圆的综合练习(给学生答案版)
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圆的综合练习
1、如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。（1）求证：MN是半圆的切线。
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD＝FG。
（3）若△DFG的面积为4.5,且DG＝3,GC＝4,试求△BCG的面积。
2、如图已知直线L：
3
3
4
y x
=+，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
（1）求点A、点B的坐标。
（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）。
（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y
关于x的函数关系式。
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切
于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明
理由。
3、如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：1
2
BC AB =
； （3）点M 是AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MN MC 的值．
解：（1）OA OC A ACO =∴∠=∠，， 又22COB A COB PCB ∠=∠∠=∠，， A ACO PCB ∴∠=∠=∠． 又AB 是O ⊙的直径， 90ACO OCB ∴∠+∠=°，
90PCB OCB ∴∠+∠=°，即OC CP ⊥， 而OC 是O ⊙的半径，
∴PC 是O ⊙的切线．
··································································································· （3分） O N B P
C
A
M O N B
P
C
A
M
（2）
AC PC A P =∴∠=∠，，
A ACO PC
B P ∴∠=∠=∠=∠，
又COB A ACO CBO P PCB ∠=∠+∠∠=∠+∠，，
1
2
COB CBO BC OC BC AB ∴∠=∠∴=∴=，，． ····················································· （6分）
（3）连接MA MB ，，
点M 是AB 的中点，AM BM ∴=，ACM BCM ∴∠=∠， 而ACM ABM ∠=∠，BCM ABM ∴∠=∠，而BMN BMC ∠=∠，
MBN MCB ∴△∽△，BM MN MC BM
∴
=，2
BM MN MC ∴=， 又
AB 是O ⊙的直径，AM BM =，
90AMB AM BM ∴∠==°，．
4AB BM =∴=，28MN MC BM ∴==． ·············································· （10分）
4、如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．
（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．
解：（1）直线BD 和O ⊙相切． 证明：∵AEC ODB ∠=∠，AEC ABC ∠=∠， ∴ABC ODB ∠=∠．························································ 2分 ∵OD ⊥BC ，
∴90DBC ODB ∠+∠=°． ············································· 3分 ∴90DBC ABC ∠+∠=°．
即90DBO ∠=°． ····························································· 4分
∴直线BD 和O ⊙相切． ··················································· 5分
（2）连接AC ． ∵AB 是直径，
∴90ACB ∠=°． ······························································ 6分 在Rt ABC △中，108AB BC ==，，
∴6AC =
=．
∵直径10AB =，∴5OB =． ····························································································· 7分 由（1），BD 和O ⊙相切，∴90OBD ∠=°． ···································································· 8分 ∴90ACB OBD ∠=∠=°． 由（1）得ABC ODB ∠=∠， ∴ABC ODB △∽△． ········································································································· 9分 ∴AC BC OB BD =．∴685BD =，解得20
3
BD =． ································································· 10分
D
B
O
A C
E F
D
B
O
A
C E F