19哈密顿正则方程
理论力学题库第五章
理论力学题库——第五章一、填空题1. 限制力学体系中各质点自由运动的条件称为 。
质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。
2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。
3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。
4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为 约束。
5. 哈密顿正则方程的具体形式是 和 。
5-1. n 个质点组成的系统如有k 个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的. 5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为 完整约束 .5-3自由度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 . 5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。
5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。
5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。
5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力（主动力 + 惯性力）的总虚功等于 零 。
5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 （或：主动力+拉氏力）。
5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。
5-11.勒让德变换就是将一组 独立 变数变为另一组 独立 变数的变换。
5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。
5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。
5-14. 泊松定理可表述为：若21),,(,),,(c t p q c t p q ==ψϕ是正则方程的初积分，则 []3c ,=ψϕ 也是正则方程的初积分.5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： ],[H p pαα= ； ],[H q q αα= 。
Chapter5-分析力学05-哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
2.循环积分 H ( p , q , t )
H 中不显含
q , p
循环积分 （亦称 广义 动量积分）
1. 一个循环坐标，就有一个循环积分。从而产生一个对应的 广义动量的守恒量.
先考虑两个变量函数的勒让德变换 f f x, y
df udx vdy
f f u ,v x y
若选择u.y 做为独立变量
x xu, y , v vu, y
f u, y f xu, y , y
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程 主讲教师：邱晓燕
p 0 p C
2 c a 2 m r mr 3 2 2 0 mr sin r 2 d c cos 2 mr dt mr 2 sin 3
电子作平面运动, 取 0的平面, c 0
a 2 mr mr 2 0 r d 0 mr 2 dt
H L pr r p p
L 2 2 p mr sin
L pr mr r L 2 p mr
H L pr r p p p 1 a 2 (p r 2 2 ) 2 2m r r sin r
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
本节习题
P366: 5.20, 5.23
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.5 哈密顿正则方程
主讲教师：邱晓燕
哈密顿正则方程
间有干涉。
间没有干涉。
2. 算符的系综平均值： 考虑任意厄密算符 纯粹系综： 混合系综： ，其系综平均值为： 各 间有干涉。 各 间没有干涉。
统计算符
统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵 形式称为密度矩阵。 对混合系综，我们定义统计算符为： 交归一的基矢（ 若 为完全正
• 经过相空间的任何一点只能有一条相轨道;
• 如果一条相轨道不能占满相空间的话，由不同初态出发的不同相轨道 彼此之间不可能相交。
这对我们如何从（微观量的平均值 ---〉宏观量）有很大影响： 仅依赖经典力学规律而且没有随机性介入,做微观量的时间平均可行否？ 历史上进行过这样的尝试。一个很明显的缺陷是平均只在一条相轨道上, 因此平均值可能依赖于初始点的选取。这样我们还需要额外的假定。历 史上波尔兹曼等人曾提出了（强和弱的）各态历经假说： 对孤立的保守力学系统，经过足够长时间后，从任一初态出发都将经过 能量曲面上的一切微观状态（的邻域）。 但在数学上已经证明这不成立！
• 经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子） 力学规律。
9.1 经典和量子统计系综，刘维尔定理
经典力学规律：
一般系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。
由 N 个自由度为 r 的全同粒子组成的系统自由度为 f=Nr。在任意时刻，可记：
这里(q,p)是 2f 维的相空间(Γ 空间)的一个代表点，它代表系统的一个微观状态。 代表点在相空间的运动反映系统微观状态的演化，其轨迹称为相轨道。 系统的运动方程（哈密顿正则方程，H为系统的哈密顿量）：
第九章 系综理论
这一章是平衡态统计物理的核心内容，我们的理论是一般性 的理论，可应用的对象包括了有相互作用粒子组成的系统
哈密顿正则方程
=
V
(r0
)+
∂V ∂r
r0 (r − r0 )
+ 1 ∂2V 2 ∂r 2
r0 (r − r0 )2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
r0
r
V
(r)
=
1 2
k
r2
r = r − r0
L
=T
−V
=
1 2
m ( x& 2
+
y& 2
+
z&
2
)
−
1 2
k
r
2
+
1 2
μ (r&2
+
r
2θ& 2
+
r
2ϕ&
2
sin
2
θ
)
L
=T
=
1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ ) + mgl sinθ
4
= E0
= mgl
θ& θ = 0 =
2g l
y m1
m1x1 + m2x2 = 0
坐标数 约束数
3 x1 = −x2 2
m2 θ
自由度数 1
x
取如图所示 θ 为广义坐标
yc
=
l 2
sin θ
y
y& c
=
l 2
θ&
cos
θ
yc
根据柯尼西定理
T
=
1 2
2my&c2
+
1 2
I cθ& 2
T = 1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ )
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
哈密顿正则方程ppt课件
z v0 er
p mr2 sin2 C(常数) (10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以
r0 e 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。
z轴就是平面极坐标的极轴。
15
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
r2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
(6)
H
p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
0, p 0
p r
p2 mr3
r2
(4')
p 0
(5')
r
pr m
p mr2
(7')
(8')
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
分析力学第七章正则方程
知 必须满足条件：
由此得出重要推论：
当不显含t时， 为运动常数的充要条件是：
3. 泊松定理
如果函数
和函数
分，则函数[f , g]也是正则方程的初积分。
证：由于是f和g正则方程的初积分，得
是正则方程的两个初积
由雅克比恒等式： 得 于是有 即得到:
因此[f,g]=C也是正则方程的初积分.
泊松定理指出: 由正则方程的两个已知的初积分, 可不断地求出新的初 积分.
那么有
；于是得到：
(即在该四种正则变换中哈密顿量保
持不变).
此时正则变换条件变为下列形式：
。
例1.寻求常数 ,使变换
解：由于此变换不显t，有
是正则变换。
即
, 由于q的任意性，得
因此有变换：
该变换被彭家莱应用于天体力学中
例2. 证明变换 关的四类母函数。 解：
是正则的，并求出与该变换相
因此该变换是正则的。其母函数为：
，其中
是n+1个任意常数。
另外，如果我们已知
，其中
是n+1个任意常数。同样可以得到哈密顿—雅克比偏微
分方程：
——这是哈密顿在当时推证所用的方法。 利用哈密顿—雅克比方程求出
---这样就能得到正则方程的全部积分。
由
及哈密顿正则方程
若力学体系的哈密顿函数H中不显函时间t，即 (h是积分常数)。
；则
当约束又是稳定的，则动能可表示为
2n个代数方程是相互独立的，所以可以解出逆变换为：
若通过变量的变换，使得正则方程的形式保持不变，即：
我们把这种变换叫做正则变换。 当取第二类母函数 则正则变换的条件： 变为：
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
哈密顿正则方程
1
哈密顿正则方程
例1-13 半径为a 的光滑圆形金属圈，以匀角速ω绕铅直方向的轴z
转动，圈上套有一质量为m 的小环。
初始时，小环自圆圈的最高点无初
速地沿圆环下滑，试求当与圆圈中心的联线和铅直向上的z 轴成θ角时，
小环的运动方程。
解：这是一个非定常的完整系统，主动力有势。
应用哈密顿正则方程
求解，取广义坐标为θ。
系统的功能T 为
)sin (2
122222θωθa a m T += 系统的势能为
θcos mga V =
拉格朗日函数L 为 θθωθcos )sin (2122222mga a a m L -+= 为求哈密顿函数H ，先求广义动量p θ
θθ
θ 2ma L p =∂∂= 哈密顿函数H 为 θθωθθθθθcos sin 2122242222mga a a m p a m ma p p L p H +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=
正则方程为
θθθθp H p H -=∂∂=∂∂, 得到
θθ =p ma 21 (1) θθθθωp
mga ma -=--sin cos sin 22
(2)
2 由式（1）（2）得到
θ
θθθω 222sin cos sin a ga a -=-- 或者写成
θθθωθsin cos sin 2g a a += 哈密顿函数H 中不显含时间t ，有广义能量积分，即
h g a a '=+-θθωθcos sin 2
121222。
哈密顿力学
哈密顿力学哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。
它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。
但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。
关于这点请参看其数学表述。
哈密顿力学-简介哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。
不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et,t∈R是位置空间。
拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t 的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。
函数H称为哈密顿量或者能量函数。
该辛流形则称为相空间。
哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。
该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。
该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。
该时间的演变由辛同胚给出。
根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。
由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。
泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
当余度量是退化的时，它不是可逆的。
在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。
但是，哈密顿量依然存在。
这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。
这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。
每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。
这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。
亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。
哈密顿正则方程
/ 2m
m
x
2
由正则方程，得 x＝ H p p / m， p － H x m
2
x
由 上 两 式 削 去 p， 得 x 积分，得
2
x 0
x A c o s ( t ) p － m A s in ( t )
表明谐振子的相轨道为沿顺时针方向的 封闭椭圆。 物理与光电工程学院
第五章 分析力学
§5.5 哈密顿正则方程
知识回顾 • 基本形式的拉氏方程
d T d t q T q Q
• 保守系的拉氏方程
d L d t q L q 0
• 拉氏方程的应用
a. 确定自由度 b. 选取广义坐标 c. 写出体系的拉氏函数 d. 解拉氏方程并讨论
2 2
由 定 义 求 p ， 并 进 而 求 哈 密 顿 函 数 H : L ， p L m r 2 sin 2 pr m r， p m r r p 1 m ( r 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 ) H L p r r p 2 r 1 2 m ( pr
g
二、正则方程
y
v,
g u
x
（正则形式）
前面提过，用 P代换L函数的 q有一定的优越性， q P 但只用 代换 而不改变函数的形式，则原函数 对新变量无正则形式，给计算带来麻烦.
下面把L函数: L ( q , q , t ) 和 f ( x , y ) 比较
a o
5 g sin ( R r ) 7
19
物理与光电工程学院
§1.3哈密顿正则方程
§1.3哈密顿正则方程上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 L T U =-，并且发现拉格朗日函数L 是广义坐标和广义速度的函数。
给出拉格朗日方程的表达式。
但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。
为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。
一、广义动量设体系的广义坐标为11,,,s q q q ，对于每一个广义坐标k q ，可以定义一个广义动量： k kLp q ∂=∂ （1） 式中L 为拉格朗日函数，k q 为广义速度。
大家注意，这里我们定义的广义动量和我们一般所说的动量的含义不一定相同。
例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角θ为广义坐标。
则质点的速度为：v r θ=，2221122T mv mr θ==， 2212L T mr θ==，广义动量2Lp mr θθθ∂==∂相当于通常意义上的动量矩。
二、哈密顿正则方程拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即(,)L L q q =，它的全微分11ssk k k k k kL L dL dq dq q q ==∂∂=+∂∂∑∑ （2） 由拉格朗日方程()0k k d L L dt q q ∂∂-=∂∂和广义动量的定义式k kLp q ∂=∂得 k kLp q ∂=∂ （3） 将(1)(3)代入(2)中，dL 可写为11ssk k k k k k dL p dq p dq ===+∑∑ （4）而上式的第二项可写为111()ss skkk k k k k k k p dqd p q q d p ====-∑∑∑ （5）把（5）式代入（4）式得111()sssk k k k k k k k k dL p dq d p q q d p ====+-∑∑∑即111()sssk k k k k k k k k d p q L p dq q d p ===-=-+∑∑∑ （6）定义： 1sk k k H p q L ==-∑ 称作哈密顿函数所以（6）式可写为11ssk k k k k k dH p dq q d p ===-+∑∑ （7）由上式可以看出H 只是各个k q 和k p 的函数。
第七章哈密顿正则方程
H p q j dt 0 j t0 j1 q j
t1 k
对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值， 则 H
j p
j
即得关于变量
q , p , t
j
q j
的Hamilton正则方程
t1
k t1 k k j H Qj q j dt L Qj q j dt p j q t0 t0 j j j 1
H H j p j p j q j q qj p j Qj q j dt t0 q j p j j 1
H j p Q j q j
j
1,2, ,k
其中Qj 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。
例7-1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动 系统的运动微分方程 解：单自由度系统， x为广义坐标
L T V
1 2 1 2 1 2 kx L mx V kx 2 2 2 px L x mx 构造H函数 p x m x 1 2 1 2 L px x mx kx H Px x 2 2 px 2 1 2 kx H x, px 2m 2
t1 t1
对上式进行变分运算，得
H H p q q p p q dt 0 j j j j j j t0 p q j 1 j j
t1 k
将上式中的第一项改写成
d j p j q j p j q dt j 1 j 1
j H p j q j H q j p
分析力学讲义-哈密顿正则方程
∂H j = q ∂p j ∂H p j = (j= 1, 2, , k ) − q ∂ j
因此更便于在计算机上作数值积分。 例 4.1 半径为 r 的圆环管绕垂直轴以匀角速度 Ω 转动，如图示，质量为 m 的小球 P 可在管内无摩擦 地滑动。试写出圆环管内小球运动的正则方程。
(4.7)
再将 H 对 p j 求偏导数，得到
f i ∂H ∂L ∂q j + ∑ pi − j q q = = i ∂p j ∂p j ∂q i =1
(4.8)
则拉格朗日方程(3.2)可改写作
j − p
∂L = 0 ∂q j
(4.9)
从式(4.7)，(4.8)和(4.9)导出以下正则变量的一阶微分方程组，称为哈密顿正则方程：
质点运动的正则方程为：
(c)
= ϕ
pϕ
2
mR p = z z m
∂H ϕ = p − = 0 ∂ϕ ∂H z = p − = −kz ∂z
(d)
H 中不显含ϕ，因此ϕ是循环坐标，对应的循环积分为
= pϕ
∂H 2 Cϕ = mR= ϕ ∂ϕ
（Cϕ为常数）
z = −kz ， 因此有 ，以及 p 由于 pz = mz
例 4.3 图 解：系统自由度：2。取广义坐标：ϕ，z。 系统的动能： T =
1 1 2 1 1 2 + z 2 ) ， 势能： V m ( R 2ϕ = kr = k ( x2 + y 2 + z 2 = k ( R2 + z 2 ) ) 2 2 2 2 1 1 2 + z 2 ) − k ( R2 + z 2 ) m ( R 2ϕ 2 2
经典力学的哈密顿理论精课件
（1）
pr
L r
mr ,
r pr m
p
L
mr 2 ,
p mr 2
（2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)
1 2m
(r 2
r 22 ) ( r
)
1 2m
( pr2
p2 r2
) r
于是得正则方程
r
H pr
pr m
p r
H r
p 2 mr 3
r2
m(r r2 )
（径向运动方程）
r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H
p
•
L
[m
m(
r)]
[1 m 2 2
m
•
(
r)
1 m( 2
r
)2
V
（4）
1
m
2
1
m(
r
)
2
V
2
2
（3）式代入（4）式，得
H
p2
p
•
(
r)
V
2m
正则方程为
H P
p m
(
r)
p
H r
p
V r
（5） （6）
将
p
m
m
r
代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程
r2
（3）
H p
p mr 2
p
H
0
p mr 2 常数 （角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。
解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
L
哈密顿正则方程
§6.哈密顿正则方程引言：哈密顿正则方程是与拉氏方程：0=∂∂-∂∂a a q L qL dt d 等价的动力学方程。
s q L q L dt d a a ,....2,10==∂∂-∂α ，这组拉氏方程是s 个关于广义坐标a q 的二阶常微分方程。
在这组拉氏方程中的拉氏函数L 它是广义坐标q ，广义速度q以及时间t 的函数：),,(t qq L L =。
如果我们把拉氏函数中的广义速度a q 变换成→广义动量αp ，即),,(t p q L L =那么就可以将上面的s 个拉氏方程①化成2s 个一阶常微分方程，而且这2s 个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性②具有一定的对称性。
要想把拉氏函数：),,(t qq L L =变成是广义坐标、广义动量P 及时间t 的函数→),,(t p g L L =，以及将s 个拉氏方程化成2s 个一阶常微分方程。
将会用到勒襄特变换这一数学工具。
∴得先介绍一下：一．勒襄特变换（只作了解，不作要求，大纲不要求讲这部分内容）现在先讨论两个变量的勒襄德变换，假设所给的函数是两个变量x 1 和x 2的函数，即：),(21x x f f =。
则由高等数学的知识可得此函数的全微分：2211dx x f dx x f df ∂∂+∂∂=在此我们令11x f u ∂∂=,22x f u ∂∂=,[ii x f u ∂∂=(i=1,2)]……①并以1u 和2u 为新的变量定义一个新函数g: ∑=-+=-≡212211i i if u x u x f u xg ……②如果我们从变换方程①解出i x ，使i x 是i u 的函数，即)(i i i u x x =，再代入上式②中去，那么，g 就是只含新变量i u 的函数了，即：),(21u u g g =。
我们先对②式两边进行微分，则得：∑∑∑∑=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂-+=∂∂-+=21212121)()(i i i i i i i i i i i i i i i i i du x dx x f u du x dx x f dx u du x dg 又∵将旧变量i x 换成新变量i u 之后，新函数g 就是新变量i u 的函数：),(21u u g g =那么对它微分就有：2211du u g du u g dg ∂∂+∂∂=……*′，将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系：11u g x ∂∂=，222du u g x ∂∂=……③前面我们利用变换方程①把旧的变量x 1,x 2及旧的函数),(21x x f 变为新的变量21,u u 及新的函数),(21u u g g =的方法，就称为勒让德变换。
哈密顿正则方程例题
典型例题3 典型例题
经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触， 经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触，使之 竖直地稳定转动是很困难的，一长为 竖直地稳定转动是很困难的，一长为10cm、直径为 、直径为0.8cm的 的 铅笔，即使以角速度ω0=100rot/s高速转动，也不能稳定地 铅笔，即使以角速度 高速转动， 高速转动 竖直转动，试用分析力学方法解释 竖直转动， 分析： 分析： 铅笔是否能稳定地竖直转动
从拉格朗日函数的表达式知： ψ，ϕ为循环坐标，故： 从拉格朗日函数的表达式知： ， 为循环坐标，
& & & pϕ = ∂L = J*ϕ sin 2 θ + J z cos θ (ϕ cos θ + ψ ) = C1 & ∂ϕ & & pψ = ∂L = J z (ϕ cos θ +ψ ) = C2 & ∂ψ
J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) (1 − cos θ) cos θ J *&& = θ [ − 1] + mgrOC sin θ 2 J* sin θ sin θ & d J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 dθ & [ ] + mgrOC cos θ} = J *θ =− { d θ 2 J* sin θ dθ 1 & 2 J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 + mgrOC cos θ = E 积分有： 积分有： J *θ + 2 2 2 J * sin θ
哈密顿正则方程应用
mm & r 1 2 r & r=f m +m 1 2
s 1 µr 2 & T= 2
'
'
r r µ&& = f r
相对质心运动 相对质心 运动动能
θ
r
µ r
1 m x2 + y2 + z2) T= (& & & c 2 2 2 1
1 µ(r2 +r2θ2 +r2ϕ2 sin2 θ) & & & T= 2
& H = −L+θpθ
3 m R−r)2θ2 −mg(R−r)cosθ +θp & & =− ( θ 4
p θ H= −m (R−r)cosθ g 2 3m R−r) (
2
p θ H= −m (R−r)cosθ g 2 3m R−r) (
则 方 程
2
& = ∂H = 2pθ 根 θ 据 ∂pθ 3m(R−r)2 正 &θ = −∂H = −mg(R−r)sin θ p ∂θ & 2pθ 2g 2gsinθ &= & θ
的
正 则 方 程 解 题 步 骤 分析约束, 分析约束,确定自由度 选好广义坐标 写出系统的T,V,L 写出系统的 写出 H = −L+qα ∂L (α =12,3......) & , ∂qα H=H(q,p,t)
Attention:
广 义
& = ∂L = pα (q, q,t) α & ∂qα
& & qα = qα (q, p,t)
∂L = µr & pr = & ∂r ∂L = µr2θ & p = & θ ∂θ ∂L = µr2ϕsin 2 θ & p = ϕ & ∂ϕ
哈密顿正则变换
正则变换的研究学生xx红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100摘 要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。
是解决正则方程的 解而引入的一种重要的变换方法。
关键词：正则变换；母函数；广义坐标。
1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。
在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。
而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。
在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。
拉格朗日是用s 个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。
后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s 个变为2s 个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。
这组方程叫哈密顿正则方程。
他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。
哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。
本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。
（一）正则变换的目的和条件哈密顿函数是),...,2,1(,p s q =ααα及t 的函数，而哈密顿正则方程则是2s 个一阶微分方程。
如果H 中不出现某个q ，例如q i，则这个不出现q i就是循环坐标，而我们也将由正则方程式),...,2,1(q s H H q p p =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂=ααααα ……（1） 力学体系的哈密顿函数H 中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m ，则动能)(m 21222θ r r T +=。
对平方反比引力问题来讲，势能rmV k2-=，故H=T+V.很显然，这里极角θ是一个循环坐标，故对应的广义动量的微分0p =∂∂=θθ L,即常数===∂∂=θθθ r m L2p即对应的广义动量是守恒的，在这里我们将介绍坐标和动量的变换，是新的哈密顿函数中出现一些循环坐标，如果通过某种变数的交换，能够找到新的函数，设为H*，使正则方程的形式不变，这种变换就叫正则变换。
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——哈密顿正则方程
相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维 空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点, 叫相点.
一维弹簧振子的运动 • 哈密顿量 H=Ep+Ek
L T V
L pi qi
H Ek Ep mx2 / 2 kx2 / 2 p2 1 kx2 2m 2
哈密顿正则方程：
p
H
p2 cos mr 2 sin 3
p 0
r H pr pr m
H p
p mr 2
H
p
p mr 2 sin 2
m r m r2 m r sin 2 2 a
r2
pr m r p m r2θ
p m r2 sin 2 θ
C m r 2 sin 2
m r m r2 C 2 a 0 m r 3 sin 2 r 2
哈密顿动力学的优点之一是便于量子化.另一个优 点在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的 变量广义坐标和广义动量并不对等, 只能对广义坐标进 行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采用的 变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进 行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个到下面正 则变换时进一步分析.
2
V
(r)
1 2
k(r
r0
)2
1 2
2
(r
r0
)2
L = T－V
1 2 (m1
m2 )(x2
y2
z2 )
1 2
(r2
r2
r2
sin
2
2
)
1 2
2
(r
r0
)2
p x (m1 m2 )x p y (m1 m2 ) y
p
L q
pz
(m1
m2
) z
pr r
p r 2
p r 2 sin 2
4
2
1 mR22 1 m (X Rcos )2 Rsin 2
4
2
3 mR22 1 mX2 mRXcos
4
2
所以
L 1 M mX2 3 mR2 2 mRXcos mgR sin
2
4
按定义, 广义动量
pX XL M mX mRcos
p
L
mRXcos
3 mR2
2
所以得到广义速度
[例6] 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子 的电量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数。
1 Ze2 a
V
4 0 r
r
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r 2 sin 2
a r
是循环坐标: p = C
z r e
Ze
y
x
pr
H r
p2 mr 3
p2
mr 3 sin 2
a r2
o
y
L T V 1 m(x2 y2 z2 ) k (x 2 y 2 z 2 ) x
2
2
px
L x
mx
py
L y
my
pz
L z
mz
H L px x p y y pz z
1 m(x2 y2 z2 ) k (x 2 y 2 z 2 )
2
2
pz x p y y pz z
从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数
L L ( p1, p2, , ps , q1, q2, , qs ,t)
二、正则方程
当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时
dL
s 1
L q
dq
L q
dq
L t
dt
考虑广义动量的定义, 得
dL
s
p dq
1
p dq
L t
dt
对于哈密顿量
H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。
1、稳定约束
T＝T2
s
1
T q
q
s
1
T2 q
q
2T
H
s
L
T
1 q
q (T
V ) 2T
H = T ＋ V = h = const
对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且 体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的 机械能守恒。
gt
M m
M m
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
例2：写出粒子在中心势场V=-α/r中哈密顿函数和正 则方程。
解：自由度是2，广义坐标r、θ。
广义动量：
p mr 2
中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：
H
T
V
1 2m
( pr2
p2 r2
)
a r
可以解得正则方程：
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
所以
M mmRg sin
3 MmR2 1 m2R2 (1 2sin 2 )
2
2
这是匀加速转动, 积分一次
3
M mmRsin
MmR2 1 m2R2 (1 2sin
2)
gt
0
2
2
简单推导, 可得
X pX mR0 cos
m2R2 sin
1 2I
p2
p2
sin 2
1 2
2 (r
r0 )2
[例5] 一质量为m的自由质点，受力
F
kr ,
r为位矢，
k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。
解: 取x，y，z为广义坐标。动能为
T m (x2 y2 z2 ) 2
z P
F
V k r2 k (x2 y2 z2) 22
不显含某个pi 或某个qi，即pi ，qi 为循环坐标， 则由哈密顿方程立即得到
H pi
qi 0
qi=const
H qi
pi 0
pi =const
例1 质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上. 楔子底面 也是光滑的, 斜面却是粗糙的, 质量为m, 半径为R的圆 柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下. 求解楔子和圆柱体的 运动.
2、不稳定约束
T T2 T1 T0
s T
1 q
q
2T2
T1
H
s T L
1 q
q
T2
T0
V
H = T2 － T0 ＋ V= h = const
可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不 显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能 量积分。
2 循环积分 若 H =H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中
该题还可解得
粒子的径向运动方程． 角动量守恒定律．
[自例由3]质分点别在用势笛场卡V(儿r坐标)中、的柱哈面密坐顿标函和数球H面。坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数s＝3。
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标， 则拉格朗日函数L为
L T V 1 m(x2 y2 z2 ) V (x, y, z) 2
L
2
2
2T
L
T
V
3 2
mR2 p2X
2mR cospX
p
(M
m)
p
2
3MmR2 m2R2 (1 2sin 2 )
mgR sin
哈密顿函数不含有广义坐标X, 所以X是循环坐标, 相应的广义 动量守恒
M mX mRcos pX C
此时对的正则方程为: p mgRsin
mR cospX M mp
r2'
r2'
m1
m1 m2
r
2' 1'
m1
m1 m2 m2
m1 m2
S r S'
m1 r1' c
r2m' 2
'2 2
m1
m1 m2
2
2
2
'2 1
m2 m1 m2
2
T 1 m1m2 2 1 2
2 m1 m2
2
T 1 (r2 r2 r 2 sin 2 2 )
p
C 2 cos m r 2 sin 3
可见电子的运动与 无关，可令 0 ，则 0,C 0 。
p
d (m r 2)
dt
d (mr2)
dt
C 2 cos mr2 sin 2
0
m r m r2
a r2
0
d (mr 2) 0
dt
h2
r
k2
1 Ah2 cos
k2
m (r r2 ) a
r2
mr 2 const
r 2 h
r
p
1 e cos
在拉格朗日动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写 出动力学方程即拉格朗日方程. 在哈密顿动力学中, 必 须从拉格朗日函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方 程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量 的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程, 所 以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便.
px
L x
m
x
py
L m y
y
pz
L z
m
z
x
px m
y
py
m
z
pz m
H L p q
1 2
m(x2
y2
z2 )
V (x,
y,
z)
px x
p y y
pz z