勾股定理(一)
八年级数学上册 第一章 勾股定理专题课堂(一)课件
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD＝3，BD＝5.求AB 的长． 解：过D作DE⊥AB于E，根据(gēnjù)AAS可得△ACD≌△AED，所以CD＝DE，AC＝ AE，在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，解得BE＝4.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， 即(AE＋4)2＝AC2＋82，解得AC＝AE＝6，所以AB＝BE＋AE＝10
第一章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
专题课堂(kètáng)(一) 勾股定理
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勾股定理与分类讨论(tǎolùn) 在涉及三角形的边和高等问题时需要分类讨论．
例1：已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的平方为_______．13或5 分析：此题已知直角三角形的两边长，但未明确这两边是直角边，还是斜边，因此较 长边3既可以是直角边，也可以是斜边．
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勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)与折叠问题
抓住折叠前后的对应线段，对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中，用 勾股定理来解决．
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例3：如图，在△ABC中，∠A＝90°，沿CD折叠(zhédié)△ABC，点A恰好落在BC边上 的E处，AB＝4，AC＝3，求BD的长． 分析：由折叠知道AD＝DE，∠A＝∠CED＝90°，AC＝CE. 解：在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2，得BC＝5，所以BE＝BC－CE＝BC－AC＝2， 设BD＝x，则DE＝AD＝4－x，在Rt△BED中，BD2＝DE2＋BE2，即x2＝(4－x)2＋22， 解得x＝2.5，所以BD＝2.5
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运用勾股定理列方程பைடு நூலகம்解决非直角三角形的求值问题时，一般作垂线构造(gòuzào)直角三角形，并运用勾股 定理列方程，体现数形结合思想．
9-勾股定理1
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ， ， ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【典型例题】
题型一：勾股定理的判定
例1:已知一个三角形的周长为12，其中两边长分别为3和4，则此三角形是（）三角形。
（2）.在 ABC中，若 =（ + ）（ - ），则 ABC是三角形，且 .
小试牛刀：
1、已知 与 互为相反数，试判断以 、 、 为三边的三角形的形状。
2、.若 ABC的三边 、 、 满足条件 ，试判断 ABC的形状。
3.已知 则以 、 、 为边的三角形是
例4：已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB= ，AC=4，AD是BC边上高，求BC的长。
4、如图，直线 上有三个正方形 ，若 的面积分别为5和11，则 的面积为（ ）
（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）55
5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面 倒下到 的位置，连结 ，设 ，请利用四边形 的面积证明勾股定理： .
6、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为 的正方形，小颖将
A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里
3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
【典型例题】
题型一：直接考查勾股定理及逆定理
例1.在 中中，
⑴已知 ， ．求 的长⑵已知 ， ，求 的长分析：
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)
第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2． 考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1； 根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ． 考点：等腰直角三角形． 专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半． 那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2， 那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。
勾股定理进阶版公式(一)
勾股定理进阶版公式(一)勾股定理进阶版公式1. 勾股定理简介勾股定理是一条几何定理，描述了直角三角形之间边长关系的准确公式。
根据勾股定理，如果一个三角形的两个边长的平方的和等于第三边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
2. 传统勾股定理公式传统的勾股定理公式可以表示为：c2=a2+b2。
其中，a、b表示直角三角形的两个直角边的长度，c表示假设的斜边的长度。
例子：假设直角三角形的直角边a的长度为3，直角边b的长度为4。
根据勾股定理，可以计算斜边c的长度：c2=32+42=9+16=25则c=√25=5。
因此，直角三角形的斜边长度为5。
3. 勾股定理进阶版公式除了传统的勾股定理公式外，还存在勾股定理的进阶版公式，可以解决一些特殊情况下的问题。
邻边和斜边求另一条邻边这个公式可以表示为：a=√c2−b2。
例子：假设直角三角形的斜边c的长度为5，直角边b的长度为3。
根据进阶版公式，可以计算直角边a的长度：a=√52−32=√25−9=√16=4因此，直角三角形的直角边a的长度为4。
斜边和一条邻边求另一条邻边这个公式可以表示为：b=√c2−a2。
例子：假设直角三角形的斜边c的长度为5，直角边a的长度为4。
根据进阶版公式，可以计算直角边b的长度：b=√52−42=√25−16=√9=3因此，直角三角形的直角边b的长度为3。
总结勾股定理进阶版公式提供了更加灵活的求解方法，可以根据已知条件求解直角三角形的边长。
在实际应用中，这些公式可以帮助我们计算建筑、工程等领域中的各种角度和边长的问题，提高精度和效率。
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
小学五年级奥数之勾股定理(1)
小学五年级奥数之勾股定理（1）勾股定理：一个直角三角形中，构成直角的两边叫做直角边；直角所对的边叫做斜边。
直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角边为a和b，斜边为c，那么有：a²+b²=c²。
其中斜边是直角三角形中最长的边。
一般∠A对应的边是a，∠B对应的边是b，∠C 对应的边是c。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。
一、基础训练1、在直角三角形ABC中，∠C=90度，如果a=6、b=8,那么c=（）；2、在直角三角形中，∠C=90度，如果a=5，c=13，那么b=（）；3、在直角三角形中，∠c=90度，如果c=625，b=20，求a=（）；4、以下各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）。
A 6、7、8B 8、10、12C 10 24 26 D、20 、15、6245、一个直角三角形的一条直角边是12厘米，斜边是13厘米，问这个直角三角形的面积是多少平方厘米？6、下面正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=8厘米、AB=6厘米,BC=20厘米，问正方形ABCD的面积是多少平方厘米？7、下面大正方形ABCD中，由4个一样的直角三角形和一个小正方形拼成，其中AF=3厘米、CE=7厘米,大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？8、如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别是a、b、c;A、B、N、E、F五点在同一直线上，则正方形CNHM的面积是多少?单位：厘米)，用含有a、b、c、d的字母来表示。
9、如图，正方形网状格子组成的图中，AB、CD、EF、GH四条线段，其中可以构成直角三角形的三边的线段是（）?10、一个圆拄形的杯子中放着一根吸管，最多可以露出4厘米，最少可以露出2厘米，这个吸管的长度是12厘米，问玻璃杯底面直径是多少厘米？11、一根绳子在一个圆柱上从一端到另外一端绕了4整圈，如下图所示，圆柱底面周长4米，长12米，你可以算出绳子的长度吗？12、右图是美丽的人造平面珊瑚礁图案。
勾股定理1(3)
正方形B的面积是
9 个单位面积。 正方形C的面积是
（图中每个小方格代表一个单位面积）
个单位面积。
你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
C A
B 图2-1
（2）你能发现图中 三个正方形A，B， C的面积之间有什 么关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
ab 2
+(b- a)2
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
2
=2ab+b2-2ab+a2
c
a
=a2+b2
b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代人对 数学的钻研精神和聪明才智，它是我国 数学的骄傲。 中国古代的数学家们不 仅很早就发现并应用勾股定理，而且很 早就尝试对勾股定理作理论的证明。最 早对勾股定理进行证明的，是三国时期 吴国的数学家赵爽。正因为此，这个图 案被选为2002年在北京召开的国际数学 家大会会徽。
A
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
17
15
BC2=AC2-AB2=172-152=64
∴BC=√64= 8
B
C
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
A =625
225
400
81
B =144
225Biblioteka 2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
勾股定理(一)
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
汉代赵爽的证法
c b a
c2 = b2 + a2
b
c
c b
a
a
1 方法(一): (a b)(a b) 2
对比两种方法, 1 1 方法(二): 2 ab c c 你能得到什么?
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
第一章--勾股定理同步练习(16页)
第一章勾股定理测试1 勾股定理(一)一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．(A)4 (B)6 (C)8 (D)1028．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；图②(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图③测试2 勾股定理(二)课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．3题图4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．4题图二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．5题图(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．6题图(A)212(B)310(C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)课堂学习检测一、填空题1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 二、选择题6．已知直角三角形的周长为62 ，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41(B)43(C)21(D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少? 15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a＝6，b＝8，c＝10 (B)3,2,1===cba(C)43,1,45===cba(D)6,3,2===cba10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶169 11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．第十八章勾股定理全章测试一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．8题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( )(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c(B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9，40，4110．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．10题图(A)450a元 (B)225a元 (C)150a元 (D)300a元11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．(A)2 (B)3 (C)22 (D)3212．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )．(A)5 (B)135 (C)1313 (D)59三、解答题13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD 的长．14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．图1 图2 图3(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案 勾股定理 测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2． 3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元．13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3． 13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)参考答案 勾股定理全章测试1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 7．26或.2658．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △． 9．D ． 10．C 11．C ． 12．B13．.2172提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长．14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ． 15．提示：过A 作AH ⊥BC 于HAP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH ) ＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2 ＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16． 16．14或4．17．10； .16922n +18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++ 19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+． ③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3由勾股定理得：325=x ，得△ABD 的周长为.m 380。
勾股定理(一)
34A ．16B ．18A ．225B ．22C ．D ．5．．．．3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米B．3米C．（5+1）米D．3米5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：距离为___ ．A．(4+ )cm B．5cm C．35cm D．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45mB ．3mC ．4mD ．5mA ．12cmB ． 97cmC ．15cmD ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）A ．3B ． 2+2C ． 10D ．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A 环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A 点正上方的油罐顶部的B 点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm ．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。
勾股定理(1)优秀学案
222a b c +=勾股定理(1)学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想2.掌握勾股定理，并应用它解决一些简单问题3.理解并利用割补法证明勾股定理一．情景引入1.勾股定理的历史及背景2.如图（1）所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形。
各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？（1） (2)二．新知探究1.（1）能发现图(2)中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论： 。
合作探究（2）观察下图，填表。
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
3.合作探究 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证:归纳定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________4. 证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（1）.传说中的毕达哥拉斯证法(提示（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面相等.)A 的面积B 的面积C 的面积 左图 右图 A B C C B AC A BD（2）.美国的20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法.提示：3个三角形的面积的和=梯形的面积三．典型题例例题1．在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则它的三条边之比为( )A ．1:1:2B ．1:3:2C ．1:3:2D ．1:4:1例题2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
例题3.如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，AC=4，BC=33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，BD ．(1)求线段CD 的长； (2)求线段DB 的长．四.活学活用：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若5=a ，12=b ，则c =_________； （2）若15=a ，25=c ，则b =___________；2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若5=a ，1=-b c 则=b ____；c = （2）若4:3:=b a ，10=c 则S Rt △ABC =________。
八下教学案(第一章勾股定理)
§1.1勾股定理(1)【教学目标】1.会用面积法探索勾股定理，并掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算.【重点】:勾股定理的内容及证明.【课堂学习】一.导1.20XX年8月2日世界数学年会在北京召开，下图是本届年会的会徽，这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.你知道勾股定理吗？2.相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.你知道这个数量关系吗？二.学1.下图中A、B、C的面积各是多少？它们之间有什么关系？图(1)中，S A= ，S B= ，S C= .图(2)中，S A= ，S B= ，S C= .通过(1)、(2)发现:S A+S B=S C，也就是说:在等腰直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.2.在任意的三角三角形中，具有这样的数量关系吗？图(3)中，S A = ，S B = ，S C = . 图(4)中，S A = ，S B = ，S C = .由上可知，在任意的直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.3.你能用三角形的边长表示正方形的A 、B 、C 面积吗？S A = ，S B = ，S C = .因为S A +S B =S C ，所以 . 4.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 三.议 例1.判断题:(1).如果三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (2).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (3).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，且c 为斜边，则222c b a =+ （ ） 例2.求出下列直角三角形中未知边的长度.四.练1.求下列图中字母所表示的正方形的面积:S A= ，S B= .2.⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a:b=3:4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .五.悟:本节课你有什么收获？【课后练习】:1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a,b,c是△ABC的三边，则⑴c= .（已知a,b,求c）⑵a= .（已知b，c求a）⑶b= .（已知a，c，求b）2.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= . ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= .a =2，则b= .⑶如果∠A=45°，a=3，则c= . ⑷如果c=10，b⑸如果a,b,c是连续整数，则a+b+c= .⑹如果b=8，a:c=3:5，则c= .3.如图，欲测量嘉陵江的宽度，沿江岸取B.C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 .BC§1.1勾股定理(2)【教学目标】:掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 【重点】:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.【课堂学习】:一.导(1)勾股定理的内容是；(2)直角三角形两边长为3和4，则第三边长；(3).图中x的值是 .二.学1.拼图验证. 用准备的四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）拼出正方形.①如图1，用两种方法表示大正方形的面积是 =②如图2，用两种方法表示大正方形的面积是 =③化简上面的式子，你可以验证勾股定理吗？2.请利用图3验证勾股定理:三.议:例1.如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？OABCDx1517例2.折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.C F四.练——课堂练习 1.若△ABC 中，∠C=90°(1)若a =5，b =12，则c = ； (2)若a =6，c =10，则b = ； (3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3.直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4.等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）.A.302cmB.1302cmC.1202cmD.602cm五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.2.一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？§1.1.2 勾股定理(3)【教学目标】1.能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；2.会在数轴上表示无理数.【重点】:利用勾股定理在数轴上表示无理数.【课堂学习】一. 导在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=1，b=1，则c= ；(2)若a=1，b=2，则c= ；(3)若a=1，b=3，则c= ；(4)若a=1，b=4，则c= ；…………依次类推:若a=1，b=n，则c= .二.学:阅读教材1.根据上面的规律，你能画出长度为1、2、3……n的线段吗？2.我们知道数轴上的点与实数是一一对应的.你能在数轴上画出表示1、2、3……n的点吗？三.议:例1.如何在数轴上画出表示13的点？【分析】:除了上面的方法外，利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边.【作法】:在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点.例2.已知:如图，等边△ABC 的边长是6cm .⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC.四.练 1.填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b =15，则c = .⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b =4，则c = . 2.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积. 3.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A. 4cm B. 34cm C. 6cm D. 36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 333.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.“路”4m3m5.在△ABC中，∠C＝90°(1)已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；(2)已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；(3)已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .6.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .cm，则AB＝.7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝3028.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为 .9.一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家.到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm.你认为小明能拿进屋吗？ .10.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树m/的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大梢上发出友好的叫声，它立刻以4s树和伙伴在一起？§1.2.1勾股定理的逆定理(1)【教学目标】1.理解勾股定理逆定理的证明方法；掌握勾股定理的逆定理；2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形，体会数形结合的思想方法；3.能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 【重、难点】1.重点:理解和运用勾股定理的逆定理.2.难点:勾股定理的逆定理的证明. 【学习过程】 一.导1.勾股定理的内容的是: .2.把勾股定理的题设和结论交换你会得到一个命题: .3.勾股定理的逆命题成立吗？如何证明？ 二.学1.画一个边长为3cm ,4cm ,5cm 的三角形，并观察猜测个三角形的形状？2. 三边长度为3cm ,4cm ,5cm 的三角形与以3cm ,4cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？请简要说明理由？3.△ABC 三边长为a ,b ,c 且满足222c b a =+，那么△ABC 与以a ,b 为直角三角形之间有何关系？试说明理由？BCC14.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a ,b ,c ，且满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.5.在一对命题中，第一个命题的题设为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.若如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题.6.若一个定理的逆命题成立，我们就把这个逆命题叫做这个定理的逆定理.任意一个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理. 三.议例1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.猫有四只脚.2.线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.3.对顶角相等.4.角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. 例2. 判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)a =15，b =8，c =17 (2)a =13，b =14，c =15【说明】像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）.你还能说出一些勾股数吗？例3.如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.四.练1.判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形.(1)a =15 b =8 c =17 （ ） (2)a =13 b =14 c =15 （ ） 2.判断正误:(1)△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且满足222b c a -=那么△ABC 不是直角三角形.（ ） (2)△ABC 中a =5，b =13，c =12，因为222c b a ≠+所以△ABC 不是直角三角形.（ ） (3)在△ABC 中三边长分别为a =10 , b =6, c =8, 因为222a c b =+，所以∠C=900（ ）(4)任何一个命题都有逆命题，任何一个定理都有逆定理.( ) 五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a :b :c =2:3:4D.a =5k ，b =12k ，c =13k （k ＞0）2.如图，已知∠B=90°，AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，求四边形ABCD 的面积.3.已知:在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若n 表示大于1的整数且12-=n a ，n b 2=，12+=n c .那么a 、b 、c 是一组勾股数吗b ？如果加以证明，若不是说明理由.§1.2.2勾股定理逆定理(2)【教学目标】:1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.2.培养学生的发展逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合. 【难点】:勾股定理的逆定理的应用 【课堂学习】 一.导1.如果线段a 、b 、c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）.A.5，6，7B.10，8，4C.7，25，24D.9，17，15 3.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）. A.a -1，a 2，1+a B.1-a ，2 ，1+a C.1-a ，a 2，1+a D.1-a ，a ，1+a4.若△ABC 的三边a .b .c 满足182-+b a +2)18(-b +30-c =0则△ABC 是 三角形. 二.学例 1.“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？三.议例3.已知正方形ABCD 中E 为AD 的中点，CF=3DF.求证∠BEF 为直角.CA四.练1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A.3，4，5B.2，3，4C.5，10，15D.4，5，62. 下列条件①∠A=∠B=∠C ； ②∠A+∠B=∠C ； ③∠A=∠B=300；④∠A+∠B=450；⑤∠A=∠B=450；能判断△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A.2个B.3个C.4个D.所有的条件都不能判断3.等腰三角形的周长为36厘米，底边上的高为12厘米，则该三角形的面积为 .4. 一个直角三角形的三边长为连续的整数，则它的三边长分别为 ；一个直角三角形的三边长为连续的三个偶数，则它的周长为 .五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.请完成以下未完成的勾股数:(1)8、15、_______；(2)10、26、_____.2.△ABC 中，222c b a =+，722=-b a ，又c =5，则最大边上的高是_______. 3.以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.A.3+1，3-1，22B.7，24，25C.4，7.5，8.5D.3.5，4.5，5.54.一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）. A.12.5 B.12 C.152 D.95.已知:如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB ⊥AD.求证:BC ⊥BD.6.一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？§1《勾股定理》单元复习【知识要点】1.如图，在△ABC 中，设BC=a ,AC=b ,AB=c①.若∠C=90°，则a 、b 、c 之间的关系为 . ②.当a 、b 、c 之间的关系满足 时，∠C=90°. 2.勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边，求第三边.（直接代入公式）(2)已知直角三角形的一边及另两边的关系，求另两边.（利用勾股定理列方程） 3.勾股定理逆定理的应用:用作直角三角形的判定. 【典型例题】【例1】.填空题:在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a =7，c =25，则b = . ⑵如果∠A=30°，a =4，则b= . ⑶如果∠A=45°，a =3，则c = . ⑷如果c =10，b a -=2，则b = . ⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则c b a ++ .⑹如果b=8，a :c =3:5，则c = .【例2】.如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=10cm ，折叠矩形的AD 边，使D 点落在BC 边的F 处，求CE 的长.FD ABC【例3】.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 边的中点，E 是BC 上一点，且CE=BC 41. 求证:∠AFE=90°BDabCA【课后练习】， 一、填空题1.如图，有一块边长为12米的正方形草地，有人常走捷径AB ，为此，小明在A 地立了一个标牌“少走 米，踏之何忍”.5米12米ABF BADC2.利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 .3.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是 6，则它底边上的高为 .4.如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD.BC 于E.F ，连接CE ，则CE的长为5.若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论:① 以2a ，2b ，2c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③ 以b a +，h c +，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④ 以a1，b 1，c1的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为 . 二.选择题:1.以OA 为斜边作等腰直角三角形OAB ，再以OB 为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC ，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB 与△OHJ 的面积比值是（ ） A.32B.64C.128D.256cba2.如图，直线上有三个正方形a ,b ,c ，若a ,c 的面积是5和11，则b 的面积是（ ） A.4B.6C.16D.553.以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）A.（1，3，2）B.（3，4，5）C.（3，4，5）D.（32，42，52）4.左图是一个边长为）（n m +的正方形，小明将图左中的阴影部分拼成右图形状，由左图和右图能验证的式子是（ ）A.mn n m n m 4)(22=--+）（B.mn n m n m 2)()(222=+-+C.2222)(n m mn n m +=+-D.22))((n m n m n m -=-+nn mmnm三.解答题:1.如图，在一棵树的10米高的B 处两只猴子，其中一只猴子爬到树下，走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到池塘A 处（假设它经过的路线是直线），如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高度.2.如图，八年级五班几名同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插到离湖1米远的水底，只见竹杆高出水面0.2米，把竹杆的顶端拉向湖边（底端没动），杆顶和湖边的水面刚好平齐，求湖水的深度.BCD3.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足442222b ac b c a -=-，试判断△ABC 的形状. 解:∵ 442222b ac b c a -=- ————————① ∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=- ————————② ∴222b ac += ————————③ ∴ △ABC 为直角三角形.问:(1)上述解题过程，有错吗？ （填“有”或“无”） (2)如果有错，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； (3)错误的原因是 ； (4)本题正确的结论是 .。
第一周辅导 勾股定理
勾股定理（一）一、一周知识概述1、学习勾股定理及其应用．了解勾股定理具有悠久的历史．我国是最早了解勾股定理的国家之一．2、在探索中学习认识勾股定理，通过“数格子”和“拼图”等实践活动证明勾股定理．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、重点知识归纳及讲解勾股定理揭示了直角三角形之间的数量关系，并且是直角三角形的重要性质，应用广泛．在解直角三角形时，通常有以下几种情况：1、已知直角三角形的两边，求第三边；2、已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3、证明三角形边长的平方关系；4、对勾股定理要学会灵活变形．如Rt△ABC中，∠C=90°，已知c，a求b时，应将勾股定理变化为222=-等等．b c a三、难点知识剖析1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离为2千米和7千米，且张、李二村庄相距13千米．（1）、水泵应修建在什么地方，可使所用的水管最短；请你在图中设计出水泵站的位置；（2）、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？2、已知：如图，△ABC中，AD是中线，AE是高，AB=12，AC=8，BC=10．求：DE的长．解：3、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2．测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．解：4、（云南昆明市）如图，一位旅行者骑自行车沿湖边正东方向笔直的公路BC行驶，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶10分钟后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向．如果此旅行者的速度为12千米/小时，求建筑物A到公路BC的距离．(结果可带根号)解：第一周小测试A 卷一、选择题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．如果b=15， c=17，则a的值为（）A．12 B．9 C．8 D．62、△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且∠A=60°，c=2，则S△ABC为（）A．B．C．D．3、已知直角三角形两直角边的长为4和5，则斜边上的高为（）A．B．C．D．4、如图，∠A=∠DBC=90°，AD=3，AB=4，CB=12，则CD的长为（）A．5 B．13 C．17 D．195、木工做一个宽80cm，高60cm的长方形木框，需在相对角的顶点加一个加固木条，则木条长为（）A．90cm B．100cm C．105cm D．110cm6、如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长是（）A．2 B．2.6 C．3 D．47、(江苏南通)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8、已知等腰△ABC中，AB=AC，且BC=6，BC上的高为4，则底边中点到两腰的距离为（）A．B．C．D．9、在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33二、解答题1、已知△ABC的三个角的度数比是∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求证：b2=3a2．2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠1，BD=2，求AC的长．3、已知直角三角形两直角边的差为2，斜边长为10，求这个三角形的面积.4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点，求证：PB2+PC2=2PA2.。
勾股定理(1)教学课件
勾
a
弦c
股b
弦图
• 赵爽
• 东汉末至三国时代吴 国人
• 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
伽菲尔德证法:
a
bc
c a
b
s梯形=
1 (a+b)(a+b)=
2
1 (a2+2ab+b2)
2
= 1 a2+ab+ 1 b2
2
2
s梯形=2×
1 ab+ 1 c2=ab+ 1 c2
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
5 因此,AC=
≈2.236
2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板_能___ 从门框内通过.
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
5 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC的面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
小 结：
1.这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方。
2
2
2
∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2
2
2
2
∴a2+b2=c2
学以致用 1、已知：a＝3，
八年级数学下册勾股定理[1]PPT公开课
![八年级数学下册勾股定理[1]PPT公开课](https://img.taocdn.com/s3/m/d8e705f6de80d4d8d05a4fae.png)
大正方形的面积可以表示为 c2
（；整体角度）
也可以表示为 4• +(b- a)2 （局部角度）
c a
∵ c2= 4• +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
大家学过从“面积到乘法公式”，主要从哪些角度思考 图形的面积？你能弦图中推出勾股定理吗？
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
A
解： ∵AB=AC ,AD为高，BC=16, ∴BD=8
∴AD2=AB2-BD2=172-82=225 ∴AD=15
17 ?
S△ABC
=
1× 2
AD× BC =
1 ×15×16=120 2
B
DC
请在数轴上表示出 2、3
-3 -2 -1 0 1 2 3 2 3
大正方形的面积可以表示为 c2
（；整体角度）
也可以表示为 4• +(b- a)2 （局部角度）
c a
∵ c2= 4• +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么
a2 +b2 =c2
20 A
60
80
B 35
3. 如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如图 所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
20 A
60 C
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第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，A B让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2右边S=（a+b ）2左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。
六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。
（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。
（已知b 、c ，求a ）bbbbaa A Bb EB⑶b= 。
（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。
求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。
八、参考答案课堂练习 1．略；2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2。
3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋21c 2。
课后练习1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +2．⎩⎨⎧+==+1222b c c b a ；则b=212-a ，c=212+a ；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E 。
18．1 勾股定理（二）一、教学目标DCB1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。
⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
DB A⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。
欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。
六、课堂练习 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习1．填空题在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。
八、参考答案 课堂练习 1．17；7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；2．8； 3．48。
课后练习1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．332 18．1 勾股定理（三）A BB一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。