勾股定理能力提升

勾股定理能力提升

【知识点回顾】

1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222c b a =+。

2、勾股数

满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41

3、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

【考点解析】

考点一：勾股定理的直接应用

例1．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们的比为 ( ) A ．2：3：4 B ．3：4：6

C ．5：12：13

D ．4：6：7

例2. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n 2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )

A ．2n

B ．n+1

C ．n 2-l

D ．n 2+1

例3．如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm

练习1、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，•这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ） A ．9分米 B ．15分米 C ．5分米 D ．8分米

考点二：与高、面积有关

例1．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为

1.732，

结果保留三个有效数字）（ ）

A ．5.00米

B ．8.66米

C ．17.3米

D ．5.77米

例2．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，•小明在C 处用测角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知

测角仪高DC=1.4m ，BC=30m ，请帮助小明计算出树高AB

取1.732，结果保留三个有效数字）．

例3．四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．•大会会标如图甲，它是由四个相同的

直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．•若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边

的和是5，求中间小正方形的面积；

练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积

和为( )．

_ B

_ C

_ D

_ A

(A)150cm2 (B)200cm2

(C)225cm2(D)无法计算

练习2、如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD 的长．

练习3、如图，已知△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，求BC边上的高．

A

B C

考点三：折叠问题（图形与方程的综合）

例1、在矩形ABCD中，BC=13，DC=1，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是____________(保留根号)．

例2、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．练习1、如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

一.勾股定理中方程思想的运用

例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，

折痕为DE ，则CD 的长为（ ）

二.勾股定理中分类讨论思想的运用

例题2．已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的面积。

三.勾股定理中类比思想的运用

例题3．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3

（1）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)

（2）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明

四.勾股定理中整体思想的运用

例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、

2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S

1、S

2

、S

3

、S

4

，则S

1

＋S

2

＋S

3

＋S

4

=_____．

五.勾股定理中数型结合思想的运用

例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

【同步练习】

1、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边长分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，周长为L.

（1）、请你完成下面的表格：

a，b，c a+b-c S/L

3，4，5

5，12，13

8，15，17

（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a，b，c为已知的正实数，且a+b-c=m，

那么S/L=_____________（用含m的式子表示）

（3）、请说明你写的猜想的推理过程。

2、在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt△ABC外部拼接一个合适的三角形，