第七章 非线性系统的分析
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非线性系统分析(精)
7.3 非线性特性的描述函数法
(3)相平面法的特点
① 适用于一、二阶非线性系统的分析 ② 方法：首先将二阶非线性微分方程变写为以 输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程；然 后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的 相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。 ③ 该方法所得结果比较精确和全面。 ④ 对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中 的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。
7.3 非线性特性的描述函数法
1. 2. 3. 4.
基本概念 谐波线性化 非线性特性的描述函数 典型非线性特性的描述函数
7.3 非线性特性的描述函数法
1. 基本概念
(1) 分析非线性系统的两种工程方法
相平面法 描述函数法
(2) 描述函数法（谐波平衡法）的特点
描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法 的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故 得到了广泛应用。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
3.回环（间隙）特性
x1表示输入 x2表示输出
b表示间隙。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
回环（间隙）特性的影响
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
7.1 非线性系统动态过程的特点
4. 非线性系统的运动形式
（1）非线性系统在小偏离时单调变化，大 偏离时很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原 理。
7.1 非线性系统动态过程的特点
5. 非线性系统的自振
非线性系统的自振却在一定范围内能够长期 存在，不会由于参数的一些变化而消失。
自动控制原理__(13)
x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
非线性系统的分析 (3)
第七章 非线性系统的分析
2、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响： 使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了 稳态精度。
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对 其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果
第七章 非线性系统的分析
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关， 而且与初始状态有关。 ２、系统的自持振荡 非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
第七章 非线性系统的分析
7-2 相平面分析法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来 的，它是一种求解一、二阶微分方程的图解法。 这种方法的实质是将系统的运动过程形象 地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这 个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全 部信息。 由于它能比较直观、准确、全面地表征系 统的运动状态，因而获得广泛应用。
第七章 非线性系统的分析
用x1、x2描述 二阶系统常微分方程方程的解，也就是 用质点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称 为相。
把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一个点。
当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨 迹。
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做 相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
第七章 非线性系统的分析
一次近似，则得到奇点附近关于 微分方程：
x 增量 x 的线性二阶
x 0
线上相轨迹任一点的切线斜率
dx dx ax bx x ax bx 0 dx dx x b x Kx 等倾线方程： x a
相等，所以当相轨迹
运动至特殊等倾线上时，将沿特殊等倾线收敛或发散。
①
b 0时
a2 4 b 2 a2 4 b 2 0 0
解： x dx 2x 0 dx xdx 2 xdx
2 2
(1, 0)
( x) ( x) c x 2 ( ) x 2 a 2 相轨迹是椭圆。
0
x
例7-1：二阶系统微分方程为 m 0，其中 m为常数， x 绘制相平面图。 dx 解： x m0
4) 0
s1,2 jn
这时二阶系统为:
bx 0 x
中心点
0 时线性二阶系统的相平面图
5) 1 0
s1,2 n jn 1 2
两个具有正实
部共轭复根。
不稳定焦点
0.5，n 1 时线性二阶系统的相轨迹
6) 1
Te e Ke T r，Tc c Kc Kr r
K 1 n ， 2n T T 1 T 1 K 2 KT 2 T 1 1 设 0 2 KT
c e
10AcE NhomakorabeaB
C
单位阶跃响应
D F
e
t
1. 相平面
若以 e 为横坐标，以 称这一平面为相平面。 2. 相轨迹 设输入为单位阶跃函数，即
非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的
d x/ dx 0/ 0, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点.
在相平面的上方(如下图) ,
由于
x
0所以
x总是朝大的
x
A(x0 ,
x0 )
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面
u0
0
u(t) u(t) G(s) c(t)
u0
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节, G(s) 表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
7-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
0
x
的下方,
由于
x
0
所以
x
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭
箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于
x 0, 即 x不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与 x 轴的交点处的切线总垂直于x 轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小 有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.
自动控制理论第二十七讲
ɺɺ + x + x = 0 x ɺ
ɺ x1 = x2 ɺ x2 = − x2 − x1 dx2 x2 + x1 =− =α dx1 x2 1 x2 = − x1 1+ α
等倾斜线方程
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长安大学电子与控制工程学院
自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
相轨迹的画法 α取不同值时，可在相 取不同值时， 取不同值时 平面上画出若干不同的 等倾线， 等倾线，在每条等倾线 上画出表示该等倾线斜 率值的小线段， 率值的小线段，这些小 线段表示相轨迹通过等 倾线时的方向， 倾线时的方向，从相轨 迹的起点按顺序将各小 线段连接起来， 线段连接起来，就得到 了所求的相轨迹 。
tAB = tB − tA = ∫
x
.
xA
0 o
x
D
.
x 3 x 2 x 1θ A
θB θ CD θ BC
x
θ AB
x
θ
p
B
A
C
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自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
x = x1 p cosθ + ox1 ɺ x = x1 p sin θ
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自动控制理论
第七章 非线性系统的分析
二、由相轨迹求暂态响应 点移动到X 【问题的提出】：相轨迹上坐标 XA点移动到 B点 问题的提出】 所需的时间。 所需的时间。 解决方法之一】 【解决方法之一】
dx1 x2 = ɺ x2 = x1 dt xB dx 1 tB − tA = ∫ xA x 2
x x 【解】 mɺɺ + kx = ɺɺ + x = 0
第七章 非线性系统的分析 7
系统的频率特性中相移不是一回事。
退出
典型非线性特性的描述函数 下面介绍几种典型非线性特性的描述函数。 这些特性都是对称奇函数。包括： （1）饱和特性的描述函数； （2）不灵敏区特性的描述函数； （3）间隙特性的描述函数； （4）继电器特性的描述函数；
退出
（1）饱和特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
A
A
1
2 A
(A )
退出
N( A) K
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 A
退出
问题：请大家绘出
1 N( A)
退出
（3）间隙特性的描述函数；
输出 y (t)
退出
一般概念 1 非线性系统的基本概念 （1）实际控制系统在某种程度上都具有非线 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非线 性因素后的理想模型。 （2）若系统的非线性特性y=f(x) 在工作点附近能 展开台劳级数，忽略变量增量的高次项，仅取变 量增量的一次项，则函数增量与变量增量之间是 线性关系。此时，系统可近似成线性系统。若 y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统只能按非线性 系统理论来进行分析。
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 S A
退出
问题：请大家绘出
1 N( A)
S A
退出
（2）不灵敏区特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
K
0
x (t)
0
t
输入
第七章 非线性系统的分析
自激振荡或自振荡,如图所示。 自振荡是人们特别感兴趣的一个 问题,对它的研究有很大的实际意义。
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四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
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• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
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四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
Nanjing University of Technology
• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
第7章 非线性系统分析
1 2
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
第7章 非线性系统分析
0 y = k ( x − a ) k ( x + a )
x ≤a x>a x < −a
死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中，如测量元件、执 行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信号大于 死去后，输出信号才随着输入信号变化。 死区非线性对系统性能的主要影响是： ①可使系统响应的振荡性减小； ②对于跟踪缓慢变化输入信号的系统，可使系统的输出量在时间上 产生滞后； ③可使系统产生额外的稳态误差； ④可以滤去振荡振幅小于死区的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。 （3）滞环特性 滞环非线性也称为间隙非线性，其数学描述为
（2）非线性环节的串联
N1
两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等 于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特 性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。 [例1] 如下图两个非线性特性相串联
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见， = 2, a = 2, ∆ = 1 k
即有：x(t ) = −c (t ) 于是： A sin ωt = − G ( jω ) N ( A) A sin[ωt + ∠G ( jω ) + ∠N ( A)]
G ( jω ) N ( A) = 1 G ( jω ) N ( A ) = − 1 ∠G ( jω ) + ∠N ( A) = −π 这是自激振荡的条件，把条件中幅值条件和相角条件综合起来，就是 1 G ( jω ) = − N ( A)
y b x -a a -b -b b x y
继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞 环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。继电器被广泛应用于 控制系统、保护装置和通信设备中。 继电器非线性特性对系统性能的影响主要有： ①通过相平面分析，对于线性部分是二阶的具有滞环继电器特性的 非线性系统存在极限环； ②通过描述函数分析，对于线性部分是三阶或三阶以上的具有继电 器特性的非线性系统存在极限环； ③把控制器设计成双位继电器特性，可以获得时间最优控制系统。
第七章__非线性系统分析
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
7、静摩擦与动摩擦
静摩擦 M1
M2
Mf
动摩擦
0
x
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很 重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于 在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这 一点和死区的影响相类似。
第七章 非线性系统分析
☆非线性数学模型的线性化 ☆典型非线性特性 ☆描述函数与典型环节描述函数 ☆用描述函数分析非线性系统 ☆改进非线性系统性能的方法
第一节 非线性数学模型的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
D(s) 1 N( A)G(s) 0
N ( A) 1
G(s) 1 N ( A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
1
?
N ( A)
线性系统
1 G(s) 0
G(s) 1
(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平 面的(-1,j0)。
第三节 描述函数与典型环节描述函数
一、描述函数
X sint
系统或元件
y(t )
将 y(t) 表示为富氏级数形式
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n1
式中：
An
1
2
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
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液压传动中的油隙
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
齿轮传动中的齿隙
间隙特性对系统性能的影响： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏
安徽工业大学电气信息学院
4、继电器特性 理想继电器
输出
输入
输出
具有饱和死区的 单值继电器
输出
输入
输出
输入
输入
具有滞环的继电器
4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。
安徽工业大学电气信息学院
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微 分方程描述。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由非 线性微分方程描述。 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
安徽工业大学电气信息学院
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其 他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的 综合效果
安徽点
１、系统的稳定性
系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初 始状态有关。 ２、系统的自持振荡 产生某一固定振幅和频率的振荡 ３、频率响应畸变 输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波的 非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振荡 等。 ４、系统共振 不会产生线性系统那样的共振现象
安徽工业大学电气信息学院
四、非线性系统的分析方法 1、相平面法 时域方法
2、描述函数法
频域方法
安徽工业大学电气信息学院
7-2 相平面分析法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确 方法。 相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所 示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。
测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等等。 死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向
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3、间隙特性
输出
输入输出之间具有多值关系
输入
k x( t ) a y( t ) k x( t ) a c sgn x( t )
r 常数
C
＋
N
G(S )
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S) 必须是二阶。
安徽工业大学电气信息学院
描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方 程描述： 1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x 以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。 当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动轨迹 称为相平面轨迹，简称相轨迹。
相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是平 衡点。
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一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
2 x 2 n x n x 0
t 变化的轨迹，称 x, x x 相平面图是在 x 平面中，绘制 随时间 (0)) ( x(0), x 为相轨迹。相轨迹的起点是 。 0 dx 奇点是指 dx 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 0 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
本章的主要内容
1 非线性系统的基本概念 2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 3 4 5 描述函数法 典型非线性特性的描述函数
非线性系统的谐波平衡法分析
安徽工业大学电气信息学院
7-1 非线性系统的基本概念
一、非线性系统基本概念
系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性 化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况 （1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控制目 的，人为引进的非线性。
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二、典型非线性特性
1、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功 率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响 （1）使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态 响应的平稳性有利。 （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
非线性系统与线性系统的区别
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于 系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于 系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。
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2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收 敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
安徽工业大学电气信息学院
具有死区和滞环的继电器的数学表达式 y
M
a
ma
ma
M
a
x
0 0 y( t ) M sgn x( t ) M M
(t ) 0 ma x ( t ) a , x (t ) 0 a x( t ) ma , x x (t ) a (t ) 0 x ( t ) ma , x (t ) 0 x ( t ) ma , x
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2、死区特性
输出
（不灵敏区特性）
输入
0 y( t ) k x( t ) a sgn x( t )
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
齿轮传动中的齿隙
间隙特性对系统性能的影响： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏
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4、继电器特性 理想继电器
输出
输入
输出
具有饱和死区的 单值继电器
输出
输入
输出
输入
输入
具有滞环的继电器
4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。
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线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微 分方程描述。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由非 线性微分方程描述。 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
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继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其 他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的 综合效果
安徽点
１、系统的稳定性
系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初 始状态有关。 ２、系统的自持振荡 产生某一固定振幅和频率的振荡 ３、频率响应畸变 输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波的 非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振荡 等。 ４、系统共振 不会产生线性系统那样的共振现象
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四、非线性系统的分析方法 1、相平面法 时域方法
2、描述函数法
频域方法
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7-2 相平面分析法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确 方法。 相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所 示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。
测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等等。 死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向
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3、间隙特性
输出
输入输出之间具有多值关系
输入
k x( t ) a y( t ) k x( t ) a c sgn x( t )
r 常数
C
＋
N
G(S )
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S) 必须是二阶。
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描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方 程描述： 1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x 以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。 当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动轨迹 称为相平面轨迹，简称相轨迹。
相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是平 衡点。
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一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
2 x 2 n x n x 0
t 变化的轨迹，称 x, x x 相平面图是在 x 平面中，绘制 随时间 (0)) ( x(0), x 为相轨迹。相轨迹的起点是 。 0 dx 奇点是指 dx 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 0 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
本章的主要内容
1 非线性系统的基本概念 2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 3 4 5 描述函数法 典型非线性特性的描述函数
非线性系统的谐波平衡法分析
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7-1 非线性系统的基本概念
一、非线性系统基本概念
系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性 化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况 （1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控制目 的，人为引进的非线性。
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二、典型非线性特性
1、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功 率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响 （1）使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态 响应的平稳性有利。 （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
非线性系统与线性系统的区别
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于 系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于 系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。
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2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收 敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
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具有死区和滞环的继电器的数学表达式 y
M
a
ma
ma
M
a
x
0 0 y( t ) M sgn x( t ) M M
(t ) 0 ma x ( t ) a , x (t ) 0 a x( t ) ma , x x (t ) a (t ) 0 x ( t ) ma , x (t ) 0 x ( t ) ma , x
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2、死区特性
输出
（不灵敏区特性）
输入
0 y( t ) k x( t ) a sgn x( t )
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。