平面向量选填题训练

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高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)

高中数学平面向量选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5．下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

平面向量选择填空题训练

平面向量小题训练一、选择题1.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C. 25D. 27 2.设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅= ，则()()a c b c -⋅-的最小值为A.2-B.22-C.1-D.12-3.已知{}{}(1,0)(0,1),,(1,1)(1,1),P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =IA ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 4.已知向量a 和b 的夹角为︒120，2||=a ，且a b a ⊥+)2(，则=||b A ．6B ．7C ．8D ．95.已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．,a b 为非零向量。

“a b ⊥ ”是“函数()()()f x x a b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知O ，N ，P 在A B C ∆所在平面内，且,0O A O B O C N A N B N C ==++=，且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是A B C ∆的A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心8.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π 1.9.已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,21,22OB OM OA OM 则OC OM ⋅的最大值为A ．－1B ．0C ．3D ．410.已知向量OC OA BC OB OA 与则),sin 2,cos 2(),0,2(),2,0(αα===夹角的取值范围是A ．]4,0[πB ．]32,3[ππC ．]43,4[ππD ．]65,6[ππ二、填空题11.已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -∥b ，则k = ．12.若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b，则=a .13.给定两个长度为1的平面向量O A 和OB，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动.若,O C xO A yO B =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.14.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为30°； ② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若（AC AB +）·（AC AB -）=0，则△ABC 为等腰三角形以上命题正确的是。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。

A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

(完整版)平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。

1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。

15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移，使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为（ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得，所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。

最新平面向量选择、填空难题培优练习(含解析)期末试题分类汇编

最新平面向量选择、填空难题培优练习第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共21小题）1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．32．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．03．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣4．若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（）A． B． C．D．6．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（）A．6B．2C．3D．7．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．68．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC 边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．09．在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点E满足=2，则的值为（）A．B．C．4D．110．在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．11．两非零向量，满足：||=||，且对任意的x∈R，都有|+x|≥，若||=2||，0＜λ＜1，则的取值范围是（）A．[（），（）]B．[（），）12．已知△ABC中，AB=4，AC=2，若的最小值为2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）A．2 B．C．1 D．14．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．215．已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣16．已知三角形ABC，AB=2，BC=3，AC=4，点O为三角形ABC的内心，记，，，则（）A．I3＜I2＜I1B．I1＜I2＜I3C．I3＜I1＜I2D．I2＜I3＜I117．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A． B． C．D．﹣118．如图，平面四边形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=2，点E在对角线AC上，AC=4AE=4，则的值为（）19．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心20．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（）A． B．C．D．21．已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共19小题）22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．23．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．24．在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=25．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，则的值为．26．在梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=60°，∠CDA=30°，AB=2，AD=6，，在边BC，DC上分别有动点E，F，使，，λ+μ=1，则的最小值为．27．已知向量，满足||=3，||=1，||=，则||=．28．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=．29．已知正△ABC的边长为2，若=2，则等于．30．已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是．31．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．32．正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是．33．设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则•（+）的取值范围为．34．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=，点E为BC的中点，则的值为．35．在△ABC中，AB=2，AC=3，•，若点P满足=2，则•=．36．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为．37．设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．38．在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值为．39．已知圆心为O，半径为1的圆上有三点A、B、C，若7+5+8=，则||=．40．23．已知向量=（1，），=（x，1）其中a∈R，函数f（x）=•（Ⅰ）试求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）试求当a=1时，函数f（log2x）在区间（1，+∞）上的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．2．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴MN=；∴BC=3，∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．3．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x ＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．4．若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．5．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（）A． B． C．D．【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++=，∴G是△ABC的重心，∴=（+），∴=（2+2+2•）=（|AB|2+|AC|2）+，∵•=|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，∴2≥=．∴||≥．故选：C．6．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（）A．6B．2C．3D．【解答】解：∵﹣3=，∴﹣=2+2，设D为BC的中点，则2+2=4，∴=4，∴OD∥AC，∠ODC=∠ACB=60°，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴OD=2，AD=4，∠ADO=150°，∴OA==2．∵||=，∴P点轨迹为以O为原点，以r=为半径的圆．∴|PA|的最大值为OA+r=3．故选：C．7．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：如图，由题意可知，，且与的夹角为60°，∴=．则，，∴•===．故选：D．8．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．9．在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点E满足=2，则的值为（）A．B．C．4D．1【解答】解：AB=2，AD=1，，可得•=2×1×cos=2×=1，点E满足=2，可得E为BC的中点，则=（+）=（2+），可得=（2+）•=2+•=4+=，故选：A．10．在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设AB=AC=3，点P（x，3﹣x），M（1，0），N（2，0），则•=2x2﹣9x+11，其中x∈[0，3]，∴当x=时•取到最小值，此时P（，），∴k==．故选：C．11．两非零向量，满足：||=||，且对任意的x∈R，都有|+x|≥，若||=2||，0＜λ＜1，则的取值范围是（）A．[（），（）]B．[（），）C．[（），2]D．[1，（）]【解答】解：对任意的x∈R，都有|+x|≥，即有（+x）2≥（﹣）2，即为2+2x•+x22≥2﹣•+2，由||=||，可得x22+2x•+•﹣2≥0恒成立，可得4（•）2﹣42•（•﹣）≤0，（θ为，的夹角），即为||4•cos2θ﹣||4•cosθ+||4≤0，即有（cosθ﹣）2≤0，（cosθ﹣）2≥0，可得cosθ=，sinθ=，可设||=||=2，||=1，设==（2，0），==（1，），=，C在单位圆上运动，由=λ+（1﹣λ）可得P在线段AB上运动（不含端点），直线AB的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=0．由原点到直线AB的距离为=，即有单位圆上的点到线段AB的距离的最小值为﹣1，则=的最小值为（），而=．的取值范围是[]．故选：B．12．已知△ABC中，AB=4，AC=2，若的最小值为2，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，AB=4，AC=2，∴==4=f（λ）．当cosA=0时，f（λ）=4，舍去．当cosA≠0时，f（λ）=4≥4，∵的最小值为2，∴4=2，∴cosA=﹣，解得A=．∴△ABC的面积S==2．故选：C．13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：根据题意，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对应的向量为﹣，又由向量，满足，，与的夹角为，则|﹣|2=（﹣）2=2+2﹣2•=1+4﹣2=3，则|﹣|=；故选：B．14．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．2【解答】解：根据条件，设，设，则：==0；∴；∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：∴||的最小值为：．故选：A．15．已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．16．已知三角形ABC，AB=2，BC=3，AC=4，点O为三角形ABC的内心，记，，，则（）A．I3＜I2＜I1B．I1＜I2＜I3C．I3＜I1＜I2D．I2＜I3＜I1【解答】解：AB=2，BC=3，AC=4，可得cos∠BAC==，cos∠ABC==﹣，cos∠ACB==，sin∠ACB==，sin∠OAC=sin∠OAB==，sin∠OBC=sin∠OBA==，sin∠OCA=sin∠OCB==，设内切圆的半径为r，=×3×4×==r（2+3+4），则S△ABC解得r=，||==，||==，||==，由=||•||cos∠AOB=（||2+||2﹣4）=﹣，═||•||cos∠COB=（||2+||2﹣9）=﹣，=|•||cos∠COA=（||2+||2﹣16）=﹣，则i3＜i2＜i1，故选：A．17．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A． B． C．D．﹣1【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣y+2y2=2x2+2（y﹣）2﹣；所以当x=0，y=时，取得最小值是﹣．故选：B．18．如图，平面四边形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=2，点E在对角线AC 上，AC=4AE=4，则的值为（）A．17 B．13 C．5 D．1【解答】解：由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．19．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则+=2，∵•（+）=2•，即2•=2•，∴•（﹣）=•=0，即⊥，∴P在AB的中垂线上，又．∴（+）•（﹣）=﹣2•，∴（+）•=﹣2•，即•（+）=2•，∴点P也在BC的中垂线上，∴点P是△ABC的外心．故选：A．20．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，；∴==．故选：A．21．已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为θ，又由向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则cosθ==﹣，又由0≤θ≤π，则θ=；故选：D．二．填空题（共19小题）22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．23．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．24．在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．25．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，则的值为3．【解答】解：∵AD⊥AB，=2 ，||=1，∴•=（+）•=（+3 ）•=•+3 •=3 2=3．故答案为：3．26．在梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=60°，∠CDA=30°，AB=2，AD=6，，在边BC，DC上分别有动点E，F，使，，λ+μ=1，则的最小值为6．【解答】解：如图：以ADx轴，AD的垂线为y轴，BG⊥AD，CH⊥AD，∠BAD=60°，∠CDA=30°，AB=2，AD=6，，可得B（1，），C（3，），D（6，0），，则E（1+2λ，），，=2μ=（﹣6μ，2）．=（6﹣6μ，2）．λ+μ=1，则=（3﹣2μ，）（6﹣6μ，2）．=12μ2﹣24μ+18，当μ=1，λ=0时，则的最小值为：6．故答案为：6．27．已知向量，满足||=3，||=1，||=，则||=．【解答】解：向量，满足||=3，||=1，||=，可得||2=2﹣2•+2=9﹣2•+1=7，即有•=，|+|2=2+2•+2=9+3+1=13，则||=．故答案为：．28．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=13．【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m=9，则=（9，﹣6），故2+=（13，0）；故|2+|=13；故答案为：13．29．已知正△ABC的边长为2，若=2，则等于1．【解答】解：根据题意，正△ABC的边长为2，若=2，=+=+，则=•（+）=2+×•=4+×2×2×cos120°=4﹣3=1；故答案为：1．30．已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是．【解答】解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：31．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．32．正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是[0，4] ．【解答】解：设BC的中点为M，则||=|2|=2，∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：则A（，0，），D（，0，0），设P（x，y，z），则=（x﹣，y，z﹣），=（，0，﹣），∴=x﹣z+2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x2+y2+z2=1，∵0≤y2≤1，0≤x2+z2≤1．令x﹣z+2=m，则直线x﹣z+2﹣m=0与单位圆x2+z2=1相切时，截距取得最值，令=1，解得m=0或m=4．∴的取值范围是[0，4]．33．设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则•（+）的取值范围为[﹣，2] ．【解答】解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），当P在线段AB上，设P（t，0），（﹣1≤t≤1），=（﹣1﹣t，0），=（1﹣t，0），=（﹣t，），即有•（+）=（﹣1﹣t，0）•（1﹣2t，）=（﹣1﹣t）（1﹣2t）+0×=2t2+t﹣1=2（t+）2﹣，由﹣1≤t≤1可得t=﹣取得最小值﹣，t=1时，取得最大值2；当P在线段CB上，设P（m，（1﹣m）），（0≤m≤1），=（﹣1﹣m，（m﹣1）），=（1﹣m，（m﹣1）），=（﹣m，m），即有•（+）=（﹣1﹣m，（m﹣1））•（1﹣2m，（2m﹣1））=（﹣1﹣m）（1﹣2m）+（m﹣1）×（2m﹣1）=2（2m﹣1）2，由0≤m≤1可得m=取得最小值0，m=0或1时，取得最大值2；当P在线段AC上，设P（n，（1+n）），（﹣1≤n≤0），=（﹣1﹣n，﹣（1+n）），=（1﹣n，﹣（1+n）），=（﹣n，﹣n），即有•（+）=（﹣1﹣n，﹣（1+n））•（1﹣2n，﹣（1+2n））=（﹣1﹣n）（1﹣2n）+（1+n）×（1+2n）=8n2+10n+2=8（n+）2﹣，由﹣1≤n≤0可得n=﹣取得最小值﹣，n=0时，取得最大值2；综上可得•（+）的取值范围是[﹣，2]．故答案为：[﹣，2]．34．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=，点E为BC的中点，则的值为4．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，E为BC中点，AB=3，AD=4，∴DC=AB=3，BC=AD=2，∵E为BC中点，∴=+=﹣=﹣，则=（+）•（﹣）=2﹣2+•=9﹣×16+×3×4×=4．故答案为：4．35．在△ABC中，AB=2，AC=3，•，若点P满足=2，则•=4．【解答】解：如图，∵AB=2，AC=3，•，且=2，∴•======4．故答案为：4．36．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为1．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．=（﹣a，﹣1），=（2﹣a，﹣1），=（0，1），∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时，•﹣取得最小值1．故答案为：1．37．设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．【解答】解：（1）∵；∴；即2cosα+2sinα=0；∴tanα=﹣1；∵0＜α＜π；∴；（2）；；∴；∴（sinβ+cosβ）2+4（cosβ﹣sinβ）2=3；∴5﹣6sinβcosβ=3；∴sinβcosβ=，则sinβ，cosβ同号；∴（sinβ+cosβ）2=1+2sinβcosβ=；∵π＜β＜2π；又sinβ，cosβ同号；∴，即sinβ＜0，cosβ＜0；∴；（3）证明：由tanαtanβ=4得，；∴sinαsinβ=4cosαcosβ；∴4cosαcosβ﹣sinαsinβ=0；∴∥．38．在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值为．【解答】解：∵=+，∴=====，∴=1，=，∴=（）•（）=+=（﹣1）+1×2=，故答案为：．39．已知圆心为O，半径为1的圆上有三点A、B、C，若7+5+8=，则||=．【解答】解：7+5+8=，可得7=﹣（5+8），两边平方可得，49=25+64+2×5×8•，解得•=﹣，由•=||•||cos∠BOC=cos∠BOC=﹣，即有||==．故答案为：．40．23．已知向量=（1，），=（x，1）其中a∈R，函数f（x）=•（Ⅰ）试求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）试求当a=1时，函数f（log2x）在区间（1，+∞）上的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=•=x+，（x≠0）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x+．∵x∈（1，+∞）时，log2x＞0，∴f（log2x）==2，当且仅当即x=2时，f（log2x）取最小值2．（III）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，∴≥0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤1．。

平面向量经典练习题非常好

平面向量练习题一、选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于（）A ．++cB ．+-cC ．-+cD ．--c2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于( ) （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有（）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（）A ．52B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB △ABC 是直角三角形的概率为（）A ．17 B ．27 C ．37 D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( ) Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49- 9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a = 1 ,b = 2, 则CD =（）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππ D.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34（C ）)(0,∞-) ⎝⎛0,34（D ） ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 ) ⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且=,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心（B ）重心、外心、内心（C ）外心、重心、垂心（D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是 17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_ ___ 20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b aa⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。

平面向量选择题100题

绝密★启用前平面向量小题题库选择题-1试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3yx上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】B 【解析】【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．已知向量a,b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.试卷第2页，总71页○…………外○…………内……详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅3．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D 【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD -D ．1324AB AD -【答案】D 【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+--又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．5．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为1，则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（） A B C ．2D 【答案】B 【解析】分析：由2OA OB ==可得点O 在线段AB 的垂直平分线上，由结合题意可得当C试卷第4页，总71页是AB 的中点时OC 最小，由此可得OB 与OC 的夹角为60︒，故,OA OB 的夹角为120︒．然后根据数量积可求得2OA tOB -，于是可得所求．详解：∵2OA OB ==，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上． ∵点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1， ∴当C 是AB 的中点时OC 最小，此时1OC =， ∴OB 与OC 的夹角为60︒， ∴,OA OB 的夹角为120︒．又22222OA tOB OA t OB tOA OB -=+-⋅24422cos120t t =+-⋅⋅︒ 2424t t =++214()332t =++≥，当且仅当12t =-时等号成立．∴2OA tOB -的最小值为3， ∴OA tOB -的最小值为．故选B ．点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式a b a b a b ≤±≤－＋． (2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（）…○………………○……_____班级：_______…○………………○……A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 【答案】C 【解析】【分析】画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+， ∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-．故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．7．在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =，P 为BD 上一点，向量()AP AB AC λμλμ=+>0,>0，则41λμ+的最小值为（） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】A试卷第6页，总71页【解析】【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到,λμ的关系，然后结合均值不等式的结论求解41λμ+的最小值即可.【详解】由题意可知：4AP AB AD λμ=+，其中B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：41λμ+=，则：()41411648816μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⨯+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,28λμ==时等号成立，即41λμ+的最小值为16.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．在ABC ∆中，1AC =，1AC AB ⋅=-，O 为ABC ∆的重心，则BO AC ⋅的值为 A ．1 B ．32C ．53D ．2【答案】A 【解析】【分析】利用O 是ABC ∆的重心，得到()2132BO BA BC =⨯⨯+，而AC BC BA =-，由此化简BO AC ⋅的表达式，并求得它的值. 【详解】由1AC AB ⋅=-的cos 1bc A =-，而1b AC ==，由余弦定理得()2222cos 123a c b bc A -=-=--=.由于O 是ABC ∆的重心，故()2132BO BA BC =⨯⨯+，由于AC BC BA =-，所以()()()()22221111313333BO AC BC BA BC BA BC BA a c ⋅=+-=-=-=⨯=.故选A. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算与三角形的重心的性质，属于中档题.9．已知平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（） A ．B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】由OC 在AOB ∠的角平分线上，得到λμ=，即()OC OA OB λ=+，再由23OC =根据向量的数量积的运算列出方程，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得OC 在AOB ∠的角平分线上，所以()OC k OA OB =+, 再由OC OA OB λμ=+可得λμ=，即()OC OA OB λ=+，再由23OC = 得2222()(2)OA OB OA OA OB OB λλ=+=+⋅+=解得2λ=，故2μ=，所以4λμ+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到λμ=，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．如图，已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的交点O 平分BC ，若,AB mAM AC nAN ==，则12m n+的最小值为（）…………○………………○……A．4 B．32+C．32D．6【答案】C【解析】()12AO AB AC=+，又,AB mAM AC nAN==，22m nAO AM AN∴=+，又,,M O N三点共线，122m n∴+=，即得2m n+=，易知0,0m n>>，121222m nm n m n⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133122222n m n mm n m n⎛⎫+++=++≥+⎪⎝⎭32=+22n mm nm n⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即24mn⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，取等号，故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．在ABC中，角,,A B C的对边分別为,,a b c，若1b=，()2sina B C A=，点G是ABC的重心，且3AG=，则ABC的面积为（）A B C D【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得sin A的值，由此求得π3A=或2π3A=，利用试卷第8页，总71页()2214AD AB AC =+和余弦定理列方程，求得面积的两种取值. 【详解】由题可知2sin sin cos cos A B A C C A =，2sin sin A B B =，则sin A =3A π=或23π.又AG =，延长AG 交BC 于点D ，所以AD =因为()12AD AB AC =+，所以()2214AD AB AC =+，即()2221||2cos 4AD b c bc A =++，当3A π=时，3c =，所以ABC ∆的面积为1sin 2bc A =23A π=时，4c =，所以ABC ∆的面积为1sin 2bc A =.故选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题.12．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则AE EB ⋅等于（） A ．-14 B ．-9C ．9D ．14【答案】D 【解析】【分析】利用向量共线及向量的加减法分别表示出()16AE AB AC +=，5166EB AB AC =-，再利用0AB AC ⋅=即可求得()221536AE EB AB AC ⋅=-，问题得解。

平面向量练习题

2), b =( 0,— 1),则向量2b — a 的坐标是A (1, 3),B (2, 2), C( 7, x ),若/ ABC = 90°，则 x 的一.填空题。

1 . AC DB CDBA 等于平面向量练习题值为 4.向量a 、b 满足| a|=1,| b|= 72 ,( a+b)丄(2 a- b)，则向量a 与b 的夹角为—h- f —h- 1 f5.已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a — 1b 的坐标是 2 6.已知 A (— 1 , 2), B (2 , 4) , C ( 4, — 3) , D( x , 1),若 AB 与 CD 共线, 则I BD|的值等于 7.将点A (2 , 4)按向量a =(— 5, — 2)平移后,所得到的对应点 A 的坐标 8.已知 a=(1, — 2),b=(1,x),若 a 丄 b,则 x 等于 9. 已知向量a,b 的夹角为120,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b ) • a= 10. 设 a=(2, — 3),b=(x,2x), 且 3a - b=4,则 x 等于 11. 已知 AB (6,1), BC (x,y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则 x+2y 的值为 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|丰0,|b|丰0,贝U a 与b 的夹角为 13. 在^ ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2 是uur UULT UULT则OA OB OC 的最小值14•将圆x 2 y 22按向量v=( 2 , 1)平移后，与直线x y 0相切，则入的值为二.解答题。

1.设平面三点 A (1 , 0) , B(0 , 1), C (2 , 5).2.若向量a =( 3,3.平面上有三个点(1)试求向量2AB + AC的模; (2)试求向量AB与AC的夹角;(3)试求与BC垂直的单位向量的坐标.2.已知向量a=(sin ,cos ) ( R) ,b=(j3,3)(1 )当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底(2)求| a-b|的取值范围3.已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t € R)的模取最小值时, (1 )求t的值(2)已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4.设向量OA (3,1), OB ( 1,2)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，试求OD OA OC时,OD的坐标.5.将函数y= —X2进行平移，使得到的图形与函数y=x2—x —2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式.(J3, 1),b (丄，^3).若存在不同时为零的实数k和t,使2 2x a (t23)b,y ka tb,且X y.1. 0 k=f (t)(1 )试求函数关系式(2)求使f (t) >0的t的取值范围.参考答案2. (-3,—4)6.已知平面向量a1 1 (2 , 32 ).6. J737. (-3, 2).8. —210.12. 90°13.14.(1)v AB =(0— 1, 1 — 0) = (— 1, 1) , AC =(2— 1, 5 — 0) = ( 1, 5). ••• 2 AB + AC = 2 (- 1, 1) + ( 1, 5) = (— 1, 7).••• |2 AB + AC| = J( 1)2 72 =^50(2)v | AB | = J( 1 =72 . | AC | =出2 52 =岳AB • AC =(— 1 )X 1 + 1 X 5 = 4.2J13cos = |AB||AC| = 72 726 =右(3)设所求向量为m =(x, y),则x2 + y2= 1. ①13.［解】（1）要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底，则向量a、b共线3si n J3 cos 0 tan J33k 故-(k Z)k -(k，即当 6Z）时向量a、b不能作为平面向量的一组基底(2) |a b | J(sin T s)2 (cos 3)2丿13 2(73sin3cos )而2丁3 73sin 3cos 273••• 2丁3 1 |a b| 2航1AB AC又BC =( 2—0, 5—1) =(2, 4), 由BC丄m , 得2 x + 4 y =0.y 由①、②，得即为所求.2J55'何52455逅5 .245 (W 245—5）或（一514.［解】(1 )由(a tb)2|b |2 t2 2a bt |a|22a b 回cos|b|是a与b的夹角）时a+tb(t€R）的模取最小值当a、b共线同向时，则0，此时|a||b|(a tb) b a tb2|a||b| |b||a| |a||b|••• b 丄(a+tb)18•解：设OC(x,y), OC OB OC OB 0 2y x又BC//OA,BC (x i,y 2) 3(y 2) (x 1) 0 即: 3y x联立①、②得y14,7 10分OC (14,7),于是OD OC OA (11,6)19. 解法一：设平移公式为k代入y(x h) 2hx h2k把它与x 2联立,2x2x x2hx h2 k得y设图形的交点为（X1, y1）,由已知它们关于原点对称，(X2, y2),即有:由X1又将得:X iy iX2X22y2由方程组消去y得: 2X (1 2h)Xg 且X1 X2 0得h 12 2xi，y i), (X2,y2)分别代入①②两式并相加,y i y22 2 c.X1 X2 2hX1 X2h2 2.h2 k 0 (X2 X i)(X2 X i) (X i X2)平移公式为: 1294代入y解法二：由题意和平移后的图形与2X得:2.解得9 1 9r (/4).2交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可1 9 2的顶点为(2, 4)1 9,它关于原点的对称点为(2 即是新图形的顶点.由于新图形由2X平移得到,h所以平移向量为2,k0 94以下同解法20.解：(1) X y, X 0即[(a t23)b] ka tb) 0.-- f 2 a b 0,a一 24,b1,4k t(t23) 0,即k1 2 泸 2 3).(2 )由f" E 3) 0,即t(t J3) (t 73)0,则73 0或t 73. 精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小。

高中数学之平面向量填空练习64题

高中数学之平面向量填空练习班级：姓名：成绩：一、填空题1.已知|a|＝2,|b|＝1,且a·b＝－3,则向量a,b的夹角＝ .2.已知|a|＝6,|b|＝4,a与b的夹角为60°,则(a＋2b)·(a－3b)＝ .3.化简:12（a-2b）-2（14a-12b-c）= .4.已知两个非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),即a·b＝ .5.两个非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),它们的夹角是θ,则cosθ＝ .6.已知a＝(1,2),b＝(1,1),c＝b－k a,若c⊥a,则c＝ .7.设a表示“东北风350米/秒”,则-2a表示“”.8.若非零向量a(a1,a2),b(b1,b2),则＝0是a⊥b的充要条件.9.已知a=（1,2）,b=（2,3）,实数x,y满足,x a+y b=（3,4）,x=,y= .10.(1)AB＋BC＝; (2)AB－AE＋BE＝ .11.已知点A(－3,3),B(3,6),AP＝13AB,则点P的坐标 .12.已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b的夹角为150°,则(a＋b)2＝ .13.在直角坐标系中,已知A（4,8）,AB=（6,-2）,则点B的坐标为.14.已知△ABC的顶点A,B,C的直角坐标分别是(2,－3),(－1,－1),(－1,－3),证明:△ABC是直角三角形.15.已知向量a=（-2,2）,b=（5,k）,若|a+b|=5,则k= .16.长度等于0的向量叫做,记作.17.已知三点A(1,2),B(5,－1),C(5,－3),则|AB| |BC|(填“>”、“<”或“＝”).18.若a=－3b,则|a|与|b|之间的关系是.19.两个非零向量相等的充要条件是.20.若a＝（－1,2）,b＝（3,5）,则a＋b＝.21.a－b＝（3,4）,2a＋b＝（0,2）,则a＝.22.已知向量a,若2x－4(x－6a)＝0,则x＝.23.既有又有的量叫做向量.24.向量AB的大小称为向量的模,记作 .25.方向或的非零向量叫做平行向量;当向量a 与向量b 的相等并且相同时,称向量a 与向量b 相等,记作 .与非零向量a 的相等,且方向的向量叫做向量a 的负向量,记作 .26.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.27.一般地,设向量a 与向量b 不共线,在平面上任取一点A ,依次作AB ＝a ,BC ＝b ,则向量叫做向量a 与向量b 的和,记作a ＋b ,其和向量的起点是向量的起点,终点是向量的终点.28.AB BC ＝ .29.若向量a 表示“向东走8 m ”,向量b 表示“向南走8 m ”,则12(a ＋b )表示 .30.如图所示,在四边形ABCD 中,根据图示填空:a ＋b ＝ ,b ＋c ＝ .31.起点相同的两个向量a ,b ,其差a －b 仍然是一个向量,叫做a 与b 的差向量,其起点是 ,终点是.32.AB AC BC --＝ .33.在正六边形ABCDEF 中,AE ＝m ,AD ＝n ,则BA ＝ .34.在△ABC 中,BC ＝a ,CA ＝b ,则AB ＝ .35.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ＝ .36.若a 表示向西6公里,则2a 表示 .37.已知向量AB ,点C ,D ,E 是线段AB 的四等分点,则BD ＝ AB . 38.若2x －2a ＋4b ＝0,则向量x ＝ .39.若a ,b 不共线,且λa ＋μb ＝0 (λ,μ∈R ),则λ＝ ,μ＝ .40.向量MN 表示以为起点, 为终点的有向线段.41.设D 是△ABC 的边BC 的中点,则12(AB ＋AC )＝ .42.在矩形ABCD 中,|AC | |BD |.43.已知2(a ＋x )＝3(b －x ),则x ＝ .44.设i ,j 分别为x 轴、y 轴的单位向量,对任一个平面向量a ,都存在着一对有序实数(x ,y ),使得a ＝x i ＋y j .有序实数对(x ,y )叫做向量a 的坐标,记作a ＝ .45.若AB ＝(2,3),BC ＝(5,7),则AC 的坐标为 .。

平面向量综合试题(含答案)

BAC D平面向量一、选择题：1、在平面上,已知点A（2,1），Ｂ（0,2),C（-2,1）,O(0，0).给出下面得结论:①②③其中正确．．结论得个数就是（）A.1个B.２个C.3个D.０个2.下列命题正确得就是()A.向量得长度与向量得长度相等Ｂ.两个有共同起点且相等得向量,其终点可能不同C.若非零向量与就是共线向量,则Ａ、B、C、D四点共线Ｄ．若,则3、若向量= (1，１）, = （1，-1）， =(－1,2)，则等于( )A、+B、C、D、＋４．若,且与也互相垂直,则实数得值为( )Ａ. B、６C、D、35.已知＝（2,３）, ＝（,7) ，则在上得正射影得数量为( )Ａ、B、C、Ｄ、6．己知(2,-1）、(0,5) 且点Ｐ在得延长线上，,则Ｐ点坐标为（）A、(－2,11)B、(C、(,3)D、(2，－7)7.设就是非零向量,若函数得图象就是一条直线,则必有( ）A．ﻩ B. C.ﻩD．8.已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A(-2,1),B(-1,3)，C(3,4），则D点坐标为( ）A、(２，2) Ｂ、（4,6) C、（－６,０) D、(２，2)或(-6,0)或(4,6)９、在直角中,就是斜边上得高,则下列等式不成立得就是(Ａ)（B)(C）(D)10. 设两个向量与其中为实数、若则得取值范围就是( ）A、B、C、D、１0.已知P={a|a=(１，0)＋ｍ(0,1）,m∈R}，Q={b|ｂ=(1，1)+ｎ(-1,1）,ｎ∈R｝就是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,１)} B．{（-１,1）} C.{（1,０）}D．{(0，1)｝二、填空题：１1．若向量得夹角为，,则.12.向量.若向量，则实数得值就是ﻩﻩ．1３.向量、满足=＝1,=3,则=1４. 如图,在中，就是边上一点，则、１５.如图，在中,点就是得中点,过点得直线分别交直线,于不同得两点,若，,则得值为ﻩ. 三、解答题:１6、设两个非零向量e１、ｅ2不共线、如果＝e１＋ｅ2,2e１+8ｅ2,=3(e1－e2)⑴求证：A、B、D共线;⑵试确定实数ｋ,使kｅ1+e２与e1+kｅ２共线、1７、已知△ＡBC中,A（2,4），B（－1,－２）,C（４，3),BC边上得高为ＡＤ、⑴求证:AB⊥AＣ；⑵求点D与向量得坐标、1７.(1０分)已知ｓiｎ(α+错误!)=－错误!，α∈(0,π).(１)求错误!得值；（２)求cos(2α-错误!)得值.18.已知矩形相邻得两个顶点就是Ａ(－1，3）,B(-2，４）,若它得对角线交点在x轴上，求另两个顶点得坐标.１9、已知△顶点得直角坐标分别为、（１)若，求ｓin∠得值;（２)若∠就是钝角,求得取值范围、20.已知向量.(１）若，求; (2)求得最大值.2１、设向量,函数、(Ⅰ)求函数得最大值与最小正周期; (Ⅱ）求使不等式成立得得集合、 22.(12分）已知向量a =(cos α,sin α）,b ＝(c ｏs β,sin β),|a -b |=错误!.(１)求co ｓ(α－β)得值; (2)若0<α<＼f(π,2)，－错误!＜β＜０,且si ｎ β＝-错误!,求sin α.平面向量参考答案一、选择题:1－5：BA ＢＢC 6、Ａ７、 A 【解析】，若函数得图象就是一条直线，即其二次项系数为0，０, 8、D 9、 C 、【分析】： ,Ａ就是正确得,同理B 也正确,对于D 答案可变形为,通过等积变换判断为正确、 10、 A 【分析】由可得,设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得、故选A 10、Ａ二、填空题: １１、【解析】。

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－)，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋B ．－C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，BC＝－4a－b，C＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE (利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值．(第19题)参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋BC ＝，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝， ∴ ＝＋＝＋．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵3＝45，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·＋·CA ＋CA · ＝·＋· ＝·(BC ＋) ＝－()2＝－25．思路2：∵3＝45，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·BC ＝0， ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ ·＋·CA ＋CA ·＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC于(第15题)D(第13题)点E ，则＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，＝b －21a ．∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又⊥AD，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。

1． +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2), b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a , b 的夹角为ο120，且|a |=2,| b |=5,则（2a - b ）·a =______10. 设a =(2,－3), b =(x,2x),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_ ____12. 已知向量a +3 b , a -4 b 分别与7a -5 b ,7a -2 b 垂直，且|a |≠0,| b |≠0，则a 与b 的夹角为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

15．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围17．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直18. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,时=+的坐标.19.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.20.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.1.02.（－3，－4）3.74.90°5.（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－29.1210.31-11.0 12. 90° 13.2- 14.51--或 15.（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ① 又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．16．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a17．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC Θ ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x Θ 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y 241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即Θ ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即Θ （2）由f (t )>0,得.303,0)3)(3(,0)3(412><<--+>-t t t t t t t 或则即（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

第25讲平面向量高考选择填空压轴题专专练

第二十五讲平面向量选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．（2017年全国2卷）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--所以(2,2)PB PC x y +=--，22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+--≥- 当(0,)2P 时，所求的最小值为32-，故选B 。

2．(2017年高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I２C ．I ３<I １<I２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<<，选C.2．在OAB ∆中，4OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE OA λ=，OF OB μ=，（λ，0μ>），则λμ+的最小值为（）ABCD【答案】D 【解析】由A ，M ，D 三点共线可得存在实数t 使得()()OB OA t OD OA t OM t 121t 1-+=-+=，同理由C ，M ，B 三点共线可得存在实数m 使得()()OA OB m OC OB m OM m 141m 1-+=-+=，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=mt m t 121141，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7173t m ，∴7371+=，设y x y x μλ+=+=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7371μλy x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==μλ3717y x ，即731=+μλ，故()7324331713171+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+u λλμμλμλμλ，即μλ+的最小值为，故选：D ．3．已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA 的值为（） A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D 【解析】如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，∴0OD AD ∙=，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +∙=∙-=-∙∙ 4AO OD OD AD ∙+∙=-2cos 444OA OD AOD ODOA OD ∙∙∠∙===.AOB ∆中，利用余弦定理可得AB =,因为11sin120,22AOBS AB OD OA OB ∆=∙∙=∙∙︒可得111222OD =∙∙，所以OD =，∴328OE EA =，故选：D.4．设向量(cos ,sin )a x x =-，(cos(),cos )2b x x π=--，且a tb =，0t ≠，则sin 2x 的值等于（）A ．1B ．1-C ．1±D ．0 【答案】C 【解析】因为(cos (),cos )(s i n ,cos )2b x x x x π=--=-,a tb =，所以()()cos cos sin sin 0x x x x ---=，即22cos sin 0x x -=，所以2tan 1,tan 1x x ==±，()24k x k Z ππ=+∈， 2()2x k k Z ππ=+∈，sin 21x =±，故选C.5．如图，点,90PA PB APB =∠=︒,点C 在线段PA 的延长线上，,D E 分别为ABC ∆的边AB,BC 上的点.若PE 与PA PB +共线，DE 与PA 共线，则PD BC ⋅的值为（）A ．-1B ．0 C. 1 D ．2【答案】B 【解析】设1PA PB ==,以,PA PB 所在直线为,x y 轴,建立直角坐标系,可得(1,0),(0,1)A B ,直线AB 的方程为1y x =-,由于PE 与PA PB +共线,,PA PB E =∴在APB ∠的角平分线上,可得PE 所在直线方程是y x =,设(,),E m n DE 与PA 共线得D 的纵坐标为m ,将y m =代入直线AB 方程,得1x m =-,可得(1,),(0,1),(,),D m m B E m n -∴直线BE 的方程为10,(1)010y x m x my m m m --=∴--+=--,再令0y =得1m x m =-,可得点C 坐标为(,0),(,1),(1,),011m mBC PD m m PD BC m m ∴=-=-∴⋅=--,故选B.6．在正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，()24PE EO λλ=≤≤，且平面ABE 与直线PD 交于(),F PF f PD λ=，则（）A ．()2f λλλ=+ B ．()26f λλλ=+ C ．()37f λλλ=+ D ．()49f λλλ=+ 【答案】A【解析】因为O 为正方形ABCD 的中心,所以O 为BD 的中点,又()42≤≤=λλEO PE ,所以E 在线段PO 上,平面ABE 与PD 交于F ,即BE 的延长线与PD 交于F ,在平面PBD 中,取BF 的中点G ,连接OG ,则DF OG //,所以OGE ∆相似于PFE ∆,相似比为λ,因此λ1==PFOG EOPE ,又DF OG //,DF OG 21=,所以λ2=PFDF ,2+=λλPDPF ,故选A.7．由点P 向圆O ：222x y +=引两条切线，切点为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值是（）A ．B ．3C ．3-D ．6-【答案】A 【解析】设x OP =，则2x PA 22-=，x 2APO sin =∠，22241x 22-1APO sin 21APB cos x-=⨯=∠-=∠，PA PB ⋅62468)41)(2x (2222-≥-+=--=x x x ，所以PA PB ⋅的最小值是.8．在△ABC 中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC ⋅=⋅，则AD AB ⋅的值为（）A ．0B ．4C ．8D ．4- 【答案】B 【解析】0()0AD AB AD AC AD AB AC AD CB ⋅=⋅⇒∙-==，sin30AD CB AD AB ⇒⊥⇒=060BAD ∠=⇒042cos604AD AB ⋅=⨯⨯=,故选B.９．在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点M P ,满足1||=，PM =，则2||的最大值是（）A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒．以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,A B C ---．设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又1,,2x PM MC M ⎛-=∴⎝⎭，所以1,2x BM ⎛+= ⎝⎭，所以()(222+14x y BM ++=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，所以()22max149144BM⎫=+=⎪⎭，故选B ．二、填空题 10．（2017年天津卷理）ABC △60A =︒∠3AB =，2AC =2BD DC =()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ则=λ【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=10．（2017年浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______. 【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：21a b -=+=212a b +=+=54cosa b a b++-=+，令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是10．已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆C :2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数．．．m 的最小值为．【答案】4．【解析】由题意可知，问题等价于以AB 为直径的圆与圆C 有交点，故以AB 为直径的圆：222(1)x y m -+=，而圆C 化为标准方程：22(4)(4)1x y -+-=，圆心距为5，∴|1|5146m m m -≤≤+⇒≤≤，即实数m 的最小值是4，故填：4．11．12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()()1211,22OB OA OF OC OA OF =+=+，则OB OC +=__________．【答案】6 【解析】依题意有2111//,//22OB AF OC AF ，故6OB OC a +==. B 组一、选择题1．（2017年全国3卷理）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.2．.设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙=（O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】A 【解析】由题意得：2,1==b a ，所以5=c ，),0,5(1-F ),0,5(2F 5=e .设点),41(2m m P +，所以由22()0OP OF F P +∙=可得：0),541(),541(22=-+⋅++m m m m ，即554±=m . 由双曲线的第二定义可得：5141522-+==m PF e ，所以22=PF ，所以=1PF 422=+a PF，所以 221==PF PF λ，故应选A .3．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r =A． B ．5 C ．3 D【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y x x y r =-+⎧⎨+=⎩，解得1111x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2211x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩由5344OC OA OB =+，得2C x =2C y =C 在圆上，因此22222r ⎛⎛+= ⎝⎝，解得r =．故选D ．4．如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．13 C．33+ D ．34【答案】C 【解析】因为,,M N G 三点共线，所以(),MG GN AG AM AN AG λλ=-=-，因为G 是ABC ∆重心，所以()13AG AB AC =+，()()1133AB AC xAB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得()()31311x y --=，解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤.由基本不等式得 ()()23162231622x y x y -+-⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，即()3232,x yx +-+.当且仅当3162x y -=-，即x y ==.5．在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AB a =，AD b =，则BE =（） A ．12a b -- B ．12a b - C ．12a b -+ D ．12a b + 【答案】C1122BE AB AD a b =-+=-+.6．如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】分三种情况讨论：①当P 在线段AB 上时，设BP PA λ=，则1O B O AOP λλ+=+．由于(),O P x O Ay O B x y =+∈R ，所以1x λλ=+，11y λ=+，故1x y +=；②当P 在线段MN 上时，设MP PN λ=，则1OM ON OP λλ+=+．由于()11,22OP xOA yOB xOM yON x y R =+=+∈，所以121x λλ=+，1121y λ=+，故2x y +=；③当在阴影部分内（含边界），则113,244y x y +⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故选C ．7．在△ABC 中，BC=7，762sin ,51cos ==C A .若动点P 满足)()1(32R ∈-+=λλλ，则点P 的轨迹于直线AB ，AC 所围成的封闭区域的面积为（）A ．63B ．64C ．66D ．612 【答案】．B【解析】设AB AD 32=,因为()()AC AD AC AB AP λλλλ-+=-+=1132所以P D C ,,三点共线，所以点P 的轨迹为直线CD ,如图：在ABC ∆中，652sin =A ,672sin =C ,7=BC ,由正弦定理CABA BC sin sin =,解得5=AB , ()63512sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B ,66635127521=⨯⨯⨯=∆ABC S ,626351273521=⨯⨯⨯=∆BCD S ,所以646266=-=∆ACD S ,故选B.二、填空题8．已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=∙=-，则||AD 的最小值是 . 【答案】1 【解析】cos1202AB AC bc ⋅==-，4bc =，()()()222211142242AD AB AC c b bc ⎡⎤=+=+-≥-⎢⎥⎣⎦1=．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AD AE ⋅的值是．【答案】5【解析】由已知，()211522AD AE AD AD DE AD AD AB AD AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=+⋅= ⎪⎝⎭.C 组一、选择题1．如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 【答案】D【解析】以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),E(,1),F(,1)22A B C D ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则295111(,)444P E P F x λ=⋅=-+∈-；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则295111(,)444P E P F x λ=⋅=-+∈-；当P 在BC 边上时，设(,42),P x x x -∈，则22292791(32)512(,)44204P E P F x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；当P 在AD 边上时，设(,24),(2,1)P x x x +∈--，则22292791(32)512(,)44204PE PF x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；因此实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--，选D.2．已知P 是ABC ∆内一点，且满足32=++,记BCP ABP ∆∆,,ACP ∆的面积依次为321S S S ，，，则321S S S ：：等于（）A. 1:2:3B. 1:4:9C. 6:1:2D. 3:1:2【答案】D【解析】取AC 、BC 中点D 、E ，连接PA 、PB 、PC 、PD 、PE ，由230PA PB PC ++=，得()2PA PC PB PC +=-+，∴24PD PE =-，即2PD PE =-；同理得()3PA PB PB PC -=-+，∴326BA PE PE =-⨯=-，3BA PD =；∴16PE BA =-，13PD BA =；∴P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的16，设ABC ∆的面积为S ，则216S S =；∴P 到AC 的距离等于B 到AC 距离的13， ∴313S S =，12312S S S S S =--=，∴123111::::3:1:2263S S S S S S ==.故选D.3．已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则M A B A ⋅的取值范围是（）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3 D．【答案】B【解析】设00(,)A x y ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2200114y x =-,故2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=， max 3()42(2)294MA BA ⋅=⨯--+=,故应选B.4．设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为A ．310-B ．103C ．0D ．2 【答案】．A【解析】由题意， f （x ）=（0，-5）•（x ，y ）=-5y ，当y 取最大值时，f （x ）取最小值f （m ），1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如图所示由x y y mx+=⎧⎨=⎩，所以f(m)=-511m +)=-5+51m +，由于m ≥2，所以当m=2时，f(m)max =5．设F 为抛物线x y 22=的焦点，C B A 、、为抛物线上三点，若F 为ABC ∆的重心，则||||||FA FB FC ++的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】．C【解析】试题分析：由条件1(,0)2F ，∵F 是ABC ∆的重心，则有132A B C x x x ++=，即32A B C x x x ++=，而1113||||||()()()()32222A B C A B C FA FB FC x x x x x x ++=+++++=+++=. 6．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是（）A.2B.1C.πD.4【答案】A【解析】如图令θ=∠OAD ，由于1=AD 故θcos 0=A ,θsin =OD , 如图θπ-=∠2BAx ，AB=1，故)2cos(cos θπθ-+=B x θθsin cos +=，θθπcos )2sin(=-=B y ,故)cos ,sin (cos θθθ+=，同理可求得)sin cos ,(sin θθθ+=OC ，所以θ2sin 1+=⋅OC OB ，所以OB OC ⋅的最大值为2.二、填空题7．在直角梯形,,,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===∥分别为,AB BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,λμ∈R ，则2λμ-的取值范围是__________．【答案】．[]1,1-【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，依题意得()()()310,1,1,0,(1,1),2,0,,22D E C B F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()311,1,,22ED AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设()c o s ,s i n ,0,2P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意A P E D A F λμ=+，即()31cos ,sin ,22θθλμλμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，3cos 21sin 2θλμθλμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得2s i n c o 2s i n 4πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]1,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.8．在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,B FC E 交于点P ，且E P E C λ=，FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为．【答案】．56【解析】由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43AC AB AC AP AB AC AB AP μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=AB AC AP AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65．答案第1页，总1页。

平面向量部分填空题练习(含答案)

平面向量部分填空题练习1、若向量),(8λ=a 的长度为17，则λ的值是。

2、把函数22x y -=的图象按a平移，得到1422---=x x y 的图象，则=a 。

3、已知下列命题： ①0=++CA BC AB ；②若向量),(43-=,则AB 按向量),(12-=a平移后的坐标仍是),(43-；③向量b 与向量a 的方向相反,是b 是a 的相反向量的充分不必要条件；④已知点M是△ABC 的重心，则0=++MC MB MA ，其中正确命题的序号是（写出符合条件的全部序号）4、设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b = 。

5、已知：|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 垂直，则λ= 。

6、已知|a |=3,|b |=5，如果a ∥b ，则a ²b = 。

7、在菱形ABCD 中，（+）²（-）= 。

8、若)1,0(),0,1(==，则与43+垂直的单位单位向量是_____________________.9、若5||,8||==，则||的取值范围是______________.10、已知点)542,(),4,6(),2,4(---x C B A 三点共线,则C 点分AB 的比λ=____________, x =______________.11、若直线20x y m ++=按向量(1,2)a =--平移后与圆22:240c x y x y ++-=相切，则实数m 的值为．12、已知向量→a ，→b 满足2a =，3b =，两向量的夹角为60°，则a b a b+=- . 13、设j ,是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，47,24+=-=，63+=，则四边形ABCD 的面积是 .14、非零向量（a ＋b ）与（2a －b ）互相垂直，（a －2b ）与（2a －b ）互相垂直，则向量与的夹角为 ;15、抛物线y ＝4x 2按向量a ＝（1，2）平移后，其顶点在一次函数y ＝2b x 21+的图象上，则b ＝；16、在△ABC 中，sinA : sinB : sinC ＝2 : 3 : 4，则∠ABC ＝（结果用反三角函数值表示）。

平面向量(选择、填空题型)

2⇒x＝1， 2.
答案： 2
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[析考情把脉高考] 考点统计平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的数量积 3年7考 3年6考 3年17考
平面向量的应用
3年6考
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考情分析
(1)对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值. (2)对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下
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消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①
1 1 ∵ C M ＝ O M － O C ＝ma＋nb－4a＝m－4a＋nb，
1 1 C B ＝ O B － O C ＝b－ a＝－ a＋b，
4
4
又C、M、B三点共线，∴ C M 与 C B 共线．
(4) O A
＝λ O B
＋μ O C
(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共
线，则λ＋μ＝1.
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1．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5 A M ＝ A B ＋
3
A C ，则△ABM与△ABC的面积比为
( 2 B.5 4 D.5
3
3
3
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可知四边形AEDF为平行四边形，又∠BAD＝∠CAD＝30° ，所以▱AEDF为菱形．
2 因为 A E ＝ A B ，AB＝3，
3
所以菱形的边长为2. AD DF 在△ADF中，sin 120° sin 30° ＝， DF 所以AD＝sin 120°sin 30° · ＝2 3.
4
1 O D ＝ O B ，AD与BC相交于点M，设 O A ＝a，