八年级二次根式(教师讲义带答案)

第五章二次根式

【知识网络】

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意

义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等

于a 的相反数-a,即；

2、中的a 的取值围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；

在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广：

123123(0000)n n n a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，

2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.

例如+进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，

4

3

+=+=+ (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.

如：

2

2

1+-=

-=，利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化

把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

（1

（2

）a a

+-

互为有理化因式；一般地a a

+-

（3

+

+-.

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 二次根式的最值问题

【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.

例1 当x

3

+的值最小？最小值是多少？

分析

00，因为3

3的最小

值为3.

0，

33

≥，

∴当9x+1=0，即

1

9

x=-

3有最小值，最小值为3.

【解题策略】

0（a≥0）.

专题2 二次根式的化简及混合运算

【专题解读】

||a

=这一性质，但应用性质时，要根据具

体情况对有关字母的取值围进行讨论.

例2 下列计算正确的是（）

1

===

==

分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A

=

=

B

选若可化为

33

-=，C

选项逆用平方差公式可求得2+

（=4-5=-1，而D选项应将

2

2

=.故选A.

例3

计算20062007

1)1)的结果是（）

1

分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为