矩阵论最大秩分解

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矩阵论之矩阵的分解

矩阵的分解一、矩阵的三角分解定义 3.1 设.n nA F⨯∈(1) 若,n n L U F ⨯∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。

(2) 若,n n L U F ⨯∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。

,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。

用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=例1 设223477245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的LU 分解和LDU 分解。

解为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：3223100223100()477010031210245001068101223100031210006521A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此 100223210,031521006P PA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 令1100223210,031121006L P U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则223031.006A L LU ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦再利用初等变换，有31121002121030131216001A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦就得到A LDU =其中 311210021210,3,0131216001L D U ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。

下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的存在性和唯一性。

定理 3.1 设(),n nij n n A a F ⨯⨯=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的顺序主子式1112121222012......0,1,2,...,;1,...............k k k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=∆=其中 121,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥===⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -⨯----== 则对,n 将A 分块成1n n Tnnn A A u a τ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),TTn n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==设111100,1001n n n n n n T T n nn nn A L D V v u a l d τ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两边，则有1111,n n n n A L D U ----= (3.1)11n n n n L D v τ--= (3.2)11T Tn n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)由归纳假设（3.1）式成立。

矩阵论3.5

⎛ 0 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 1⎟ ⎜ 2i 0 ⎟ ⎝ ⎠
取
⎛1 1 2 0⎞ C =⎜ ⎟ 0 0 1⎠ ⎝
则
⎛ 0 1⎞ ⎜ ⎟⎛1 A = ⎜ 2 1⎟⎜ ⎜ 2i 0 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎝ ⎠
1
0⎞ 2 ⎟ 0 1⎟ ⎠
8
西安理工大学

矩阵论
方法（2）在秩分解的基础上进行：取
⎛ Er 0 ⎞ ⎛ Er ⎞ A = P⎜ ⎟ Q = P ⎜ ⎟ ( Er 0 ) Q ⎝ 0 0⎠ ⎝0⎠ ⎛ Er ⎞ B = P ⎜ ⎟ C = ( Er 0 ) Q 则有 A = BC ⎝0⎠
6
西安理工大学

例3.7设解：
则
⎛ 1 ⎜ ⎜ −1 B=⎜ 3 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 2 ⎝
−1 0 2 −1 2
2 ⎞ ⎟ −1⎟ −1⎟ ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟ ⎠
⎛1 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 0 1 0 −3 ⎟ ⎜0 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ −1 0 −1 ⎟ ⎛ 1 ⎜ ⎜ A=⎜ 3 2 −1 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟⎜ ⎜ 0 −1 1 ⎟ 如果如果设则从而有
A1
A1 = O
A1 ≠ O
或
A2 = O
，则结论成立.
且 A2 ≠ O ，
A2 = B2C2
与
A2
的最大秩分解分别为
⎛ C1 ⎞ A1 + A 2 = B1C 1 + B 2 C 2 = ( B1 B 2 ) ⎜ ⎟ C2 ⎠ ⎝
A1 = B1C1
rank ( A1 + A2 ) ≤ rank ( B1 B2 ) ≤ rankB1 + rankB2 = rankA1 + rankA2

矩阵的最大秩分解及其应用

矩阵的最大秩分解及其应用黄爱梅（01数本26号）摘要：本文给出矩阵m nC⨯∈A 分解为两个与A 同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些相关应用。

关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换正文：定理1：设m nrA C ⨯∈，则存在矩阵m rrB C ⨯∈，使得A BC =。

证：设()1112,A A A P =，其中11m rr A C ⨯∈，它由A 的r 个线性无关列组成，12A 为的其余n r -列所组成的矩阵。

n nn P C ⨯∈为初等列变换矩阵之积。

由于12A 的列均为11A 的列的线性组合，故存在矩阵()r n r D C⨯-∈，使得 1211A A D =于是()()111111,,r A A A D P A I D P == 令()11,,r B A C I D P == 显然有m rrB C ⨯∈,r n r C C ⨯∈且A BC =。

矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）定理的证明过程给出求B 、C 的方法，可归纳如下：将A 进行初等变换，化为行标准型，即将A 变为如下形式的矩阵。

001**0**0**001**0**0001**0000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r 个元素不全为零的行其中“*”表示不一定为0的元素，在r A 中第个元素为1 外，其余的无素均为0（j r ∈）。

于是A 中12,,,r k k k 列的元素组成的阶矩阵就是B 。

而在r A 中除去下面的n r -个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为C 。

例1 求矩阵141362040141200112116A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦的最大秩分解。

解：将A 进行行初等行变换，化为标准型04136007714000001002010020100200242401212010120213600551000112A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦即知A 的第1、2、3列线性无关，其他列可被这三列线性表示。

矩阵的满秩分解

§矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。

定义设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。

当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。

定理设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。

证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ，其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。

则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。

▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。

这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。

例1、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。

解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。

矩阵的满秩分解

r × n 阶矩阵 C 满足 A = BC ，则 r ( B) = r (C ) = r ，即 A = BC 为 A 的满秩分解。因
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ，矛盾！从定理的证明可以看出，可以通过对矩阵进行初等变换，化为行阶梯形矩阵，从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ，而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠

矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解## 简介矩阵的满秩分解（Full Rank Decomposition，FRD）是矩阵分解的一种，它将矩阵分解为两个或更多满秩矩阵的乘积。

FRD可用来求解非奇异（non-singular）非对称矩阵（asymmetric matrix）。

FRD可以将矩阵分解成多个较小的矩阵，这可以提高矩阵求解的速度和准确度。

## 原理矩阵的满秩分解可以将非奇异非对称矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，即A=UL，其中L和U既不是行手乘以列向量，也不是列手乘以行向量，而是一个L矩阵和一个U矩阵的乘积。

L矩阵是下三角矩阵，U矩阵是上三角矩阵，两者都具有单位对角线，另外，L和U具有相同的秩，并且都是正定的满秩矩阵，而A是它们的乘积，因此A也是满秩矩阵。

求解满秩分解矩阵的一般过程是：先进行LU分解，将矩阵A分解为两个单位对角线的满秩矩阵L和U；接着求解A的列空间的基，即求解A的列块的空间；最后再从A的行空间中求解A的行块的空间。

LU分解的算法的时间复杂度主要以A的维度D（即A的行数和列数）为关键，因此矩阵FRD分解的时间复杂度也主要以D为关键。

在计算机编程中，可以采用不同的算法来实现FRD，比如基于LU分解的矩阵FRD算法，和基于Gauss消元法的矩阵FRD算法。

## 应用矩阵的满秩分解具有广泛的应用，既可以用来解决矩阵求解问题，还可以用来分解多项式。

例如，可以用矩阵FRD分解将矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，以求解线性方程组的系数矩阵，或者用于求解最小二乘问题；另外，可以用FRD分解将一个多项式分解成多个单项式，以求解多项式函数的数值解或其他曲线拟合问题。

同时，矩阵的满秩分解还可以用于图像处理，如图像中的边缘检测、图像去噪等。

《矩阵论》课件09满秩分解谱分解(华中科大)

0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0032⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦4×5 ∈ F4×5
②满秩分解的一种求法
设 A ∈ Fm×n ,rank(A) = r ，
也是 Hermite 标准形
（1）采用行初等变换将 A 化成 Hermite 标准形；
（2）得到 A 的列向量极大无关组 {αj1 ,αj2 ,…,αjr } ，令 B = (αj1 ,αj2 ,…,αjr )
2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解
证：采用构造性证明方法。设 A ∈ Fm×n ,rank(A) = r ，则存在
初等变换矩阵 P ∈ Fm×m ,Q ∈ Fn×n ，
使 PAQ = ⎛⎜⎜⎜⎝I0r 00⎞⎠⎟⎟⎟，即 A = P−1 ⎛⎜⎜⎜⎝I0r
并把 P−1 分块成 P−1 = [B | B1 ] ， r列 (m−r)列
i=1
② （幂等阵） Pi2 = Pi , i = 1, 2,...,s, ③ PiPj = 0,i ≠ j.
进一步研究幂等阵的性质：
P72,定理 3.4 方阵 P ∈ Fn×n 为幂等阵，则（1） PH 和 I − P 仍为幂等矩阵；
（2）P 的特征值为 1 或者 0，而且 P 可相似于对角矩阵；
（2）每一行第一个非零元素必须为 1；
（3）每行第一个非零元所在的列中其他元素均为零。
例 1 B1 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣10000
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
−1 2 −1 0 0
10032⎥⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦5×6 ∈ F5×6
为 Hermite 标准形
B2 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0000

矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解

第十一讲满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。

说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。

（2）满秩分解不唯一。

r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。

设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈，使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行，其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。

3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2）若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3）矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。

例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1）采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2）选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。

第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解

(r 0) 的 Hermite 行标准形为B(如定义
A FG
证由条件知,存在m阶可逆矩阵P,使得 G r n , 或者 PA B , G C r O 根据定理2.7 ,设 P 1的分块阵为 P 1 F ,可得最大秩分解 A FG .
A P 1 B
0 1 1 ~~ 0 A FG 0 0 1 3 5 10 0 1 4 1 5 6 0 1 2 0 1 0 14 3 1 2 0 0 1 5
4 1 0 2 F 1 2 1 2 而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 4 1
于是, 的最大秩分解为
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5
4 1 1 1 0 0 2 3 0 0 2 A FG 0 1 0 1 2 1 2 4 0 0 1 1 5 1 2 1
求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出 P和P 1 ，下面介绍一个不需求出
P和P
1 简便方法.

定义2.12 如果 B C rmn (r 0) ,并且满足条件:
(1) B的前r行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个非零元素等于1;
, (2) B的后m-r行元素都等于零 ;
S , F C rmr , S C nmr( nr )
设A.B的分块矩阵为 A (a1 , a 2 ,, a n ) , B (b1 , b2 ,, bn ) ,对应A的
P1 (e j1 , e j2 ,, e jr , e jr 1 e jn )
,则有
Hermite 行标准形B,构造阶置换矩阵

矩阵分解及应用

引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。

许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。

在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。

在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。

英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。

凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。

后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。

而在我国，矩阵的概念古已有之。

从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。

尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。

而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。

这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。

随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。

矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。

矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。

在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。

如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。

这就是矩阵分解的主要目的。

而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。

第十六讲矩阵的满秩分解与奇异值分解

AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ，对角阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，

矩阵分析第四章矩阵分解

按照分解的存在性可知
A UR 其中 U U nn , R 是正线上三角矩阵。
T
于是
TU T RU A R 1 1
R1 是正线下三角矩阵，而 U1 U nn 其中
此结论也可以被推广为
定理：设解为
A Cr
m r
，则
A 可以唯一地分
m r
A UR
其中 R 是 r 阶正线上三角矩阵，U U r ，即 U 是一个次酉矩阵。
0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 (3) 0 3 0 2 2
解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到
1 1 (1) 2 4
2 1 0 1 2 2 1 3 4 3 1 4 8 6 2 8 2 1 0 1 0 0 0 0
1 r4 r3 0 r3 (r1 r2 ) 0 r2 r1 0
A
B B1 , C C1
1
（2）
C (CC ) ( B B ) B
H H 1 H
H
H 1
H
1
H 1 H
C1 (C1C1 ) ( B1 B1 ) B1
H H 1
证明：A BC B C H H B1C1C 1 1 BCC
H
同理
B B1C1C (CC ) B11 ,1 C1C (CC )
0 0 1 1 0 0 0
所以 Rank ( A) 2 ，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取
1 1 2 1 C 32 , B 2 3 2 0 1 0 0 0 25 C C2 0 0 0 1 1
解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到

15 矩阵的满秩分解

即存在可逆矩阵P2，使得 P2 A B
1
(2)
由(1)式和(2)式得到 B P2 A P2 PH 1 A
令P P2 P 1 ，则有
PB H A
B的Hermite标准形也是H A .
高等工程数学 8
高等工程数学
理学院杨文强
第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
第四章矩阵分析及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解一、矩阵的Hermite标准形：
矩阵行的初等变换：
(1)交换矩阵的任意两行；
(2)对矩阵的某一行乘以一非零的任意常数；
(3)矩阵的某一行乘以一个常数加到另一行.
注：
矩阵的行初等变换等价于矩阵左乘一相应的初等矩阵；
矩阵的列初等变换等价于矩阵右乘一相应的初等矩阵；
即 PAi Bi，i 1 ， 2，，n.
Ai P1Bi，i 1 ， 2，，n.
若矩阵A的列向量Ai1， Ai2，， Aik 有线性关系：
x1 Ai1 x2 Ai2
则有 P x1 Ai1 x2 Ai2
为Hermite标准形H，即存在可逆方阵P，使得 PA H H 称为A的Hermite标准形 . 高等工程数学
高等工程数学
4
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第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
例2：求矩阵A的Hermite标准形及变换矩阵P，其中
1 2 1 2 1 A 2 4 1 2 3 3 6 3 6 3
单形式是什么矩阵？
高等工程数学 2
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第四章矩阵分解及其应用

矩阵论矩阵的分解演示文稿

结论：如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。
三角分解的存在性和惟一性
定理3.1 （P.62）：
• 矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， … ，n。
• 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。
Hermite 矩阵的谱分解
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite
矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
对角矩阵对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。
例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，
证明B也是正规矩阵。
正规是酉相似的不变性质
例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。
证明：源于Schmidt正交化方法（P.18） 2 8 2
例题1
求矩阵A的UR分解，其中
ALeabharlann 17 1QR分解
2 2 1
定理3.8（P.76）：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则
矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cmn的列向量是标准正交的向量组，R Cnn是主对角线上元素为正数的上三
角形矩阵。
2 、Schur 分解
定理3.7（P.74 ）对矩阵ACnn，存在酉矩

重庆大学矩阵论课后习题答案第七章答案

第七章答案第三题证明：验证P-M 的第一个方程成立1111BQ A P B PAQQ A P PAQ PAA AQ PAQ B -------====第四题证明：验证P-M 的前两个个方程成立第六题略第七题让求A -（{}1A ）,更确切的说应该是让求一个A -，因为如果A 不是通常可逆的情况下A -不唯一，当然，在通常应用情况下，我们只要求出一个就可以满足我们的要求了，书上也是侧重求出其中的一个。

解：（1）略如果用满值分解法做出的结果是1011101500152022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2）2342111111111112111111111111211111A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令10110100121120,00100110001P Q -⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ 则22010012000000000E A Q P -⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 如果用满值分解法做出的结果是100315533355033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第十二题对于低阶矩阵来说，最大秩分解是最有效的而且是最方便的，但如果今后遇到一些复杂的矩阵时，我们可以考虑其它分解方法第十三题解：102120425A +⎛⎫= ⎪⎝⎭最小范数解为：0102111120422550x A β+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭通解为：1122121421()225x x x x A E A A x x x β+++-⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭第十四题类似第十三题。

满秩矩阵及矩阵满秩分解

满秩矩阵及矩阵满秩分解引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.一矩阵的秩定义1.1[1] 一个矩阵A 中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.记作rankA .利用定义1.1计算矩阵的秩运算量很大,故而给出矩阵秩的第二定义.定义1.2[2] 矩阵A 的秩等于A 的行秩,也等于A 的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩阵行向量组的秩,列秩指矩阵列向量组的秩.定理1.1 定义1.1和定义1.2等价.证明设A 的秩为r ,则A 有不等于零的r 阶子式D .不妨设D 位于A 的左上角,设A 的前r 个列向量为12,,,r ααα.设12,,,r k k k ,使得11220(1)r r k k k ααα+++=考虑线性方程组11220(2)r r x x x ααα+++=因为（2）的系数矩阵12(,,,)r B ααα=中有一个不等于零的r 阶子式D ,所以B 的秩为r ,从而线性方程组的（2）只有零解.因此满足（1）式的120r k k k ====,也即证明了12,,,r ααα线性无关.设121,,,,r r j j j j αααα+是A 的任意1r +个列向量.考虑线性方程组121''''1210(3)r r j j r j r j x x x x αααα++++++=因为方程组(3)的系数矩阵),,,,(c 121+=r j jr j j αααα的秩小于1r +,所以（3）有非零解,也即有121(,,,,,,),r r n A ααααα+=()r rank rankA n r r ==+ααααα,,,,,,121 .二满秩矩阵 2.1满秩矩阵的概念定义2.1.1 设()F M A n n ⨯∈上的一个矩阵,若n rankA =,则称A 为满秩矩阵. 定义2.1.2 设()()n m F M A n m ≠∈⨯上的一个矩阵,若m rankA =,则称A 为行满秩矩阵;若n rankA =,则称A 为列满秩矩阵.命题2.1.1 若()n n A M F ⨯∈上的一个满秩矩阵,则0det ≠A .命题2.1.2 若n m ⨯矩阵的m 个行向量线性无关,则称此矩阵为行满秩矩阵;若m n ⨯矩阵的n 个列向量线性无关,则称此矩阵为列满秩矩阵.例 2.1.1111210120111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则A 的三个列向量123111210,,,120111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知123,,ααα线性无关.由命题2.1.2可知,A 为列满秩矩阵,且3=rankA .而121111211001T A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个行向量()()()'''1231211,1121,1001ααα===易知线性无关. 由命题2.1.2可知,T A 为行满秩矩阵,且3=T rankA .2.2满秩矩阵的性质性质2.2.1 设()()m n A M F m n ⨯∈≠上的一个矩阵,若A 为行满秩矩阵,则n m ≤;若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.证法Ι 若A 为行满秩矩阵,则m rankA =,即存在A 的一个不为0的m 阶子式.当m n >,则A 不存在不为0的m 阶子式,故n m ≤.同理可证,若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.证法Ⅱ 若A 为行满秩矩阵,则m rankA =,由命题2.1.2知,有m 个行向量线性无关;当m n >,则有n 个列向量线性无关.由此可得A 的行秩为m ,列秩为n .但这与“A 的行秩等于A 的列秩”矛盾,因此rankA m =,即n m ≤.同理可证,若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.引理2.2.1[3] 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯那么:()()rankB rankA AB rank n rankB rankA ,m in ≤≤-+其中()AB rank n rankB rankA ≤-+称为“Sylvester 不等式”.性质2.2.2 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯若A 为列满秩矩阵,则()rankB AB rank =;若B 为行满秩矩阵,则()rankA AB rank =.证明若A 为列满秩矩阵,则n rankA =,由“Sylvester 不等式”知()AB rank rankB ≤,再由引理2.2.1知()rankB AB rank ≤,从而()rankB AB rank =.同理可证,若B 为行满秩矩阵,则()rankA AB rank =.引理2.2.2 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则存在数域F 上非零的p n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充分必要条件为rankA n <.其逆否命题可表述为设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则存在数域F 上非零的n p ⨯矩阵B ,使得0AB ≠的充分必要条件为.rankA n ≥定理2.2.1 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯且0≠B ,若()()B rank AB rank =,则A 为列满秩矩阵.证明由于0B ≠,故()()0>=B rank AB rank ,从而0≠AB ,由引理2.2.2的逆否命题知n rankA ≥,又()()n m F M A n m ≠∈⨯,故n rankA ≤,从而n rankA =,即A 为列满秩矩阵. 定理2.2.2 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯且0A ≠,若()()A rank AB rank =,则B 为行满秩矩阵.证明由于0A ≠,故()()0>=A rank AB rank ,从而0AB ≠,由引理2.2.2的逆否命题知n rankB ≥,又()()p n F M B p n ≠∈⨯,故n rankB ≤,从而n rankB =,即B 为行满秩矩阵.引理2.2.3[1] 设A 为n m ⨯矩阵,即,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化成如下形式,00000000001000100011,21,211,1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ rn r r n r n r c c c c c c B 进而再利用一系列第三种列初等变换能把B 化成如下形式,0000000000001000001000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= r D 这里.,,0n r m r r ≤≤≥性质2.2.3 若A 为m n ⨯的列满秩矩阵,则存在n 行m 列的行满秩矩阵B ,使得n I BA =;若C 为m n ⨯的行满秩矩阵,则存在n 行m 列的列满秩矩阵D ,使得m I CD =.证明因为A 为列满秩矩阵,显然n m ≥,由引理2.2.3知,则存在可逆的m 阶方阵P,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n I PA将P 在n 行和1n +行之间划分成块,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P 则B 为m n ⨯矩阵, Q 为()m n m ⨯-矩阵,则,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n I QA BA A Q B PA 知n I BA =.又由于rankA BA rank =)(,,n m rankB ≥≥而n rankB ≤知n rankB =,故B 为行满秩矩阵.同理可证,对于m n ⨯的行满秩矩阵C ,必存在n 行m 列的列满秩矩阵D ,使得m I CD = 性质2.2.4 设()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,且()()n m F M H n m ≠∈⨯上的一个列满秩矩阵,若HA HB =,则左消去律成立即A B =.证明因为()()n m F M H n m ≠∈⨯,由HA HB =,()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,则0,HA HB -=即H(A-B)=0 设()n H ααα,,,21 =, 12i i i mi αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,3,,.i n =111212122212p p n n np a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 111212122212,p p n n np b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭从而有()0,,,22112222222121111212111121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------np np n n n n p p p p n b a b a b a b a b a b a b a b a b aααα, 故有111222()()()0(1,2,,),j j j j nj nj n a b a b a b j p ααα-+-++-==由于H 为列满秩矩阵,12,,,n ααα线性无关,从而()p j n i b a ij ij ,,2,1;,,2,1 ===即A B =.性质2.2.5 设()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,且()()n m F M H n m ≠∈⨯上的一个行满秩矩阵,若AH BH =,则右消去律成立即A B =.证明因为()()n m F M H n m ≠∈⨯,又H 为行满秩矩阵,由性质2.2.3知必存在一列满秩m n ⨯矩阵S ,使得m I HS =;由条件知AH BH =,给等式两边同乘S 得到A B =.定理2.2.3 设A 为n m ⨯矩阵, r rankA =,则(1) 存在m 行r 列的列满秩矩阵H 和r 行m 列的行满秩矩阵L ,使得A HL =. (2) 若11L H HL A ==,其中H 与1H 为m 行r 列的列满秩矩阵,L 与1L 为r 行n 列的行满秩矩阵,则必存在非奇异矩阵P 使得111,L P L P H H -==.证明（1）由于rankA r =,当r m =时,A I A m =是A 的一个满秩分解;当r n =时,nAI A =是A 的一个满秩分解;当{}n m r ,m in 0<<时,我们知道,可通过行初等变换将A 化000r I ⎛⎫⎪⎝⎭形式,也即存在m 阶可逆矩阵B 和n 阶可逆矩阵C 有()00,000rr r II A B C B I C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令(),0,0r rI H B L I C ⎛⎫== ⎪⎝⎭则.A HL =（2）因为L 是r 行n 列的行满秩矩阵,所以由性质2.2.3知,存在n 行r 列的列满秩矩阵D ,使得m I LD =,于是在11L H L =,两边右乘D ,有D L H H 11=. 令D L P 1=知P 是r 阶方阵,下证P 可逆.由于H 是m 行r 列的列满秩矩阵,所以存在r 行m 列的行满秩矩阵A ,使n I AH =,从而()P AH AH I n 1==,所以P 是r 阶可逆矩阵.又因,,1111-==HP H L H HL故而.,1111L P L L HP HL --==三矩阵的满秩分解 3.1矩阵满秩分解的概念定义3.1.1[4] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,0rankA r =>,若存在r m ⨯的列满秩矩阵P 和n r ⨯的行满秩矩阵G ,使得PG A =,则称此分解为矩阵A 的满秩分解.推论3.1.1 任意n m ⨯矩阵()0>rankA A 都存在满秩分解. 根据定理2.2.3显然易证.3.2初等变换法基于定理2.2.3,我们可以得知,对任意矩阵()0>rankA A 都能利用初等变换法进行满秩分解.初等变换法包括行初等变换和列初等变换.行初等变换有三种变换形式,1交换两行记作ij P ,表示将第i 行与第j 行交换;2某一行乘一非零常数记作()k D i ,表示给第i 行乘一非零常数k ;3某一行乘一非零常数加到另一行记作()k T ij ,表示给第j 行乘一非零常数k 加到第i 行.对应的初等矩阵为 1 交换两行;10111101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ij P 2 第i 行乘一非零常数k();1111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= k k D i 3 第j 行乘一非零常数k 加到第i 行ij 11(k)=.011k T ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭列初等变换也有三种变换形式,1变换两列记作'ij P ,表示将第i 列与第j 列交换;2给某一列乘一非零常数记作'()i D k ,表示给第i 列乘一非零常数k ;3给某一列乘一非零常数加到另一列记作'()ij T k ,表示给第j 列乘一非零常数k 加到第i 列.实际上,对任意一个矩阵()0>rankA A ,进行一系列相应行或列的初等变换后都可以化成 000rI ⎛⎫⎪⎝⎭ 形式;另外,给矩阵A 左乘或右乘若干个对应初等矩阵也可以将其化成000r I ⎛⎫⎪⎝⎭形式.例3.2.1 求矩阵1332A=2695-1-330⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解.解()()()()()()().000000100001000010000001000013000001000013001001000013001031000013002331260013002331260059622331033159622331'24'34'41'21123221313131221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=------P T T T T T T T A 则存在3阶可逆矩阵,P,125012013101010001100012001120010001100010011)1()2()2()1(31213212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=T T T T P存在4阶可逆矩阵,Q,0310010010003311001001001000000113000100001000110000100001010011000010000100031)3()1()3(24''34'41'21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---=P T T T Q使得,000,0001212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A I PAQ 其中,0010010013001031,11103201111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--Q P (),000001221121----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I I P Q I P A,113211001001111032011021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-I P H (),13001031001001001300103100100001012⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-Q I L 其中,2==rankL rankH进而得HL A =,其中H 为列满秩矩阵,L 为行满秩矩阵.3.3 一类特殊矩阵的满秩分解定义3.3.1[4] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,矩阵A 的行转置矩阵与列转置矩阵分别为()()(),11211222211211121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n n n m m m mn m m R a a a a a a a a a a a a A11(1)121122(1)2221(1)2m1 =,a nn nn C mnm n m a a a a a a a a A a a a ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭若(),A A A A C R ==则称A 为行（列）对称矩阵.定理3.3.1[5] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则,,n C m R AJ A A J A ==,其中m J 表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的m 阶方阵; n J 表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的n 阶方阵.证明将矩阵A 按行、列分块为,121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m m A αααα (),121n n A ββββ-=则,0001001001001000121121R m m m m m A A J =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--αααααααα()().0001001001001000121121C n nn n n A AJ ==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--ββββββββ行对称矩阵只有两种类型1当行对称矩阵行数为偶数行时,可表示为B JB ⎛⎫⎪⎝⎭;2当行对称矩阵行数为奇数行时,可表示为,B JB α⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中()(),n m F M B n m ≠∈⨯1()n M F α⨯∈，J 为次对角矩阵.列对称矩阵也有两种类型1当列对称矩阵列数为偶数列时,可表示为();B BJ 2当列对称矩阵列数为奇数列时,可表示为(),B BJ β其中m n()B MF ⨯∈定理3.3.2（行对称矩阵分解定理）设()()n m F M B n m ≠∈⨯的满秩分解为()()()(),,,2n r F M G n m F M F FG B n r n m ≠∈≠∈=⨯⨯,αβ=G (),1F M r ⨯∈β则① 行对称矩阵2()m n m B A M F J B ⨯⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的满秩分解为.m F A G J F ⎛⎫=⎪⎝⎭ ② 行对称矩阵(21)()m n m B A M F J B α+⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解为.m F A G J F β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明 ①由条件知2(),(),m r r n m F M F G M F J F ⨯⨯⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭使得.m m m F FG B G A J F J FG J B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由条件知(21)()m r m F M F J F α+⨯⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭,n (),r G M F ⨯∈ 使.m m m F FG B G G A J F J FG J B ββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3.3.3（列对称矩阵分解定理）设()()n m F M B n m ≠∈⨯的满秩分解为B FG =,()(),r m F M F r m ≠∈⨯()(),n r F M G n r ≠∈⨯,αβ=F (),1F M r ⨯∈β则① 列对称矩阵()2()m n n A B BJ M F ⨯=∈的满秩分解为().n A F G GJ = ② 列对称矩阵()(21)()m n A B BJ M F α⨯+=∈的满秩分解为().n A F G GJ β=证明 ①由条件知()2(),()m r n r n G GJ M F F M F ⨯⨯∈∈()()()n n n F G GJ F G FGJ B BJ A ===②由条件知()(21)(),(),r n m r n G GJ M F F M F β⨯+⨯∈∈使得()()().n n n F GGJ F GF FGJ B BJ A ββα===四总结首先,本文通过导入矩阵的秩,引出一类特殊矩阵——满秩矩阵,并深入研究了它的一些重要性质;特别地,给出了这些性质的详细证明以及强调了它们之间的联系.这样加深了我们对满秩矩阵的了解.其次,提出矩阵的满秩分解,重点介绍了一种矩阵满秩分解的方法——初等变换法,并通过举例对其进行了强化.这样帮助我们掌握了矩阵的满秩分解.最后,强调一类特殊矩阵满秩分解的形式,并对其展开了深入探讨.这部分作为对一般矩阵满秩分解内容的补充,有效地提高了我们分析矩阵满秩分解问题的能力.致谢本论文是在邵海琴老师的悉心指导下完成的,感谢邵老师对我的辛勤培育.从论文的立题到论文的撰写整个过程无不浸透着老师的心血,她广博的学识,严肃的科学态度，严谨的治学精神,灵活的思维方式,耐心细致的言传身教深深感染激励着我,将使我终身受益.导师不但在学习上给予我耐心细致的指导,在生活中也给了我莫大的关怀,这份师恩我将终身难忘.同时,我要感谢我们学院给我们授课的各位老师,正是由于他们的传道、授业、解惑,让我学到了专业知识,让我的大学生活丰富多姿.最后,感谢数应06四班的同学和我的舍友给予我的帮助.我为自己能够在这样一个温馨和谐的班级体中学习生活,深感愉快和幸福.参考文献[1]刘仲奎,杨永保.高等代数[M]. 北京:高教出版社,2005:74-75,111-112.[2]王萼芳,石名生.高等代数（第三版）[M].北京:高教出版社,2003:127-129.[3]张艳丽,刘洁晶.矩阵秩几个重要结论[J].河北:衡水学院学报,2008,10(1):60-61.[4]王金林.矩阵分解的方法[J].江西:南昌航空工业学院学报（自然科学版）,2004,18(3):20-24.[5]袁晖坪.对称矩阵的满秩分解和正交对角分解[J].上海:上海理工大学学报,2007,29(3):72-79.。

矩阵论最大秩分解

矩阵论之矩阵的分解

矩阵论3.5

矩阵的最大秩分解及其应用

矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解

《矩阵论》课件09满秩分解谱分解(华中科大)

矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解

第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解

矩阵分解及应用

第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解

矩阵分析 第四章 矩阵分解

15 矩阵的满秩分解

矩阵论矩阵的分解演示文稿

最新第三节满秩分解PPT课件

重庆大学矩阵论课后习题答案第七章答案

满秩矩阵及矩阵满秩分解

第十六讲矩阵的满秩分解与奇异值分解

矩阵分析第四章矩阵分解