数学中的灵敏度分析
2-4灵敏度分析
20
仍然来看上例的最优表格：
Cj
b xj
2 x1 1 1 2 1 0 0
3 x2 1 4 3 0 1 0
3 x3 1 7 3 -1 2 -1
0 0 j x4 x5 1 0 3/1 0 1 9/1 0 0 4/3 -1/3 B-1 -1/3 1/3 -5/3 -1/3
N =（-1，-5/3，-1/3）
N 0为原始单纯形表寻优的最优性条件（正则性
10
例：c3发生变化时，
3 =c3-z3=c3-[2×(-1)+3×2]=c3-4≤0，
令
得c3≤4。即当c3≤4时，最优解不变； 否则 3 >0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
例2 已知某LP问题的最优单纯表如下： 若C`1=5，则C`1>C1+C1=17/4， 最优解发生变化，重新用单纯形 法求解。 要保持原最优解， C3的变化范围为 C311/4
用表格单纯形法求解如下：
6
CB XB 0 0 2 0 2 3 X4 X5 -Z X1 X5 -Z X1 X2 -Z
Cj
b xj
3 9 0 3 6 -6 1 2 -8
2 x1 1 1 2 1 0 0 1 0 0
3 3 0 0 x2 x3 x4 x5 1 1 1 0 4 7 0 1 3 1 3 1 0 1 3 1 6 1 0 1 -1 -2 0 0 1 0
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
灵敏度分析5种实例
Maxz=2x1+3X2+4x3x1+2X2+x i+x4=3S.t2x l-x2+3x3-x5=4x1,∙∙∙,x5≥0基变量xl=2,x2=3；非基变量x3=x4=x5=O;由约束条件得基变量用非基变量表示为p=⅛-5⅞-⅛^4÷y⅞[j⅛=f+∣Λ⅛-⅜X4-⅜X5目标函数中基变量用非基变量代入后Z=14-fx3-fx4-fx5o（1）当目标函数中系数Ci变化时（只要考虑最优性条件）：设目标函数变为MaX z,=cx l+3X2+4x3目标函数中基变量用非基变量代入2=⅛c+f-（yC-^）x3-（y+fc）x4-（⅜-jc）%5所以如果“-等，∣+⅛C,∣-⅜C≥0,则符合最优解判别条件，所以目标函数最优性不变z=∙⅛c+/由“一等，f+⅛c,£一"之0解得最优性不变的C的范围。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（2）当约束条件右边常数2变化时（先考虑可行性条件看最优基是否变化，再考虑）：x1+2X2+x3+x4=b设约束条件变为2X1-X2+3X3-X5=4X I,∙∙∙,Λ5≥0先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得为4,JX2=2^-4根据可行性条件，必须和％≥o,解得匕的范围，即在此范围内最优基不变（最优解可能变化，要另外去求）。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（3）当约束条件中价值系数传变化时（先看可行性条件看最优基是否变化,再考虑最优值）：a ll x l+Ix1+x3+X4=3设约束条件变为，2X1-X2+3X3-X5=4x1,∙∙∙,x5≥0Ir=5先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得解得为｛,^v_2q∣-36(x21Il根据可行性条件，必须%,马≥0,解得。
”的范围，即在此范围内最优基不变(最优解可能变化，要另外去求)。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
灵敏度分析
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。
•cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：
2解.：分由析最优b2单=1纯8和形b表2=可2知4时：B，1最优 基21和最11优解的变化。
当b1=16时， b 1260
B1b
2 1
111260 142
最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 1
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x3 1 0 1 2 -1 4 x2 0 1 0 -1 1 8 -f -1 0 0 -4 -2 -88
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
bi
0 2/3 1/3 1 4/3
1 1/3 2/3 0 28/3
2 8/3 8/3 0 85.33
新的最优解为X=(0 28/3 0 0 0 4/3)T
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
3.灵敏度分析
3T (0,0,1)
T
b (14,8,92)
Min( 8 1
,
92 ) 4
b1
Max( 14) 2
即， 120 b1 105
15 15
15
14 92
8
Min( , ) b Max( )
1 13
2
8
即, 1380 13
b2
15
15 15
15
b 92 3 11
例4 下面是某LP问题的单纯形表 x4 , x5为松弛变量
1 2
4 2
0
所以， 1 1
4
13
五、C的改变
例4:下面是一张LP问题的最优单纯
形表,观察其基变量、非基变量目标
函数系数的改变对检验数的影响
cj
2 3100
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 1 1 0 -1 3 -1
3 x2 2 0 1 2 -1 1
σ
0 0 -3 -3 -1
bi
ir
当ir
0时，br
bi
ir
6
即，br的变化范围是：
Max（ bi
ir
|
ir
O）
br
Min（ bi
ir
|
ir
0）
注：
(1) 此时最优基不变，但最优值发生改变
(2) 只能有一个常数项发生改变
7
例 2:
下面是求解同一LP问题的初始单纯形表
和最优单纯形表
求b1, b2 , b3的变化范围，使原最优基仍最优 初始单纯形表
cj cB xB b
2 x1 1 3 x2 2 0 x6 1
σ -8
第3章 灵敏度分析
管
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运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
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3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
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9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵敏度分析
我们前面讨论的线性规划问题，其目标 函数系数，约束系数和约束常数都是确定的 常数，但实际问题中，由于各种因素的影响， 这些常数是有变化的。例如产品的需求量、 产品的售价、原材料和能源的价格以及资源 的供应量等的变动，从而引起
c j 和 bi
a
的值的变化，工艺条件的改变， ij 的值就发 生变化。
a
i 1
m
ij i
y
当 C j 变为 C j j 后， 要保证最终表中这个检验数仍然小于或
j C j j C B B 1 P j 0 等于零，即
那么，
j j
才能满足原最优解条件。这就可以确定
Cj
的
变化范围。
（1） 若 C j 是基变量 x j 的系数，由于 C j CB ，当 C j 变化 j 时，就引 起了 CB 的变化。这时
C1 这样如上所分析，可知：当-1≤ ≤0 时，顶点 B C2
仍然是最优解，为了计算出C1 在什么范围内变化时最优解 不变，我们假设单位产品Ⅱ的利润为 100 元不变，即
C2 100；则有
C1 -1≤≤0 100
C 0≤ 1 ≤100
也即只要当单位产品Ⅱ的利润为 100 元， 单位产品Ⅰ的 利润在 0 与 100 元之间变化时， 顶点 B x1 50, x2 250 ） （ 仍然是最优解。
优解、最优值不变。
2、基变量的系数有波动
设 C1 有波动为 ，令C1 2 ，同样这一波动对由判别准则知
C B B 1 A C 0
从而，
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 , 6 , 5, 4 , 0 , 0 0 1 0 1 2 6 1 2 1 3 0
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
第三章 第五节 灵敏度分析
14
b列的元素变化
在最终表中求得的经过变化后的 b 列的所有元素， 要求 b i+ a irΔbr≥0，i=1,2,…,m。由此可得 a irΔbr≥- b i，i=1,2，…，m 当 a ir＞0 时，Δbr≥- b i/ a ir； 当 a ir＜0 时，Δbr≤- b i/ a ir；于是得到最优基不变 的条件是 bi bi max air > 0 ≤ ∆br ≤ min air < 0 i i air air
第5节
灵敏度分析
以前讨论线性规划问题时，假定α 都是常数。 以前讨论线性规划问题时 ， 假定 ij ， bi,cj 都是常数 。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值 。 如市场条 件一变， 值就会变化； 件一变 ， cj 值就会变化 ； αij 往往是因工艺条件的改变 而改变； 而改变 ； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 决策选择。 决策选择。 因此提出这样两个问题： 因此提出这样两个问题： (1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 当这些系数有一个或几个发生变化时， 当这些系数有一个或几个发生变化时 规划问题的最优解会有什么变化； 规划问题的最优解会有什么变化； (2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 或者这些系数在什么范围内变化时， 或者这些系数在什么范围内变化时 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 最优解或最优基不变。后一个问题将在第 节参数线性 规划中讨论。 规划中讨论。
2010-10-31
11
为使表中的解仍为最优，应有
1 1 1 3 − + λ ≤ 0, − − λ ≤ 0 4 4 2 2
04.灵敏度分析
yi aij
j
yi 0
时， aij
j
yi
yi 0 时， a
j
yi
39
ij
例1
max Z x1 5 x2 3x3 4 x4 2 x1 3x2 x3 2 x4 800; 5 x 4 x 3x 4 x 1200; 2 3 4 1 s.t. 3x1 4 x2 5 x3 3x4 1000; x j 0 j 1, 2,3, 4
26
EXCEL的求解
图5-2“规划求解结果”对话框
27
图5-3目标系数灵பைடு நூலகம்度分析报告
28
三. 右端常数项的变化
B b0
C CB B A 0
1
1
29
设
0 B 1 b b B 1b B 1b B 1b B 1 bi0 0 a1' i0 b1* a1' i0 bi0 b b* a ' b b* a ' b k ki0 i0 ki0 i0 k * ' * ' b a bm ami bi m mi0 0 0
22
请同学们对例2中的C2进行灵 敏度分析
23
C
CB XB
2 x1 1
0 0 0
3+△c2 x2 0
0 1 △c2
0 x3 0
4 1/2 -3/2
0 x4 1/4
1/2 -1/8 -1/8
灵敏度分析
2.灵敏度分析度实例
4.电压稳定薄弱节点判定
5.无功补偿位置
灵敏度分析优缺点
（2）严格的说，在实际系统中，各控制变量之间并不是完
全独立的，而很多计算忽略了各控制变量之间的相互关系，
将各控制变量看作是独立的变量。 （3）有些计算方法用偏微分来进行计算，例如在输出变量 对控制变量的灵敏度时，将输出方程对控制变量U求偏导， 只考虑控制变量U的变化而不考虑状态变量X的变化，从数学 上讲，这显然是不正确的。
灵敏度分析
1.灵敏度定义及分类 2.灵敏度分析优缺点
3.灵敏度分析数学方程
4.电压稳定性判定
5.电压稳定薄弱节点判定
6.无功补偿位置的确定
1.灵敏度定义及分类
• 在实际系统中，当控制变量发生微小变化时，系
统的状态变量或输出变量都会发生微小变化，用 它们之间的微分关系来表示这种变化关系，就称 为灵敏度指标。 • 灵敏度分析方法是建立在潮流方程基础上的静态 电压稳定分析方法。 • 其变量可分为四类：独立参数变量，状态变量， 控制变量，输出变量。
7灵敏度分析
cB
cBTB-1b
0T
cBTB-1
c j z
T T ( c B c B )B 1 A ( c T c T )
c c
T B
(c c ) B b
T B
1
j'
仍为最优解，但最优值可能已变 不是最优解，用单纯形法继续迭代
0 0
（1）当cj是非基变量的价值系数 ——它的变化只影响一个检验数 （2）当cj是基变量的价值系数 ——它的变化将影响所有非基变量的检验数
例3.21
给定线性规划问题
min z x1 2 x2 x3 x1 x2 x3 6 s.t. 2 x1 x2 4 x 0 i
试讨论b1,b2在什么范围内变化时，最优基保持不变？
最 x2 优 x5 表
1 3 -3
1 0 0
1 1 -1
1 1 -2
0 1 0
xB z
B-1b
B-1B
B-1N
cBTB-1N-cNT
B-1I
cBTB-1b
0T
cBTB-1
b xB z
b b 1 B (b b)
c B (b b)
T B 1
仍为最优解，但最优解、最优值可能已变
xB '
是正则解，用对偶单纯形法继续迭代
0 0
①保持B-1b≥0,当前的基仍为最优基，最优解的结构 不变（取值改变）； ②（B-1b）i<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶 可行基，可用对偶单纯形法求出新的最优解； ③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
1. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来.
灵敏度分析在数学建模中的应用
灵敏度分析在数学建模中的应用灵敏度分析是指通过对模型的参数或变量进行微小的变化，分析其对模型结果的影响程度，从而判断模型的稳定性和可靠性。
在数学建模中，灵敏度分析是一个非常重要的工具，可以帮助研究者对模型进行优化和改进，提高模型的精度和可靠性，进而为实际问题的解决提供更加可行的方案。
一、灵敏度分析的基本思想灵敏度分析是指在一组偏离参考值不大的参数或变量的变化下，研究模型结果随之变化的过程。
通过描述这种变化，可以评估模型在参数或变量变化时的稳定性和可靠性，进而帮助研究者确定哪些参数或变量对模型结果影响最大，从而针对性地进行调整和改进。
二、灵敏度分析的应用场景灵敏度分析广泛应用于各种实际问题的数学建模中，例如：1、工程建模：在工程建模中，灵敏度分析可以帮助研究者实现设计的优化，降低成本和风险。
例如，可以对比不同变量或参数组合下的模型结果，分析为什么某种组合会使模型结果更优秀，从而对设计方案进行优化。
2、金融建模：在金融建模中，灵敏度分析可以帮助研究者确定价格和市场变化对模型结果的影响，从而更好地预测未来市场的发展趋势，优化金融风险管理方案。
3、医学建模：在医学建模中，灵敏度分析可以帮助研究者评估药物或疗法对疾病的疗效和副作用的影响，从而更好地指导医疗决策和治疗方案选择。
三、灵敏度分析的方法和步骤进行灵敏度分析的方法和步骤通常包括以下几个方面：1、选择模型：选择合适的数学模型是进行灵敏度分析的第一步。
模型必须能够描述研究对象的特征和关系，同时易于进行参数或变量的微小变化。
2、确定变化范围：确定模型中参数或变量的变化范围，一般是基于实际问题的特点和实验数据的分析得出的。
3、计算偏导数：通过计算模型对参数或变量的偏导数，可以得到模型结果对它们的敏感程度。
4、分析结果：分析结果可以帮助研究者确定哪些参数或变量的变化会对模型结果产生重要的影响，并评估模型在给定参数或变量变化范围内的稳定性和可靠性。
四、灵敏度分析的优缺点灵敏度分析是一种非常有用的数学建模工具，具有以下优点：1、能够确定模型结果对参数或变量的敏感程度，为模型优化提供了指导。
数学中的灵敏度分析
因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是，（1）同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程（2）或以矩阵形式表示为（3）式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
灵敏度分析的数学原理
灵敏度分析的数学原理灵敏度分析是管理科学中常用的一种分析方法，用来评估模型输出结果对模型输入参数变化的敏感程度。
其数学原理基于模型的导数和偏导数，下面我们从数学角度来解释灵敏度分析的原理。
在开始解释灵敏度分析的数学原理之前，我们先来回顾一下导数和偏导数的概念。
导数是用来描述函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的微分与自变量的微分之比。
比如，对于函数y=f(x)，它在某一点x0处的导数就是f'(x0)。
而偏导数是用来描述多元函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的偏微分与自变量的偏微分之比。
比如，对于函数z=f(x,y)，它在某一点(x0,y0)处的偏导数就是f/∂x(x0,y0)和f/∂y(x0,y0)。
在进行灵敏度分析时，我们需要计算模型输出结果对输入参数的导数或偏导数，从而确定模型对于参数变化的敏感程度。
具体来说，我们可以通过以下两种方法进行灵敏度分析：一阶灵敏度分析和二阶灵敏度分析。
一阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的一阶导数或偏导数。
这种方法适用于线性模型或在小范围内进行参数变化的非线性模型。
在计算一阶灵敏度时，我们可以使用求导规则和链式法则。
比如，对于函数y=f(x)，我们可以通过计算dy/dx来得到模型输出结果y对输入参数x的灵敏度。
而对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂z/∂x和∂z/∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y的灵敏度。
二阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的二阶导数或偏导数。
这种方法适用于非线性模型或在大范围内进行参数变化的模型。
在计算二阶灵敏度时，我们需要使用二阶偏导数和混合偏导数。
比如，对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂²z/∂x²、∂²z/∂y²和∂²z/∂x∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y 的二阶灵敏度。
通过计算一阶灵敏度或二阶灵敏度，我们可以得到模型输出结果对输入参数的灵敏度矩阵。
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假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性
一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~
随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法
局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法
对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是
，（1）
同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程
（2）
或以矩阵形式表示为（3）
式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。
对于非时变（静止）系统，将其代数方程，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。
令表示隐性代数方程式的解。
对输入因素求导数，得到下面的灵敏度公式：
（4）
式中，称为静态灵敏度矩阵，和由静态点的变量值计算。
对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。
2．有限差分法
局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。
其中比较简单的是采用向前差分格式
（5）
式中，截断误差与同阶。
有时采用更为精确的中心差分公式
（6）
而，
中心差分法的截断误差与同阶。
虽然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每一个导数时需要求一次函数值，这意味着多做一次结构分析，增加了计算工作量。
3．格林函数法
微分方程（1）关于初始值的方程为
（7）
上式中，，分别表示摄动时间和观测时间，表示灵敏度矩阵，即（8）
格林函数法的基本思路是，要求得灵敏度矩阵，就要借助式（2）或式（2）非齐次线性微分方程求得通解，而非齐次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成的，其中齐次方程的通解可由解式（6）得到，而非齐次方程的特解由
（9）
得到，上式中的被称为格林函数，基于式（8）的解的数值方法称为格林函数法。
直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加，而格林函数的计算量与变量数成比例关系。
二、全局灵敏度分析方法
灵敏度分析方法有以下特点：⑴它研究的是各因素对模型的全局影响（不仅是在某点处，而是在不同位置处）；⑵因素的范围可扩展到因素的整个定义域，各因素可同时变化，能够对非线性、非叠加、非单调模型进行研究和分析。
目前，最常见的全局灵敏度分析方法是Sobol’法。
Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法。
定义一个维的单元体作为输入因素的空间域，表示为
（10）
Sobol’方法的中心思想是将函数分解为子项之和
（11）
上式右端共有个子项，且有多种分解方法。
现在普遍应用的是1990年Sobol’提出的具有一般代表性的基于多重积分的分解方法。
该分解方法的特点如下：（1）为常数项，各子项对其所包含的任一因素的积分为0
（12）
（2）各子项之间正交。
即如果：
，则
（13）
（3）式（11）中分解形式唯一，且各阶子项可由多重积分求得。
如：
（14）
（15）
（16）
式（15）及（16）中，及分别表示除及除与之外的其它输入因素，类似地可求其余的高阶子项。
根据统计学的知识，模型输出的总方差为
（17）
现将式（11）中各阶子项的方差称为各阶偏方差，即阶偏方差
（18）
把式（11）平方并在整个内积分，结合式（13）可得总方差与各阶偏方差的关系：总方差等于各阶偏方差之和。
即
（19）
将各阶灵敏度系数定义为各阶偏方差与总方差的比值。
s阶灵敏度定义为（20）
这里，称为因素的一阶灵敏度系数，表示对输出的主要影响；为二阶灵敏度系数，表示两因素之间的交叉影响；依此类推，为阶灵敏度，表示个因素之间的交叉影响。
由式（19）可知：
（21）
在Sobol’法中，各积分可由蒙特卡罗法求出。
因此，及可通过蒙特卡罗估计得出
（22）
（23）
（24）
三、数例分析
例如一个非单调模型由下式表示
式中、服从以下分布，，。
用Sobol’法方法分析各参数对的灵敏度。
计算过程如下：首先可以由乘同余法产生均匀分布的为随机数，根据这些伪随机数生成各参数在均匀分布的随机数。
由Latin超立方采样获得随机序列后，代入进行统计分析，最后可以得到参数和对的灵敏度分别为0.202和
0.769。
这表明的变化对的影响较大。
四、结论
1．局部灵敏度和全局灵敏度分析方法是两种比较常用的数学分析方法，在对结构进行灵敏度分析时起着重要作用。
2．当所研究模型是非线性的或者影响输入变量的不确定性处于不同数量级时，局部法可能不能够提供有效的分析结果，但局部法具有较高的计算效率，可用于模型快速的前期研究中。
3．全局法不受模型限制，因素变动范围可扩展到因素的整个定义域，它在灵敏度分析时可以提供比较全面的分析结果，因而愈来愈广泛地在灵敏度分析方面得到运用。
（参考文献略）。