高二数学空间向量的夹角.ppt
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
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探究2:点到直线的距离 几何(等面积法)
思考:已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,直线外一点.
|| =
设 = ,如何利用这些条件求点到直线的距离?
Ԧ
追问1:与有何关系?
是在直线上的投影向量,
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为?
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
追问:如何求直线与平面间的距离?
两个平行平面间的距离?
⟺点到平面的距离
α
典例精析
例题:如图,在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中,为线段1 1 的中
(4)求距离 =
|∙|
.
||
α
归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似,我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0),所以//1 ,即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , ),
1
2
− =0
∙ = 0
则
,即
,取 = 1,则 = (1,2,1),
思考:已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,直线外一点.
|| =
设 = ,如何利用这些条件求点到直线的距离?
Ԧ
追问1:与有何关系?
是在直线上的投影向量,
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为?
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
追问:如何求直线与平面间的距离?
两个平行平面间的距离?
⟺点到平面的距离
α
典例精析
例题:如图,在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中,为线段1 1 的中
(4)求距离 =
|∙|
.
||
α
归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似,我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0),所以//1 ,即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , ),
1
2
− =0
∙ = 0
则
,即
,取 = 1,则 = (1,2,1),
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
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共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O, 若点 M 满足O→M=1(O→A+O→B+O→C).
3 (1)判断M→A,M→B,M→C三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
解 (1)由已知O→A+O→B+O→C=3 O→M, ∴O→A -O→M= (O→M -O→B )+(O→M -O→C), 即M→A=B→M+C→M=-M→B-M→C, ∴M→A,M→B,M→C共面. (2)由(1)知,M→A,M→B,M→C共面且基线过同一点 M, ∴四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示,已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ,点M , N分别是AB,CD 的中点.
在空间中,具有 的量叫做(空1间)向求量,证其大:M小叫N做向量A的B长度;或模(.2)求 MN 的长;
a1= b1,a2= b2,a3= 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线(平行)向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存
在λ∈R,使 a= b . (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使 p= xa+yb . (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p= xa+yb+zc .
【例3】如图所示,已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ,点 分别是 的中点.
(1)利用数量积解决问题的两种途径:
3.2空间向量运算的坐标表示及应用(模与夹角)课件高二上学期数学北师大版选择性
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例 1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点. (2)求△BMN的面积.
解答:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
例 2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1, BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF;
向量夹角的坐标表示
一一对应
向量的运算
a+b =(x1+x2,y1+y2,z1+z2) a-b =(x1-x2,y1-y2,z1-z2) λa =(λx1,λy1,λz1)
a·b =x1x2+y1y2+z1z2
向量的平行与垂直
环节一
空间向量长度和 夹角的坐标表示
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
回顾:在平面向量中我们如何求向量的长度?
求模先平方 求模小勾股
求模先平方 求模小勾股
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求向量的模首先要用坐标表示出该向量!
推广:
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求哪两个向量的夹角的余弦值,用哪两个向量的数量积除以 它们的模积
例 1 若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=
( D)
A.
B.2
C.3
D.例2A.3源自°B.60°C.120°
C D.150°
例 3 已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2).求: (1)|a+b-2c|; (2)cos<a-b,b-c>.
环节二
空间向量 的综合应用
例 1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点. (1)求BM,BN的长;
用空间向量研究距离、夹角问题课件(第三课时)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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L
sin θ
|cosDB1,A1C| cosθ 2 2 .
|DB1 A1C| |DB1|| A1C|
2
4 32
1
A
,x
33
E
3
DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值为
2
2 3
.
F Cy
B
巩固练习
课本P49
16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中,E, F分别是棱AB, BC上的动点,且AE=BF. (1)求证:AʹF⊥CʹE; (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时,求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值.
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题
(第三课时)
复习导入
点、直线、平面
立体 几何
位置 关系
度量 问题
垂直 平行 距离 角度
空间 向量
前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题. 这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.
典例解析
C' O'
a CF
O
a
B' 析 : (1)建系Cxyz,设AE BF x,
A' F(0,a x,0), E(a x,a,0), A'(a,a,a),C'(0,0,a),
A' F C' E (a,x,a) (a x,a,a)
B
a(a x) ax a2 0
E
A
巩固练习
课本P49
对于具体的问题,应根据它的条件和所求选择合适的方法.
巩固练习
课本P41
1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个
用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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所以
sin
θ=|cos〈n,—A1→B 〉|=|n·——A1→→B |= |n|| A1B |
63,即
A1B
与平面
AEF
所成角的正弦值为
3 6.
三、两个平面的夹角
例 3 如 图 , 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 的 所 有 棱 长 都 相 等 , AC∩BD = O , A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥平面ABCD;
(1)证明:CM⊥SN; 证明 设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴正方向 建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
又 AN=41AB,M,S 分别为 PB,BC 的中点, ∴N21,0,0,M1,0,12,S1,21,0,
C→M=1,-1,21,S→N=-12,-21,0, ∴C→M·S→N=1,-1,12·-21,-12,0=0,
3,-1,- 7
3|=71.
|A1B||O1A|
∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为71.
反思感悟 求异面直线夹角的方法
(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.
(2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则
→ AB
与
→ CD
可分别为a,b的方向向量,
∴点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离为 3, 则有 D(0,0,0),S(-1, 3,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1),
设平面SAD的法向量为m=(x,y,z), ∵A→D=(0,0,-2),A→S=(-1, 3,-2), ∴--2x+z=03,y-2z=0, 取 x= 3,得平面 SAD 的一个法向量为 m=( 3,1,0).
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-高二数学教材配套教学精品课件
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→
2|k|
|BE·n|
2 11
于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d=
=
=
.
11
|n|
1+1+9|k|
新知应用
题型三:平面与平面的距离
5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4,M,N,E,F 分别为 A1D1,A1B1,C1D1,
B1C1 的中点,求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离.
2 − ( ∙ )2 .
思考1:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离?
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线
间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离
空间中点到平面的距离
探究2:如何求平面α外一点点到平面α的距离?
设平面DA1C1的法向量为 = (, , ),所以 ⊥ 1, ⊥ 1,因为,由 ∙ 1 = 0 ,得
∙ 1 = 0
+=0
,
2 + = 0
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离.因为11=(1,0,0),所以B1
不妨取y=1,则 = (2,1, −2) .
常见的空间中的距离有:点到直线、点到平面、两条平行线及两个平
行平面的距离;
常用的求解距离的方法有:传统方法和向量法.
02用空间向量研究距
离问题
P
A
R
T
O
N
E
空间中点到直线的距离
探究1:已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,直线外一点.如何利
用这些条件求点到直线的距离?
1.4.2用空间向量研究夹角问题课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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=
2
, ∴<
2
∴ 平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
P
= (x, y, z),
E
A
D
∵ PA ⊥ 平面ABCD, ∴ 平面ACD的法向量为 AP = (0,0, a).
∴ cos < ՜
m , AP >=
z
՜
m , AP >= 45°,
C
x
B
y
练习巩固 大册P32变式训练
练习8 :如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角: = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角:先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角,添加正负号
练习巩固 课本P38练习1
练习1:在直三棱柱 − 111中,∠ = 90°,1, 1分别是11, 11
的角最大时,求的值.
练习巩固
练习6:棱长为的正方体 − ′ ′ ′ ′ 中,,分别是棱,上的动点,
且 = .
(1)求证:′ ⊥ ′ ;
(2)当三棱锥′ − 的体积取最大值时,求平面′ 与夹角的正切值.
z
y
x
练习巩固 大册P30例3
3 34
∴AD与平面AMN 所成角的正弦值为
.
34
| AD || n |
8 34
34
练习巩固 课本P41练习3
练习3:如图,在三棱锥 − 中,, , 两两垂直, = = 3,
z
= 2. 求直线与平面所成角的余弦值.
用空间向量研究距离、夹角问题教学课件-2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册
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线以及两个平行平面的距离问题等,如何用空间向量解决这些距离问题呢?
点到直线的距离
点到平面的距离
两条平行直线
的距离
两个平行平面的
距离
二
探究新知1——用空间向量表示点到直线的距离(互学)
已知直线 的单位方向向量为, 是直线 上的定点,是直线外一点.如
1.探究
何利用这些条件求点到直线 的距离?
与平面的法向量的夹角,如图,直线 与平面相交于点,设
直线 与平面所成的角为,直线 的方向向量,平面的
法向量为,则据“诱导公式”可得
= , =
∙
∙
=
注: 与平面所成的角为 ∈ , .
十
探究新知4——用空间向量解决直线与平面、平面与平面夹角的问题(互学)
, ∴ =
, 取 = ,则 = , = ,
∴ = (, , )是平面 的一个法向量,
方法提示:
到平面的距离
∙
=
注:其中为平面的斜线,
为斜足,为平面的法向量.
五
成果展示1(迁移变通)
例1 如图,在棱长为的正方体 − 中,为线段
则点到平面 的距离就是直线到平面 的距离,
为斜足,为平面的法向量.
又∵ ⊄ 平面 , ⊂ 平面 ,
五
成果展示1(迁移变通)
例1 如图,在棱长为的正方体 − 中,为线段
的中点,为线段的中点.
,
故直线到平面 的距离为 .
为斜足,为平面的法向量.
六
小结——用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题-第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版
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1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平
面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD,PC的中点.
(1)求证:DE//平面PFB;
课中探究
解:证明:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P 0,0,2 ,F 1,0,0 ,B 2,2,0 ,E 0,1,1 ,D 0,0,0 ,
所以FP = −1,0,2 ,FB = 1,2,0 ,DE = 0,1,1 ,
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形,∴ BO ⊥ AC,建立如图所示的空间
直角坐标系,则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平
面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD,PC的中点.
(1)求证:DE//平面PFB;
课中探究
解:证明:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P 0,0,2 ,F 1,0,0 ,B 2,2,0 ,E 0,1,1 ,D 0,0,0 ,
所以FP = −1,0,2 ,FB = 1,2,0 ,DE = 0,1,1 ,
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形,∴ BO ⊥ AC,建立如图所示的空间
直角坐标系,则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
1.4.2用空间向量研究夹角问题(第2课时)(18张PPT)
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所以A1D是平面AMN的法向量。
A1 B1 M
A
D1 N
C1
Dy
A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0), x B
C
AD (0,8,0),
A1D (0,8, 4),
l u // n R,使得u n
un
6.空间中平面与平面垂直的判定
设平面, 的法向量分别是n1, n2
n2
n1
n1 n2 n1 n2 0
7.异面直线所成的角
uv平面角
un
sin cos u, n
un
l2
u
l1
v
A
un
42 30 10
4.变式: 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=5, AD 8, AA1 4,
M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上,A1D AN.
(1)求证:A1D AM.
(2)求AD与平面ANM所成的角的正弦值. z
提示:
由(1)知A1D AM,又A1D AN AM AN A,所以A1D 平面AMN
D
G
B
PB 平面EFD
2.例10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱
PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
z
(3)解:已知PB EF,由(2)可知PB DF,
B C
9.两个平面的夹角 n1 n2
cos cos n1, n2
n1 n2
n1
n2
二、巩固训练
1.例9.如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有
A1 B1 M
A
D1 N
C1
Dy
A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0), x B
C
AD (0,8,0),
A1D (0,8, 4),
l u // n R,使得u n
un
6.空间中平面与平面垂直的判定
设平面, 的法向量分别是n1, n2
n2
n1
n1 n2 n1 n2 0
7.异面直线所成的角
uv平面角
un
sin cos u, n
un
l2
u
l1
v
A
un
42 30 10
4.变式: 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=5, AD 8, AA1 4,
M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上,A1D AN.
(1)求证:A1D AM.
(2)求AD与平面ANM所成的角的正弦值. z
提示:
由(1)知A1D AM,又A1D AN AM AN A,所以A1D 平面AMN
D
G
B
PB 平面EFD
2.例10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱
PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
z
(3)解:已知PB EF,由(2)可知PB DF,
B C
9.两个平面的夹角 n1 n2
cos cos n1, n2
n1 n2
n1
n2
二、巩固训练
1.例9.如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有
用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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β
m n
α
β
m n
α
n,m
β
m
n
α
cos | cos n , m |
β
m
n
α
n,m
用空间向量求平面 α 和平面 β 夹角 θ 的步骤与方法:
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为平面 α 的法向量 n 和平面 β 的法向量 m 的夹角 ② 计算| cos n , m | | n m |
| u || v |
③ 两直线 l1,l2 夹角 θ 的余弦值 cos | cos u , v |
设两条异面直线 a,b 的方向向量分别为 a=(-1,1,0),b=(0,-1,1), 则直线 a 和 b 所成的角为___6_0____.
在 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 , AA1⊥ 底 面 ABC , AB = BC = AA1 , ∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点, 试求直线 EF 和 BC1 所成角的大小. 60
u
v
l1
u,v
l2
vu
l1
cos | cos u , v |
l2
u v
l1
u,v
用空间向量求两条直线 l1,l2 夹角 θ 的步骤与方法:
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为求两直线 l1,l2 的方向向量 u,v 的夹角 ② 计算 | cos u , v | | u v |
| u || v |
① 求直线 l 的方向向量 u 和平面 α 的法向量 n ② 计算 | cos u , n | | u n |
| u || n |
③ 直线 l 和平面 α 所成角 θ 的正弦值 sin | cos u , n |