面积平分问题(原卷版)

面积平分问题

★1.问题探究

在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P为AB边上一点，且PB＝m(m

(1)如图①，求证：△MPB的面积与△NPB的面积相等；

(2)如图②，延长AB到点S，使BS＝PB，以BS为边在直线AB上方作正方形BSRQ，连接AR、AQ、AC、CR，若△ACR的面积等于矩形

ABCD面积的1

4

，试确定a、b、m的关系；

问题解决

(3)如图③，有一片矩形绿地ABCD，现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地△ABE，按照施工要求，高速公路的边缘AE不能超过BC 的中点，为补偿占用的绿地，试在AE的延长线上找出一点F，使四边形ADCF的面积与原矩形ABCD的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由．

第1题图

★2.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为

S，则△ACD的面积为________；

(2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD

的边AB、BC上时，且满足AE＝1

3AB，BF＝1

3BC，记此时的四边形

BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2；

(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上任意一点，点F是BC边上任意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的1

2

，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．

第2题图

★3.问题提出

(1)如图①，请你过△ABC的顶点A作一条直线AD，使得AD将△ABC 的面积分成相等的两部分；

问题探究

(2)如图②，已知矩形ABCD.若在边AD、BC上分别存在一点E、F(不含端点)，且直线EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，画出图形，并探究AE和CF的数量关系，写出证明过程；

问题解决

(3)如图③，王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物．已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝2005米，∠BAD＝90°.过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长；若不存在，请说明理由．

第3题图

★4.问题探究

定义：如图①，在四边形ABCD中，如果点P满足∠APD＝∠APB＝α，且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

第4题图①

(1)如图②，在正方形ABCD内找一个半等角点P，且满足α≠β，并说明理由；

(2)如图③，在菱形ABCD中找一个半等角点P，使过点P的直线分别与AD、BC交于E、F两点(点E不与A、D两点重合，点F不与B、

C两点重合)，且EF平分菱形ABCD的面积；

问题解决

(3)如图④，若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2，线段EF与P1P2所在的直线交于点P，当线段EF将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，点P是否为四边形ABCD的半等角点？若是，将其求证；若不是，说明理由．

第4题图

★5.如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．

(1)请在图①中作一条二分线；

(2)请你在图②中用尺规作图法作一条直线l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线；(保留作图痕迹，不写画法)

(3)如图③，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

第5题图