高等代数课件第三章线性方程组167;3.4矩阵秩
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高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
感谢您的耐心观看
高等代数3.4 矩阵的秩
由引理，这个方程的系数矩阵
a11 a21 ar1
a12
a1n
a22 a2n
ar 2 arn
,
的行秩 r . 因此在它的行向量中可以找到 r 个是
线性无关的，不妨设为
(a11, a21,, arபைடு நூலகம்) , (a12 , a22 ,, ar2 ) ,
x11 + x22 + … xrr = 0
只有零解，这也就是说，齐次线性方程组
a11x1 a21x2 ar1xr 0 ,
a12
x1
a22 x2 ar2 xr
0
,
a1n x1 a2n x2 arn xr 0 ,
只有零解.
ain
)
i
ai1 a11
1
,
i 2,, n .
由 | A | = 0 可知 n - 1 级矩阵
a22 a2n
an 2 ann
的行列式为零. 根据归纳法假定，这个矩阵的行向
量组线性相关. 因而向量组
2
a21 a11
1
,
3
a31 a11
1
, ,n
an1 a11
1
线性相关，这就是说，有不全为零的数 k2 , … , kn
使
k2
( 2
a21 a11
1)
kn
( n
an1 a11
1)
0
.
改写一下，有
扬州大学高等代数课件北大三版--第三章线性方程组-PPT课件
→
2 4 2
3
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
线 性 方 程 组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
课件
4
高 等 代 数
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x 2 x3 5
→
2 0 0 2 0 0
—（1）
3
线 性 方 程 组
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
课件 3
高 等 代 数
性 方 程 组
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；
课件 6
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对 由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行 相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩 阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 mn 个元素排成形如下数表 a1n a11 a12 a a a 22 2n 21 3 称为数域 F 上的m行n列 amn a m1 a m 2 线 矩阵，简称 mn阶矩阵，记为 A 或 a ij m n 。 a i j 称为矩阵的 mn 性 元素，i称为元素 a i j 所在行的行下标，j称为元素 a i j 所在列的 方 n n 矩阵亦称为方阵。 列下标。 当m=n时，
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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.3 线性相关性
(*)
只有零解；向量1,2,…,s组线性相关的充 要条件是齐次线性方程组(*)有非零解．
在向量个数为n时，根据Cramer法 则，前一结论可改写 已知i=(ai1, ai2,…, ain), i=1,2,…,n, 则
1,2,…,s线性无关|aij|0
1,2,…,s线性相关|aij|=0
任意添加一个向量(如果还有的话)，所得
的部分向量组都线性相关，则此部分组称
为一个极大线性无关组。
等价定义：
设1, 2,…,s为Pn中的一个向量组，它 的一个部分组i1, i2,…,ir若满足
i) i1, i2,…,ir线性无关
ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2,…, ir 线性表出 则称i1, i2,…,ir为向量组1, 2,…,s的一个
§3.3 线性相关性
一个十分重要的概念
一、线性组合
定义： 对于向量,1, 2, …,s ,如果存 在P上的数k1,k2,…,ks使
= k11+ k22+ …+kss
则称向量为向量组1, 2, …,s的一个 线性组合．另一种称呼是，可以由向 量组1, 2, …,s线性表出。
极大线性无关组（简称极大无关组）
性质：
1) 通常一个向量组的极大无关组不唯 一。． 2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身．
3)一个向量组的任意两个极大无关组都等 价． 4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量．
2. 向量组的秩
定义 向量组的极大无关组所含向量
个数称为这个向量组的秩．
性质
1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零 向量；单独一个向量线性无关当且仅当它 是非零向量． 2) 一向量组线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余向量线性表出．
3-4矩阵的秩
向量组 α1 , α 2 ,L , α n 称为矩阵A的列向量组.
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
高等代数线性方程组
1 , 2 ,, s 线性无关。
线性方程组
判断向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a21 ,, as1 ), 2 (a12 , a22 ,, as 2 ), , n (a1n , a2n ,, asn )
是否线性相关的方法： (1) 设
k11 k2 2 kn n O
a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n as1k1 as 2 k 2 asn k n 0
(2) 将其按分量写出
(3) 若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 4 x3 2 x4 0 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
线性方程组
§2 n维向量空间
§成的有序数组(a1 , a2 ,, an ) 称为数域P上的n维 向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ),
的对应分量都相等，即
(b1, b2 ,, bn )
ai bi , (i 1, 2, , n)
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
消元法
n 维向量空间
线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解的判断定理 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消元法
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
高等代数课件第三章-线性方程组
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
高等代数课件 第三章
,
k2
,,
k
s
, i, j
i,.
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此，
对（1）施行对换i, j相当于连续施行2s+1次相邻数码的对
换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变
奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性
相反。
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，
称为三阶行列式, 即
主对角线法
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
二、行列式在线性方程组中的应用
(1) (k1k2kn ) 。然而 (12n) 0 。由上面的讨论
可知
(1)st (1) (12n) (k1k2kn ) (1) (k1k2kn )
引理被证明。
二、行列式的性质
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即D D 命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列）， 行列式改变符号。
（旁边的i和j表示行的序 数）
D的每一项可以写成
（5） a1k1 aiki a jkj ankn
因为这一项的元素位于D1 的不同的行与不同的列，所以它也 （是同5项D）1对在的应D一中着项的D，1符反的号过不是来同(，项1D，)1的(因k1每此ki一Dk j与 项kn也D) ，1含是然D有而的相在一同D项的1，中项并，。且原D行的列不
(1)
如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
高等代数课件
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
白国仲《高等代数》§3.4 矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
" " 对 n 作数学归纳法. 若 n ＝ 1，由 A 0 知，A＝0，从而 R( A) 0 1. 假若对 n－1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形.
设 A (aij )nn ，1,2 , ,n 为A的行向量.
考察A的第一列元素: a11,a21, ,an1 若它们全为零，则 R( A) n 1 n ; 若它们有一个元素不为零， 不妨设 a11 0, 则 A 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为
§3.4 矩阵的秩
a11 a12 A 0 a22
0 an 2
a1n a2 n an n
a22 a11 an 2
a2 n an n
其中 (0,ai2,
,ain )
i
ai1 a11
1,
i 2,
,n
由 A 0知， a22 an 2
a2 n 0,
an n
a22
由归纳假设，矩阵
an 2
a2 n
an n
的秩＜n－1，
§3.4 矩阵的秩
从而向量组
2
a21 a11
1,
,n
an1 a112 , , kn , 使
k2
2
a21 a11
1
kn
n
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 矩阵的秩
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
" " 对 n 作数学归纳法. 若 n ＝ 1，由 A 0 知，A＝0，从而 R( A) 0 1. 假若对 n－1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形.
设 A (aij )nn ，1,2 , ,n 为A的行向量.
考察A的第一列元素: a11,a21, ,an1 若它们全为零，则 R( A) n 1 n ; 若它们有一个元素不为零， 不妨设 a11 0, 则 A 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为
§3.4 矩阵的秩
a11 a12 A 0 a22
0 an 2
a1n a2 n an n
a22 a11 an 2
a2 n an n
其中 (0,ai2,
,ain )
i
ai1 a11
1,
i 2,
,n
由 A 0知， a22 an 2
a2 n 0,
an n
a22
由归纳假设，矩阵
an 2
a2 n
an n
的秩＜n－1，
§3.4 矩阵的秩
从而向量组
2
a21 a11
1,
,n
an1 a112 , , kn , 使
k2
2
a21 a11
1
kn
n
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 矩阵的秩
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3
一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大无关组
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
2024/7/17
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一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
高等代数课件--第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构
证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? …a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? …a2r ………………
0,
则(1)可写成
ar1 ar2? …arr
a11x1 a12x2 a1r xr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1 a22x2 a2r xr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的
解，也就是(1)的nr个解:
1 (c11, c12 , , c1r ,1，0， ，0）
2 (c21, c22, , c2r，0，1， ，0）
(3)
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnr,r，0，0， ，1）
要证明(3)是(1)的基础解系，需证
2 ．基础解系
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足 1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可
由1,2,…,r线性表出； 则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一
个基础解系；
4 ．基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。
1,2,…,nr
2）求出(4)的一个特解0；
3）写出(4)的一般解为
= 0+k11 + k22 +…+knrn r
① 1,2,…,n-r线性无关 令k11+ k22+…+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +…+kn-rn-r=(*,…,*,k1, k2,…,kn-r)=0，从而 k1=k2=…=kn-r=0, 所以1,2,…,n-r线性无
【经典线代课件】线性代数课件第三章矩阵的秩-003
充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
2 1 2
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
三、矩阵秩的性质
1.0 R Amn minm, n
2. R AT R A
3.若A B,有R A R B
4. 若P,Q可逆，有R PAQ R A
5. max R A , R B R A, B R A R B
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
设RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 D n 所对应的 n 个方零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
3.矩阵秩的性质
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
则 A 的行阶梯形矩阵只含r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
2 1 2
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
三、矩阵秩的性质
1.0 R Amn minm, n
2. R AT R A
3.若A B,有R A R B
4. 若P,Q可逆，有R PAQ R A
5. max R A , R B R A, B R A R B
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
设RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 D n 所对应的 n 个方零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
3.矩阵秩的性质
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
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a11x1 a12 x 2 L a1n xn 0
La21Lx1L
a22 x2 L LLLL
a2n xn LLL
0 0
(1)
as1x1 as2 x2 L asn xn 0
的系数矩阵Aபைடு நூலகம்(aij)sn的行秩 r < n，那么它 有非零解．
引理的另外一层意思是若齐次方程组(1) 只有零解,则方程组的系数矩阵的秩r=n.
§3.4 矩阵的秩
——矩阵的基础理论
一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义 矩阵的行秩=矩阵的行向量组的秩； 矩阵的列秩＝矩阵的列向量组的秩． 例如
问题
通过例子我们发现矩阵的行秩与列秩相 等。这一点是否是偶然的呢？ 而且我们还 应该考虑如果矩阵的行秩与列秩不相等，考 虑问题时可能就将非常麻烦!
引理 如果齐次线性方程组
0
a1n x1 a2n x2 L arn xr 0
只有零解,由引理方程组的系数矩阵的行秩r.
因此，在矩阵的行向量中能找到r个线性无关， 不妨设前r个线性无关，即是(a11, a21,…, ar1), (a12, a22,…, ar2),…, (a1r, a2r,…, arr)线性无关,而 (a11, a21,…, ar1,…,as1), (a12, a22,…, ar2,…,as2),…, (a1r, a2r,…, arr ,…,asr)是其延长组，故也线性 无关，而延长组就是矩阵A的r个列向量，故 r1r. 同理可证rr1，故r = r1。
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 分析：运用引理，如果能证明行秩 列秩且行秩列秩，则问题得证。
证明过程
定义 矩阵A的行秩与矩阵的列秩 统称为矩阵的秩，记作r(A)．
1 2 3
A
1
0
2
r( A)
3
0 1 0
二、方阵的秩与行列式的关系
定理5 若A=(aij)n×n，则r(A)<n|A|=0 (r(A)=n|A|0 满秩矩阵)
返回定理4
证 为r1，1,2,…,s为行向量组，则由于其秩
明 过
为r，所以不妨设1,2,…,r为其一个极大 线性无关组。因为1,2,…,r线性无关，所 以方程x11+ x22+… +xrr=0只有零解。即
程 齐次方程组
a11x1 a21x 2 L ar1xr 0
aL12
x1 L
a22 LL
x2 L
L ar2 xr LLLLL
秩(A) rA有一个r级子式不等于0． 推论２ r(A)=r,则A不为0的r级子式所在的行(列) 正是A的行(列)向量组的一个极大线性无关组；
四、矩阵秩的计算
方法一：定义法：求A的行(列)向量组的秩 方法二：定理法：利用定理6, A中最高阶 非０子式的阶数； 方法三：化A为阶梯阵．
证明： 设矩阵为A=(aij)sn ,其行秩为r，列秩
推论1
齐次线性方程组
n
aij xj bi ,i 1, 2,..., n
j 1
有非零解系数矩阵A=(aij)nn的行列式|A|=0．
只有零解系数矩阵A=(aij)nn的行列式|A| 0．
推论2 对于n个n维向量i=(ai1, ai2,…,ain), i=1,2,…,n, 则 1, 2,…,n线性相关行列式|aij|n×n=0,
1, 2,…,n线性无关行列式|aij|n×n 0
三、一般矩阵的秩与行列式的关系
1. k级子式：在一个s×n矩阵A中任意选 定k行k列位于这些行和列的交点上的k2个 元素按原来次序所组成的k级行列式，称 为A的k级子式．
2. 矩阵的秩与行列式的关系
定理6 矩阵A的秩为r的充分必要条件是A中有 一个r级子式不为0, 且所有r+1级子式全为0． 推论1 秩(A) rA的所有r+1级子式等于0;