抛物线中的定点定值问题
初中数学定点问题知识点及常考难题及培优提高练习压轴题
初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析 )定点题型定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0 得方程组，解方程方程组求出定点坐标.解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值〞是多少，再证明这个点〔值〕与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点〔定值〕。
具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个适宜变量的函数，化简消去变量即得定值。
一、直线过定点问题：解法 1：取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x， y 的两个方程，从中解出x， y 即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。
例 1：求直线〔 m+1〕 x+〔 m-1〕 y-2=0 所通过的定点 P 的坐标。
解：令 m=-1，可得 y=-1 ；令 m=1，可得 x=1。
将〔 1， -1 〕点代入原方程得：〔 m+1〕· 1+〔 m-1〕〔 -1 〕 -2 ＝ 0 成立，所以该定点 P 为〔 1， -1 〕。
解法 2：由“ y-y 0=k〔 x-x 0〕〞求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k〔x-x 0〕的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点〔x ， y 〕。
0 0例 2：〔 k+1〕 x- 〔 k-1 〕y-2k=0 为直线 l 的方程，求证不管k 取任何实数值时，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标。
证明：由直线 l 的方程得〔 k+1〕 x=〔 k-1 〕 y+2k，∴〔 k+1〕x- 〔 k+1〕 =〔 k-1 〕 y+〔 k-1 〕，不管k 取任何实数值时，直线l 必过定点 M〔1， -1 〕。
解法 3：方程思想假设方程的解有无穷多个，那么方程的系数均为 0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
最全总结之抛物线曲线定值问题
最全总结之抛物线曲线定值问题
抛物线曲线定值问题是高等数学中重要的一节内容。
下面将从以下四个方面对此问题进行全面总结：
抛物线的基本概念
抛物线是一条平面曲线，其形状如同一个开口朝上或朝下的弯弓。
它可以用方程 $y=ax^2+bx+c$ 来表示。
抛物线的定点问题
当抛物线经过给定的点 $(x_0,y_0)$ 时，可以通过对抛物线方程进行替换和求导等计算得到关于曲线参数 $a,b,c$ 的表达式，进而解出曲线的定值。
抛物线切线问题
抛物线上任一点的切线斜率为该点横坐标下的导数值
$y'=2ax+b$。
因此可以根据给定的点求出曲线斜率，并结合该点坐标得到切线方程。
特别地，当点为顶点时，切线是水平的。
抛物线焦点问题
抛物线焦点是指到该曲线上任意一点距离等于该点到直线 $y=-\infty$ 的垂线距离的点。
使用 $F(x_F,y_F)$ 表示焦点，通过对抛物线方程进行平移和旋转后，可以求得焦距 $FV=\frac{1}{4a}$ 和焦点坐标。
总之，只要掌握了抛物线的基本概念和相关计算方法，抛物线曲线定值问题就不是难题。
抛物线定值定点解析版
【分析】
由题意得出 ，化简得到 ，设 ，联立方程组，利用韦达定理，求得 ，再利用三角形的面积公式 ，进而求得 的值，即可求解.
【详解】
设直线与抛物线交于 两点， ，
因为 ，可得 ，
即 ，可得 ，
可得 ，所以 ，得到 ，
设 ，代入抛物线 中，可得方程 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以面积
，当且仅当 时，等号成立，即 ，解得 ，
【分析】
（1）设直线 ，联立 消元可得 ，然后由 得到 ，然后可证明 ；
（2）由（1）可得 ，同理可得 ，然后可得 四点共圆， 四点共圆， 四点共圆，然后证明 即可.
【详解】
（1）直线 的斜率显然存在，设直线 ，
联立 消元可得
由 可得
因为 ，所以 ，所以
（2）由（1）可得 ，同理可得
所以 四点共圆， 四点共圆， 四点共圆
所以 ，即直线 的斜率为定值 .
（3）设直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
则 ，
两类方程组 ，整理得 ，
即 ，可得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，可得
所以 ，
所以 ，整理得
所以直线 恒过 .
【点睛】
解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（Ⅱ）设 ， 的方程分别为 ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，则 ，同理
所以 ，
由 ，可得 ，
所以直线 的方程为
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
专题——抛物线定值问题
专题——抛物线定值问题引言抛物线定值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在一个给定的抛物线上确定一个点的坐标。
这个问题可以应用于很多实际情景，比如物体的抛射运动、抛物线型轨道的设计等。
本文将讨论抛物线定值问题的基本原理和解决方法。
基本原理抛物线的基本方程为 `y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c是抛物线的参数。
给定一个点的坐标(x0, y0)，我们可以通过解方程组来确定抛物线的参数。
解决方法方法一：代入法在抛物线方程中将已知点的坐标代入，然后解方程组，得到抛物线的参数。
例如，已知点(-2, 1)在抛物线上，代入方程 `y = ax^2 + bx + c`，我们得到以下方程组：-2^2 * a + (-2) * b + c = 1解方程组可以得到抛物线的参数。
方法二：坐标法我们可以通过已知点的坐标绘制抛物线，并确定抛物线与坐标轴的交点。
通过交点的坐标，可以得到抛物线的参数。
例如，对于一个抛物线，如果已知三个不共线的点在抛物线上，我们可以通过求解这三个点的交点坐标来确定抛物线的参数。
应用案例抛物线定值问题可以应用于很多实际情景。
以下是一些应用案例：1. 物体的抛射运动：通过已知的时间和位置点坐标，可以确定抛物线的参数，进而预测物体的运动轨迹。
2. 抛物线型轨道设计：在某些工程领域，比如建筑和交通规划，需要设计抛物线型轨道。
通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数，以满足特定工程要求。
3. 图形设计：抛物线形状常常被用于图形设计中，通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数来绘制想要的图案或图形。
结论抛物线定值问题涉及到确定抛物线上一个点的坐标。
通过代入法或坐标法，我们可以解决这个问题。
这个问题在物理学、工程学以及图形设计中有广泛的应用。
理解和掌握抛物线定值问题的解决方法有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。
高中数学选择性必修第一册 抛物线(习题课)
【解析】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)． 由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22.
探究 1 由抛物线的定义，可以导出：若 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0) 上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径长公式)．这一 公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
思考题 1 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y
设点 D(0，n)， 则D→A＝－xy11，－1－n，D→B＝－xy22，－1－n， D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x41x21x－2 x422＋(n＋1)2＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋ 1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
4．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线 与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝___2_____．
抛物线有关的定点定值问题
为定点？
问题4：已知抛物线y2 x,点P(m, 0)m 0，过点P
作不重合的两条直线l1,l2，分别交抛物线于点A, B,C, D， 直线AC交BD于点E，直线AD与CB交于点F，探究点E，点F
问题1.已知抛物线 y2 x 的焦点为F，过点F作
直线 l交抛物线于A,B两点，证明：yA yB为定值。yAo
B
F
1 4
,
0
x
问题2.已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
过点P作直线 l交抛物线于A,B两点， 试探究：yA yB 是否为定值？
y
A
o
P(m, 0)
x
B
已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
是否为定点？
y
( y22 , y2 )
C
( y12 , y1)
o
B
m2 y12
,
m y1
x
m2 m
y22
,
y2
证明：OP OE与OP OF的值是定值。
课后作业（一）
（2010年全国Ⅰ卷文22）
已知抛物线C：y2 4x 的焦点为F，过点
K（-1,0）的直线 l与C相交于A,B两点，点
A关于 x 轴的对称点为D，
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 FA FB= 8 ，求 BDK 的内切圆M的方程.
9
课后作业（二）
1. 若直线 l与抛物线 y2 2x 相交于A,B两点，
且 OA OB（O为坐标原点）,证明：直线
AB过定点。 要求：证明此题并对此题进行变式，并作解答。
抛物线中的定值与定点
第二讲：解析几何中定点与定值问题练一练:21、一动圆的圆心在抛物线y =8x上，且动圆恒与直线X 2 = 0相切，则此动圆必过定点( )A 4,0 B. 2,0 C. 0,2 D. 0,-22、设抛物线y2 =2px过焦点的弦两端分别为Ax,,% , B x2,y2，那么：yy2二______________________AB1,证明:3、设抛物线y2 =2px的焦点弦AB在其准线上的射影是2 __________________________________________________________4、过y =x上一点A( 4，2)作倾斜角互补的两条直线两点。
求证：直线BC的斜率是定值。
变式题：如图M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB,若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；一、定点问题：题型一：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点例题1抛物线y2 =2px(p 0),A.B在抛物线上，OA_OB,求证：直线AB过定点。
例题2：椭圆3x2 4y2 =12,直线l:y二kx，m ( K>0 )与椭圆交于AB两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。
求证：直线l过定点，并求出定点的坐标。
例题3:已知焦点在x轴上的椭圆过点(0,1)，求离心率为,Q为椭圆的左顶点,2(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若过点(_ —,0)的直线丨与椭圆交于代B两点。
5(i) 若直线l垂直x轴，求/ AQB的大小；(ii) 若直线l不垂直x轴，是否存在直线l使得AQB为等腰三角形？如果存在, 求出丨的方程;如果不存在，请说明理由。
1例题4：已知定点A(-1,0), F(2,0)，定直线l : x 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线I2的距离的2倍，设P点的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点，直线AB,AC分别交丨于点M , N。
(1)求E的方程；(2)试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。
(完整)导学稿：抛物线中的定值定点问题
课题：抛物线中的定值定点问题定点定值问题在圆锥曲线中,有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题。
圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。
引例：设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且0OA OB ⋅=(O 为原点)，则直线AB 必过的定点坐标为__________。
变式1：（将条件一般化）设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且(0)OA OB a a ⋅=>(O 为原点），则直线AB 是否也过某个定点呢？学以致用1：（2014 四川）已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点)，则三角形ABO 与三角形AFO 面积之和的最小值是（ ) A 。
2 B.3 C.8D思考1：若将O 点改为抛物线上任意点200(,)2y M y p ，仍有0MA MB ⋅=，AB 直线是否仍过定点？ （答案：过定点200(2,)2y p y p+-）学以致用2：（2014重庆模拟）已知(1,0),(1,0)B C -,P 是平面内一动点，且满足PC BC PB CB ⋅=⋅。
（1）求点P 的轨迹C 的方程;(2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论。
思考2：引例中，OA OB ⊥,即表示OA 、OB 斜率之积为-1，若OA OB k k a ⋅= (a 为不为零的常数),直线AB 是否过定点?若OA OB k k a +=呢？(答案：OA OB k k a ⋅=⇒过定点2(,0)p a -；OA OB k k a +=⇒过定点2(0,)p a) 变式2：（在思考2的基础上稍作改变）将O 点改为过抛物线上一点200(,)2y M y p 作两条斜率之和为0的弦MA,MB(即0MA MB k k +=）分别交抛物线于A 、B 两点，证明：直线AB 的斜率为定值。
抛物线中的定点、定值、定直线问题
一、单选题1．已知抛物线()2:20C y px p =≥的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合，过坐标原点О作两条互相垂直的射线OM ，ON ，与C 分别交于,M N ，则直线MN 过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,0-C ．()1,0-D ．()1,0 2．已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且12k k ⋅l 恒过定点（ ）A ．(-B ．(-C ．(-D ．( 3．已知曲线C ：22y px =(0)p >，过它的焦点F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，可证明PF MN 是一个定值m ，则m =（ ） A．12 B ．1C ．2D 4．已知抛物线2:2C y x =，过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，若2211||||MA MB +常数，则常数a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．抛物线x 2＝－2y 与过点P (0，－1)的直线l 交于A ，B 两点，如果OA 与OB 的斜率之和为1，则直线l 的方程是( )A ．Y =－x －1B ．Y =x ＋1C ．Y =x －1D ．Y =－x ＋1 6．设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为 A ．82110x y --=B ．480x y --=C ．4230--=x yD ．230x y --=7．已知动点A ，B 关于坐标原点O 对称，2AB =，M 过点A ，B 且与直线1y =相切.若存在定点P ，使得MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,1-8．已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则直线AB 一定过点（ ）A ．(2,0)B ．1,02C ．(0,2)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、多选题9．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动直线():0l y kx b kb =+≠与抛物线交于两点,A B 且OA OB ⊥，直线,AF BF 分别与抛物线交于,C D 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()4,0B ．14AB CD k k =C ．1625AD BC k k =- D ．若OH AB ⊥于点H ，则点H 的轨迹是圆 10．已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为A ､B ，则以下选项正确的是（ ）A ．当00x =时，直线AB 方程为1y =B ．直线AB 过定点()0,1C ．AB 中点轨迹为抛物线D ．PAB △11．已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（ ）A ．AB 没有最大值也没有最小值B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+= E.若直线l 的倾斜角为θ，则22sin =AB θ12．已知点()2,2M -在拋物线()220x py p =>的准线上，F 是拋物线的焦点.过点M 的两条直线分别与抛物线相切于点A ，B ，直线MF 交直线AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．拋物线方程为24x y =B ．直线AB 的方程为240x y -+=C ．0AM BM ⋅=D ．2ME AE BE =⋅三、填空题 13．经过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线交此抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ，则点M 必定在直线______上．（写出此直线的方程） 14．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p ＞0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1x 2为定值，则该定值为____．15．过抛物线24y x =上一点P (4，4)作两条直线P A ，PB ，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB 恒过定点____.16．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为_______． 四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知动点(,)(0)M x y y ≥到定点()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,4)N 作斜率为12,k k 的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且12111k k +=.证明：直线AB 恒过定点.18．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率k ()0k >的直线l 与C 交于A ，D 两点，8AD =.（1）求k ；（2）若()02B x ，在C 上，过点B 作C 的弦BP ，BQ ，若BP BQ ⊥，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.20．已知曲线E 上的点到()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1.（1）求曲线E 的方程；（2）过E 作斜率为k 的直线交曲线E 于A ､B 两点；①若3BF FA =，求直线l 的方程；②过A ､B 两点分别作曲线E 的切线1l ､2l ，求证：1l ､2l 的交点恒在一条定直线上.21．在平面直角坐标系Oxy 中，点F (1，0)，D 为直线l :x =-1上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若过点F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线x =1分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ．点()02,A y 在C 上，2AF = ．（1）求p ;（2）过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于,M N 两点，2l 与直线1y =-交于点P ，判断PMN PNM ∠+∠是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．。
高考数学 专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)
专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图 形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程 （二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 （五）定值问题 （六）范围问题（七）抛物线与向量的综合 （八）最值问题 五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
系列专题之十六——定值定点专题
专题十六定值定点专题（江南）如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac＝－bd；③△AOB 的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（14锡山一模，18）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把函数y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)（t为常数）称为这两个函数的“衍生二次函数”．已知不论t取何常数，这个函数永远经过某些定点，则这个函数必经过的定点坐标为___________．（11天一，10）如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③＝；④2CE•AB＝BC2，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．②④ D．③④（11省锡中，10）在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则结论：①EF＝DF；②AD：AB＝AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE＋CD＝BC；⑤当∠ABC＝45°时，BE＝2DE中一定正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式拓展1】∠AOC＝∠EOC？【变式拓展2】（2010嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②1MN＝1AC＋1BC；③MN≤14AB，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（11洛社，17）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③AP ＝BQ ；④DE ＝DP ；⑤∠AOB ＝60°．恒成立的有____________（把你认为正确的序号都填上）．（11滨湖，18）如图，在平面直角坐标系中，过A （－1，0）、B （3，0）两点的抛物线交y 轴于点C ，其顶点为点D ，设△ACD 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1：S 2是一个定值．则这个定值为_________．【学习技能】设个参数，把所有点的坐标都求出来或表示出来（13崇安，18）如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ，若1CE ＋1BF ＝1a（a ＞0），则△ABC 的边长为______________．【变式题】若1CE ＋1BF＝6，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A ．18 B ．14 C ．12D ．1（13省锡中，10）定义[a ，b ，c]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的特征数，下面给出特征数为 [m ，1－m ，－1]的函数的一些结论：①当m ＝－1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；②当m ＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；③当m ＜0时，函数在x ＞12时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过一个定点．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（12天一，26）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C （0，－3），与 x 轴交于点A 、B ，连接AC 、BC ，得等边△ABC 。
抛物线中的最值、定值、定点问题
狓２ ＋１求导得狔′＝２狓，所以犽１ ＝２狓１，犽２ ＝２狓２．
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教学
２０２０年１２月 解法探究
评注：通过本题的求解，有利于提高学生运用“设 而不求”技巧的解 题 能 力，也 有 利 于 培 养 学 生 数 学 运 算的核心素 养，进 一 步 强 化 字 母 形 式 的 代 数 运 算 能 力．
类型三、处理有关“定点”问题
抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起，
处理有关定点问题时，一般需要灵活运用“设而不求”
犘犇
，所以 犘犉 犘犃
犘犇 ＝ 犘犃
＝ｓｉｎ∠犘犃犇．
过两 点 的 直 线 斜 率 公 式 得 犽犘犃
＝
１ ４狓２ ０
＋１ ，所
以
狓０
１ ４狓２ ０ ＋１ 狓０ ＝
１ ２狓０，解得狓０
＝±２．
由于抛物线具有对称性，不妨取点 犘（２，１），则可
得 犃犇 ＝２，犘犇 ＝１－（－１）＝２，所以在Ｒｔ△犘犃犇
类型二、处理有关“定值”问题
灵活运用“设而不求”技巧，可巧妙处理抛物线中 有关定值 问 题，其 关 键 是 设 出 相 关 点 的 坐 标，根 据 题 意实施字 母 形 式 的 代 数 运 算，进 而 化 简，可 获 得 结 果 为定值．特 别 提 醒：化 简 运 算 基 本 功 必 须 过 关，否 则， 对目标问题的求解很难顺利获得．
＞狔１），由犗犕 ⊥犗犖，得狔１狔２ ＝－１６．
由
于犽犕犖
＝ 狔１
４ ，因此，直线 ＋狔２
犕犖
的方程是狔－
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
解析： 设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
抛物线中的定值与定点问题
解 析 ：设
＋ ２Ｐ ， 所以
ｘ＝ ｋ ｙ ＋ ｍ
＝ ＝ ＞
＝ ２Ｐ ＝ ＝ ＞Ｘ＝
（ห้องสมุดไป่ตู้ Ｈ ］ ， 设
直线过定 点 （ ２ Ｐ， ０ ）。
解析设 Ａ （ ｘ ， Ｙ １ ） ， 曰 （ ， Ｙ ２ ）， 直 线 的 方
．
注： 若直线过 （ ２ ｐ， ０ ），那 么 是 否
一
ｋ ｍ（ ｙ ｌ ＋Ｙ ２ ） ＋ｍ ＝－ ４＝ ＝ ＞ ｍ ＝２
故 所 求 定 点 坐标 为 （ ２ ， ０ ） 。
通 过 以 上 例 题 我 们 发 现 定 点 问题 与 定 值 问 题 是 存在 内 在 联 系 的 ， 定 值 问题 与 定 点问题是在大 家心中觉得很“ 难缠 ” ， 其 实 并 不是 这 样 ， 把 两 者 之 间 合 为 同一 个 问题 ， 难度瞬间下 降。
‘
框架 １ ： Ａ， Ｂ是 抛 物 线 Ｙ ：２ ｐ ｘ （ ｐ＞０ ）
上 异于 顶 点的 两动 点 ， 其中Ｏ ｔ ， 分 别 为 Ｏ Ａ， ０Ｂ 的 倾 斜 角 （ 如图１ ） 。
框架２： 若 Ｄ 上 ＤＢ ， 则 我们有 如框 架 （ 如 图２） 。
＝ ——
｛ １ － Ｉ － ｍ ＝ ＝ ＞ ｙ ２ — ２ ｐ 一 ２ ｐ ： ０ ＝ ＝ ＞
：
０呢 ， 答案 是 肯定 的 ， 所 以 说 两者
程： ＝Ｉ ｌ ｝ ｙ＋ ｍ
｛
ＹＬ Ｙ２＝ — — ２ｐｍ
ｙ ２ － ２ ｐ 妙 － ２ ｐ ｏ ｒ ＝ ０
之间是相互联 系的 ， 其 实也 就 是 同 一 个 问
图 １
图 ２
ｏ ６
高中数学抛物线中的定值、定点问题
抛物线中的定值、定点问题例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A . 由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得： 变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。
抛物线中的定值与定点
第二讲： 解析几何中定点与定值问题练一练：1、一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -2、设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：12y y = 。
3、设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点。
4、过y 2=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。
求证：直线BC 的斜率是定值。
变式题：如图M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB,若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；XYAB FA 1B 11M C一、定点问题：题型一：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点例题1：抛物线22(0),.y px p A B =>在抛物线上，OA OB ⊥,求证：直线AB 过定点。
例题2：椭圆223412,x y +=直线:l y kx m =+（K>0）与椭圆交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标。
例题3：已知焦点在x 轴上的椭圆过点(0,1)，求离心率为2，Q 为椭圆的左顶点， （1） 求椭圆的标准方程；（2） 若过点6(,0)5-的直线l 与椭圆交于,A B 两点。
（i ） 若直线l 垂直x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ） 若直线l 不垂直x 轴，是否存在直线l 使得AQB ∆为等腰三角形？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由。
例题4：已知定点(1,0),(2,0)A F -,定直线1:2l x =不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，设P 点的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于,B C 两点，直线,AB AC 分别交l 于点,M N 。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
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抛物线练习（定点）
求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）
2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．
4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．
5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．
6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点
_________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．。