第四章-构件变形基本形式
工程力学C 第4章 材料力学的基本假设和基本概念
拉-弯组合变形
第四章 材料力学的基本假设和基本概念Basic Assumptions and Concepts of Material Mechanics
静载荷 交变载荷 即： 外力 动载荷 冲击载荷
第四章 材料力学的基本假设和基本概念Basic Assumptions and Concepts of Material Mechanics
材料力学
应力 强度 外力 内力 应变 刚度
4.3.2 内力与截面法
F1
M1 F3
为什么？
Fn
答：它们的应力不同，细杆的应力大。
第四章 材料力学的基本假设和基本概念Basic Assumptions and Concepts of Material Mechanics
材料力学
4.4
应力的概念
4.4.1 应力： 分布内力的集度或单位面积上的内力。 4.4.2 应力的定义 1. 截面上任一点C的全应力
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第二篇
Mechanics of Materials
材料力学
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第四章 材料力学的基本假设 和基本概念
Basic Assumptions and Concepts of Material Mechanics
FS FN M
第四章 材料力学的基本假设和基本概念Basic Assumptions and Concepts of Material Mechanics
材料力学
2. 截面法： 显示并求内力的方法。 步骤：P97 • 分二留一； • 内力代弃； • 内外平衡。 例4.1 ：P97 注意： 内力与截面的形状和大 小无关，只与外力有关。
《混凝土结构设计原理》第四章_课堂笔记
《混凝⼟结构设计原理》第四章_课堂笔记《混凝⼟结构设计原理》第四章受弯构件正截⾯承载⼒计算课堂笔记◆知识点掌握：受弯构件是⼟⽊⼯程中⽤得最普遍的构件。
与构件计算轴线垂直的截⾯称为正截⾯，受弯构件正截⾯承载⼒计算就是满⾜要求：M≤Mu。
这⾥M为受弯构件正截⾯的设计弯矩,Mu为受弯构件正截⾯受弯承载⼒，是由正截⾯上的材料所产⽣的抗⼒，其计算及应⽤是本章的中⼼问题。
◆主要内容受弯构件的⼀般构造要求受弯构件正截⾯承载⼒的试验研究受弯构件正截⾯承载⼒的计算理论单筋矩形戴⾯受弯承载⼒计算双筋矩形截⾯受弯承载⼒计算T形截⾯受弯承载⼒计算◆学习要求1.深⼊理解适筋梁的三个受⼒阶段，配筋率对梁正截⾯破坏形态的影响及正截⾯抗弯承载⼒的截⾯应⼒计算图形。
2.熟练掌握单筋矩形、双筋矩形和T形截⾯受弯构件正截⾯设计和复核的握法，包括适⽤条件的验算。
重点难点◆本章的重点:1.适筋梁的受⼒阶段，配筋率对正截⾯破坏形态的影响及正截⾯抗弯承载⼒的截⾯应⼒计算图形。
2.单筋矩形、双筋矩形和T形截⾯受弯构件正截⾯抗弯承载⼒的计算。
本章的难点：重点1也是本章的难点。
⼀、受弯构件的⼀般构造（⼀）受弯构件常见截⾯形式结构中常⽤的梁、板是典型的受弯构件:受弯构件的常见截⾯形式的有矩形、T形、⼯字形、箱形、预制板常见的有空⼼板、槽型板等；为施⼯⽅便和结构整体性，也可采⽤预制和现浇结合，形成叠合梁和叠合板。
（⼆）受弯构件的截⾯尺⼨为统⼀模板尺⼨，⽅便施⼯，宜按下述采⽤:截⾯宽度b=120, 150 , 180、200、220、250、300以上级差为50mm。
截⾯⾼度h=250, 300,…、750、800mm，每次级差为50mm，800mm以上级差为100mm。
板的厚度与使⽤要求有关，板厚以10mm为模数。
但板的厚度不应过⼩。
（三）受弯构件材料选择与⼀般构造1.受弯构件的混凝⼟等级2.受弯构件的混凝⼟保护层厚度纵向受⼒钢筋的外表⾯到截⾯边缘的最⼩垂直距离，称为混凝⼟保护层厚度，⽤c表⽰。
钢结构设计原理 第四章-轴心受力构件
因此，失稳时杆件的整个截面都处于加载的过 程中，应力-应变关系假定遵循同一个切线模量 Et，此时轴心受压杆件的屈曲临界力为：
N cr ,t
2 Et I
2 二、实际的轴心受压构件的受力性能
在钢结构中，实际的轴压杆与理想的直杆受力性能之间差别很大，实 际上，轴心受压杆的屈曲性能受许多因素影响，主要的影响因素有：
一、理想轴压构件的受力性能 理想轴压构件是指满足下列4个条件： o杆件本身绝对直杆； o材料均质且各向同性； o无荷载偏心且在荷载作用之前无初始应力； o杆端为两端铰接。 在轴心压力作用下，理想的压杆可能发生三种形式的屈曲： 弯曲屈曲、扭转屈曲、弯扭屈曲——见教科书P97图4–6 轴心受压构件具体以何种形式失稳，主要取决于截面的形式 和尺寸、杆的长度以及杆端的支撑条件。
l N 2 EI 对一无残余应力仅存在初弯曲的轴压杆，杆件中点截面边缘开始 式中 N l2 NE 屈服的条件为：
0
1
经过简化为：
N N vm v0 v0 fy v m v0 v 1 1 N NE A W N N v0 N E fy A W NE N
An—构件的净截面面积_
N fy r f R An
P94式4-2
（1）当轴力构件采用普通螺栓连接时 螺栓为并列布置：
n1 n2 n3
按最危险的截面Ⅰ-Ⅰ 计算，3个截面净截面面积 相同，但 Ⅰ-Ⅰ截面受力最大。
N n
Ⅰ-Ⅰ：N Ⅱ-Ⅱ：N-Nn1/n Ⅲ-Ⅲ：N-N(n1+n2)/n
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2 2
从上面两式我们可以看出，绕不同轴屈曲时，不仅临界力不同，且残余 应力对临界应力的影响程度也不同。因为k1，所以残余应力对弱轴的 影响比对强轴的影响严重的多。
第四单元 构件基本变形的分析
由平衡方程
FX 0
FN F 0 FN F
左右
截面法求内力的步骤
1、截：在欲求处假想用截面将构件截成两段。 2、取：取其中任意一段为研究对象。 3、代：用作用于截面上的内力，代替切去部
分对留下部分的作用力。 4、平：对研究对象列平衡方程，由外力确定
图4-10
解：（1）计算外力（设约束反力FR）如图 ΣFx = 0 - FR - F1 +F2 = 0
FR = - F1 + F2 = - 50 + 140 = 90KN （FR方向是正确的）
FR
X
（2）计算各截面上的轴力并画出轴力图
1-1截面上的轴力
FN1= - F 1
= - 50KN FR
（杆受压）
第四单元 构件基本变形的分析
学习目标
通过本单元的学习，了解有关构件基 本变形的概念及形式，明确求解构件在各 种基本变形状态下的内力和应力，掌握强 度条件和刚度条件的公式，并能应用其解 决简单的工程问题。
综合知识模块一 基本变形分析的基础
能力知识点1
变形分析的基本概念
一、变形固体及其基本假设
任何物体受载荷（外力）作用后其内部质 点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和 尺寸发生变化，称为变形。
构件的承载能力分为：
强度、刚度、稳定性。
一、强度
构件抵抗破坏的能力。 构件在外力作用下不破坏必须具有足够 的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不 能断裂，压力容器不能爆破等。
强度要求是对构 件的最基本要求。
二、刚度
构件抵抗变形的能力。 在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若 受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工 作。例如机床主轴变形过大，将影响加工精度； 吊车梁变形过大，吊车行驶时会产生较大振动， 使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”现象，需要 更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的 刚度。
材料力学——精选推荐
材料力学第一章拉压一、构件设计应满足的要求：1、足够的强度：即抵抗破坏的能力；2、足够的刚度：即抵抗变形的能力；3、足够的稳定性：即保持平衡的能力；二、失稳：构件在一定外力的作用下，不能保持原有的平衡形式，称为失稳；细长杆件在压缩中容易产生失稳现象。
三、材料力学的基本假设：1、连续性假设：构件的整个体积内毫无空隙的充满了物质；2、均匀性假设：认为材料是均匀的，其力学性能与构件中的位置无关；（材料在外力作用下表现出来的性能，称为力学性能或机械性能）3、各项同性假设：沿各个方向均具有相同的力学性能；（相反，存在各向异性材料，常见的有碳纤维、玻璃纤维、环氧树脂、陶瓷等四、杆件变形的基本形式：拉伸或压缩、弯曲和扭转。
五、内力：外力作用下，构件内部相连两部分之间的相互作用力。
六、同一杆件在受力方式变化的情况下，即使只受轴向力作用，不同部分的轴向力大小也可能不同，如在杆端和杆中点均受力，切合力为0的情况。
七、设杆件的横截面积为A，轴力为N，且为均匀性材料，则横截面上各点处的正应力均为：Pa、Mpa、Gpa）。
八、圣维南原理：力作用于杆端的方式不同，只会使于杆端距离不大于杆横向尺寸的范围受其影响。
九、拉压杆上的最大剪应力发生在于杆轴成45°的斜截面上，其值为横截面正应力的一半。
十、单位长度的变形，称为正应变。
十一、材料的应力——应变曲线：工程中常用的材料的应力应变曲线分成以下几个阶段：1、线性阶段：在拉伸的初始阶段，应力——应变为一直线；此阶段的应力最高点，为材料的比例极限；2、屈服阶段：超过比例极限之后，应力和应变之间不再保持正比例关系。
此阶段内，应力几乎不变，但变形却极具增长，材料失去抵抗继续变形的能力，此种现象称为屈服。
相应的应力称为材料的屈服应力或屈服极限。
3、强化阶段：经过屈服阶段之后，材料又增强了抵抗变形的能力，此种现象称为强化。
强化节点最高点对应的应力称为材料的强度极限。
如果材料表面光滑，当材料屈服时，试样表面将出现于轴线成45°的线纹，作用有最大剪应力。
第四章 钢筋混凝土受弯构件
•
•
• • • •
方法二 查表法
第一步：求ξ。
ξ=fyAs/(α1fcbh0) 第二步：由附表3-2查得αs。 第三步：求Mu。当ξ≤ξb时，则 Mu=αsα1fcbh02
•
• • •
当ξ＞ξb时，说明超筋，此时的正截面受 弯承载力根据公式求得
Mu,max=α1fcbh02ξb(1-0.5ξb) 或 Mu,max=αs,maxα1fcbh02 第四步：验算最小配筋率条件ρ≥ρmin。
受 弯 构 件
截面类型
Ｍ
正常使用极限状态
斜截面破坏:主要由剪力引起 变形验算： f max ≤f lim 双筋截面 裂缝宽度验算：ｗmax ωlim 同时在受拉区配置 Ｖ 纵向受力钢筋的截面
设计内容
构造措施
构件各连接部位均应满足
4.1 受弯构件基本构造要求
一、钢筋混凝土板
板厚度h
施工要求
现浇板 hmin≦60mm
屈服→压碎 对应极限弯矩Mu
Ⅰa状态：计算Mcr的依据 应力状态与 Ⅱ阶段：计算裂缝、刚度的依据 Ⅲa状态：计算Mu的依据
计算关系
钢筋混凝土梁受力特点
1、截面应变仍呈直线分布，中和位置随M增大而上升
第Ⅰ阶段：σs 小而慢， Ⅰa有突变 2、钢筋应力
第Ⅱ阶段： σs 增长快， Ⅱa达fy
第Ⅲ阶段： σs=fy，产生流幅至混凝土压碎 第Ⅰ阶段：f 增长慢
x = h0 h0 2M a1 f cb
•
第二步：求纵向钢筋AS。
a1 f c bx ， fy
若x ? xb h0 , 则As
若x > xb h0 , 属于超筋，截面小重新设计
•
第三步：选筋。除满足计算外，还应满足 构造要求。
第四章受弯构件的弯扭失稳 钢结构课件(共24张PPT)
第十二页，共24页。
数值积分法：
把杆件沿轴线方向分成足够多的小段，并以每段的 中点曲率代表该段的曲率。在确定每小段的截面应 力时将剩余应力的影响计入在内。对于杆件分的段 数愈多，计算精度愈高，同时计算量也愈大。
此法比没有考虑剩余应力的近似(jìn sì)法精确，并 且还具有可以考虑初始弯曲和能够用于不同荷载条 件与不同支承条件的优点，但推导的计算公式太繁 琐，不适合实际应用。
些因素后，式4-90将更复杂，而不满足 (mǎnzú)实际设计需要。
第十六页，共24页。
实用(shíyòng)计算公式：
1. 将压弯构件分解成两种受力情况：纯弯曲和轴压
2. 采用(cǎiyòng)相关公式：
3. 4.
引入等效弯矩系数N和截 面M影响1 系数 式4-96为实用计算N公Ey式 Mcr
第十七页，共24页。
第十四页，共24页。
压弯构件在弯矩作用(zuòyòng) 平面外的稳定计算
1. 失稳现象：弯扭屈曲 2. 临界力的推导：将压弯构件分解成两种受力情
况：纯弯曲(wānqū)和轴压 3. 纯弯曲(wānqū)构件发生弯扭失稳时的平衡微分
方程：式4-44、45 4. 此时将轴力对侧向弯曲(wānqū)和扭转的影响加
第三页，共24页。
整体(zhěngtǐ)稳定系数的近似 计算
常用截面形式： 计算公式使用的前提条件： 由于采用近似计算公式，其中已考虑非
弹性屈曲的问题，所以不用修正。 此向内容(nèiróng)常用于压弯构件的稳
定计算。
第四页，共24页。
梁的整体(zhěngtǐ)稳定计算方 法
单向受弯构件：式4-58 双向受弯构件：式4-68 满足一定(yīdìng)条件可不进行梁的整体
材料力学第4章第5章
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
第四章 轴心受力构件
13
二、实腹式轴心受压构件的整体稳 定
欧拉临界力计算公式
N cr
相应的临界应力为
EI
2
l
2
cr
N cr E 2 A
2
14
(1)轴心受压构件稳定承载力传统计算方法
②改进的欧拉公式——切线模量理论。众所 周知，构件越细长，越容易失稳，即失稳的临界 应力越低。当欧拉公式计算的临界应力 cr f P (比例极限)时，欧拉假定中的线弹性假定才成立， 欧拉公式的计算结果才接近实际情况。当构件较 cr ＞f P 为粗短，失稳时的临界应力较高， 时，杆 件进入弹塑性阶段，虽仍可采用欧拉公式的形式 进行计算，但应采用弹塑性阶段的切线模量代替 欧拉公式中的弹性模量。
式(4-10)实质上是稳定验算公式，但都是强度(应力) 验算形式。 上述由条件 x ＝ y 得出两主轴方向等稳定只有在临 界应力和长细比一一对应的情况下才正确。钢结构中，由
于考虑了残余应力等的影响，临界应力 cr 或稳定系数
与长细比不再一一对应，从而有多条柱子曲线( — 是 x
23
（2）强度问题和稳定问题的区别及提高稳定承载力的措施
④在弹性阶段，强度问题采用的一阶(线性)分析方法，
出于内力与荷载成正比，与结构变形无关，因此可应用叠加
原理，即对同一结构，两组荷载产生的内力等于各组荷载产 生的内力之和。在二阶分析中，由于结构内力与变形有关， 因此稳定分析不能采用叠加原理。 不难看出，提高构件稳定承载力的一般措施是：增加截
面惯性矩、减小构件支撑间距、增加支座对构件的约束程度。
总之，减少构件变形的措施均是提高构件稳定承载力的措施。
24
2．实际轴心受压构件的受力性能
材料力学
第一章绪论1.土木工程中，各种建筑物在施工和使用阶段所承受的所有外力统称为荷载。
建筑物中承受荷载并且传递荷载的空间骨架称为结构，而任何结构都是由构件所组成的。
为保证构件在荷载作用下的正常工作，必须使它同时满足三方面的力学要求，即强度、刚度和稳定性的要求：(1) 构件抵抗破坏的能力称为强度(strength)。
对构件的设计应保证它在规定的荷载作用下能够正常工作而不会发生破坏(2) 构件抵抗变形的能力称为刚度(stiffness)。
构件的变形必须要限制在一定的限度内，构件刚度不满足要求同样也不能正常工作。
(3) 构件在受到荷载作用时在原有形状下的平衡应保证为稳定的平衡，这就是对构件的稳定性(stability)要求。
但是在材料力学中，构件的变形不能忽略不计，因此我们把构件作为可变形体来研究，称它们为可变形固体(deformable solid)。
在对可变形固体材料制成的构件进行强度、刚度和稳定性研究时，为抽象出某种理想的力学模型，通常根据其主要性质做出一定的假设，同时忽略一些次要因素，然后进行理论分析。
在材料力学中，通常对可变形固体作如下基本假设：(1) 连续性假设(continuity assumption)。
这一假设认为，构件的材料在变形后仍然保持连续性，在其整个体积内都毫无空隙地充满了物质，忽略了体积内空隙对材料力学性质的影响。
(2) 均匀性假设(homogenization assumption)。
这一假设认为，构件的材料各部分的力学性能是相同的。
从任意一点取出的单元体，都具有与整体同样的力学性能。
(3) 各向同性假设(isotropy assumption)。
这一假设认为，构件的材料在各个方向的力学性能是相同的。
如工程上常用的金属材料，虽然从它们的晶粒来说，其力学性能并不一样；但从宏观上看，各个方向的力学性能接近相同。
有些材料沿各方向的力学性能并不相同，像这样的材料称之为各向异性材料，如木材等。
第四章零件受力变形讲解
N
M 9550 D
D
n
637N m
-
作扭矩图 Tnmax=955N·m
圆轴扭转时横截面上的应力
1.圆轴扭转时的变形特征:
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变 化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同
一角度 。
4.4.2 圆轴扭转时的应力
G
dj
dx
G Mn
GI p
Mn Ip
I p
2dA
A
IP是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对形心的极惯性矩。
• 横截面上某点的切应力
T
的方向与扭矩方向相同，
并垂直于该点与圆心的
τ
连线
• 切应力的大小与其和圆
τ
心的距离成正比
注意：如果横截面是空心圆，空心部分没有应力 存在。
三.挤压的概念
构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种 接触面之间相互压紧作用称为挤压。
构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压 面(A j y )。作用于挤压面上的力称为挤压力(F j y )，挤压 力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压 扁或使钢板的局部起皱 。
FFຫໍສະໝຸດ 四、挤压的实用计算单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米 的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。
1MPa＝106Pa
拉(压)杆的应力
假设轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向
垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式
为：
mn
F
F
σ= FN MPa A
第四章 轴心受力构件
第四章轴心受力构件§4-1 概述1、工程实例（假设节点为铰接，无节间荷载作用时，构件只受轴心力作用）（1）桁架（2）塔架（3）网架、网壳2、分类⑴按受力来分：①轴心受拉构件②轴心受压构件到某临界值时，理想轴心受压构件可能以三种屈曲形式丧失稳定。
(1) 弯曲屈曲构件的截面只绕一个主轴旋转，构件的纵轴由直线变为曲线，这是双轴对称截面构件最常见的屈曲形式。
如图4-2 (a)就是两端铰接工字形截面构件发生的绕弱轴的弯曲屈曲。
(2) 扭转屈曲失稳时构件除支承端外的各截面均绕纵轴扭转，图4-2 (b)为长度较小的十字形截面构件可能发生的扭转屈曲。
(3) 弯扭屈曲单轴对称截面构件绕对称轴屈曲时，在发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
图4-2 (c)即T 形截面构件发生的弯扭屈曲。
图4-2 轴心受压构件的三种屈曲形式欧拉临界力和欧拉临界应力临界应力其中：——单位剪力时的轴线转角，；通常剪切变形的影响较小，忽略其对临界力或临界应力的影响。
E N E σ1222211γλπλπσ⋅⋅+⋅⋅==EAEAN cr cr1γ)(1GA βγ=这样，※上述推导基于材料处于弹性阶段，即，或。
（二）初始缺陷对轴心受压构件稳定承载力的影响 1. 残余应力的影响残余压应力对压杆弯曲失稳的影响： 对弱轴的影响比对强轴的影响要大的多。
稳定应力上限，弱轴：强轴：其中：，0＜＜1.0。
2．初弯曲的影响图4-3 考虑初弯曲的压力—挠度曲线图示压力—挠度曲线有如下特点：1有初弯曲时，挠度v 不是随着N 按比例增加；N 较小时，挠度增加较慢，N 趋于时，挠度增加较快，并趋向于无限大；2相同压力N 的作用下，压杆的初挠度值越大，杆件的挠度也越大；Ecr N EAlEI N =⋅=⋅=2222λππEcr cr E AN σλπσ=⋅==22pcr f E≤⋅=22λπσpp f E λπλ=≥322kEx crx ⋅⋅=λπσkEycry⋅⋅=22λπσ翼缘宽度翼缘弹性区宽度=k k E N3由于有的存在，轴心压杆的承载力总是低于，因此是弹性压杆承载力的上限。
第四章第六节 混凝土构件的变形及裂缝宽度验算0
本节
重
难
点
1.了解考虑构件变形、裂缝和耐久性的重要性； 2. 掌握建筑工程中钢筋混凝土构件变形和裂缝 宽度的验算方法； 3.熟悉减小构件变形和裂缝宽度以及增加结构构 件耐久性的方法。
难点：钢筋混凝土构件变形和裂缝宽度的验算
§6.1 概述
能承受在正常施工和正常使用时可能出 安全性— 现的各种作用，以及在偶然事件发生时
c
式中：
sm
Es
lcr
…6－5
sm ——纵向受拉钢筋的平均拉应力； c––– 裂缝间混凝土伸长对裂缝宽度的影响系数，一般取0.85； lcr ——平均裂缝间距；
由试试验得 cm / sm 0.15，故 c 0.85， 令 sm sk，式（( 6 d SGk SQlk
i2
n
ci S Qik
…6－2
荷载效应的准永久组合为：
S d SGk
i 1
n
qi S Qik
…6－3
§6.2
裂缝宽度验算
1）验算公式
裂缝控制等级： 一级：正常使用阶段严格要求不出现裂缝的构件 二级：正常使用阶段一般不出现裂缝的构件 三级：正常使用阶段容许出现裂缝的构件
（1）平均裂缝宽度 m 如图６-2所示，平均裂缝宽度ω m等于构件裂缝区段 内钢筋的平均伸长与相应水平处构件侧表面混凝土 平均伸长的差值，即：
m
式中： s、
l cr
0
( s c )dl
s ——纵向受拉钢筋和混凝土拉应变；
c
lcr+cmlcr lcr+smlcr
ssAs
第四章 材料力学概述
4.5 应力、应变及其相互关系
例题：两边固定的薄壁板，边变形后 ab 和 ad 两边保持
为直线a点沿垂直方向向下位移 0.025mm。试求 ab 边 的平均应变和ab， ad 两边夹角的切应变。
250
b
200
a d
0.025mm
a
4.5 应力、应变及其相互关系
250
b
200
a d
0.025mm
荷载未作用时 F 荷载去除后 荷载作用下
4.1 材料力学的研究内容
对构件在荷载作用下正常工作的要求: Ⅲ. 具有足够的稳定性要求——对于理想中心受压杆件，指构件 在荷载作用下保持原有的直线平衡形式的能力，不丧失稳定。
4.1 材料力学的研究内容 实际工程中
在满足上述强度、刚度和稳定性要求的同时，还 须尽可能合理选用材料和降低材料消耗量，以节约投 资，即解决安全与经济的矛盾。
要多小 有多小 p
k
A
4.5 应力、应变及其相互关系
单向应力：微体仅 在一对相互平行的 截面上承受正应力
纯剪切：微体仅 承受切应力
微体两种最基本的受力形式
4.5 应力、应变及其相互关系
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
面积
力
面积
力
'
拉 压 实 验 表 明
在弹性范围内，有变形 x 与外 力 F 成正比的弹性定律。
它是由英国力学家胡克（Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的，被称作胡克定律。 推广
4.5 应力、应变及其相互关系
单 向 应 力 实 验 表 明
应力与应变也有的类似关系，即 应力与应变成比例关系，也被叫 做 Hooke’s law。 弹性范围内，正应力与正应 变成正比： 引入比例常数E，于是可得：
第四章钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形验算
第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算第四章钢筋混凝⼟受弯构件的应⼒、裂缝和变形验算对钢筋混凝⼟构件，除应进⾏承载能⼒极限状态计算外，还要根据施⼯和使⽤条件进⾏持久状况正常使⽤极限状态和短暂状况的验算。
第⼀节抗裂计算桥梁构件按短暂状况设计时，应计算其在制作、运输及安装等施⼯阶段，由⾃重和施⼯荷载等引起的应⼒，并不应超过规范规定的限值。
施⼯荷载除有特别规定外均采⽤标准值，当进⾏构件运输和安装计算时，构件⾃重应乘以动⼒系数，当有组合时不考虑荷载组合系数。
在钢筋混凝⼟受弯构件抗裂验算和变形验算中，将⽤到“换算截⾯”的概念，因此，本章先引⼊换算截⾯的概念，然后依次介绍各项验算⽅法。
4.1.1 换算截⾯依据材料⼒学理论，对钢筋混凝⼟受弯构件带裂缝⼯作阶段的截⾯应⼒计算作如下假定：1、服从平截⾯假定由钢筋混凝⼟受弯构件的试验可知，从宏观尺度看平截⾯假定基本成⽴。
据此有同⼀⽔平纤维处钢筋与混凝⼟的纵向应变相等，即：s c εε= （4.1-1）2、钢筋和混凝⼟为线弹性材料钢筋混凝⼟受弯构件在正常施⼯或使⽤阶段，钢筋远未屈服，可视为线弹性材料；混凝⼟虽为弹塑性体，但在压应⼒⽔平不⾼的条件下，其应⼒与应变近似服从虎克定律。
故有c c c E εσ=，s s s E εσ= （4.1-2）3、忽略受拉区混凝⼟的拉应⼒钢筋混凝⼟构件在受弯开裂后，其受拉区混凝⼟的作⽤在计算上可近似忽略。
将式（4.1-1）代⼊式（4.1-2）可得：c s c c c E E εεσ==''因为 s ss E σε=所以 s ES c s sc E E σασσ1'== （4.1-3）其中：ES α－钢筋与混凝⼟弹性模量之⽐，即c s ES E E =α。
为便于利⽤匀质梁的计算公式，通常将钢筋截⾯⾯积s A 换算成等效的混凝⼟截⾯⾯积sc A ，依据⼒的等效代换原则：1、⼒的⼤⼩不变：换算截⾯⾯积sc A 承受拉⼒与原钢筋承受的拉⼒相等。
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建筑力学
5.2 基本假设
1、 连续、均质假设 假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并 且物体的性质各处都一样。 2、 各向同性假设 假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。工程使用的 大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认 为是各向同性的材料。但也存在了不少的各向异性材料。例如 轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。 3、 弹性假设 假设当作用于物体上的外力不超过某一限度时，将物体 看成完全弹性体。
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5.3 构件变形的基本形式
一、构件分类 工程中构件的种类很多，如杆、板、壳、块体等，如 下图所示。我们研究的构件多属于杆件。杆件指的是长向 尺寸远大于横向尺寸的构件。建筑工程中的梁、柱子的以 及机器上的轴等均属于杆件(简称)。
(a) 杆
(b) 板
(c) 壳
(d) 块体
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二、杆件变形的基本形式 轴向拉伸和轴向压缩 在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外 力作用下，杆件将发生长度的变化，即伸长或者缩短。如图 (a)所示。 剪切 在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用 下，杆件的横截面沿外力方向发生相对错动。如图(b)所示。
(c)
(d)
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(a)
(b)
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扭转 在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的 两平面内的外力偶作用下，杆的相邻两横截面将绕轴线 发生相对转动。如图(c)所示。
弯曲 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内 的力偶作用下，杆件的相邻横截面将绕垂直于杆轴线的 轴发生相对转动，轴线变成曲线。如图(d)所示。
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第四章 构件变形的基本形式
变形固体的概念
基本假设 构件变形的基本形式
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工程设计需要解决两方面的问题：
1、计算结构正常工作时其中每一个构件所受的力； 2、在一定外力作用下怎样设计构件才能保证它能 安全可靠工作，同时又经济合理的。材料力学ຫໍສະໝຸດ 处理第二方面的问题2
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5.1 变形固体的概念
工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、 混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可 直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生 变形的固体称为变形固体。 变形固体在外力作用下产生的变形可分为弹性变形和塑性变 形。弹性变形指的是变形固体上的外力去掉后可消失的变形；塑 性变形指的是变形固体上的外力去掉后变形不能全部消失而残留 的部分变形。 一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形， 这种变形固体称为部分弹性体。但工程中常用的材料，当外力 不超过一定范围时，塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性 变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。我们将 研究对象堪称完全弹性体。