高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以

。

图2

评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）

解这里，所以，又，代入公式得，所

以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心

率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）

解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为

的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿

图3

解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿

解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点

且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿

解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。

定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。

证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得，，所以

。

图4

（1）当焦点内分弦时。如图4，，

。，所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

图5

如图5，，。所以，

所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。焦点弦的弦长公式为。

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。

注由上可得，当焦点内分弦时，有。当焦点外分弦时，有。

例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿

解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。

（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直

线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿

解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，

。

例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为

的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿

解因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，

。

例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，

过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。

图6

解由方程可知，，则。

设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴

的夹角为。代入弦长公式得，

，。故四边形的面积为，。

所以四边形面积的最小值为。

参考文献：

①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

③万尔遐。曲线何必与方程捆绑。数学通讯。2010（6）（下半月）。