第二十一届华杯赛小高组初赛详解
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数字和 28 的数只有 1999； 数字和 27 的数有 999、1899、1989、1998； 数字和 1 的数有 1、10、100、1000； 数字和 2~26 的数都至少有 5 个 最坏情况：取数字和 1 到 27 的数各 4 个，以及 1999，共 109 个数。 再多取一个数就保证有 5 个数字和相等， n 110
剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，
则最多可以剪出
个同样的等腰梯形．
【考点】组合，最值
【难度】☆☆☆
【答案】4029
【分析】如图，将大等腰梯形分成 2n 1 个等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差也相
等（相差一个平行四边形），设小等腰梯形上底为 x，有
3 余 1 则 q 2 是 3 的倍数，所以 q 只能除以 3 余 0，即 q 是 3 的倍数，
帅 极端分析， 332 1000 ， 272 2 731 17 43 ， 212 2 439 ， 212 2 443 都是质数
10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求
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第4页
兴趣是最好的老师
9. 设 q 是一个平方数．如果 q 2 和 q 2 都是质数，就称 q 为 P 型平方数，例如，9 就是一个 P 型平
帅 方数，那么小于 1000 的最大 P 型平方数是
．
【考点】数论，同余
【难度】☆☆☆
【答案】441
【分析】显然，q 是奇数，且 q 2 和 q 2 都不是 3 的倍数，而平方数除以 3 只能余 0 或 1，若 q 除以
180
7 8
2 3
解得
v1
v2
14 5 16 5
3. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七
帅 位数最大是（ ）
A.9981733
B.9884737
C.9978137
D.9871773
帅 【考点】数论，整除
【难度】☆ 【答案】B 【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是 0，
学习有意思
快乐思维
2016年第二十一届华杯赛小高组初赛详解
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1. 算式 9999 9999 的结果中含有（
2016个
2016个
A.2017
B.2016
）个数字 0． C.2015
数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互
换（全排列），共
4
2
A
4 4
A33
1152
种排法
5. 在等腰梯形 ABCD 中， AB 平行于 CD ， AB 6 ， CD 14 ， AEC 是直角， CE CB ，则 AE2 等 于（ ）
E
A
B
D
C
A.84
D.288
【考点】计数，加乘原理与排列组合 【难度】☆☆
【答案】A
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兴趣是最好的老师
学习有意思 【分析】1 2 3 7 28 ，8 的两边之和都是 14
快乐思维
研究有 7 的一边，14 7 6 1 7 5 2 7 4 3 7 4 2 1
相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．
A. 2 3
B. 2 4
C.3
5
5
D. 3 1 5
【考点】行程，比例方程解行程
【难度】☆
【答案】D
【分析】设甲速 v1 乙速 v2 ，有
老
v1 v2 v1 v2
1
140 300 140 300 180
D.2014
【考点】计算，多位数计算
【难度】☆
【答案】C
【分析】 (102016 1)2 (102016 2) 102016 1 999...998000...001
2015个
2015个
2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
师 已知 A,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A, B 两地出发，相向而行，在距 A 地 140 米处
n(2x 1) x 2015
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学习有意思
n 2015 x 2015.5 0.5 2015.5 0.5 2015
2x 1 2x 1
1
∴n 的最大值是 2014，最多可以剪出 4029 个
x
x
…
x+1
2n个
x+1
快乐思维
师 老 帅 帅
逐步极端分析，得 988 13 76 ， 884 13 68 ， 847 11 77 ， 473 11 43 ， 737 11 67
4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ） 种不同的排行．
A.1152
B.864
C.576
5
3
那么 PM 长为
．
A
【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆ 【答案】 10
9
P
M
师 O
B
老 【分析】 OM AO AM 4 AB 1 AB 3 AB ， AB 2 3 20
5 2 10
10 3
PM BP MB 2 AB 1 AB 1 AB 1 20 10
3
2
6
63 9
【分析】 a2 b2 (a b)(a b) 2016
a b 与 a b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，
2016 4 504 23 32 7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．
8. 如下图， O, P, M 是线段 AB 上的三个点， AO 4 AB，BP 2 AB, M 是 AB 的中点，且 OM 2 ，
A
老E
B
6.
帅D
G
F
C
从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到
5 个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）
A.109
B.110
C.111
D.112
帅 【考点】组合，最不利原则
【难度】☆☆☆ 【答案】B 【分析】1 到 2016 中，数字和最大 28。
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
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学习有意思
快乐思维
7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足
上述条件的所有正方形共有
对．
【考点】数论，因数个数定理
【难度】☆☆
【答案】12
B.80
C.75
D.64
【考点】几何，勾股定理
师 【难度】☆☆
【答案】A 【分析】做出两侧的高，连结 AC，有
FG AB 6 ， CF 1 (CD FG) 4 ， CG 10 ，令 AG BF h ，由勾股定理， 2
AC 2 AG2 CG2 h2 100 CE2 BC 2 BF 2 CF 2 h2 16 AE2 AC2 CE2 84
剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，
则最多可以剪出
个同样的等腰梯形．
【考点】组合，最值
【难度】☆☆☆
【答案】4029
【分析】如图，将大等腰梯形分成 2n 1 个等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差也相
等（相差一个平行四边形），设小等腰梯形上底为 x，有
3 余 1 则 q 2 是 3 的倍数，所以 q 只能除以 3 余 0，即 q 是 3 的倍数，
帅 极端分析， 332 1000 ， 272 2 731 17 43 ， 212 2 439 ， 212 2 443 都是质数
10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求
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9. 设 q 是一个平方数．如果 q 2 和 q 2 都是质数，就称 q 为 P 型平方数，例如，9 就是一个 P 型平
帅 方数，那么小于 1000 的最大 P 型平方数是
．
【考点】数论，同余
【难度】☆☆☆
【答案】441
【分析】显然，q 是奇数，且 q 2 和 q 2 都不是 3 的倍数，而平方数除以 3 只能余 0 或 1，若 q 除以
180
7 8
2 3
解得
v1
v2
14 5 16 5
3. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七
帅 位数最大是（ ）
A.9981733
B.9884737
C.9978137
D.9871773
帅 【考点】数论，整除
【难度】☆ 【答案】B 【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是 0，
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2016年第二十一届华杯赛小高组初赛详解
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1. 算式 9999 9999 的结果中含有（
2016个
2016个
A.2017
B.2016
）个数字 0． C.2015
数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互
换（全排列），共
4
2
A
4 4
A33
1152
种排法
5. 在等腰梯形 ABCD 中， AB 平行于 CD ， AB 6 ， CD 14 ， AEC 是直角， CE CB ，则 AE2 等 于（ ）
E
A
B
D
C
A.84
D.288
【考点】计数，加乘原理与排列组合 【难度】☆☆
【答案】A
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学习有意思 【分析】1 2 3 7 28 ，8 的两边之和都是 14
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研究有 7 的一边，14 7 6 1 7 5 2 7 4 3 7 4 2 1
相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．
A. 2 3
B. 2 4
C.3
5
5
D. 3 1 5
【考点】行程，比例方程解行程
【难度】☆
【答案】D
【分析】设甲速 v1 乙速 v2 ，有
老
v1 v2 v1 v2
1
140 300 140 300 180
D.2014
【考点】计算，多位数计算
【难度】☆
【答案】C
【分析】 (102016 1)2 (102016 2) 102016 1 999...998000...001
2015个
2015个
2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
师 已知 A,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A, B 两地出发，相向而行，在距 A 地 140 米处
n(2x 1) x 2015
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n 2015 x 2015.5 0.5 2015.5 0.5 2015
2x 1 2x 1
1
∴n 的最大值是 2014，最多可以剪出 4029 个
x
x
…
x+1
2n个
x+1
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师 老 帅 帅
逐步极端分析，得 988 13 76 ， 884 13 68 ， 847 11 77 ， 473 11 43 ， 737 11 67
4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ） 种不同的排行．
A.1152
B.864
C.576
5
3
那么 PM 长为
．
A
【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆ 【答案】 10
9
P
M
师 O
B
老 【分析】 OM AO AM 4 AB 1 AB 3 AB ， AB 2 3 20
5 2 10
10 3
PM BP MB 2 AB 1 AB 1 AB 1 20 10
3
2
6
63 9
【分析】 a2 b2 (a b)(a b) 2016
a b 与 a b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，
2016 4 504 23 32 7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．
8. 如下图， O, P, M 是线段 AB 上的三个点， AO 4 AB，BP 2 AB, M 是 AB 的中点，且 OM 2 ，
A
老E
B
6.
帅D
G
F
C
从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到
5 个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）
A.109
B.110
C.111
D.112
帅 【考点】组合，最不利原则
【难度】☆☆☆ 【答案】B 【分析】1 到 2016 中，数字和最大 28。
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
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7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足
上述条件的所有正方形共有
对．
【考点】数论，因数个数定理
【难度】☆☆
【答案】12
B.80
C.75
D.64
【考点】几何，勾股定理
师 【难度】☆☆
【答案】A 【分析】做出两侧的高，连结 AC，有
FG AB 6 ， CF 1 (CD FG) 4 ， CG 10 ，令 AG BF h ，由勾股定理， 2
AC 2 AG2 CG2 h2 100 CE2 BC 2 BF 2 CF 2 h2 16 AE2 AC2 CE2 84