数字信号处理原理3-1-数字信号处理原理及其 MATLAB 实现丛玉良等编著

H ( z)
Y ( z) X ( z)
bk z k 1 ak z k
k 1 k 0 N
M
A
1 g
M1
1 c
k 1
k 1 N1
z 1 hk z 1 hk z 1 1 1 k M2 k 1 N2
z 1 1 d k z 1 d k z 1 1 k k 1
r 0
N 1
x 例3 ~1 (n)是周期为N 的周期序列，x2 (n)是周期为 M 的周期序列。定义序 ~ ~ ~ ~ 列 x3 (n) x1 (n) x2 (n) ，证明（1）x3 (n)是周期为 MN 的周期序列；（2） ~ ~ ~ 利用 X 1 (k )和 X 2 (k )求出 X 3 (k )。
n2 2
k2 2
0 k M 1
n2 2
其中 g (n) x(n) AnW , n 0, 1, , N 1 ;
二次相位复指数序列或Chirp信号
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h(n) W
线性调频z变换
线性调频z变换的计算流程图
k 0, 1, , M 1
W
k2 2

1 h( k )
- 直接I型流程图
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 直接II型
N Y ( z) 1 H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) bk z k N X ( z) k k 0 1 ak z k 1 H1 ( z ) H 2 ( z) H1 ( z ) 对应的差分方程
再根据上两式画出 x(n)和 yk (n) 间的直II型结构图。由该图解释DFT。
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数字滤波器概论
·数字滤波器的运算结构
不同的运算结构会影响系统运算的精度、误差、速度和经 济性等指标。数字滤波器一般可以表示为
y (n) ak y n k bk x(n k )
可以看出，CZT算法输入序列长度 N 和输出序列长度 M 可以不等，且可 以为任意数；各取样点的角度间隔可以是任意的，因而频率分辨率可以 调整；计算z变换取样点的轨迹可以不是圆而是螺旋线；取样起始点可以 任意选定，也就是可以从任意频率开始对数据进行分析。
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习题课
例1 已知 x(n) 是长度为N 的有限长序列，且 X (k ) DFT x(n) ，设
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~
习题课
例4 已知线性差分方程
y (n) ak y (n k ) x(n),
k 1
p
pN
j （1）试求利用 N 点离散傅立叶变换来确定系统频率响应 H (e )在单位圆 上的 N 个取样点； （2）对下面的差分方程用同样方法重做
y (n) ak y (n k ) bk x(n k ), N p, q
特点： - 系统的单位冲激响应 h(n)在有限个值不为零； - 系统函数 H (z ) 在 z 0 处收敛，N 1 个极点全部位于 z 0 处，N 1 个零点可在z平面任何位置； - 没有输出到输入间的反馈，不存在稳定性问题。 写成差分方程形式
h(0) z N 1 h(1) z N 2 h( N 1) z N 1
M bk z k k 0 N k 1 ak z k 1
Q(n) bk x(n k )
k 0
N
H 2 ( z )对应的差分方程
y ( n) ak y ( n k ) Q ( n)
k 1 N
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
k 1 k 0 N M
对应的系统函数为
H ( z) Y ( z) X ( z)
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak来自百度文库z k
由上述两个方程就可以得到若干数字滤波器的结构
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 直接I型方框图
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
X k ( z)
k 和 yk (n) WN yk (n 1) x(n)。
Yk ( z ) 1 X ( z ) 1 WNk z 1
（3）如将1 WN z 同乘 H k (z ) 的分子和分母，则有
k 1
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习题课
则有
1 WNk z 1 H k ( z) 2k 1 2 1 2 cos z z N
调换两个级联网络位置后的流程图
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
直接II型流程图
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，今后经常采用这种结构。
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 级联型 其优点是可以直接独立控制零极点的位置，按实际调换二阶 节的次序。这是一种常用结构。将系统函数分解成二阶因式连乘，每个 二阶节都用直接II型结构实现，即
V ( z) 2k 1 2 1 2 cos z z Vk ( z ) N
（4）如果定义
则有
2k k vk (n) 2 cos vk (n 1) vk (n 2) x(n), yk (n) vk (n) WN vk (n 1) N
m 0 N 1
令
y k ( n) , M 1 n N 1 y k ( n) 其它n 0,
所以
y ( n) y k ( n)
k 0
p 1
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快速傅立叶变换的应用
补零部分保留原输入信号后的局部差错 已知分段后的循环卷积为
yk (n) xk (m)h(( n m)) N RN (n)
Q 滤波器由 P个一阶网络、 个二阶网络和一个常支路并联构成。
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
IIR系统的并联结构
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有限冲激响应数字滤波器的基本网络结构
FIR数字滤波器其系统函数一般形式
N 1 n 0
H ( z ) h(n) z n h(0) h(1) z 1 h(2) z 2 h( N 1) z N 1
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
或合并共轭因子，有
H ( z) A
1 g
M1
1 c
k 1
M
k 1 N1
z 1 1k z 1 2 k z 2 1 k
M2
z 1 k
1
k 1
k 1 N2
z 1 2 k z 2 1k
z变换的取样
X ( z k ) x ( n) z
n 0
N 1
n k
x(n)AnW nk , 0 k M 1
n 0
N 1
计算复杂度与离散傅立叶变换相近。如果做如下变换，取
1 2 2 nk n k 2 k n 2
X ( zk ) x(n) AnW W
如果把实数因子看成是二阶实数因子的特例，有
M 1 1k z 1 2 k z 2 H ( z ) A A H k ( z ) 1 2 2k z k 1 1 1k z k 1
1 1k z 1 2 k z 2 其中 H k ( z ) 1 2 ，称为二阶基本节。 1 1k z 2 k z
m 0
N 1
N M L 1
把原来补零的地方保留原序列的值。 但是补零部分保留原输入信号后会出现 的局部差错。 因此，应该把这部分差错部分去掉。
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快速傅立叶变换的应用
重叠保留法计算过程
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线性调频z变换
问题的提出：只对信号的某一频段感兴趣，且要提高频率分辨率；对z 变换单位圆内极点附近的频率感兴趣。 沿螺旋线取样计算z变换，称其为线性调频z变换或Chirp z变换(CZT)
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z k
M Ak Bk 1 ek z 1 c0 1 1 ck z 1 d k z 1 1 d k z 1 k 1 k 1 P





Q Ak 0 k 1k z 1 c0 1 1 2 k z 2 k 1 1 ck z k 1 1 1k z P
y ( n ) h( k ) x ( n k )
k 0
N 1
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有限冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 直接型
方框图
流程图
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有限冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 级联型
H ( z ) h( k ) z
k 0
N 1
k
0 k 1k z 1 2 k z 2
y(n) x(n rN )
求 Y (k ) DFT y(n) 与 X (k ) 间的关系。 例2 令 X (k )表示长度为 N 的序列 x(n)的离散傅立叶变换，试证明（1） 如果 x(n) 满足关系式 x(n) x( N 1 n)，则 X (0) 0 ；（2）当 N 为偶 数时，如果 x(n) x( N 1 n)，则 X ( N / 2) 0
X ( z ) x ( n) z n
n 0
N 1
沿螺旋线取样
zk AW k , k 0, 1, , M 1
其中
W W0 e j
A A0e j 0
zk A0W0 k e j 0 k0
代入z变换定义式，有
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线性调频z变换
k 1
M


- 快速卷积型
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有限冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 线性相位FIR数字滤波器的网络结构 如果滤波器的单位冲激响应具有偶对称性，即h(n) h( N 1 n)则该 滤波器具有线性相位。
k 1 k 0
p
q
例5 如果 x (n)既是一个周期为N ，也是一个周期为2N 的周期序列。它
表示的表达式。
~
~ ~ k ~ ~ 们对应的傅立叶级数的系数分别为X 1 (k )和 X 2 (k ) 。试求出 X 2 (k ) 用 X 1 ( ) 2
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习题课
例6 如果设 yk (n) 响应为
n 0 N 1 n2 2


2
k n 2
2
W
k2 2
n n W x(n) A W 2 n 0 k 2 N 1 2
k n W 2
2
W
k 2 N 1 2 n 0
g (n)h(k n) W g (n) h(n),
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
每个二阶节都用直接II型结构的级联形式
每一级都可以单独调整零极点的位置而不影响其它零极点。同时可以 灵活调整二阶基本节的次序。
这是级联结构的常用形式。
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无限长冲激响应数字滤波器的基本网络结构
- 并联型
H ( z)
Y ( z) X ( z)
快速傅立叶变换的应用
- 重叠保留法 (Overlap Save) 将 x (n)分解成
x(n k L M 1) , 0 n N 1, N L M 1 xk ( n ) 0, 其它n
k 0 ,1, , p
循环卷积 yk (n) xk (m)h(( n m)) N RN (n), N M L 1
x(l )WNk nl 是由长度为 N 的序列 x(n)激励单位取样
l 0
N 1
WN kn , n 0 hk (n) n0 0,
的因果系统的输出。证明：
y （1） k ( N ) X (k ), k 0, 1, , N 1，其中 X (k ) 是序列 x(n) 的DFT。 h （2） k (n) 系统函数为