 -S5，S15 -S10成等比数列， （S10 -S5）2 =S（5 S15 -S10） 即（50-10）2 =1（0 S15 -50） 得 S15 =210
第二章数列第5节等比数列的前n项和第2课时数列求和(习题课)课件(优秀经典公开课比赛课件)
讲一讲 3．等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝10，a2 为整 数，且 Sn≤S4. (1)求an的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列bn的前 n 项和 Tn.
(3n－2)×3n1＋1. ∴Tn＝45－41×3n1－2－3n－ 2 2×31n＝54－6n＋ 4 5×31n.
(1)
如
果
数
列
a
n
是
等
差
数
列
，
b
n
是
等
比
数
列
，
求
数
列
a ·b 的前
n
n
n
项和时，可采用错位相减法．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式
(2)∵bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴bn＋13an＝1＋2(n－1)． ∵an＝3n，∴bn＝2n－1－3n－1. 即数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1－3n－1. ∴Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝ －12(3n－1)＋n2.
讲一讲 2．已知正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3＝12，且 2a1，a2，a3＋1 成等比数列． (1)求an的通项公式及 Sn； (2)记 bn＝a3nn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.
[尝试解答] (1)设等差数列an的公差为 d， ∵2a1，a2，a3＋1 成等比数列，∴a22＝2a1·(a3＋1)， ∴(a1＋d)2＝2a1(a1＋2d＋1)．
解：(1)∵a2n＋1＝6Sn＋9n＋1，∴a2n＝6Sn－1＋9(n－1)＋1(n≥2)， ∴a2n＋1－a2n＝6an＋9(n≥2)，∴a2n＋1＝(an＋3)2. 又∵an>0，∴an＋1＝an＋3(n≥2)， ∴{an}为公差为 3 的等差数列． ∵a2＝4，∴an＝3n－2(n≥2)． ∵a22＝6S1＋9＋1，a1＝S1， ∴a1＝1，当 n＝1 时，满足 an＝3n－2， ∴an＝3n－2(n∈N*)． ∵b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，∴bn＝2n－1.
等比数列的求和公式PPT课件
为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
(2)a1
8, q
1 ,n 2
5;
S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3)a1 81, a5 16, an 0.
q 4 a5 16 q 2
a1 81
3
8116 2 s5 1 2 3 211
3
16
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2,
S4 S10
1 (1 24 ) 11(12210
1 2
15. ) 1023.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008.
s10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 a10 .
s4
？
17
练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解： a1
3 2
,q
1 2
,
3
1
1
7
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S7
3 2
3 4
381 128
9 4
153 . 128
18
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) . 1 q
等比数列{an}前n项和
当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？
(2)a1
8, q
1 ,n 2
5;
S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3)a1 81, a5 16, an 0.
q 4 a5 16 q 2
a1 81
3
8116 2 s5 1 2 3 211
3
16
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2,
S4 S10
1 (1 24 ) 11(12210
1 2
15. ) 1023.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008.
s10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 a10 .
s4
？
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练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解： a1
3 2
,q
1 2
,
3
1
1
7
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S7
3 2
3 4
381 128
9 4
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当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) . 1 q
等比数列{an}前n项和
当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？
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2．做一做
(1)数列{an}的前
5
n
项和为
Sn，若
an＝nn1＋1，则
S5＝
____6____.
(2)设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则
a1＋|(a32)|＋12＋a324＋＋|a384＋|＝…__＋_1_2n5_n等__于_. __2_－__2_＋2__nn___．
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13
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探究 1 分组求和法求和 例 1 已知数列{cn}：112，214，318，…，试求{cn}的前 n 项和．
14
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解 令{cn}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋41＋18＋…＋12n ＝nn＋2 1＋1211－－1212n＝nn＋2 1＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
□ 和即可用 07 倒序相加法
□ ，如 08 等差 数列的
前 n 项和即是用此法推导的．
5
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□ 3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个 09 等差 数列和一个
□ □ 10 等比 数列的对应项之 11 积 构成的，那么这个数列 □ 的前 n 项和即可用此法来求，如 12 等比 数列的前 n 项
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解 an＝13(10n－1)． ∴Sn＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n－1)
17
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＝13(10＋102＋…＋10n)－n3 ＝13×1011－－1100n－n3＝2170(10n－1)－n3.
2
.
□05 nn＋12n＋1
12＋22＋32＋…＋n2＝
6
.
□ 13＋23＋33＋…＋n3＝
06
nn＋12
2
.
4
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2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项
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解 (1)设数列{an}的公比为 q. 由 a23＝9a2a6，得 a23＝9a24，所以 q2＝19. 由条件可知 q>0，故 q＝13. 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1，所以 a1＝13. 故数列{an}的通项公式为 an＝31n.
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(4)(教材改编 P61 习题 2.5A 组 T4(1))1＋1＋12＋1＋12＋14 ＋…＋1＋12＋41＋…＋2110的值为__2_0_＋__2_11_0___．
12
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和就是用此法推导的．
6
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课堂互动探究随堂达标自测源自课后课时精练数学 ·必修5
4．裂项相消法
□ 把数列的通项拆成两项之 13 差 ，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数
□ 列或可求和的数列组成，则求和时可用 14 分组求和法 ，
15
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拓展提升 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果 它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数 列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和．
16
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分别求和后再相加减．
7
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6．并项求和法
□一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为
15 并项求和．
形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两
项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
总之，在求数列的前 n 项和时，应先考查其通项公式，
根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列求
和的实质就是一个代数式(或超越式)的化简问题．
8
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时 使用公式 Sn＝na1＋2 an较为合理．( √ ) (2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝a11－－aqn＋1.( √ )
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第二章 数列
2．5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和习题课
1
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1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和
□ (1)等差数列的前
9
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(3)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ ) (4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时只要把上式等 号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得．( × )
10
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Sn＝na1＋2 an＝
n
项和公式
01 na1＋nn2－1d
；
(2)等比数列的前 n 项和公式
□ □ Sn＝a0112－－naqan1q，＝q0＝31a，111－－qqn，q≠1.
3
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(3)自然数的和、平方和、立方和
□04 nn＋1
1＋2＋3＋…＋n＝
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探究 2 裂项相消法求和
例 2 等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1， a23＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列b1n的前 n 项和．