三次函数专题
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
(完整版)专题三导数与三次函数
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷） 解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有： 当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值 极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围 解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
三次函数切线专题
三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴abx x 22112--=代入（1）式 得 c ab bx ax k +-+=4214321212讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121，得a b x 31-=，∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
三次函数性质总结_S
已知函数
.
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间
内是减函数，求 的取值范围.
【题型 2】不等式与恒成立问题 例题 2 （08 安徽文）
设函数
（Ⅰ）已知函数 在 处取得极值，求 的值；
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数 的取值范围。
7
【题型 3】三次方程根问题
例题 3 （05 全国）设 为实数，函数
,若 在
上的最大值为 20，求它在
变式 8 当
【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数
，
时，若函数
在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。
g(x) x3 bx 。
例题 11. 【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 的取值范围
.若过点
存在 3 条直线与曲线
相切，求
变式 9 (1)已知函数 (2)已知函数 (3）问过点
.若过点
存在 2 条直线与
相切，求 的取值范围；
.若过点
存在 1 条直线与
相切，求 t 的取值范围
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切？
变式 10 已知函数
在
处有极值.
（Ⅰ）求函数 （Ⅱ）若函数
的单调区间；
在区间
上有且仅有一个零点，求 的取值范围。
例题 12. 设 变式 11 已知函数
围．
例题 13. 已知函数 例题 14. 已知函数 例题 15. 已知函数
是可导函数，若
的图象关于点
对称，则
图象关于直线
对称.
(5)
是可导函数，若
的图象关于直线
对称，则
图象关于点
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。
2021届高考专题三次函数高考题及模拟题
2021届高考温习·三次函数高考题及模拟题1.[2021·陕西卷] 如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为图1-2A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x答案：A2. [2021·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是( )B C D答案：B3. [2021·陕西卷文科] 如图12所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道光滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部份，则该函数的解析式为( )图1-2A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x答案：A4. 设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝3xC ．y ＝－3xD ．y ＝4x【解析】由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2，因为f ′(x )是偶函数，所以a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－2，从而f ′(0)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .【答案】A 5. [2021·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 答案：C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0. 由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a ，且f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a 2－4a 2，此时只需a 2－4a 2>0，即可解得a <－2；若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )必然存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)．6. （2021江苏卷）在平面直角坐标系中，点P 在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【解析】 ，又点P 在第二象限，点P 的坐标为（-2，15）7. 已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8. (2021·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1 答案：A9. 若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞) [解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.10. 三次函数f (x )，当x ＝1时有极大值4；当x ＝3时有极小值0，且函数图象过原点，则f (x )＝_____ ___. 答案：x 3－6x 2＋9x11. 函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)xoy 3:103C y x x =-+231022y x x '=-=⇒=±2x ∴=-[答案] B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成当即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3∴a ≥－3，故应选B.12．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数[答案] B [解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.13. [2021·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 13．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.14.（2021江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A ．或B ．或C ．或D ．或答案：A 【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得， 当时，由与相切可得，所以选. 15.（云南师大附中2021届高考适应性月考卷一）函数()()3f x x xx R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞)(1,0)3y x =21594y ax x =+-a 1-25-641-21474-25-6474-7(1,0)3y x =300(,)x x 320003()y x x x x -=-230032y x x x =-(1,0)00x =032x =-00x =0y =21594y ax x =+-2564a =-032x =-272744y x =-21594y ax x =+-1a =-A【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A.16. (2021年高考山东卷)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）917. （2021大纲全国2卷）函数133)(23++-=x ax x x f （1）设2=a ，求f (x )的单调区间；（2）设f (x )在区间)3,2(中至少有一个极值点，求a 的取值范围。
三次函数性质总结
三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。
定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。
因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。
特别是文科。
系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时, ,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例2. 设函数，其中。
高中数学三次函数的所有题型及解答总计
高中数学三次函数的所有题型及解答总计由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f其导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，判别式为：△=)3(412422ac b ac b -=-，设0)(/=x f 的两根为1x 、2x ，结合函数草图易得： (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.说明:(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤-ac b （或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）;(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f ;(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f . 【例题1】：设函数13-31)(23++=x x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。
解析：)(x f 的定义域为R ，3-2)(2x x x f +=′03-2)(2>+=′x x x f ⇒），或（∞1,-3)∞-(+∈x ,此时为)(x f 的单调递增区间； 03-2)(2<+=′x x x f ⇒-3,1)(∈x ，此时为)(x f 的单调递减区间。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
与三次函数零点有关的取值范围问题
与三次函数零点有关的取值范围问题函数的零点个数、两个函数图象的交点个数等问题在近几年的数学高考中屡屡出现，例题：若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．变式1已知函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋1有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．变式2已知函数f(x)＝13x 3－（k ＋1）2x 2，g(x)＝13－kx ，若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．串讲1已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是__________．串讲2已知函数f(x)＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，设a ＞1，试讨论函数f(x)在区间[0，a ＋1]内零点的个数．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x 3－a(x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋3，f(x)在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a ＝0，求函数f(x)的单调区间和零点个数；(2)在方程f(x)＝f(x 1)的解中，较大的一个记为x 3：在方程f(x)＝f(x 2)的解中，较小的一个记为x 4，证明：x 4－x 1x 3－x 2为定值；(3)证明：当a ≥1时，f(x)＞ln x.答案：(1)f(x)的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)；减区间为(0，2)，f(x)有3个零点；(2)(3)略．解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝x 3－3x 2＋3，f ′(x)＝3x 2－6x ；当f′(x)＞0时，x ＞2或x ＜0； 当f′(x)＜0时，0＜x ＜2；即函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调减区间为(0，2)；3分又f(－1)＝－1＜0，f(0)＝3＞0，f(2)＝－1＜0，f(3)＝3＞0，所以f(x)有3个零点．…4分(2)因为f(x)＝f(x 1)，则x 3－3x 2＋ax ＋3＝x 13－3x 12＋ax 1＋3，可知x 3－3x 2＋ax ＝x 13－3x 12＋ax 1.因为f′(x 1)＝0，即a ＝6x 1－3x 12，即x 3－x 13＋3x 12－3x 2＋ax －ax 1 ＝(x －x 1)[x 2＋x(x 1－3)－2x 12＋3x 1]＝(x －x 1)2(x ＋2x 1－3)＝0，可知x 3＝3－2x 1， 同理，由f(x)＝f(x 2)可知7分x 3－x 23＋3x 22－3x 2＋ax －ax 2＝(x －x 2)[x 2＋x(x 2－3)－2x 22＋3x 2]＝(x －x 2)2(x ＋2x 2－3)＝0；得到x 4＝3－2x 2；x 4－x 1x 3－x 2＝3－2x 2－x 13－2x 1－x 2＝1－x 21－x 1＝1－（2－x 1）1－x 1＝－1.10分(3)证法一：要证f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋3＞ln x ，即要证x 3－3x 2＋3＞ln x －ax.11分设u(x)＝x 3－3x 2＋3(x ＞0)，则u′(x)＝3x 2－6x ；当u′(x)＞0时，x ＞2；当u′(x)＜0时， 0＜x ＜2；可知[u(x)]min ＝u(2)＝－1；12分再设v(x)＝ln x －ax(x ＞0)，则v′(x)＝1x －a ；当v′(x)＞0时，0＜x ＜1a ；当v′(x)＜0时，x ＞1a；可知，v(x)max ＝v ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1.14分 因为a ≥1，所以1a ≤1，－ln a －1≤－1，且v(x)和u(x)分别在1a 和2处取最大值和最小值，因此v(x)＜u(x)恒成立，即当a ≥1时，f(x)＞ln x.证法二：一方面，易证ln x ≤x －1；(略)另一方面，当a ≥1时，x 3－3x 2＋ax ＋3≥x 3－3x 2＋x ＋3；又(x 3－3x 2＋x ＋3)－(x －1)＝(x ＋1)(x －2)2≥0；所以，x 3－3x 2＋ax ＋3≥x 3－ 3x 2＋x ＋3≥x －1≥ln x ，且不存正数x ，使得其中等号同时成立，故f(x)＞ln x.例题1答案：(0，＋∞)．解法1令f(x)＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f′(x)＝x 2－2x ＋a.∵f(x)＝0有一个实数根， ∴f ′(x)＝0的Δ≤0或者 f(x)极大值＜0或者f(x)极小值＞0.①f′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1； ②当a ＜1时，设x 1，x 2为f ′(x)＝x 2－2x ＋a ＝0的两个根(x 1＜x 2)，f(x)在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减.1° 若f(x)极大值＜0，即f(x 1)＜0，∴f(x 1)＝13x 13－x 12＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a)－(2x 1－a)＋ax 1－a ＝23x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ＝23[]（a －1）x 1－a ＜0，∴x 1＞a a －1，即1－1－a ＞a a －1，解得(1－a)1－a ＜1，即(1－a)3＜1，得0＜a ＜1；2° 若f(x)极小值＞0，即f(x 2)＞0，同理f(x 2)＝23[(a －1)x 2－a]＞0.∴x 2＜a a －1，即1＋1－a ＜a a －1，解得－(1－a)1－a ＞1，即(1－a)3＜－1，得a ＞2(舍去)；综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．解法2令f(x)＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f′(x)＝x 2－2x ＋a.∵f(x)＝0有一个实数根， ∴f ′(x)＝0的Δ≤0或者f(x 1)·f(x 2)＞0(x 1，x 2是f(x)的极值点0)． ①f ′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1； ②由x 1，x 2为f′(x)＝0的两个根，得⎩⎪⎨⎪⎧x 12－2x 1＋a ＝0x 12＝2x 1－a ，x 22－2x 2＋a ＝0x 22＝2x 2－a ，(a ＜1)于是f(x 1)＝13x 13－x 12＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a)－(2x 1－a)＋ax 1－a ＝23x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ，同理可得f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a ，于是有f(x 1)·f(x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a ＞0.当a ＜1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a a －1＞0x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －12＞0，又∵x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a(a 2－3a ＋3)＞0，解得0＜a ＜1；综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．说明：显然解法2避免了再分类，更显简洁；同时利用“降幂”思想进行代换，可化繁为简．变式联想变式1答案：(－36，＋∞)．解法1∵函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋1有且只有一个零点．∴13x 3＋12ax 2＋1＝0有且只有一个实根，∵x ＝0不适合方程，∴a ＝－2x 2－2x 3有且只有一个实根，设g(x)＝－2x 2－2x3，有g ′(x)＝4x 3－23(x≠0)，①当x ＜0时，g ′(x)＜0，∴g(x)在(－∞，0)上递减，且g(x)∈R；②当x ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝36∴g (x )在(0，＋∞)上有最大值g (36)＝－36，且g (x )∈ (－∞，－36]，综上所述，实数a 的取值范围是(36，＋∞)．解法2令f (x )＝13x 3＋12ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2＋ax .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)＞0(x 1，x 2是f (x )的极值点)．①f ′(x )＝0的Δ≤0， 解得a ＝0；②f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝－a (a ≠0)，f (x 1)·f (x 2)＝－13a 3＋12a 3＋1＞0，即16a 3＞－1，∴a ＞－36且a ≠0.综上所述，实数a 的取值范围是(36，＋∞)．说明：显然解法2更显简洁． 变式2答案：(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞)．解析：∵f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，∴f(x)＝g(x)有三个不等实根．令h(x)＝f(x)－g(x)＝13x 3－（k ＋1）2x 2＋kx －13，则h′(x)＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＝(x －k)(x －1)，根据题意得k≠1且h(1)·h(k)＜0，化简可得k －12⎝ ⎛－16k 3＋12k 2－⎭⎪⎫13＜0，即－k －112(k －1)(k 2－2k －2)＜0，∴k 2－2k －2＞0，解得k ＞1＋3或k ＜1－3，∴实数k 的取值范围是(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞)．串讲激活串讲1答案：(－∞，－2)．解析：①当a ＝0时，－3x 2＋1＝0时，x ＝±33，所以此时不符合题意； ②当a ＞0时，f ′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)，当f′(x)＞0时，解得x ＞2a 或x ＜0，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(0)＝1，f(－1)＝－a －2＜0，则存在一零点在(－∞，0)上，所以此时不符合题意；③当a ＜0时，当f′(x)＞0时，解得2a ＜x ＜0，f ′(x)＜0时，解得x ＜2a 或x ＞0，所以函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，若f(x)在R 上存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝8a2－12a 2＋1＞0，即－4a2＋1＞0，整理得a 2＞4，整理得a 2＞4，解得a ＜－2或a ＞2(舍去)，综上所述，当a ＜－2时满足题意．串讲2答案：当1＜a ＜3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有一个零点；当a ＝3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点；当3＜a≤2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有三个零点；当a ＞2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点．解析：f′(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a)，当a ＞1时，函数f(x)在(0，1)和(a ，a ＋1)上单调递增，在(1，a)上单调递减，又f(0)＝0，f(a)＝12a 2－16a 3，f(a ＋1)＝－16(a＋1)(a 2－4a ＋1)，解不等式f(a)＞0得1＜a ＜3，解不等式f(a ＋1)＞0得1＜a ＜2＋3，于是如下讨论：①当1＜a ＜3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有一个零点； ②当a ＝3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点；③当3＜a≤2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有三个零点； ④当a ＞2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点．新题在线答案：(1)f(x)在(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)的单调递增，在(3－23，3＋23)的单调递减；(2)略．解析：(1)当a ＝3时，f(x)＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x)＝x 2－6x －3.令f′(x)＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(3－23，3＋23)时，f ′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)∵x 2＋x ＋1>0，∴f(x)＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g(x)＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x)＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g′(x)＝0，∴g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫a －162－16<0，f(3a ＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．。
与三次函数零点有关的取值范围问题专题
与三次函数零点有关的取值范围问题1.函数f(x)＝1＋x ＋x 22＋x 33零点的个数是________．2．已知函数f(x)＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的值为________．3．已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是________．4．若函数f(x)＝23x 3－2ax 2－3x 在(－1，1)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝14x 4＋a 3x 3＋12x 2(a ∈R ，a ≠0)有且仅有3个极值点，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f(x)＝a 3x 3－12(a ＋1)x 2＋x －13(a＞0)在[0，2]上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．7．设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求实数m 的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．＝1 024，求满足条件的正整数a的取值集合．8．已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，a∈R.(1)若函数g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；(2)当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)1．答案：1.解析：∵f ′(x )＞0恒成立，∴函数f (x )单调递增，∴零点个数是1.2．答案：±2.解析：函数f (x )＝x 3－3x ＋c 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，(－1，1)上递减，由题意f (－1)f (1)＝0，即(2＋c )(－2＋c )＝0，解得c ＝±2.3．答案：(－∞，－2)． 解析：当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2a，①当a ＞0时，由图象及f (0)＝1知函数f (x )有负数零点，舍去；②当a ＜0时，由图象及f (0)＝1，只需满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2.综上：a ＜－2.4．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞. 解析：∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－14.5．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解析：可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．6．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)， ①当12＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＞0，(ⅰ)当2≤1，即0＜a ≤12时，1a ≥2，f (2)＝13(2a －1)≤0，因为f (x )在区间[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴f (x )在区间[0，1]和(1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；(ⅱ)当2a ＞1，即12＜a＜1时，)f(x )增极大值 减 极小值增 ∴x ∈[0，1]，f (x )＜0，∵f (x )在[1，2]上为增函数，∴f (x )在区间(1，2]有一个零点，即在[0，2]上有一个零点，不满足题设．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 7．答案：(1)－34；(2)(－∞，2)∪(52，＋∞)．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵x ∈R ，∴f ′(x )≥m 即3x 2－9x ＋6－m ≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34. (2)∵当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，2)上递减；∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时， f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (1)＜0或f (2)＞0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a ＜2或a＞52.(或由f (1)f (2)＜0，亦可解得a ＜2或a ＞52)8．答案：(1)当a ≥1时，有两个解；当－1＜a ＜1时，有三个解；当a ≤－1时，有两个解；(2){1}．解析：(1)f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4，∴x 4－ax 3＝|x －a |，∴x 3(x －a )＝|x －a |，即x ＝a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＝－1，①当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；②当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1；③当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1.(2)当a ＞0时，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，∴函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0， ∴当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1 024f （x ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 024f （a ＋2），1 024f （a ），当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[f (a ＋2)，＋∞)．∵对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 024f （a ＋2），1 024f （a ） [f (a ＋2)，＋∞)，∴1 024f （a ＋2）≥f (a ＋2)，∴f (a ＋2)2≤1 024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32，∵a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足．∴满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．。
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三次函数——导数应用中永恒的经典【考点定位 】考试说明： 了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简 单函数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值 .问题概述：三次函数 y ax 3 bx 2 cx d(a 0) 一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中 频繁出现有关它的单独命题 .2014 年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西 卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷(理)、北京卷(文) 、广东卷(文)以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视 .单调性和对称性最能反映这个函数的特性 .通常以它为素材 来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系.本文以2014 年高考为例，例谈高考中的三次函数问题 .【考量基础】三次函数的单调区间及闭区间上的最值例 1【 2014高考安徽卷第 18题】设函数 f (x) 1 (1 a)x x 2 x 3,其中 a 0. (1)讨论 f (x) 在其定义域上的单调性；(2) 当 x ［0,1］时，求 f ( x)取得最大值和最小值时的 x 的值.解析：2'(x) 1 a 2x 3x 2 .令 f '(x) 0 ，得 x 1x 1 x x 2时， f '(x) 0.故 f (x)在( ,x 1)和 (x 2, ) 内递减，在 (x 1,x 2)内递增 .2)因为 a 0，所以 x 1 0,x 2 0.当a 4时， x 2 1 ，由( 1)知， f (x)在［0,1］ 上递增，所以 f(x)在 x 0和 x 1处分别取得最小值和最大值 .当0 a 4时， x 2 1，由(1)知， f (x)在［0,x 2］上递增，1 4 3a在［ x 2 ,1］递减，所以 f(x)在 x x 2处取得最大值 .又 f (0) 1, f (1) a ，所以当 0 a 13时， f (x)在 x 1处取得最小值；当 a 1时， f(x)在 x 0和 x 1处同事取得最小值；当 1 a 4时，1 4 3a1) f (x) 的定义域为 ( , ) ，x 21 4 3a 3x 1 x 2，所以 f (x) 3(x x 1)(x x 2).当 x x 1或 x x 2时， (x) 0 ；当f （x ）在 x 0处取得最小值点评：（本题根据导数公式求导数考查运算求解能力，判断函数单调性及求最值考查抽象概括能力，逻辑 思维能力以及分析、解决问题的能力，试题中等难度）高考趋势：（本类问题在近几年高考中频繁出现，利用函数单调性及分类讨论思想求最值，学生对字母的 讨论会分但不全）类题演练：1【 2014 高考广东卷文第 21 题】 已知函数 f x x 3 x 2 ax 1 a R .（ 1）求函数 f x 的单调区间；考量能力】1. 三次函数的图像问题例 2【2014 高考江西卷文第 10 题】在同意直角坐标系中， 函数 y ax 2 x a 与 y a 2x 3 2ax 2 x a （a R ）2的图像不可能的是（ ）解析：讨论字母的取值情况，确定函数的图像特征，再利用排除法求解2a 1 y x 与 y x ，图象为 D ，故 D 有可能 .当 a 0 时，函数 y ax 2 x 的对称轴为 x ， 2 2a对函数 y a 2x 3 2ax 2 x a ，求导得 y ' 3a 2x 2 4ax 1 （3ax 1）（ax 1） ，令 y ' 0，则1 1 1x 1,x 2 ，所以对称轴 x 介于两个极值点之间， A ， C 满足， B 不满足，所以 B 是不可3aa2a能的 .故选 B.点评：（本题是二次函数和三次函数图象的识别，利用导数研究函数性质，考查抽象概括能力和推理论证 能力，试题难度较大）高考趋势：（本类问题结合图形分析，考查图象的识别能力和创新意识，在近几年高考中屡屡出现）.分两种情况讨论 .当 a 0 时，函数为类题演练：【2014 陕西高考理第 10题】如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行， 从距着陆点 A 的水平距离 10千米处 下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为(2. 三次函数的切线问题例 3【 2014高考北京卷文第 20题】已知函数 f (x) 2x 3 3x .(2) 若过点 P(1,t )存在 3条直线与曲线 y f (x)相切，求 t 的取值范围；(3)问过点 A( 1,2), B(2,10), C (0,2) 分别存在几条直线与曲线 y f ( x)相切？(只需写出结论) 解析： ( 2 )设过点 P(1,t) 的直线与曲线 y f(x) 相切于点 (x o ,y o ) ，则 y o 2x o 3 3x o ，且切线斜率为k 6x o 3 ，所以切线方程为 y y o (6x o 3)(x x o ) ，因此 t y o (6x o 3)(1 x o ) ，整理得32 3 24x o 3 6x o 2 t 3 0.设 g(x) 4x 3 6x 2 t 3 ，则“过点 P(1,t)存在 3条直线与曲线 y f (x)相切”等价于“ g(x) 有3个不同的零点” ， g '(x) 12x 2 12x =12x(x 1)，g(x) 与 g '(x)的情况如下：x ( ,0)(0,1)1 (1, )g '(x)++g(x)t+3t1所以， g(0) t 3是 g( x)的极大值， g(1) t 1是g(x) 的极小值，当 g(0) t 3 0，即 t 3时，此时 g(x)在区间 ( ,1］和(1, )上分别至多有 1个零点，所以g(x) 至多有 2个零点，当 g(1) t 1 0，t1时，此时 g(x)在区间 ( ,0) 和［0, )上分别至多有 1个零点，所以g(x)至多有 2个零点 .1 3 3 A ) y x 3 x125 5 C) 33C)y x x125B ) y 2 x3 4x125 5331D ) y x x125 5当g(0) 0且g(1) 0，即3 t 1时，因为g( 1) t 7 0，g(2) t 11 0，所以g(x)分别为区间［ 1,0),［0,1) 和［1, 2)上恰有1个零点，由于g( x)在区间( ,0) 和(1, )上单调，所以g(x)分别在区间( ,0)和［1, )上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1,t )存在3条直线与曲线y f (x)相切时，t 的取值范围是( 3, 1).(3)3条，2 条，1条点评：(本小题主要考查导数的几何意义，导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论，函数与方程，转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力，试题难度较大.)高考趋势：(利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识，基本题型与基本技能是解决这类问题的关键)类题演练：【2014高考全国卷新课标Ⅱ文第21 题】已知函数f(x) x3 3x2 ax 2，曲线y f(x)在点(0,2) 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 .(1)求a ；3. 三次函数的零点问题例4【2014 全国1高考理第11题】已知函数f(x) ax3 3x2 1，若f ( x)存在唯一的零点x0 ，且x0 0，则a 的取值范围是( )A．2, B．1, C ．, 2 D．, 1解析：当a 0时，f(x) 3x2 1，函数f (x)有两个零点3和3，不满足题意，舍去；当a 0时，33' 2 ' 2 ' 2f '(x) 3ax2 6x，令f'(x) 0，则x 0和x ，x ( ,0)时，f '(x) 0；x (0, )时，aa' 2 'f '(x) 0；x ( , )时，f '(x) 0，且f (0) 0，此时x ( ,0)必有零点，故不满足题意，舍a2 ' 2 ' '去；当 a 0时，x ( , )时， f '(x) 0；x ( ,0) 时， f '(x) 0；x (0, ) 时， f '(x) 0， aa 22且 f(0) 0，要使得 f (x) 存在唯一的零点 x 0，且 x 0 0 ，只需 f ( ) 0 ，即 a 2 4，则 a 2. a故选 C. 点评：(利用导数研究函数的图象，考查学生的推理论证能力，特殊值法的运用，试题难度较大)高考趋势：(利用排除法处理选择题问题， 不仅可以提高试题正确率， 而且可以节省时间 .三次函数零点个 数总共三类情况，学生不难处理)类题演练：【2014 高考全国卷新课标Ⅱ文第 21 题】已知函数 f (x) x 3 3x 2 ax 2，曲线 y f(x)在点 (0,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 2 .( 2)证明： 当 k 1时，曲线 y f(x)与直线 y kx 2只有一个交点综合＆迁移】 三次函数与绝对值 例 5【 2014 高考浙江卷理第 22 题】 已知函数 f(x) x 3 3x a ( a R ).(1) 若 f(x) 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 M (a),m(a) ，求 M (a) m(a) ；解析：① 当 a 1时，有 x a ，故 f(x) x 3 3x 3a .此时 f (x) 在 ( 1,1) 上是增函数， 因此 M (a) m(a) =f (1) f( 1) (4 3a) ( 4 3a) 8.② 当 1 a1时， f (x) x 3 3x 3a 在 (a,1)上是增函数； f(x)x 3 3x 3a 在 ( 1,a) 上是减函3数，所以， M(a) max{ f(1), f( 1)}, m(a) f (a) a 3.由于 f (1) f ( 1) 6a 2. 因此1 3 1 3当 1 a 时， M(a) m(a) a 33a 4；当 a 1时 M(a) m(a) a 3 3a 2. 33③ 当 a 1时，有 x a ，故 f (x) x 3 3x 3a ，此时 f(x) 在 ( 1,1)上是减函数， 因此 M (a) m(a) =f ( 1) f (1) (2 3a) ( 2 3a) 4.因为 f (x)3x 3 x3x 3a,x a, 3x 3a,x a,所以 f '(x)23x 23,x a, 23x 3,x a,由于 1 x 1.A ) 1 3 1 2 A )y x x x 22 C ) 1 3 C )y x x 1 3 1 2 ( B ) y x x 3x 22 1 3 1 2综上可知， M(a) m(a)8,a 1, 31 a 3a 4, 1 a ,3a 3a 2,13 a 1, 4,a 1. 点评：(利用导数研究带绝对值三次函数的单调性、最值的求法，判断单调性和求最值时不仅对 x 进行讨论去绝对值，同时要对 a 进行讨论，考查分类讨论思想和运算求解能力，试题难度较大) 高考趋势：(三次函数 y ax 3 bx 2cx d(a 0) 作为中学阶段一个重要的函数，学生对其图象与性 质掌握得较全面， 在此基础上将三次函数带上绝对值， 增加了对字母讨论的难度， 在学生跳一跳够得 着基础上改编三次函数这的确是个好题) 类题演练： 【2013 高考浙江卷理第 22 题】 已知 a ∈R ，函数 f(x)＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3. (2)当 x ∈[0,2] 时，求 |f(x)|的最大值． 反馈平台】 1.【 2014 高考浙江卷文第 7题】 已知函数 f(x) x 3 ax 2 bx c ，且 0 f ( 1) f ( 2) f ( 3) 3 ， 则( C )A. c 3B. 3 c 6C. 6 c 9D. c 9 2.【 2014 辽宁高考理第 11 题】当 x [ 2,1] 时，不等式 ax 3 x 2 4x 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范 围是( C )A ． [ 5, 3]B ． [ 6, 9]C ． [ 6, 2]D ． [ 4, 3] 8 3.【 2014 高考陕西卷文第 10 题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续 (相切)， 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( A )D) y x x 2x4.【2014 高考大纲卷文第21 题】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠ 0).1)讨论函数f(x)的单调性；2)若函数f( x)在区间( 1，2)是增函数，求a的取值范围.[ ,0) U(0, )2 2 35.【2014高考天津文第19 题】已知函数f (x) x2ax3(a 0),x R3减区间：( ,0)，(1, ) ；极小值0，极大值12a 3a22)若对于任意的x1 (2, )，都存在x2 (1, )，使得f (x1) f (x2) 1，求a的取值范围1) 求f (x) 的单调区间和极值；增区间：(0,a。