二次函数的特殊形式专题(交点式)

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二次函数交点式顶点坐标公式

二次函数交点式顶点坐标公式
二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

二次函数的顶点坐标可以通过求导和配方法来求解。

一、求导法求顶点坐标：
二次函数的导函数为：
y' = 2ax + b
令导函数为0，求得x的值，即为顶点的x坐标。

2ax + b = 0
x=-b/(2a)
将x的值带入原函数，求得y的值，即为顶点的y坐标。

y=a(-b/(2a))^2+b(-b/(2a))+c
y=a(b^2/(4a^2))-b^2/(2a)+c
y=b^2/(4a)-b^2/(2a)+c
y=-b^2/(4a)+c
所以，顶点的坐标为(-b/(2a),-b^2/(4a)+c)。

二、配方法求顶点坐标：
将二次函数的标准形式转化为顶点式：
y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

将二次函数的标准形式展开：
y = ax^2 + bx + c
=a(x^2+(b/a)x)+c
=a(x^2+(b/a)x+(b^2/(4a^2))-(b^2/(4a^2)))+c =a(x+b/2a)^2+c-b^2/(4a)
与顶点式对比，可得：
h=-b/(2a)
k=c-b^2/(4a)
所以，顶点的坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

综上所述，二次函数的交点式顶点坐标公式为：顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

希望能够帮到您！。

交点式二次函数表达式

交点式二次函数表达式
二次函数交点式公式：y=a(X-x1)(X-x2)。

二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

求二次函数的解析式(交点式)

•1
一、设函数解析式
（1）已知抛物线上任意三点时，可设一般形式；
y ax bx c (a 0)
2
（2）已知抛物线的顶点坐标(对称轴或最值)时，通常 2 一般设顶点式。
y a x h k (a 0)
二、代入已知点的坐标三、求方程（组）的解四、写出函数解析式
已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式
通常选择顶点式
温馨提示：求二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地设函数表达式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ•8
（一般形式）
•2
做一做交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
(1)已知抛物线与x轴交于A,B 两点且它们的横坐标分别为－1和2,并经过点M(0,1），求抛物线的解析式？
1 1 2 1 1 2 y x x 1 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
3
3 2 3 3 3 2 y x x 3 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
二次函数解析式常见的三种表示形式：
2 (1)一般式：y ax bx c(a 0)
(2)顶点式：y a( x h) (3)交点式：y
2
k (a 0)
6
例2、已知一元二次方程 x2 4 x 5 0 的两个实数根为
x1 , x2 且 x1 x2 ,若 x1 , x2 分别是抛物线 y ax2 bx c(a 0)
与x轴的两个交点A、B的横坐标(如图)，且抛物线与y轴
的交点为C(0,5).
(1)求抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积； (3)是否存在直线y=kx(k>0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k;若不存在，请说明理由。

交点式求二次函数解析式

交点式求二次函数解析式
交点式是指已知二次函数与坐标系上两点的坐标，通过解方程组
求解二次函数的解析式。

其中，方程组的两个未知数分别是二次函数
的系数。

具体的求解步骤如下：
1.设二次函数的解析式为 y = ax^2 +bx +c，根据给定的两个点
的坐标，列出方程组：
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
其中，x1、y1和x2、y2分别代表两个已知点的坐标。

2.将方程组中第一个方程的左侧减去第二个方程的左侧，右侧做
相应减法，得到一个一元二次方程：
a*(x1^2 - x2^2) + b*(x1 - x2) = y1 - y2
3.再将方程组中第一个方程的左侧乘以 x2，第二个方程的左侧
乘以 x1，然后两个式子相减，得到一个关于 a 和 b 的一元一次方程：
a = (y1-y2)/(x1^2-x2^2)
b = (y2*x1-y1*x2)/(x1-x2)
4.将得到的 a 和 b 的值代入二次函数的解析式中，即可得到二
次函数的解析式：
y = (y1-y2)/(x1^2-x2^2) * x^2 + (y2*x1-y1*x2)/(x1-x2) *
x + c
其中，c 为任意常数。

二次函数交点式公式

二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。

二次函数公式：顶点式、交点式、两根式

二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。

顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。

(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。

(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。

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二次函数顶点式与交点式推导

二次函数顶点式与交点式推导二次函数可以用顶点式和交点式两种形式来表示。

首先我们来看顶点式的推导。

顶点式是指二次函数的标准形式为y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和开口大小。

我们可以通过完全平方公式将一般式的二次函数转换为顶点式。

首先，我们将一般式的二次函数表示为y = ax^2 + bx + c。

然后，利用配方法将x^2项与常数项相结合，得到y = a(x^2 + (b/a)x) + c。

接下来，我们需要加上一个适当的常数使得括号内成为一个完全平方的形式。

这个常数是(b/2a)^2，所以我们加上并减去(b/2a)^2，得到y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 (b/2a)^2) + c。

然后，我们将完全平方的三项式进行因式分解，得到y = a((x + b/2a)^2(b/2a)^2) + c。

最后，化简得到y = a(x + b/2a)^2 a(b/2a)^2 + c，化简得到y = a(x + b/2a)^2 (b^2-4ac)/4a。

这样我们就得到了二次函数的顶点式表示形式。

接下来我们来看交点式的推导。

二次函数的交点式表示为y = a(x-p)(x-q)，其中p和q分别是函数与x轴交点的横坐标。

我们可以通过将顶点式展开来得到交点式。

首先，将顶点式y = a(x-h)^2 + k展开得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k。

然后，将这个式子进行展开得到y = ax^2 2ahx +ah^2 + k。

接下来，我们可以将这个式子进行因式分解，得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k，再进行因式分解得到y = a(x-h)^2 + (k-ah^2)。

这样，我们就得到了二次函数的交点式表示形式。

总结来说，通过完全平方公式和因式分解，我们可以推导出二次函数的顶点式和交点式表示形式。

这两种形式可以相互转换，方便我们在不同的情况下使用。

专题07 二次函数的图像与性质讲义-2022年暑假数学初升高衔接

2022年暑假数学初升高衔接专题资料07 二次函数的图像与性质◇◇ 知知识识链链接接 ◇◇知识链接01 二次函数的解析式（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；（2）顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．（3）交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．知识链接02 二次函数的图像与性质（1）二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．（2）二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．（3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（ⅰ）当a >0时，y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a =-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（ⅱ）当a <0时， y ＝ax 2＋bx ＋c图象开口向下；顶点为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a =-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．（4）函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象作图要领：（ⅰ）确定开口方向：由二次项系数a 决定；（ⅱ）确定对称轴及顶点：对称轴方程为2b x a =-，顶点24(,)24b ac b a a --；（ⅲ）确定图象与x 轴的交点情况：①若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ②若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ③若△<0则与x 轴有无交点。

二次函数交点式例题

二次函数交点式例题
在学习表达式的时候，同学们都会在一定程度上学会使用二次函数交点式。

它可以利用两个二次函数的棱线，求出二次方程的交点。

下面就来学习一下二次函数的交点式的求解。

首先，要求满足两个相等的二次函数，可以表示为：
y1=ax2+bx+c
y2=dx2+ex+f
上面的公式可以用x来表示，然后求出系数b/a和e/d，用其表示交点式的求解步骤。

步骤一：首先计算出系数b/a和e/d，将两个函数的棱线画出来，观察两个函数的交点。

步骤二：将b/a和e/d代入到交点式，计算出x的值。

交点式：(b/a)-(e/d)=(c-f)/(a-d)
根据上面的式子，可以计算出x=(c-f)/(a-d)。

例题：
已知两个二次函数：
y1=3x2+2x+1
y2=2x2-3x+5
求它们的交点。

解：
首先计算出系数：
b/a=2/3
e/d=-3/2
将b/a和e/d代入交点式，可以得出：
(2/3)-(-3/2)=(1-5)/(3-2)
即：x=(1-5)/(3-2)=2
由此可得出该二次函数的交点为：(2,7)
本文就介绍了二次函数的交点式的求解，这也是表达式学习的基本概念，同学们应该掌握它。

以上就是有关《二次函数交点式例题》的3000字文章，它描述了这个概念的基本概念和解决方法，同时也以例题来详细说明。

希望对读者有所帮助。

二次函数交点式公式

二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。

y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。

将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。

X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。

考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

二次函数交点式

二次函数交点式二次函数是一个方程，形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，a不等于0。

它以抛物线的形式呈现，因此可以有交点。

对于两个二次函数y₁=ax₁²+bx₁+c₁和y₂=ax₂²+bx₂+c₂，它们的交点可以通过求解方程y₁=y₂，即ax₁²+bx₁+c₁=ax₂²+bx₂+c₂得到。

求解这个方程，我们可以将两个二次函数等式的右侧移动到一边，得到ax₁²+bx₁+c₁-ax₂²-bx₂-c₂=0。

我们可以将方程化简成ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂+c₁-c₂=0。

进一步将方程进行合并，得到a(x₁²-x₂²)+b(x₁-x₂)+(c₁-c₂)=0。

我们可以发现，这个方程非常类似于二项式(a+b)(x₁-x₂)的平方差公式。

根据平方差公式，a(x₁²-x₂²)=a(x₁+x₂)(x₁-x₂)，b(x₁-x₂)=b(x₁+x₂)(x₁-x₂)，我们可以将方程改写成(a(x₁+x₂)+b)(x₁-x₂)+(c₁-c₂)=0。

如果x₁不等于x₂，那么方程可以进一步简化为(a(x₁+x₂)+b)+(c₁-c₂)(x₁-x₂)=0。

我们可以将方程左侧的因式(a(x₁+x₂)+b)和右侧的因式(c₁-c₂)(x₁-x₂)分别记为D和E，得到D+E=0。

我们可以进一步将方程化简为(x₁+x₂)/2=-b/a，(c₁-c₂)/(x₁-x₂)=D/E。

观察D和E的正负性可以得到方程的解。

1.当D和E同时为正数或同时为负数时，方程没有实数解。

因为正数除以正数和负数除以负数，结果都是正数。

2.当D和E不同时为正数或负数时，方程有两个实数交点。

这是因为正数除以负数或负数除以正数，结果都是负数。

综上所述，当D和E同时为正数或同时为负数时，二次函数没有实数交点；当D和E不同时为正数或负数时，二次函数有两个实数交点。

二次函数交点式

第三讲二次函数交点式知识要点一.二次函数的三种形式例题讲解 1.用十字相乘法分解因式：①322--x x ②1072+-x x ③6822++x x 2.将下列二次函数改写成交点式并求出抛物线与x 轴的交点坐标：①322--=x x y ②342++=x x y ③6822++=x x y坐标：归纳：(1)若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以表示为的形；(2)反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是，故我们把这种形式的二次函数关系式称为式.(3)二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是，因此这也是式存在的前提条件.基础练习1.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.⑴232+-=x x y ⑵91202---=x x y ⑶4622+-=x x y与x 轴的交点坐标是：与y 轴的交点坐标是： 2.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. (1)求对称轴和顶点坐标； (2)画出它的简图；(3)求出该二次函数的解析式；(4)若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是；若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是；若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .3.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .4.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 .5.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是 .6.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是 .7.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： .知识要点二．求二次函数的解析式一般地，已知图像上的三点或者三对y x 、的值或已知c b a 、、其中之一，我们通常设一般式，已知，我们通常设顶点式，已知图像与x 轴两个交点的坐标，我们通常设交点式 .例题讲解1．求满足下列条件的二次函数解析式： (1)顶点是（2,1），且过点（0,3）； (2)过点（-1,0）（3,0）（2,4）； (3)过点（0,2）（1,3）（2,4）2.二次函数的图像经过点A （4，-3），当3=x 时，有最大值-1，则二次函数的解析式是 .3.如果抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x ＝-2，且开口方向与形状与抛物线223x y -=相同，又过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝ .综合提升1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是 .3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是 .4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是 .5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛物线开口向，当x 时，y 随的增大而增大.6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二次函数的关系式.解法1：解法2：8.二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线2=x ，且函数的最值是4. ⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.9.已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21(b ＜k )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．。

二次函数交点式对称轴

二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x －m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

历史大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。

公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。

亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

二次函数的交点式

二次函数之交点式
一、回归反馈
• 1.根据二次函数的图象和性质。
二次函数
对称轴
顶点
与坐标轴交点
一般式 y ax2 bx c
与y轴交与点（）
顶点式
一、回归反馈
• 2.用十字相乘法分解因式： ① x2 2x 3 ② x2 4x 3 ③ 2x2 8x 6
• 3.若一元二次方程有两实数根，则抛物线与
② x轴的交点坐标为坐标（-3，0）和（-1,0） ③ 与x轴的交点坐标为（-1，0 ）和（-3,0）
二、探索归纳
• 归纳：
• •
⑴则二该次函函数数还与可以X轴表交示点为坐y标是ax（xx1， 10）x ，x2（的x2形，0）式，；
• ⑵反之若二次函数是 y ax x1 x x2 的形式，
X轴交点坐标是
.
二、探索归纳
1.因式分解
① x2 2x 3 ② x2 4x 3 ③ 2x2 8x 6
解①原式=（x-3）（x+1） ② 原式 =（x+3）（x+1） ③原式 =（2x+2）（x+3）
2.求出下列抛物线与X轴的交点坐标： ① y x2 2x 3 ② y x2 4x 3 ③ y 2x2 8x 6 解① 与x轴的交点坐标为（ 3,0）和（-1,0）
与X轴的交点坐标是：
⑴
⑵
⑶
与y轴的交点坐标是：
⑴
⑵
Байду номын сангаас
⑶
四、典型例题
• 例1.已知二次函数的图象与X轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.
• ⑴求对称轴和顶点坐标.
• ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. y 5

二次函数交点式的对称轴公式

二次函数交点式的对称轴公式二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

对于二次函数，我们可以通过求解其与x轴的交点来确定其零点或根。

交点式是一种特殊的表示形式，用于确定二次函数与x轴的交点。

首先，我们需要将二次函数表示为交点式的形式。

当二次函数与x轴相交时，函数值f(x)为0，即：ax^2 + bx + c = 0为了得到交点式，我们可以使用求根公式（也称为二次方程的根公式）来求解这个方程。

根据求根公式，二次方程的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解（一个是加号，一个是减号）。

这两个解对应于二次函数与x轴的交点的x坐标。

接下来，我们可以根据这两个解来得到交点式的形式。

假设我们得到的两个解为x1和x2，那么交点式可以表示为：(x - x1)(x - x2) = 0这个交点式表示了二次函数与x轴的交点的位置。

最后，我们可以使用交点式来确定二次函数的对称轴。

对称轴是二次函数图像的中心线，对称轴的方程可以通过求解二次函数的交点式得到。

对于交点式 (x - x1)(x - x2) = 0，我们可以将其展开并化简为二次函数的形式：x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0我们可以观察到，对称轴的方程是一个一次函数，其系数为二次函数交点式中x的系数的负值除以2。

所以对称轴的方程为：x = (x1 + x2) / 2这个方程表示了二次函数图像的对称轴的位置。

综上所述，二次函数的交点式可以通过求解二次方程得到，而对称轴的方程可以通过交点式中x系数的负值除以2得到。

这些公式可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和图像。

二次函数的特殊形式专题(交点式)

二次函数交点式顶点坐标公式

交点式二次函数表达式

求二次函数的解析式(交点式)

交点式求二次函数解析式

二次函数交点式公式

二次函数公式：顶点式、交点式、两根式

二次函数顶点式与交点式推导

专题07 二次函数的图像与性质 讲义-2022年暑假数学初升高衔接

二次函数交点式例题

二次函数交点式公式

二次函数交点式

二次函数交点式

二次函数交点式对称轴

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