混沌系统与混沌电路(杨晓松,李清都著)思维导图
现代电路理论12讲
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1-3 非线性电路中的拟周期现象
非线性动态电路的解除了平衡点、周期解 外，还有一种可以用解析函数表达的解，即拟 周期振荡。
系数矩阵的特征方程为
3 5 2 6 k 1 0
（1-7）
当k=29时，15,2,3j 6，有一对实部为零的共扼
复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当
k<29时，1 0 ,2 ,3 a (k)jw (k)，且a(k)<0，
w(k)>0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；
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当k>29时，10 ,2,3a(k)jw (k)，但a（k）＞0, 即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k＝29是 一个分歧点，当k从k<29增加经过k=29到k >29 时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡 点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限 环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf分歧。
9. 拓扑等价与拓扑共轭
10. 计算机模拟和电路实验
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1.1 引言
非线性动态电路的稳态解有四种形式，除 了前面介绍的平衡点、周期解两种形式，另外 两种形式分别是拟周期解与混沌解。电路中的 拟周期解早已为人们所了解，但非线性电路中 的混沌解只是在近20年才为人们所认识。
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长期以来，人们认为一个确定的电路中， 其解也是确定的，即在两组相近的初始条件下， 其解也是相近的。这里所谓确定的电路，是指 电路中的所有元件参数全是确定的，不包含任 何随机因素。
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恒Lyapunov指数谱混沌系统族设计,电路实现及同步研究
第六届全国网络科学论坛与第二届全国混沌应用研讨会恒Lyapunov指数谱混沌系统族设计、电路实现及同步研究李春彪2010年7月27日提纲具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统1电路实现：模拟方法与数字方法2同步以及同步特性研究3混沌信号的类随机性、连续宽带功率谱特性、难以通过时域和常用的频域处理来预测和分离、混沌系统所固有的对初始条件的敏感依赖性等特点，使得混沌特别适用于保密通信(特别是军用通信)和信息加密等领域。
20世纪90年代混沌控制和同步的突破性进展，使得混沌通信的研究开始成为一个热点。
基于混沌信号理想的相关特性，利用混沌信号作为雷达波形。
此外，混沌理论对雷达系统还具有如下意义：(1)雷达杂波的混沌模拟；（2)基于混沌动力学的雷达目标检测：混沌信号应用于雷达与通信系统已经成为极为活跃的研究领域，要将混沌系统应用于雷达与通信等实际工程中，不仅需要给出正确可行的电路实现方案与同步方案，同时也要考虑实现的混沌系统具有一定的混沌鲁棒性，能够在比较宽的参数范围内保持混沌状态。
此外，在基于混沌信号的工程应用中，往往需要对混沌信号的幅值进行一定程度的放大、缩小，有些场合则需要对混沌信号进行反相放大或者缩小，倘若使用额外的硬件来完成这些放大或者衰减作用，需要较大的成本；混沌信号的宽频特性，又使得宽带滤波器的设计也非易事；混沌系统对于初始值与系统参数呈现敏感性，在使用混沌信号过程中，多引入的电路元件或者附加系统往往会引入信号的失真与变形。
1122,,,a a x az c y d yaz z x y bz ⎧⎪⎨⎪⎩=−+==−−−&&&一类具有恒Lyapunov 指数谱特性的混沌系统：图1 奇怪吸引子在相平面上的投影(a) x -y 平面,(b) x -z 平面,(c) y -z 平面(当a = 0.4 ，b = 0.4，c = 1.62时)-505-4-2024-505-50510-4-2024-50510系统平衡点为: S 1=(d /c , -d /c , 0),S 2 = (-d /c , d /c , 0)。
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D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
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蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
混沌电路
2.
非线性电阻
蔡氏混沌电路中所选用的非线性电阻如图(1)所示, 它是一种较简单,使用较普遍的有源 负阻非线性电阻, 其伏安特性曲线如图(2)所示。 超混沌中的非线性电阻来自二极管的非线性 特性。非线性电阻是系统产生分岔和混沌吸引子的关键元件。
图(1)
图(2)
3.
混沌电路
1） 电路结构及其动力学行为 蔡氏混沌电路的电路图如图(3)所示，它的非线性动力学方程如公式(2)。
混沌电路与混沌电路同步实验
混沌是 20 世纪兴起的一门新兴学科，它使得人类从新认识整个自然界。 根据 Li—Yorke 定义，混沌应具有的性质有如下几点：无周期，对初值敏感，有界性。 可这样来定义：混沌是确定的,非线的,系统有界的,对初条件敏感的非周期行为。很多现 象已经被人证明了是混沌系统， 例如美国气象学家洛仑兹发现的天气的混沌现象， 从而 开始了对混沌的研究。在贝纳湍流中，如果进一步增加上下两板的温差，那么原有的周 期振荡将会失稳而进入混沌状态。在激光器中，当照射强度加大到一个新的阀值时，则 会出现随机的单模脉冲尖锋。在化学的 BZ 反应中，通过控制所提供的和排除某些反应 物和生成物的流量， 可以看到其中的周期振荡变成混沌了。 在各个领域内都存在着不同 形式的混沌，它们是整个世界的普遍存在的现象。 同时近几年来,混沌同步的研究受到越来越多的学者的重视。混沌系统对初始状态极为 敏感,两个完全相同的混沌体统,它们的初始状态只要有很微小的诧异,随着时间的推移, 这两个系统很快就会演变成完全不同的状态。 因此基于混沌同步的加密在通讯领域的应 用越来越广,而且安全性很高。 本实验基于蔡氏电路和超混沌电路来对混沌科学的一些基本问题做一些探讨。
b. 虚拟试验-蔡氏混沌电路
调节负载 R, 改变电路参数,并观察“平面图象” “三维图象的变化” 。 单击“保存二维图像”,将二维空间相图保存。 单击“保存波形图”, 将波形图保存。 单击“保存三维图象”, 将三维空间相图保存 单击“STOP”, 退出此实验。 c. d. 虚拟试验-超混沌电路 面板结构和蔡氏混沌电路相当。 混沌同步
混沌电路同步与混沌保密通信63页PPT
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性电阻电路-混沌电路
非线性电阻电路-混沌电路姓名：陈文河学号. 0858210103班级：08582101指导老师：孙建红非线性电阻电路•混沌电路摘要：混沌的研究是20世纪物理学的重人事件。
混沌的研究表明，即使是非常简单的确定系统，由于自身的非线性作用，同样具有内在的随机性。
本文首先简略地介绍了混沌的基本概念,及其相关定义，概述了混沌运动的基本特征和混沌运动的判别方法。
利用非线性电阻的特性来设计混沌电路，然后通il Multisim 10.0软件来进行仿真计算，观察混沌现象。
分析结果衣明所谓混沌是指确定的非线性动力学系统中出现的貌似无规的类随机现象，此时系统运动轨道的时间行为对初始条件具有敏感性形成敏感参数，从而其长期行为变得混乱而无法预测，而整个系统长期行为的全局特征又与初始条件无关这种局部局域的不稳定性和整体上的稳定性必使它具有许多奇特性质。
混沌运动产生了层次和结构，混沌并不是真正意义上的无序和混乱，它是一种非周期的有序运动。
关键词：混沌，敏感参数，非线性电阻lo引言混沌(chaos)的英文意思是混乱的，无序的。
自1963年洛伦兹(E.N.Lorenz) 从三维自洽动力学系统中发现混沌以来，混沌动力学已迅速成为内容极为丰富，应用非常广泛的研究领域，它的概念和和方法逐步应用到自然科学，工程技术和社会科学的许多领域，并对于开阔和深化人们对自然界的认识起着越来越重要的作用。
混沌学揭示：世界是确定的，必然的，有序的，但同时又是随机的，偶然的，无序的。
有序运动会产生无序，无序的运动又包含着更高层次的有序，现实世界就是确定性和随机性，必然性和偶然性，有序性和无序性的辩证统一。
2. 实验目的2.1) 了解混沌现象的一些基本概念:混沌的定义，特征等。
2.2) 对设计电路进行调试，在示波器上观察相图中的倍周期分岔及混沌，奇怪吸引子等。
2.3) 测量有源非线性电阻的伏安特性。
3. 实验原理3.1非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I R R=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
典型混沌电路及其其分析共68页PPT
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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典型混沌电路及其其分析
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋6、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
混沌系统理论 ppt课件
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件 的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一 个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可预见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
这是混沌系统的典型特征。意思是说， 初始条件的微小差别会在最后的现象中 产生极大的差别，或者说，起初小的误 差可能会引起灾难性后果。 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那 里小小的变化会被放大.....
在天气这个系统中，对初始条件的敏感依赖性乃 是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果。 因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。因为信息 在传递的过程中，有一种放大作用。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
混沌电路同步与混沌保密通信.概要
混沌系统的一个重要概念是混沌同步与控制，混沌电路的 一个重要应用是混沌保密通信。混沌系统的同步与控制是20世 纪末人们在混沌系统中发现的一个重要特性，它对应于自然界 广泛存在的共振、锁模现象，利用了混沌的一个重要特性—遍 历性。混沌保密通信是混沌电路中最有巨大应用潜力与前景的 一个研究热点，它在目前显示出来的各种物理现象中是最为引 人瞩目的一个现象，因为它和以往发现的各种物理现象极为不 同。从通信技术来看，它包含的通信信息量巨大，它的保密方 式奇特、新颖、易变与复杂，得到各个工业强国的高度重视， 并投入巨资进行研究。因此，本章内容具有极强的理论价值与 应用价值。 混沌保密通信系统是电路系统，强调系统级的非线性特性; 在混沌保密通信系统研究中，保密方与破密方的矛盾斗争导致 电路研究的错综复杂性。本章首先介绍混沌保密电路原理，之 后介绍混沌保密通信过程。
的研究，使人们从电路的角度对混沌机理进行探索，蔡氏电路 也成为开辟混沌通信领域的先驱，但在早期，在电子工程中人 们研究混沌的目的往往在于避免和消除它，在1990年，美国海 军实验室的Pecora和Carroll首次提出用电子线路实现混沌同步， 即混沌系统的驱动－响应同步法，此后关于混沌同步的研究不 断推进，从而使得人们对混沌保密通信的研究进入了高潮。由 于混沌信号具有随机性，对初始条件的敏感性、类似噪声和宽 带功率谱密度，使得混沌信号很难被破译，即使窃听者知道是 混沌信号，如果不知道电路的类型和精确的参数值（这些信息 可作为密钥），也无法破译，此外，利用混沌电路实现混沌保 密通信，可用简单的电路完成基本的加密功能的同时还使得信 号的频谱得以扩展。混沌保密通信比目前广泛应用的m序列保 密通信更具有发展的前景。由于混沌是介于周期振荡和噪声的 一种复杂振荡，它不具有周期性，更适合于保密通信。所以， 混沌通信和加密技术正是适应未来信息战的需要，是一个在21 世纪大有发展前景的极富有挑战性的高科技通信领域。
混沌电路的详解
220 15V
R4 22k
v1 iL
L
17mH
R
v2
R
1.5k
C2
100nF
iNL
C1
10nF
O
O
15V
iL
L
17mH
1.5k
15V
15V
RNL
C2
100nF
C1
10nF
R6 R2 220
2.2k
R6
3.3k
R5 22k
蔡氏电路状态方程为：
G G dv 1 (v2 v1 ) v1 dt C1 C1 1 G d v2 iL (v1 v2 ) dt C2 C2 d iL 1 v2 L dt
混沌电路常用的微分方程 在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性 微分方程与迭代方程是： (1) 李纳德(Lienard)方程
f ( x) x g ( x) 0 x
(2) 范德波尔(Van Der Pol)方程 ( x 2 1) x x 0 x (3) 杜芬(Duffing)方程
（8）负阻尼振荡器
x y y a(1 x 2 ) y x3 b cos( ft )
典型混沌电路及其分析
蔡氏电路 1983年美国科学家蔡少棠发明了蔡氏混沌电路，促进了 现代非线性电路理论的发展。
蔡氏电路的原理如左图所示。用有源电路实现的一种蔡 氏电路如右图所示，其中虚线框中的电路就是双运算放大 器非线性电阻电路。虚线框外的电路与左图中的完全相同。
为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍 如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µ H，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
多元一阶混沌电路共21页文档
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的0、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
典型混沌电路及其分析
xn1 xn (1 xn )
对应的电路是最普遍的混沌电路，几乎所有的混沌电路中 都有逻辑斯蒂映射关系，例如蔡氏电路就是这样的典型电路。
§2 典型蔡氏混沌电路分析
一、典型蔡氏电路结构与状态方程 1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授 发明了蔡氏电路(Chua’s Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性 而成为研究非线性电路中混沌的典范。蔡氏电路是由线性电阻 ﹑电容、电感和非线性“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路， 它满足以下一种能够产生混沌的条件：（a)非线性元件不少于一 个；（b)线性有效电阻不少于一个；（c)储能元件不少于三个， 蔡氏电路符合以上标准，如图4-1。一个具体的典型蔡氏电路如 图4-2所示。 R i
一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交 换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引 起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响， 并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。
将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包 含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中 我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简 单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号 如混沌信号。 1、零阶电路—无储能元件电路，即纯电阻电路 纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件， 所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数 方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方 程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与 非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非 自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。