高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简

要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法 例1.

化简

x

x x

x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+-

-∙

解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +=

=.tan ,sin x

y x r y x ==

0)(222=-+-=+--=∙+

--∙=∴x r y x r y y x r x r y r

y x y r y

x y r y x y r y x y 原式

二: 弦切互化法

例2.

x

x x x x x x 222

2

tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简

解: 原式x x x x x x

x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin

21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222

22∙+∙=+-∙∙+∙=

x x x

x x 2sin 22cos cos 1

2cos 2sin =∙∙=

三: 变用公式 例3.

o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简

解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=

15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=

说明: 公式β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(

±=

±在解题中运用非常灵活.常常变形为

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用.

四: 连锁反应法 例5.

o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简

解: 原式

12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=

6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙=

=

16

16cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21

=

====∙∙∙

说明: 此题分子分母同乘以

6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法 例6.

y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简

解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2

)22cos(12)22cos(1∙---+++=

y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(2

1

1∙---++=

12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x 例7. x x 4cos 81

2cos 2183:

+-化简 解: 原式)12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(4

1cos 43)1cos 2(41cos 432

42222+-+-=-+-=x x x x x

x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+-

六: 基本技巧 例8 (1)

θ

θθ

θ2cos 2sin 12cos 2sin 1:

++-+化简

解: 原式)

cos (sin cos 2)

cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(2

2θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=

θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=

解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=

1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x

1tan 161sec 61cos 6222-+=-=

-=x x x 5

1

1416=-+=

角的变换

角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成

一个角。

例1、已知sin α=4sin(α+β),求证：tan(α+β)=

4

cos sin -ββ

。

证明：将角α分解成α=(α+β)-β由sin[(α+β)-β]=4sin(α+β)得：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=4sin(α+β)

即sin(α+β)(cos β-4)=cos(α+β)sin β从而tan(α+β)=

4

cos sin -ββ

。

例2、若3tan α=2tan(α+β)，则sin(2α+β)=5sin β。

证明：由条件有3sin αcos(α+β)=2sin(α+β)cos α， 6sin αcos(α+β)=4sin(α+β)cos α，

从而sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=5[sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)]，即sin(2α+β)=5sin β。

例3、已知cos(4

π+x)=53，

47127π

π<

x

x

x tan 1sin 22sin 2-+的值。

解：)

4

cos()

4sin(2sin cos sin cos )sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2

π

++∙=

-+=-+x x x x x x x x x x

x x

而cos(4π+x)=53>0，47127ππ<

πππ2465<+

π+x)= -54

。注意到 cos2(4π+x)=2cos 2(4π+x)-1=2(53)2-1= -257∴sin2x=257于是原式=

75285

3)

54(257-=-∙。

以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。