19哈密顿正则方程

解 楔子可在水平方向运动. 取桌面上 的固定点O为原点, 把楔子的质心(其实 不一定要质心，改为楔子的任一点也 行)相对于O点的水平坐标记作X.
圆柱体可在楔子的斜面上滚动. 把圆柱轴相对于楔子斜面上端 并沿斜边计算的坐标记作q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的
夹角记作, 无滑动这个约束条件可写为
q R
解: 为了求出拉格朗日函数，应先求 分子的动能。
T = Tc＋T
r S'
S'
m1 ' r1
c
r2m' 2
质心动能
Tc
1 2 (m1
m2 )(x2
y2
z2 )
两原子相对质心的动能
T
1 2
m11 2
1 2
m2 2 2
把两原子相对质心的动能转换为 m2 相对于 m1 的运动。
r1'
r
r2'
m2 rm1' 1
r2'
r2'
m1
m1 m2
r
2' 1'
m1
m1 m2 m2
m1 m2
S r S'
m1 r1' c
r2m' 2
'2 2
m1
m1 m2
2
2
2
'2 1
m2 m1 m2
2
T 1 m1m2 2 1 2
2 m1 m2
2
T 1 (r2 r2 r 2 sin 2 2 )
H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。
1、稳定约束
T＝T2
s
1
T q
q
s
1
T2 q
q
2T
H
s
L
T
1 q
q (T
V ) 2T
H = T ＋ V = h = const
对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且 体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的 机械能守恒。
哈密顿动力学的优点之一是便于量子化.另一个优 点在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的 变量广义坐标和广义动量并不对等, 只能对广义坐标进 行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采用的 变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进 行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个到下面正 则变换时进一步分析.
px
L x
m
x
py
L m y
y
pz
L z
m
z
x
px m
y
py
m
z
pz m
H L p q
1 2
m(x2
y2
z2 )
V (x,
y,
z)
px x
p y y
pz z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m(2 22 z2 )
[例6] 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子 的电量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数。
1 Ze2 a
V
4 0 r
r
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r 2 sin 2
a r
是循环坐标: p = C
z r e
Ze
y
x
pr
H r
p2 mr 3
p2
mr 3 sin 2
a r2
X
3 2
mR2 pX
mR cosp
3 MmR2 1 m2R2 (1 2 sin 2 )
2
2
mR cospX M mp
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
于是, 系统的哈密顿函数
H
pX
X
p L
3 2
mR2 p2X
2mR cospX
p
(M
m)
p
2
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 22 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L mr, r
p
L mr2, p
L mr 2sin 2
r pr , p ,
p
m
mr 2
mr 2 sin 2
H
1 2m
p
2 r
p2 r2
p2
r 2 sin 2
V（r，，）
[例4] 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设 两 原子之间相互作用的弹性力为 F = －k（r－r0）其中r为两 原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。
这个运动约束可以积分为
q R C
故,这是一个完整约束, q 和 不独立. 这个系统有两个自由度,可 以选 x 和 是两个独立的广义坐标.
主动力都是重力. 圆柱体的势能
V mgqsin mgR sin mgC sin
楔子的动能为
1 MX2 2
圆柱的动能包括质心的平动动能和绕
质心转动的转动动能 1 mR22 1 m (X qcos )2 qsin 2
p …广义动量 x…广义位移
x H p p m
动量定义
p H kx x
牛顿第二定律
mx kx 即： mx kx 0
1 能量守恒 因为
三、守恒定理
H L ? t t
dH
dt
s 1
H q
q
H p
p
H t
s 1
H q
H p
H p
H q
H t
H t
只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化.
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
k 2
(x2
y2
z2)
x H p x , p x m
y H p y , p y m
z H p z , p z m
px
H x
kx
px m x, py m y, pz m z
py
H y
ky
pz
H z
kz
m x kx m y ky m z kz
从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数
L L ( p1, p2, , ps , q1, q2, , qs ,t)
二、正则方程
当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时
dL
s 1
L q
dq
L q
dq
L t
dt
考虑广义动量的定义, 得
dL
s
p dq
1
p dq
L t
dt
对于哈密顿量
2
L = T－V
1 m(2 22 z2 ) V (,, z)
2
p
L m
p
L
m
2
pz
L mz z
pr
m
p
m 2
z p z
m
H L p p pz z
H
1 2m
p
2
p2
2
p
2 z
V
(
,
,
z)
（3）在球面坐标系中
T 1 m(r2 r 22 r 22 sin 2 ) ,V=V（r，，）
2、不稳定约束
T T2 T1 T0
s T
1 q
q
2T2
T1
H
s T L
1 q
q
T2
T0
V
H = T2 － T0 ＋ V= h = const
可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不 显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能 量积分。
2 循环积分 若 H =H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中
——哈密顿正则方程
相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维 空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点, 叫相点.
一维弹簧振子的运动 • 哈密顿量 HБайду номын сангаасEp+Ek
L T V
L pi qi
H Ek Ep mx2 / 2 kx2 / 2 p2 1 kx2 2m 2
哈密顿正则方程：
p
H
p2 cos mr 2 sin 3
p 0
r H pr pr m
H p
p mr 2
H
p
p mr 2 sin 2
m r m r2 m r sin 2 2 a
r2
pr m r p m r2θ
p m r2 sin 2 θ
C m r 2 sin 2
m r m r2 C 2 a 0 m r 3 sin 2 r 2
o
y
L T V 1 m(x2 y2 z2 ) k (x 2 y 2 z 2 ) x
2
2
px
L x
mx
py
L y
my
pz
L z
mz
H L px x p y y pz z
1 m(x2 y2 z2 ) k (x 2 y 2 z 2 )
2
2
pz x p y y pz z
4
2
1 mR22 1 m (X Rcos )2 Rsin 2
4
2
3 mR22 1 mX2 mRXcos
4
2
所以
L 1 M mX2 3 mR2 2 mRXcos mgR sin
2
4
按定义, 广义动量
pX XL M mX mRcos
p
L
mRXcos
3 mR2
2
所以得到广义速度
r2
mr 2 const
r 2 h
r
p
1 e cos
在拉格朗日动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写 出动力学方程即拉格朗日方程. 在哈密顿动力学中, 必 须从拉格朗日函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方 程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量 的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程, 所 以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便.
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
所以
M mmRg sin
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
这是匀加速转动, 积分一次
3
M mmRsin
MmR2 1 m2R2 (1 2sin
2)
gt
0
2
2
简单推导, 可得
X pX mR0 cos
m2R2 sin
p
C 2 cos m r 2 sin 3
可见电子的运动与 无关，可令 0 ，则 0,C 0 。
p
d (m r 2)
dt
d (mr2)
dt
C 2 cos mr2 sin 2
0
m r m r2
a r2
0
d (mr 2) 0
dt
h2
r
k2
1 Ah2 cos
k2
m (r r2 ) a
1 2I
p2
p2
sin 2
1 2
2 (r
r0 )2
[例5] 一质量为m的自由质点，受力
F
kr ,
r为位矢，
k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。
解: 取x，y，z为广义坐标。动能为
T m (x2 y2 z2 ) 2
z P
F
V k r2 k (x2 y2 z2) 22
gt
M m
M m
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
例2：写出粒子在中心势场V=-α/r中哈密顿函数和正 则方程。
解：自由度是2，广义坐标r、θ。
广义动量：
p mr 2
中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：
H
T
V
1 2m
( pr2
p2 r2
)
a r
可以解得正则方程：
s
H ( p, q,t) L p q
可得
1
dH
dL
s
p dq
1
q dp
s
1
p dq
q dp
L t
dt
H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数, 又有
dH
s 1
H q
dq
H p
dp
H t
dt
由于动量, 坐标和时间都是独立的, 所以
q p
H p H
q
( 1,2, , s)
L
2
2
2T
L
T
V
3 2
mR2 p2X
2mR cospX
p
(M
m)
p
2
3MmR2 m2R2 (1 2sin 2 )
mgR sin
哈密顿函数不含有广义坐标X, 所以X是循环坐标, 相应的广义 动量守恒
M mX mRcos pX C
此时对的正则方程为: p mgRsin
mR cospX M mp
H ( p , q ) L p q
L
2(m1
1
m2
)
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
1
2r
2
p2
1 sin 2
p2
1
2
pr2
1 2
2
(r
r0
)
2
p q
1
m1 m2
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
1
r2
p2
1
sin 2
p2
1
pr2
H
2(m1
1
m2
)
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
1
2
pr2
2
V
(r)
1 2
k(r
r0
)2
1 2
2
(r
r0
)2
L = T－V
1 2 (m1
m2 )(x2
y2
z2 )
1 2
(r2
r2
r2
sin
2
2
)
1 2
2
(r
r0
)2
p x (m1 m2 )x p y (m1 m2 ) y
p
L q
pz
(m1
m2
) z
pr r
p r 2
p r 2 sin 2
第十八讲 哈密顿正则方程
本讲导读
• 勒襄特变换 • 正则变量 相空间 相点 • 哈密顿正则方程 •守恒定理
一、勒襄特变换
在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变
量的变换, 叫勒襄特变换.
定义广义动量
p
L q
T q
则由拉氏方程, 得
p
L q
如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则
q q ( p1, p2, , ps , q1, q2, , qs ,t)
该题还可解得
粒子的径向运动方程． 角动量守恒定律．
[自例由3]质分点别在用势笛场卡V(儿r坐标)中、的柱哈面密坐顿标函和数球H面。坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数s＝3。
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标， 则拉格朗日函数L为
L T V 1 m(x2 y2 z2 ) V (x, y, z) 2
不显含某个pi 或某个qi，即pi ，qi 为循环坐标， 则由哈密顿方程立即得到
H pi
qi 0
qi=const
H qi
pi 0
pi =const
例1 质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上. 楔子底面 也是光滑的, 斜面却是粗糙的, 质量为m, 半径为R的圆 柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下. 求解楔子和圆柱体的 运动.