第07章位移法
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学I-第7章 位移法
4
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
2015-12-21
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14
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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23
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2015-12-21
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
第7章位移法
M BC 4iB 2iC 41.7 M CB 4iC 2iB 41.7
3I0
E
4m
5m
F 4m
M CD 3iC M EB 1.5iB 1.125
M BE 3iB 1.125 MCF 2iC 0.5
M FC iC 0.5
B B EI
6m
C
3m
（1）基本未知量B （2）固端弯矩
Pl 20 6 mBA 15kN m 8 8
mAB 15kN m
mBC ql2 9kN m 8
武汉理工大学土木工程与建筑学院
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
M
M BC
B
0
C
θB
B
M AB
2m A
M BA
2m 14kN B
4m C
MB 0
B
F M BA F M BC
M
A
F AB
F M BA
B
θB
M
F BC
C
B
M AB
M BA
M BC
M BA
M BC
武汉理工大学土木工程与建筑学院
7.1.3 位移法解题的基本步骤
A 2m 14kN B 2m 4m C
M AB 2i B 15
M BA 4i B 15 M BC 3i B 9
(5) 各杆端弯矩及弯矩图
M AB 6 2i 15 16.72kN m 7i
6 B 7i 1 1 Pl 20 6 30 4 4 1 2 1 ql 2 6 2 9 8 8
3I0
E
4m
5m
F 4m
M CD 3iC M EB 1.5iB 1.125
M BE 3iB 1.125 MCF 2iC 0.5
M FC iC 0.5
B B EI
6m
C
3m
（1）基本未知量B （2）固端弯矩
Pl 20 6 mBA 15kN m 8 8
mAB 15kN m
mBC ql2 9kN m 8
武汉理工大学土木工程与建筑学院
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
M
M BC
B
0
C
θB
B
M AB
2m A
M BA
2m 14kN B
4m C
MB 0
B
F M BA F M BC
M
A
F AB
F M BA
B
θB
M
F BC
C
B
M AB
M BA
M BC
M BA
M BC
武汉理工大学土木工程与建筑学院
7.1.3 位移法解题的基本步骤
A 2m 14kN B 2m 4m C
M AB 2i B 15
M BA 4i B 15 M BC 3i B 9
(5) 各杆端弯矩及弯矩图
M AB 6 2i 15 16.72kN m 7i
6 B 7i 1 1 Pl 20 6 30 4 4 1 2 1 ql 2 6 2 9 8 8
7七章位移法
代回（2）MA 代回（ ）
1 ∴ = θA l 2
（4） ）
∆
∆
M A = ( θ A )i M B = −( θ A )i
矩阵形式
4i M A M = 2i B Q 6i − l
2i 4i 6i − l
6i l 6i − l 12i − l −
θ A ⋅ θ B ∆
（刚度方程） 刚度方程）
§3 无侧移刚架
位移法中,刚架可分为 位移法中 刚架可分为 无侧移刚架 无侧移刚架 有侧移刚架 有侧移刚架
仅有结点转角θ 无侧移刚架 仅有结点转角 ，无 ∆ ——无侧移刚架 无侧移 有结点线位移 ∆ 每一刚结点有一θ ——有侧移刚架 有侧移刚架 有侧移
A
αi
Ni A P
A1
（基本未知量） ∆ 基本未知量）
2.结点 平衡 结点A平衡 结点
Σ N i sin α i = P
P
∆ ∆ l1
N i=
EAi sin 2 α i （基本方程） ∴( Σ )∆ = P 基本方程） li
∆=
=L
P EAi sin 2 α i Σ li
求出∆ 求出
3. ∆代回刚度方程 代回刚度方程
8.4
C
○ 4 16.8
M B 2 = 4i2θ B + 2i2θ C + M = 4θ B + 2θ C − 32 （－20.2） （－ ）
F M C 2 = 4i2θ C + 2i2θ B + M C 2 = 4θ C + 2θ B + 32 （25.2） ）
D
10.1
8.4
第七章 位移法(结构力学)
4m
用位移法计算并作图示结构M图，横梁 为无穷刚梁EI→∞，两柱刚度均为EI
7.5
典型方程法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
位移法典型方程
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q C
F1
q C
A l
βA EI=常数
A θA
F1=0
A A
B
A A A A
F1 0 F1 0
B l
基本体系 转化为原结构的 条件：基本结构 在给定荷载以及 结点位移∆1作用 下，附加约束反 力应等于零。
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B
M AB
3i 3i A l
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1) A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1）
荷载引起的杆端内力称为载常数.
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
第七章-位移法(部分)
自由项表示基本结构只发生已知支座位移或温度变化时（无结点位移），附加约 自由项表示基本结构只发生已知支座位移或温度变化时（无结点位移），附加约 ）， 束上产生的约束力。 知量的结构发生支座位移时的位移法方程为
∑r Z
j =1 ij
n
j
+ Ric = 0
( i = 1, 2,L , n )
EI 0.06 l
EI 0.02 l
Mc图 图
R1c
R2c
基本结构只发生已知的支座位移
R1c = −0.04
Strucural Analysis
EI l
R2 c = −0.06
EI l
0.04
EI l
各选择哪个隔离体? 各选择哪个隔离体?利用 哪个平衡条件计算？ 哪个平衡条件计算？
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
改变 §7-7 ‹a‹ ˆ‘‰>•7 况 温 改变
+t1 = 40o D +t2 = 20
o
计
【例2】试建立图示结构的位移法方程，并计算方程的自由项。所有杆件均 】试建立图示结构的位移法方程， 为矩形截面， 为矩形截面， h = l /10 ，EI = c ，材料线膨胀系数为 α 。
C
+t1
Z1
l +t1 2
改变 §7-7 ‹a‹ ˆ‘‰>•7 况 温 改变
A
10m
计
杆造长了1cm，如何用位移法作弯矩图？ 【思考题】图示刚架EI=c，AB杆造长了 思考题】图示刚架 ， 杆造长了 ，如何用位移法作弯矩图？
B
10m
Strucural Analysis
∑r Z
j =1 ij
n
j
+ Ric = 0
( i = 1, 2,L , n )
EI 0.06 l
EI 0.02 l
Mc图 图
R1c
R2c
基本结构只发生已知的支座位移
R1c = −0.04
Strucural Analysis
EI l
R2 c = −0.06
EI l
0.04
EI l
各选择哪个隔离体? 各选择哪个隔离体?利用 哪个平衡条件计算？ 哪个平衡条件计算？
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
改变 §7-7 ‹a‹ ˆ‘‰>•7 况 温 改变
+t1 = 40o D +t2 = 20
o
计
【例2】试建立图示结构的位移法方程，并计算方程的自由项。所有杆件均 】试建立图示结构的位移法方程， 为矩形截面， 为矩形截面， h = l /10 ，EI = c ，材料线膨胀系数为 α 。
C
+t1
Z1
l +t1 2
改变 §7-7 ‹a‹ ˆ‘‰>•7 况 温 改变
A
10m
计
杆造长了1cm，如何用位移法作弯矩图？ 【思考题】图示刚架EI=c，AB杆造长了 思考题】图示刚架 ， 杆造长了 ，如何用位移法作弯矩图？
B
10m
Strucural Analysis
位移法
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
第七章 位移法
第 七 章 位移法
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
结构力学(龙驭球)第7章_位移法
(1)
B FQBA
C FQCD
Fx 0 FQBA FQCD 0
(2a)
q=3kN/m
如何求杆端剪力?
求剪力的通用公式：
MMABBA
q
FQBA
6iB 3.75i 24 0
3 42 12
4iB
1.5i 4
M BC 3(2i)B 6iB
3i M DC 4 0.75i
M AB 2iB 1.5i 4
⑶ 位移法方程：
M BA 4iB 1.5i 4
M DC 0.75i
B MBC M B 0
M BA M BC 0
(1a)
MBA
10iB 1.5i 4 0
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
① 用观察的方法判定：
2
C
C
D
D
1
A
B
② 用几何构造分析的方法确定：
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的 几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联 系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移 数。
2、基本方程的建立
用位移法分析图示刚架：
第7章 位移法
A
M
F AB
MF BA
0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB
M BA
6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB
ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA
ql 2 8
q
q
A
M
F AB
ql 2 8
A
M
F AB
ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1
第七章位移法
二. 荷载作用下求固端弯矩 单跨超静定梁仅由荷载作用产生的杆端弯矩和杆端力，叫固 F F F F 端弯矩和固端剪力 M AB , M BA和FQAB , FQBA 只与荷载形式有关的常数，叫载常数。为了便于运用，将其 数值列于表7-1中。 在已知荷载和支座位移作用下，杆端内力的一般公式： 1） 两端固定梁的杆端弯矩和杆端剪力：
+ 12
∆ l2
2）列平衡方程：
∑M ∑F
θA =
3FP l 25FP l ,∆ = 16i 96i
2
A
= 0, M AB + M AC + M AD + M AE = 0
x
= 0, FQAC = 2 FP
∆ F l 11iθ A − 6i − P = 0 l 2 − 6i θ A + 12i ∆ = 2 F P l l2
θ3
△7
θ4
θ5 △8
θ6
θ1 △5 θ3
θ2 EA θ4
△7 △6
△1 △2
等截面杆件杆端内力（ §7-2 等截面杆件杆端内力（M和FQ）
方向规定: ●1 方向规定: 杆端M和杆端FQ, 都以对杆端顺时针转向为正；对结点或支座 而言，弯矩以逆时针为正。 结点转角θA、θB以顺时针转向为正，杆件两端相对线位移也 以顺时针转向为正。
3FPl/28 FQBA
M AB + M BA FQAB = FQBA = − l 3 FP l FP + 328 l 9 56 =− = − FP l 56
FQBC = M BC FP 3FP FP 17 + = + = FP l 2 28 2 28
3FPl/28 FQBC
第07章位移法
22
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B
A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
D值法(广义反弯点法)。
2
§7-1 位移法基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即： 结构
拆成 搭接成 杆件 第二步 第一步
结构
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B
A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
D值法(广义反弯点法)。
2
§7-1 位移法基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即： 结构
拆成 搭接成 杆件 第二步 第一步
结构
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
第七章 位移法
位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端 位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
第七章--位移法专题知识讲座
同理，另两类杆旳转角位移方程为
A端固定B端铰支
M AB
3i A
3i l
AB
MF AB
A端固定B端定向
M AB
i A
MF AB
M BA
i A
MF BA
A
B
位基
移本
法单
A
B
中跨
旳梁
超静定单跨梁旳力法成果(1)
形=形常数
载=载常数
形
形
载
表达要熟记！！！
超静定单跨梁旳力法成果(2) 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(3) 载
第二种基本思绪
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .怎样求解?
以A 点转角做
M
q
Δ
FP FP
基本未知量,设
为 .在A 施加
限制转动旳约 束,以如图所示
FFP P
体系为基本体 系(基本构造旳
定义和力法相
仿).
根据两图结点平衡
第二种基本思绪
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作
载 载
1
超静定单跨梁旳力法成果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁旳力法成果(5) 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(6) 载
载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(7) 载
形 载
载
超静定单跨梁旳力法成果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(9) 载
2
载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(10) 载 载
已经有旳知识：
（1）构造构成份析；
（2）静定构造旳内力分析和位移计算；
（3）超静定构造旳内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁
位移法——位移法的概念
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
m
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC
=
4iq A
FPl 8
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q B
A
A
变形图 (b) A q
A
B C
MAB
(c)
A
MAC
A
FP
16
得到的是杆件的刚度方程。此时，可以获得各杆 端弯矩的表达式。 ① AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位 移A、，并承受已知荷载q的作用。
M AB 6i ql 2 4i A l 12
形常数
i
附加转动约束
E B F C
确定角位移图
确定线位移图
n=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=3
6
(a) D A
C E
(b) D
C
E
B
A
B
确定线位移图
n=3(C、D、 E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
二、基本未知量
力法：力法的基本未知量是多余未知力； 位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位 移(角位移和线位移)。
位移法与力法一样，求解的第一步就是要确定
结构的基本未知量。
4
基本未知量的确定：
基本未知量数目n=结点角位移()数+独立的结点 线位移()数 结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定) 附加转动约 束(刚臂约 束)：只阻 止结点的转 动，不阻止 结点的线位 移。
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9) (d)
(1) 当不考虑轴向变形时，(4) (2) 当考虑轴向变形时，(9)
(1) 当0时，(3) (2) 当=0时，(2)
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点 (不包括支座结点)的转角或线位移。 2、选取内部结点的位移作为未知量就满足了变形 协调条件；位移法方程是平衡方程，满足平衡条件。 3、附加支杆和附加转动约束后的体系称为原超静 定结构的基本结构。 4、支座结点的可能位移不作为位移法基本未知量 的原因是： (1) 减少未知量的数目 ； (2) 单跨超静定梁 的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移 ( 转角
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
3
位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转 变为简单杆件的分析与综合的问题。 杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。
i
C
13
4、杆端弯矩表达式(两种情况叠加)
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
B
5、建立位移法方程 由结点B平衡可得
2 ql 3i B 0 3i B 0 M B 0 M BA M BC 8 2 ql 2 ql 3i B 3i B 0 6i B 0 8 8 ql 2 6i B B 0 6、求解基本未知量 8
M AB M AC 0
6i ql 2 3FPl 7i A 0 l 12 16 （a）
FQAB
A
AC
MAB FP MAB
18
x 0
FQAB 0
A
C
ql 2 M B 0 FQAB l M AB M BA 2 0
FQAB M M 6i A 12i ql ql ( AB AB ) 2 l l 2 l l 2
、线位移)的影响，如下图示。
10
q A
M
F AB
q
B
ql 2 8
A
F M AB 2 ql F M BA 12
B
A
A
i EI / l
B
A
A
i EI / l
B
M AB 4i A
M BA 2i A
M AB 3i A
5 、位移法的基本结构可看作单跨超静定梁的组
1、两端固定梁 i EI
A
l
M AB 4i A M BA 2i A
EI
B
A
A
i
A
B
l
MAB
B
MBA
M AB 2i B M BA 4i B
A
i
MAB
B
i
MBA
B B
A
A
EI
B
l
B
A
24
M AB
6i M BA l
6i M AB 4i A 2i B 也叫转角 l 位移方程 6i M BA 2i A 4i B l 由杆件平衡可得： F F 1 ( M M ) QAB QBA AB BA l 6i 6i 12i A B 2 l l l
22
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B
A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁
在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
11
三、位移法的解题步骤(解题途径) 示例1：作图示两跨连续梁的弯矩图。
A B EI l q
B
EI l
C
1、确定基本未知量
取结点 B的转角B作为基本未知量，这就保证了
AB杆与BC杆在B截面的位移协调。 2、在B结点加附加转动约束( )。
(1) 将求得的 A 、 代入杆端弯矩表达式，可求 出杆端弯矩的值。
(2) 根据杆端弯矩的值，利用与静定结构作弯矩
图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图。
这里主要是介绍的位移法求解超静定结构的基
本过程与方法，具体的计算后面给出。 值得指出的是： 在确定结构的基本未知量之前引入假设：对于 受弯杆件，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
A
B
C
3ql 2 32
M图
15
示例2：作图a示刚架的弯矩图。 主要介绍位移法的解 题途径。 1、确定基本未知量
q
A
FP
EI、l
C
A、A=
2、设法求出A、
方法：把结构拆成杆 件(图b、c) (1) 杆件分析：就是杆 件在已知端点位移和已知 荷载作用下的计算问题。
EI、l (a) B FP C A
FQAB
A FP
MAB A FQAB
C
即：
6i A 12i ql 2 0 l l 2
q
(b)
B FQBA MBA
(3) 求基本未知量A、
联立求解方程(a)和(b)即可获得结点位移A、 。 位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移 一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。
19
3、作弯矩图。
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
EI MBA A i l
MAB MAB
(1) A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
29
(2)
MAB EI A i l
MAB
A
M AB
MAB i EI
B
A
A
EI i l
B
3i 3i A l
第七章 位移法
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 位移法基本概念 等截面直杆的刚度方程 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 剪力分配法 对称结构的计算 支座移动、温度变化及具有弹簧支座 结构的计算
位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方 法，它比力法有更大的优越性和通用性。位移法不但 可以计算超静定结构，也以可用来解静定结构。 矩阵位移法：随计算机的发展而形成的； 位移法 衍生出 的方法
上式就是两端固定梁的刚度方程。
等号右边矩阵中的系数称为刚度系数，即产生单 位杆端位移所需施加的杆端力。 刚度系数是只与杆件的截面尺寸和材料性质有关 的常数，又称为形常数。
26
2、一端固定、一端简支梁
M AB
M AB 3i A
A
EI
B
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
25
6i 4 i 2 i l M AB A 6i 4i M BA 2i B l F QAB 6 i 6 i 12 i 2 l l l
EI (线刚度) l
q