统计学重要计算及公式
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表6-1 抽样调查中常用指标及计算公式
参数（总体指标）
统计量（样本指标）
X 1 , X 2 ...... X N
变 量
总体平 均数
X
X
N
XF F
x: x1,x2 ,x3 xn
变 样本平 x x xf
量 均数
n f
总 体
总体标 准差
σ
(X X)2
N
(X X)2F
F
样 本
样本标 准差
s
(xx)2
n N
注意：在实际计算抽样平均误差时，当总体成数P
未知时，可用样本成数 p 来代替。即：
三、一个总体参数的区间估计
（一）总体均值的区间估计 1 、总体为正态分布、 2已知时,均值的区间估计
当总体服从正态分布且方差已知，样本均值的抽样分布服从正态分布 ， 这时
Px－z 2
2
n
x＋z 2
2
n
（1）重复抽样： x
2
nn
:总体标准差
n:样本容量
（2）不重复抽样：x
2 N n
n
N
1
n
1 n
N
N :总体单位数
注意：在实际计算抽样平均误差时，当总体标准差σ未知
时，可以用样本标准差s来代替。即：
x
n
s n
s (x x)2
n
（大样本）
s
(x x)2 n 1
（小样本）
2.样本成数的抽样平均误差
1.各个时期环比发展速度连乘积等于相应的定基发展 速度；
a1 a2 a3 an
an
a0 a1 a2
an 1
a0
2.相邻时期的定基发展速度之比等于相应的环比发 展速度。
an an 1
an
a0
a0
an 1
由于总体成数可以表现为是非标志（０，１）分布的 平均数，而且它的标准差也可以从总体成数推算出来，
X p P P P(1 P)
因此，可以从样本平均数的抽样平均误差和总体标准
差的关系推出样本成数的抽样平均误差的计算公式。
（1）重复抽样：
p
P
n
P(1 P)
n
（2）不重复抽样： p
P(1 P) 1 n
< 0
> 0
说明：1、单侧检验包括左侧检验和右侧检验
2、原假设在假设时包含等号 （=、≤、≥），备择假设在假设时不包 含等号=
3、备择假设在双侧检验时没有特定的方向，而单侧检验时有特定的方 向
由绝对数时间序列资料计算平均发展水平公式如下：
绝对数 时间数 列的平 均发展 水平
（1）时期数列 的平均发 展水平
＝1
在置信水平1- 下参数的置信区间为：
或： x z 2x
x z 2
s n
x x
3、总体服从正态分布、 未知、小2样本时,均值的区间估计
总体方差未知且是在小样本情况下，则需用样本方差代替总体方差，这时 样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布， 可 得到
P
x－t
2
(n
1)
s2 n
x＋t 2 (n 1)
s2 n
＝1
根据t分布性质，在置信水平1- 下总体均值的置信区间为：
x x
或：
x
t
2
(n
1) x
x t (n 1) 2
s n
假设检验的类型：双侧检验和单侧检验
假设
研究的问题 双侧检验 左侧检验
右侧检验
原假设H0 = 0 0 0
备择假设H1 ≠0
＝1
在置信水平1- 下参 数的置信区间为：
或： x z 2x
x z 2
n
x x
2、总体分布未知、 2 未知、大样本时,均值的
区间估计
2未知，大样本情况下，无论原有总体服从何种分布，样本均值的抽样
分布服从正态分布，可用样本方差替代总体方差。这时：
Px－z 2
s2 n
x＋z 2
s2 n
（2）时点数列 的平均发 展水平
注意:首先要明 确时间序列的种 类，然后选择相 应的公式计算。
连续时 点数列
间断时 点数列
a
a n
a
a n
a
af f
a1 a2 a3 an
a 2
2
n 1
a1 a2 f 1 an 1 an fn－1
a 2
2
f 1 fn－1
环比发展速度和定基发展速度的关系
n
(x x)2 f
f
是
非
标 志
总体平 均数
Xp
N1 N
P
总体成数
σ 总 总体标
体准差 p
PQ
P(1 P)
是
非 样本平 标 均数
xp n1 p
n
志
总 体
s 样本标
准差 p
pq
来自百度文库
p(1 p)
性 质
是唯一确定的
性
是随机变量，它会随着样
质
本的不同而有不同的取值
简单随机抽样下抽样平均误差计算公式
1.样本平均数的抽样平均误差
参数（总体指标）
统计量（样本指标）
X 1 , X 2 ...... X N
变 量
总体平 均数
X
X
N
XF F
x: x1,x2 ,x3 xn
变 样本平 x x xf
量 均数
n f
总 体
总体标 准差
σ
(X X)2
N
(X X)2F
F
样 本
样本标 准差
s
(xx)2
n N
注意：在实际计算抽样平均误差时，当总体成数P
未知时，可用样本成数 p 来代替。即：
三、一个总体参数的区间估计
（一）总体均值的区间估计 1 、总体为正态分布、 2已知时,均值的区间估计
当总体服从正态分布且方差已知，样本均值的抽样分布服从正态分布 ， 这时
Px－z 2
2
n
x＋z 2
2
n
（1）重复抽样： x
2
nn
:总体标准差
n:样本容量
（2）不重复抽样：x
2 N n
n
N
1
n
1 n
N
N :总体单位数
注意：在实际计算抽样平均误差时，当总体标准差σ未知
时，可以用样本标准差s来代替。即：
x
n
s n
s (x x)2
n
（大样本）
s
(x x)2 n 1
（小样本）
2.样本成数的抽样平均误差
1.各个时期环比发展速度连乘积等于相应的定基发展 速度；
a1 a2 a3 an
an
a0 a1 a2
an 1
a0
2.相邻时期的定基发展速度之比等于相应的环比发 展速度。
an an 1
an
a0
a0
an 1
由于总体成数可以表现为是非标志（０，１）分布的 平均数，而且它的标准差也可以从总体成数推算出来，
X p P P P(1 P)
因此，可以从样本平均数的抽样平均误差和总体标准
差的关系推出样本成数的抽样平均误差的计算公式。
（1）重复抽样：
p
P
n
P(1 P)
n
（2）不重复抽样： p
P(1 P) 1 n
< 0
> 0
说明：1、单侧检验包括左侧检验和右侧检验
2、原假设在假设时包含等号 （=、≤、≥），备择假设在假设时不包 含等号=
3、备择假设在双侧检验时没有特定的方向，而单侧检验时有特定的方 向
由绝对数时间序列资料计算平均发展水平公式如下：
绝对数 时间数 列的平 均发展 水平
（1）时期数列 的平均发 展水平
＝1
在置信水平1- 下参数的置信区间为：
或： x z 2x
x z 2
s n
x x
3、总体服从正态分布、 未知、小2样本时,均值的区间估计
总体方差未知且是在小样本情况下，则需用样本方差代替总体方差，这时 样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布， 可 得到
P
x－t
2
(n
1)
s2 n
x＋t 2 (n 1)
s2 n
＝1
根据t分布性质，在置信水平1- 下总体均值的置信区间为：
x x
或：
x
t
2
(n
1) x
x t (n 1) 2
s n
假设检验的类型：双侧检验和单侧检验
假设
研究的问题 双侧检验 左侧检验
右侧检验
原假设H0 = 0 0 0
备择假设H1 ≠0
＝1
在置信水平1- 下参 数的置信区间为：
或： x z 2x
x z 2
n
x x
2、总体分布未知、 2 未知、大样本时,均值的
区间估计
2未知，大样本情况下，无论原有总体服从何种分布，样本均值的抽样
分布服从正态分布，可用样本方差替代总体方差。这时：
Px－z 2
s2 n
x＋z 2
s2 n
（2）时点数列 的平均发 展水平
注意:首先要明 确时间序列的种 类，然后选择相 应的公式计算。
连续时 点数列
间断时 点数列
a
a n
a
a n
a
af f
a1 a2 a3 an
a 2
2
n 1
a1 a2 f 1 an 1 an fn－1
a 2
2
f 1 fn－1
环比发展速度和定基发展速度的关系
n
(x x)2 f
f
是
非
标 志
总体平 均数
Xp
N1 N
P
总体成数
σ 总 总体标
体准差 p
PQ
P(1 P)
是
非 样本平 标 均数
xp n1 p
n
志
总 体
s 样本标
准差 p
pq
来自百度文库
p(1 p)
性 质
是唯一确定的
性
是随机变量，它会随着样
质
本的不同而有不同的取值
简单随机抽样下抽样平均误差计算公式
1.样本平均数的抽样平均误差