九年级数学(湘教版)下册教学课件：12二次函数的图象
合集下载
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上， 则____y_1_＜__y_2___.
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝ －3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x
1最新湘教版初中数学九年级下册精品课件.2 二次函数的图像与性质
8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 x2, y 2
2x2
的图象与函数
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
巩固
5、已知一次函数 y ax c 的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x
湘教版九年级数学下册：1.2 二次函数的图象与性质课件 (共26张PPT)
情境引入
市场调查得出某商品现在的利润y（元）与售 价x（元）满足函数关系式如下：
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
若我们想直观的了解利润y与售价x之间的变化 情况以及最大利润情况，我们还需对该函数做哪些 研究呢？
二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
1、让学生经历描点法画函数图象的过程； 2、让学生学会观察、思考、概括函数图象的性质； 3、掌握y=ax2型二次函数图像及其性质。
2
当x=0时,最大值为0. 越大a .,开口越小.
抛物线
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
y轴（直线x=0） y轴(直线x=0)
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 x<0时,y随着x的增大而减小. X<0时,y随着x的增大而增大.
X>0时, y随着x的增大而增大. X>0时, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
开口大小
aa 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
aa .越大,开口越小.
（答对的也加分哦）
1、函数y=5x2的图象的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点是（0,0） ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 增大 ；
（答对的加3分哦）
71、.若若mm>0>，0，点点(m(m+1+，1，y1y)、1)、(m(m+2+，2，y2y)、2)、
(m+3，y3)在抛物线
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
得到的？（
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图像和性质》公开课课件
•
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平 面直角坐标系内画出对称轴，描出 顶点；
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平 面直角坐标系内画出对称轴，描出 顶点；
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
湘教版数学九年级下册第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质课件
标增大时，纵坐标怎样变化？
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
湘教版九年级数学-12二次函数的图象与性质(1)
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 ...
y= - x2 ... --44 --22..2255 -1-1 -0-.02.525 00 -0-.205.25 -1-1 -2-.25.25-4-4 ...
注意：列表时自变量 函数图象画法 取值要均匀和对称。 y x2
y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物
线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外） .
（2）抛物线
y
2 3
x2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x
y 2 x2 3
... -6
8 3
***
2 3
0
y 1 x2 2
1 2 3 4 ... *** 2 *** 8 ...
*** 1 *** 2 ...
*** 2 *** 8 ...
1 *** 2 3 ...
2 3
***
8 3
-6 ...
y 2x2
y 2 x2 3
y x2
y 1 x2 2
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点 外）， 它的 开口向上，并且 向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它
的开口向下，并且向下无限伸展.
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y
的值最小.
是什么呢？
下面我们将画出y=x2 和y=-x2的图像，同学们根据这
湘教版九年级数学下册 1.2：二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)
题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.
湘教版九年级数学下册1.1二次函数课件(共13张ppt)
如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函
数称为二次函数。
它的一般形式是：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).
注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次多项式。（整式）
（2）自变量的最高次数为2，a，b，c为常数，且a≠0. （b，c可为0）。x的取值范围是任意实数.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当c＝0时， y＝ax2＋bx
1、在引例1中，（1）与围墙相邻的每一面 A
D
墙长为26m，植物园的面积是多少？（2）
要使植物园得面积是1250m2，与围墙相对 B
C
的墙长是多少？
设与围墙相邻的墙长为xm 得：S = -2x2 +100x
(1).当x=26时，S=-2×262+100×26=-1352+2600=1248（m2） （已知自变量的值，求函数值。）
(2). 面积是1250m2，求墙长。 即：-2x2 +100x=1250
解得：x1=x2=25 则与围墙相对的墙长是50m. （已知函数值，求自变量的值。）解方程。
体现了函数与多项式、方程的关系。
电脑的价格. 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现 在的售价为y元. 如果每年的平均降价率为x，那么降价率变 化时，电脑售价怎样变化呢？
根据我们在上学期学过的一元二次方程的知 识，我们容易得到平均降价率x与售价y之间有如 下的关系： y = 6000(1-x)2， 0＜x＜1
即： y = 6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.
2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的 函数关系； （2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系 （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2) 与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
湘教版九年级数学下册1.2.1：二次函数的图象和性质课件(19张ppt)
0
0.5
2
4.5 ...
在平面直角坐标系 内，以x取的值为横坐标，相 应的函数值为纵坐标，描出 相应的点，如右图
连线：根据上述分析，我们
可以用一条光滑曲线把原点和 y轴右边各点顺次连接起来； 然后利用对称性，画出图象在 y轴左边的部分（把y轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到 了 y 1 x2 的图象．如图
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
的图象．并比较它们的共同点和不同点。
4
列表
x
0
0.5
1
2
y 2x2
0
0.5
2
8
描点 连线
y 2x2
思考：
列表
x
y 1 x2 4
a的绝对值越大 图像的开口度越小
0
1
2
3
4
1
9
0
4
1
4
4
描点 连线
y 2x2
y 1 x2 4
结论：
二次函数
（a>0)的性质：
1.图象的对称轴是___y_轴__，对称轴与图象的交点是_O_（__0_，__0_）___; 图象的开口向____上____；
湘教版九年级下2.2二次函数的图象与性质课件ppt
2
“右升”外）：
对称轴与图象的交点是_O__(0_,_0_)______； 图象的开了向_上____________；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而___减__小____， 简称为“左降”；
当 x =_____0______时，函数值最_小___________．
类似地，当a>0时，y a x 2的图象也具有上述性质，
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
列表
x －3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x 2 4.5 3.125 2 2
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
描点： 在平面直角坐标系内， 以x取的值为横坐标，相应的 函数值为纵坐标，描出相应的 点，如图
连线：
－4 －3 －2－1
5 4 3 2 1
1 2 34
观察和分析：从图（1）看出，点A和点A' ，点B和点B ' ，……，它 们有什么关系？
点A和点A'关于y轴对称，点B 和点B '也是……
由此你能作出什么猜测？ 我猜测 y 1 x 2 的图象关于y轴对称． 2
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
画二次函数
y 1 x2 2
的图象．
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数， 并且算出相应的函数值，列成下表：
x
－3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x 2 4.5 3.125 2 2
相关主题