静定结构的内力计算

dM dx FQ
（3.5） (c)
增量关系（图3.5c）：
ΔFN = -Fx，ΔFQ = -Fy，ΔM = M0
（3.6）
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
有用的结论（用于直杆内力计算、作图和校核）： 轴向荷载只影响轴力，横向荷载只影响剪力和弯矩， 力偶荷载只影响弯矩 剪力图的斜率＝横向分布荷载的集度，但符号相反； 弯矩图的斜率＝剪力 横向集中力作用处剪力图不连续但斜率不变，弯矩图 连续但斜率改变 无横向荷载作用时，剪力图和弯矩图为直线，剪力图 平行（或重合）于杆轴，弯矩图一般为斜直线 横向均布荷载下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线
x
FN
内力计算用结点法， l
顺序：H、G、F、E、D、C，
y
ly
与添加二元体相反。 无须先求反力 — 悬臂式特点。
未知力数≤3
F M QDA
QDC
D
MQDA
FQDC
FNDC
没有三个未知力共点或相互平行
FNDE
也没有两个未知力的作用线重合
(d) 3.1f
■ 否则仅考虑隔离体本身是不够的
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
结点单杆和截面单杆
单杆 — 二力杆，用一个平衡方程可求内力
◆ 结点单杆
■ 二力未知，且不共线 两杆均为单杆（图3.2a，1、2为单
作FN图，图3.8c。注意标正负号。
(c)
（2）作剪力图和弯矩图
在自由端 C 和 E， FQCB = MCB = 0， kN， MED = 0
FQED = 80
3.3 静定结构内力计算举 例
取隔离体同上，依次求得（水平杆弯矩以下侧受拉
为正；竖杆弯矩以右侧受拉为正）：
FQBC = –80 kN， FQDE = 80 kN， FQBD = 80 kN， FQBA = –80 kN； MBC = –160 kN·m， MDE = 80 kN·m， MBD = – 240 kN·m， MBA = –80 kN·m
E FNEG
E
(c)
(c) FNDA
F M QDA
QDC
D
MQDA
FQDC
(e()d)
FNDC
FxA
FNEG
FQAD
A
FNAD
FNAE FyA
(f() e)
FNDE (f)
图3-1
3.2 静定结构内力计算的基本方
3.2.2 叠加法
法
叠加原理
一组荷载产生的反应（内力、反力、变
形……）等于其中每一个单独产生的反应之和
结论：对于直杆段，在杆端弯矩图上叠加等代简支梁
的弯矩图，就得到所求的弯矩图。
M(x) = M e (x) + M 0 (x)
（3.7M）e
=
Me
+
M0
M0
(d)
(e)
(f)
图3-7
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
注意：叠加是纵标代数相加，不是图形简单拼合。
• 如果M e图不平行于杆轴，则M 0图的基线倾斜，但 它在杆轴上的投影不变； M 0图的纵标仍⊥杆轴
力 ✓ 三铰式 — 与地基按三刚片规则连接，或先按三刚
片 规则形成上部结构，一般要先求反力或拉杆的拉力 ✓ 复合式 — 重复应用以上规则
3.3 静定结构内力计算举 例
3.3.1 悬臂式静定结构
例3-1 悬臂式刚架（图3.8a） 解 1. 定性判断
20 kN/m
D
C
B
A
E
1m
80 kN
4m
各杆无轴向荷载 → FN图均为直线，4m 4m
要求：
3.1 引 言
深入理解静定结构内力计算的原理
熟练掌握静定结构内力计算的方法
了解静定结构的特性和各类结构的受力特点
几何组成分析与本章的关系：
判断结构是否静定
静定 ↔ 几何不变且无多余约束
提示分析途径，简化内力计算
内力计算前先作组成分析，事半功倍
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
3.2.1 隔离体平衡法
且(a) 与
杆轴平行或重合
CB和BD只受均布荷载 → FQ图为斜直线，
M 图为抛物线
3.3 静定结构内力计算举
例
2. 求控制点内力并作图
80
（1）作轴力图
取 CB 杆和 DE 杆为隔离体，
160
得FNBC =FNDE = 0 取 BDE 为隔离体，得FNBD = – 80 kN FN图(kN) 取 CBDE 为隔离体，得FNBA = –160 kN
FNEA
FNED
结点法（桁架和组合结构常用）
隔离体只含一个铰结点，
FNEG
E
FQAD
被切断的都是二力杆，图3.13dd.，1(e) FxA A
FNAD
汇交力系，平衡条件为
ΣFx =
0，ΣFy =
0
（3.F4y）A
FNAE
3.1
图3.1e，隔离体只含铰结点A，两杆不都(是f)e 二力
杆，但梁式杆AD在无限接近A 处被切断，可认为FQAD 通过A，MAD = 0，隔离体所受外力仍为汇交力系，也 可应用结点法。 ■ 重要(易错)：不能遗漏剪力FQAD ！
第3章
静定结构的内力计
算
东南大学-结构力学课程组制作
3.1 引 言
静定结构 — 在任意荷载下，未知力仅用 静力平衡方程即可完
全确定
未知力数＝独立静力平衡方程数 超静定结构 —未知力仅由静力平衡方程
不能完全确定
未知力数>独立静力平衡方程数
重要性 — 是结构位移计算、超静定结构内力 计算 乃至整个结构力学
AC杆不受轴向荷载，轴力不变，可在第2步求得FNEG之 后，取图3.1c，由ΣFx = 0求FNCD ，进而求得FNAD。
3.2 静定结构内力计算的基本方
Ⅰ
A
q
FP
DCF
E
G
法
B
Ⅰ h
A
FxA
q
FP
DCF
FyA
E
G
B
FyB
a
a
a
a
(b)
A FxA
FyA
q (a)
FNCD
FNEA
FNED
DC
FQCD
杆） ■ 三力未知，两杆共线 第三杆为单杆（图3.2b，3为单杆）
结点单杆内力的求法
■ 向垂直于其余未知力的方向投影
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
■ 图3.2a，如结点不受荷载（FP =0），Leabharlann Baidu
则单杆
1 和 2 均为零杆；
如 FP 沿一个单杆作用，则另一单杆为零杆。
■ 图3.2b，如F结p 点在垂直于非单杆1、2的方向
图3.6：
FyA
FP1 b1
l
FP2
b2
FP1 b1 l
FP2 b2 l
FyA 1 FyA2
条件：
✓ 小变形，列平衡方程时可以忽略变形。
✓ 线弹性，应力与应变成正比。
意义： 将复杂问题分解为比较简单的问题。
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
叠加法作直杆的弯矩图
图3.7a，将AB 所受的力和力矩分为两组：
1
◆ 截面单杆
除一根二力杆外，其余共点（图3.4a） 或平行（相交于无穷远点，图3.4b） “例外”者（图3.4中的杆1）为单杆 (a)
1
截面单杆内力的求法
✓ 其余杆件共点，向公共点取矩 ✓ 其余杆件平行，向公垂线投影
(b)
图3-4
3.2 静定结构内力计算的基本方
法
直杆荷载和内力的微分关系及增量关系
（不是⊥基线），其几何形状将改变，图3.7。
分段叠加法：
✓ 选控制截面(结点、集中力作用点…)，将结构分 成若干段； ✓ 计算控制截面的弯矩；
✓ 作各段的 M e图（直线） ； ✓ 对有横向荷载作用的杆段叠加 M 0图。
3.3 静定结构内力计算举 例
◆ 按几何组成，静定结构可分为： ✓ 悬臂式 — 以固定支座连接于地基不必先求反 ✓ 简支式 — 与地基按两刚片规则相连一般要先求反
隔离体 — 用截面切断若干杆件，将结构的
一部分和其余部分分开
隔离体平衡法 — 对隔离体应用平衡条件，
力的方程（组），
列关于未知
解出未知力
灵活性 — 隔离体可大可小（图3.1）
大 — 整个上部结构（图3.1b）
小 — 部分杆件（图3.1c）
甚至一个结点（图3.1d、e、f）
3.2 静定结构内力计算的基本方
外力构成平面平衡力系，平衡条件为：
ΣFx = 0 ， ΣFy = 0 ， ΣM = 0
（3.1）
或
ΣFx = 0 ， ΣMA = 0 ， ΣMB = 0
（3.2）
其中 A 和 B 的连线不与 x 轴垂直；或
ΣMA = 0 ， ΣMB = 0 ， ΣMC = 0
3.2 静定结构内力计算的基本方
法
结点法和截面法
内力正负号规定（图3.5a）
L
M
R
M
✓ 轴力拉为正
L
qy
FN
M
M+d M
FNR
✓ 剪力顺时针为正 FN
qx
FQL
FN+dFN
FQR
(a)
✓ 弯矩下侧拉为正
FQ
FQ+dFQ
M
M0
M+△M
微分关系（图3.5b）： (b)
FN
Fx
FN+△FN
Fy
FQ
FQ+△FQ
dFN dx
qx ,
dFQ dx
q y ,
(f() e)
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
关键 — 正确反映隔离体受力状态，
不要遗漏外力
“外力”分为两类：
✓ 直接作用于隔离体的荷载 ✓ 其余部分对隔离体的作用力
后一类对结构是内力，对隔离体是外力
注意 —
✓ 分清二力杆和梁式杆 ✓ 分清不同支座对应的反力（表1.1）
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
方向 — 已知力（矩）按实际方向
未知力（矩）暂按正方向
根据计算结果的符号确定其实际方向
图3.1，FNEG － EG杆E端的轴力 FQAD － AD杆A端的剪力 MDA － DA杆D端的弯矩
FxA、FyA －支座 A 在 x 方向和 y方向的
反力
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
隔离体的平衡条件
3.2 静定结构内力计算的基本方
法
关于隔离体及平衡方程的选取顺序
意图：力求一方程一未知力，避免联立方程。
图3.1a，求FyA和FyB，图3.1bΣFy = 0 不好；ΣMB = 0 求 FyA，再用ΣFy= 0 求FyB 好。或由ΣMA = 0 求FyB。
注意三根支杆都是截面单杆。
一个隔离体常不够。求FNAD，图3.1e有6个未知力， MAD 可用ΣMA = 0 求解，其余暂无法求解。
截面法
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
一般平面力系，用（3.1）/（3.2）/（3.3）求未知
力。
q
A
适用情况
FxA
隔离体含多个结点（图3.1b、c） FyA
FNCD
DC FQCD
E FNEG
或虽只含一个结点，但该结点为
3.1
(c)
c
刚结点或组
合结点（图3.1f） 仅由本身平衡条件能求出全部未知力的条件FNDA
B
80 kN
(d)
320
（3）校核
80 kN·m
(e)
方法：取计算中未用过的隔离体检查
80 kN 160 kN
平衡条件是否满足。
(f)
取结点B为隔离体（图3.8f），所有力
图3-8
和力矩均按实际方向画出。
易见满足三个平衡条件。
3.3 静定结构内力计算举
例
例3-2 悬臂式桁架（图3.9a）
Ⅰ
II
C1
E
A
解 将斜杆 FN分解为 Fx 和 Fy，图3.9b。 4 2
3
∵
⊿(FN，Fx
，Fy
)∽⊿(l，lx
l ， ) B y II Ⅰ
D
F
G
a
H
Fp
∴ FN : l = Fx : lx = Fy : ly （aa） a a
几何组成：从地基出发依次添加二元体 C、 (a)
D、 E、 F、G、H。简单桁架（另见例3-6）。
在D左截断BD，取右边为隔离体，得 FQDB = 0 在AB杆下端截断，取上部为隔离体，得 MAB = 320
kN·m。
作 FQ 图（符号）和 M 图（受拉边），图3.8d、e。
80
3.3 静定结构内力计算举
80
例
80
160
40
240 kN·m
80
80
160 kN·m
80
80 kN
D
80 kN
为避免联立方程，可按以下顺序：
✓ 图3.1b，由ΣFx= 0 求FxA，ΣMB= 0 求FyA； ✓ 图3.1c，由ΣMC = 0 求FNEG； ✓ 图3.1d (FNEG已知, EA和ED为单杆), 由ΣFx= 0 求FNEA； ✓ 图3.1e (FNAE = FNEA),由ΣFx= 0 求FNAD。
Ⅰ
A
q
FP
DCF
E
G
法
B
Ⅰ h
A
FxA
q
FP
DCF
FyA
E
G
B
FyB
a
a
a
a
(b)
A FxA
FyA
q (a)
FNCD
FNEA
FNED
DC
FQCD
E FNEG
E
(c)
(c)
FNDA
F M QDA
QDC
D
MQDA
FQDC
(e()d)
FNDC
FNDE (f)
FxA
FNEG
图3-1
FQAD
A
FNAD
FNAE FyA
1 2
则单杆3为零杆。
FN1 FN2
(a)
图3-2
无荷载，
3 12
(b)
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
■ 确定零杆可简化桁架内力计算。
图3.3a，1 ~ 6为零杆，受力与图3.3b相同
B 处竖杆也为零杆，竖向反力为零
A
A
FP
FP
6
B
5
4 3
2 1
B
(a)
(b)
图3-3
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
✓ 杆端弯矩及与之平衡的一部分杆端剪力，图3.7b ✓ 荷载及与之平衡的另一部分杆端剪力，图3.7c
图3.7
3.2 静定结构内力计算的基本方 法
图3.7b的 M 图为直线，端点值＝杆端弯矩，图3.7e
图3.7c的 M 图与代梁相同，图3.7f
图3.7e和图3.7f叠加，得实际 M 图（图3.7d ）