有限域

域的例子： 1. 有理数域 Q ，实数域 R ，复数域 C 2. Q [ 2] {a b 2 | a, b Q } 3. R[ -2]={a b -2 | a, b R} 4. Z p ={0,1,2,...,p -1},p为素数,模加、模乘 不是域的例子： 1. 全体整数的集合Z. .(除 1外均没有逆) 2. 集合{a +b 3 2|a,b Q}.(对于乘法不封闭,例如 3 4= 3 2 3 2, 只需证明2不是有理数的立方) 3. Zm ={0,1,2,...,m -1},m为合数,模加、模乘.(m的非平凡因子没有逆)
III. 对任意a,b,c F,有a(b+c) = ab+ac.(乘法对加法的分配律)
定义1的理解：
• 对于加法和乘法是自封闭的. • 一个域至少有两个元素0与e. • 所有元素对于加法形成交换群,所有非零元素 对于乘法形成交换群. • 说一个集合是域的时候，除了要指明集合本身 以外，还要指明定义在该集合上的加法和乘法.
记号: F[x]表示域F 上x的多项式的全体所组成的集合. x 0 =e F ,a0 x 0 =a0 F ,x1简记作x,ex i简记作x i . f (x )= ai x i =a0 +a1 x +a2 x 2 +...+an x n .
i =0 n
多项式的加法
设f (x),g (x) F[x],并且f (x)= ai x , g (x)= bi x i ,
II.1 对任意a,b F ,有ab = ba;(乘法交换律) II.2 对任意a,b,c F ,有(ab)c = a(bc);(乘法结合律) II.3 F 中有一个元素, 0,把它记作e,具有性质: ae = a,对于一切a F; ;(单位元) II.4 对任意a F ,a 0F 中有一个元素,把它记作a 1 ,具有性质:aa 1 =e;(逆元)
系理1 设F 是个域,而F0是F 的一个子域.那么F 的零元和单位元 一定都属于F0 ,而且分别就是F0的零元和单位元. 证：设0是F 的零元， 00是F0的零元. 因为00 F ，所以00 0=00 . 又因为00 F0 , 所以00 00 =00 . 由此， 00 0=00 00，所以0=00 . 同样的方法可以证明单位元. 系理2 设F 是个域,a F 而a a 0,那么a -1 0. 证：假定a -1 0, 那么e aa 1 a 0 0, 与域的定义不符.
i i =0 i =0 n m
令M =max(n,m),置 an +1 =an +2 =...=aM =0,如果n<M , bn +1 =bn +2 =...=bM =0,如果m<M . 则有：f (x)= ai x , g (x)= bi x i .
i i =0 i =0 M M
定义
f (x)+g (x)= (ai +bi )x i .
n n
m 0, n 0; m 0, n 0; | m || n | mn 0, 不妨设m 0, n 0 | m || n | | m || n |
练习 1
1.下列集合哪些是复数域C的子域： (1) {a +bi|a,b Z},i= 1. (2) {a +bi|a,b Q}. (3) {a +b 3 2+c 3 4|a,b,c Q}. 2. 设F 为域,a F ,n为正整数，下列命题是否正确，为什么？ (1) 如果na =0,则a =0; (2) 如果a n =e,则a =e; (3) 如果a n =0,则a =0. 3. 在Z37中计算7 23－1.
I.1 对任意a,b F ,有a+b = b+ a;(加法交换律) I.2 对任意a,b,c F ,有(a+b) +c = a+ (b+c );(加法结合律) I.3 F 中有一个元素,把它记作0,具有性质: a+ 0=a,对于一切a F; ;(零元) I.4 对任意a F ,F 中有一个元素,把它记作 - a,具有性质:a+ (-a) = 0;(负元)
•1901年，狄柯逊(Dickson)，《线性群和伽罗华域理论》，将 域表示成现在的形式。
1.1 域的定义
定义1（域）:设F 是一个非空集合,并且在F 上规定了两种运算,分别叫做加法 和乘法,记作＋和,对于F 中的任意两个元素a和b,a +b与a b(通常简记作ab) 均是F 中的元素(F 对于加法和乘法自封闭),分别叫做a和b的和与积.我们称F对 于所规定的加法和乘法是一个域,如果以下运算规则成立:
定理1 设F 是任意域,a,b F ,m,n Z,我们有： 1) (m +n)a =ma +na,(mn)a =m(na ). 2) n(a +b)=na +nb. 3) (ma )(nb)=(mn)(ab). 4) a m +n =a m a n .当a =0时，要求m,n都>0. 5) (ab) m =a mb m .当a =0或b =0时，要求m >0. n 6) 如果n >0,(a +b) = a ib n -i . i =0 i 证： 1）m或者n中至少有一个为零；
i i =0 i =0 M M
定义
f (x).g (x)= ( a j bi -j )x i .
i =0 j =0
M
i
设f (x),g (x) F[x],有 0 (f (x)+g (x)) max ( 0 f (x), 0 g (x)) [什么时候<成立?] 0 (f (x).g (x))= 0 f (x)+ 0 g (x) 由此可推导出： F[x]中的元素对于所定义的加法和乘法不能成为域. 本章将利用域上的多项式，通过多项式求余和 有理分式的方法来构造域.
有 限 域 (Finite Fields)
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参考书目
• 《代数与编码》万哲先，科学出版社出 版，华中科技大学出版社影印。
• 《有限域》冯克勤，走向数学丛书，湖 南教育出版社。 • 《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社。
一、域的基本性质
1.0 有限域的起源
•17世纪起，费尔马(Fermat,1601-1665)、欧拉(Euler,17071783),勒让德(Legendre,1752-1833)和高斯(Gauss,17771855)等大数学家研究数论得到了同余式的许多性质，实质上 也就研究了p元有限域的许多性质。 •第一个明确讨论任意有限域的是法国年青数学家伽罗华 (Galois,1811-1832),1828年《关于五次方程的代数解法问 题》，产生群的概念，1830年《关于数论》在p元有限域的基 础上，利用扩张方法构造了全部可能的有限域。所以有限域 通常也叫伽罗华域。
1.3 二项式定理
记号：设F 是任意一个域,a,b F ,n为任意正整数,那么我们记： 1) a -b =a +(-b). 2) na = a, n 1.
i 1 n
3) 0a =0. 4) (-n)a =-(na). 5) a = a, n 1.
n i =1 n
6) a 0 =e,对于a 0. 7) a - n =(a -1 ) n =(a n ) -1 ,对于a 0.
定理3. 设F 是任意一个域,那么以下运算规则成立： 1) -(-a)=a,对任意a F . ((-a )+a =0) 2) -(a +b)=(-a)+(-b),对任意a,b F . ((a +b) (-a)+(-b)=0) 3) a(-b)=(-a)b=-(ab),对任意a,b F. (a(-b)+ab a0 0,(-a)b ab 0b 0) 4) (-a)(-b)=ab,对任意a,b F . (由3)和1)有 (-a)(-b)=(-(-a))b ab) 5) (a -1 )-1 =a,对任意a F 而a 0. (a -1a e) 6) (ab)-1 =a -1b-1 ,对任意a,b F 而a 0,b 0. (aba -1b -1 =e) 7) (-a)-1 =-a -1 ,对任意a F 而a 0. (由4),(-a)(-a -1 )=aa -1 e)
定义2(子域,扩域): 设F 是一个域,而F0是F 的一个非空子集. 如果F0对于F 中的加法运算和乘法运算来说是一个域,我们 就称F0是F 的子域,而称F 是F0的扩域. 例如：Q R C
判断子域只需验证：
1. 对于加法和乘法是自封闭的. 2. I.3和来自百度文库.4
3. II.3和II.4
定义3(无限域与有限域): 设F是域,如果F的元素个数无 限,F就叫无限域,否则就叫有限域或者伽罗瓦(Galois)域.
i =0
M
多项式的乘法
设f (x),g (x) F[x],并且f (x)= ai x , g (x)= bi x i ,
i i =0 i =0 n m
令M =n+m,置 an +1 =an +2 =...=aM =0,如果m 1, bn +1 =bn +2 =...=bM =0,如果n 1. 则有：f (x)= ai x , g (x)= bi x i .
1.2 域的运算规则
定理1. 设F 是任意一个域,那么： 1) 零元0是唯一的; 2) 单位元e是唯一的; 3) 对于任意a F , - a是唯一的； 4) 对于任意a F 而a 0,a -1是唯一的.
定理2. 设F 是任意一个域,那么以下运算规则成立： 1) 加法消去率.设a,b,c是F 中任意三个元素,如果a+c=b+c, 那么一定有a=b. 证：a a (c (c)) (a c) (c) (b c) (c) b (c (c)) b. 2) 乘法消去率.设a,b,c是F 中任意三个元素,而c 0,如果ac=bc, 那么一定有a=b. 证：a ae a(cc 1 ) (ac)c 1 (bc)c 1 b(cc 1 ) be b. 3) 对于任意a F ,a0=0. 证：a0 0 a0 a(0 0) a0 a0, 根据1)可得a0=0. 4) 设a,b F ,如果ab 0,那么一定有a 0或者b 0. 证：如果a 0, 在ab 0两边同时乘以a -1 , 根据3)得b 0.
有 限 域
二、多项式和有理分式
本章内容
• 多项式和有理分式（4学时）
– – – – – – – 域上的多项式的定义和计算 带余除法 唯一因式分解定理 余元定理 多项式的根 域的扩张 域上有理分式的定义和计算
2.1域上的多项式的定义和计算
定义1: 设F 是一个域,而x是一个符号(或称文字),设i是个非负整数,则 形如 ai x i , ai F 的式子，叫做系数属于F 的(符号)x的单项式,而有限 个系数属于F 的单项式a0 x 0 ,a1 x1 ,a2 x 2 ,...,an x n (其中n是任意非负整数 而a0 ,a1 ,a2 ,...,an F )的形式和a0 x 0＋a1 x1＋a2 x 2＋...＋an x n就叫做系数 属于F 的x的多项式,或简称域F 上x的多项式. 设f (x)=a0 x 0＋a1 x1＋a2 x 2＋...＋an x n ,其中,ai x i叫做f (x )的i次项, ai叫做f (x)的i次项系数.两个多项式相等是指除去系数等于域F 中的 0的项以外,它们同次项的系数都相等.如果an 0, 我们就说f (x)为n次 多项式,记作 0 f (x)=n,并说an是f (x)的首项系数.当f (x)的所有系数都 是0时,我们就说f (x)是零多项式,仍用0来代表它,并规定 0 0=-. ＊零多项式与零次多项式的区别