圆切线的有关证明和计算

圆切线的有关证明和计算

已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．

解：（1）

（2）

已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过

B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=

1

3

时，求⊙O 的半径.

（１）通过平行找垂直。如果以下几种题型

如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E .

(1)求证:DE 是⊙O 的切线；

(2)若2

1

cos =

C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A

D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线

（２）若BD=1,⊙O 的半径为2

5

，求tan ∠BAD

F

A

D

B O

C

(2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型

D C

O

A B

E

10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC=

2

1

OB 。 （１）求证：AB 是⊙O 的切线

（２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B

已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线

(2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA=

2

5

,求⊙O 的半径 B

F E D A O C

已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O

(3)根据角与角的关系推导

已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ．

(1) DP 是O 的切线； (2) 若3cos 5

A

， O 的半径为5， 求DP 的长.

如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．

（1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，

B

A

O

B

F C

D

E

△BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝3

2， 求△ACF 的面积．

如图，在△ABC ，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的

延长线上，且∠CBF ＝ 1

2

∠CAB ．

(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝5，sin ∠CBF ＝

5

5

，求BC 和BF 的长．

如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;

（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.

二．在计算圆切线的有关线段时常用的方法有，三角函数值，勾股定理，三角形相似等，其中最通用的是三角形相似，如上面几题的第二问。 三．跟踪练习

１.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接DF ，作DE ⊥CF 于点E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线 (2)若AB ＝１０,cos ∠C=

5

4

,求EF 的长 C D

E B O A F

A F C O

B

M

２.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D,DE ⊥BC 于点E ， （１）求证：DE 为⊙O 的切线 （２）若DE=2,tanC=2

1

,求⊙O 的直径 C

A D

O E

B

３.如图，已知⊙O 是⊿ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD ，交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F,且CE=CF E (1)求证：DE 是的切线 C (2)若AB=6,BD=3,求AE 和BC 的长

A O F

B D

４.已知等边三角形ABC,以边BC 为直径的半圆与边AB,AC 分别交于点D ，点E,过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F 。

（１）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论

（２）过点F 作FH ⊥BC ，垂足为点H,若等边三角形ABC 的边长为４,求FH 的长 A F D E B O H C

．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC ∥OD,BD 切⊙O 于点B ，连接CD (1)判断CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由 (2)若AD=2,OD=6,求⊙O 的半径 A C O

B D