直线相关与回归分析
实训6教学演示:直线相关与回归分析的SPSS软件实现方法

【实训结果】
【结果解释】
实训表29相关分析结果显示,身高与前臂 长两个变量的相关系数为0.795。经检验, P=0.002(P<0.05),有统计学意义,可认为 身高与前臂长之间存在线性相关关系,且为 正相关。
项目二:回归分析
【实训目的】
运用SPSS“分析”菜单中的“回归”选项, 建立回归方程,并检验总体回归系数是否 为0,正确解释SPSS的输出结果。
【实训结果】
【结果解释】
✓ 实训表30为模型摘要表,显示了模型的拟合优度情况, 相关系数为0.795,决定系数为0.633,校正决定系数为 0.596。
✓ 实训表31为回归方程的方差分析表,显示了变异分解情 况,F=17.216,P<0.01,建立的模型具有统计学意义。
✓ 实训表32为回归系数表,给出了回归系数的估计及检验, 回归方程的常数项为10.700,身高的回归系数为0.200。 经回归系数t检验,t=4.149,P<0.01,说明身高与前臂 长之间存在线性回归关系,回归方程:^Y=10.7+0.2X。
项目一:直线相关分析
【实训目的】
运用SPSS“分析”菜单中“相关”选项, 计算相关系数,并检验两变量总体相关系 数是否为0,正确解释SPSS的输出结果。
【实训内容】
✓ 见第十一章例11-1,某医师测量12名20岁健康男大学生 的身高与前臂长,资料见表11-1。试求身高与前臂长的 相关系数。
表11-1 12名20岁健康男大学生身高与前臂长资料
实训6 直线相关与回归分析的SPSS软件实现方166
155
188
190
171
前臂 长 43 45 47 47 44 42 46 44 41 49 50 47 /cm
直线相关与回归分析
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三、回归分析之作用: 1、可以找到关键少数“x” 2、可以对“y”进行预测 3、可以对“y”进行优化 4、可确定如何设置“x”以达到优化y的目的
四、直线回归 --是用直线回归方程表示两个数量变量间依存关 系的统计分析方法,属双变量分析的范畴。
五、回归关系的检验
又称回归方程的检验,其目的是检验求得的回 归方程在总体中是否成立,即是否样本代表的总体 也有直线回归关系。方法有以下两种: 1、方差分析 --其基本思想是将总变异分解为 SS回归和SS剩余,然后利用F检验来判断回归方程 是ห้องสมุดไป่ตู้成立。 2、t检验--其基本思想是利用样本回归系数b 与总体均数回归系数进行比较来判断回归方程是否 成立,实际应用中因为回归系数b的检验过程较为复 杂,而相关系数r的检验过程简单并与之等价,故一般用 相关系数r的检验来代替回归系数b的检验。
九、案例分析 某公司测得其产品厚度(X)与抗击力(Y) 的关系有如下数据:
请判定X,Y之间线性关系是否显著?
解:
2、计算--相关系数是x,Y的离均差积和lxy除 以X的离均差平方和lxx与Y的离均差平方和lyy之积的 算术平方根的商。故此相关系数又被称为积差相关 系数。
3、相关关系的检验标准 因变量y与自变量x之间是否存在相关关系,在 求回归方程的过程中并不能回答,因为对任何无规 律的试验点,均可配出一条线,使该线离各点的误 差最小。为检查所配出的回归方程有无实际意义, 可以用相关关系,或称相关系数检验法。 在实际应用中,判断r值与1接近到何程度时, 才认为x与y是相关的,或者说,所配出的回归方程 才是有意义的,需要对照相关系数临界值表来判断, 当计算的相关系数r的绝对值大于表中显著性水平为 0.05和相应的自由度f=n-2下的临界值r0.05,f时,则表 示y与x是显著相关的。如显著性水平取0.01,r计算> r0.01,f时,则表示y与x有非常显著的相关关系。
直线相关和回归分析
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第二节 直线回归
一、线性回归的概念
目的:
在因变量Y和自变量X之间建立一个数 学模型,根据这个模型可以根据自变量的变 动预测因变量的变动。
区别于函数关系和统计关系
❖函数关系: 两变量的数量表现在一定条件下是完全确 定的。
如: 圆的面积和半径的关系S r2
❖统计关系(相关关系):两变量的数量表 现尽管存在着密切关系,但却不是完全确 定的。 如:成本和利润的关系
简单线性回归模型
样本线性回归方程
Yˆ a bX
Yˆ 为给定X 时Y 的估计值。
a 为回归直线在 Y 轴上的截距
即x 取0时,y 的平均估计值
➢ a >0,表示直线与纵轴的交点在原点的上方 ➢ a < 0,则交点在原点的下方 ➢ a = 0,则回归直线通过原点
b为回归系数,即直线的斜率
➢ b>0,直线从左下方走向右上方,Y 随 X 增大
16
0.206
0.317 0.400 0.468 0.542 0.590 0.631 0.678
17
0.197
0.308 0.389 0.456 0.529 0.575.378 0.444 0.515 0.561 0.602 0.648
…
…
…
…
…
…
而增大
➢ b<0,直线从左上方走向右下方,Y 随 X 增大
而减小
➢ b=0,表示直线与 X 轴平行,X 与Y 无直线关
系
b 的统计学意义是:X 每增加(减)一个单位,Yˆ
平均改变b个单位
建立 线性回归模型的步骤
1、确定研究的问题
2、设样本回归模型(如: Y a )bx
3、搜集样本资料(数据资料) 4、估计未知参数(计算统计量) 5、得到样本回归方程 6、用模型预测因变量
直线相关与回归分析
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第七章 多元回归及相关
第一节 多元线性回归的基本概念
事物间的相互联系往往是多方面的,在很多情 况下对应变量y 发生影响的自变量往往不止一个 。 多元线性回归的目的就是用一个多元线性回归方 程表示多个自变量和1个应变量间的关系。
yˆ b0 b1x1 b2x2 bi xi bmxm
直线回归相关分析的注意事项:
2. 在进行直线回归前应绘制散点图,有直 线趋势时,才适宜作直线回归分析。散 点图还能提示资料有无异常点。
3. 直线回归方程的适用范围一般以自变量 的取值范围为限。
直线回归相关分析的注意事项:
4. 对同一组资料作回归和相关分析, 其相关系数和回归系数的显著性检验结果完 全相同。由于相关系数的显著性检验结果可 直接查表,比较方便;而回归系数的显著性 检验计算复杂,故在实际应用中常用相关系 数的显著性检验结果代替回归系数的显著性 检验。
第六节 多元回归在医学中的应用
1.一。根据较易测得的自变量推算不易测得的应变量 如:用身高, 体重推算体表面积 。
二。确定各自变量xi取不同值时,y的正常值范围 如:建立一个由身高,体重推算心象面积的多元
回归方程,利用此方程就可分别求出身高, 体重取不同 值的组合时,心象面积的正常值范围。
三。预测预报 如:建立心肌梗塞预报方程或脑卒中预报方程。
逐步回归分析方法示意:
X和Y的离均差积和
x x 2 x2 x2 n
X的离均差平方和
相关系数的显著性检验
H0 : 0 H1 : 0
sr
r tr sr
1 r2 n2
df n 2
样本相关系 数的标准误
查t界值表, 得P值
例6.1 极谱法和碘量法测定水中溶解氧的含 量,两法的测得值是否有相关性?
统计学中直线相关与回归的区别与联系
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统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中,直线相关和回归是两个相关的概念,但又有一些区别和联系。
区别:
1. 定义:直线相关是指两个变量之间的线性关系,即随着一个变量的增加,另一个变量也以一定的比例增加或减少。
回归分析是一种统计方法,用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
2. 目的:直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度,通过相关系数来衡量。
而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化,以及评估自变量对因变量的影响。
3. 变量角色:在直线相关中,两个变量没有明确的自变量和因变量的区分,它们之间的关系是对称的。
而在回归分析中,通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。
联系:
1. 线性关系:直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系,即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。
2. 相关系数:直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。
回归分析中也使用相关系数,但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。
3. 数据分析:直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法,在实际应用中经常同时使用。
直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势,而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。
总之,直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。
直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度,而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。
在实际应用中,它们常常相互补充使用,以帮助我们理解和解释数据。
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
![[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/48735145f5335a8102d2207a.png)
(2)F检验:
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F , 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以, p 0 的直线关系不显著。
相关分析(correlation analysis)3
研究“一因一果”,即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析;
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”,即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节:直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 (基本假定) (1)x是没有误差的固定变量;而y是随机 变量,具有随机误差。 (2)x的任一值都对应着一个y的总体,且 呈正态分布。
(3)随机误差是相互独立的,且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时, 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中,只有一个自变量,所以回归平方和 的自由度为1,离回归平方和的自由度为n-2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q:
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
(一)求回归方程: (1)由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
第十五章--直线相关与直线回归分析
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n
5
Lyy
2
Y Y
Y2
Y 2 =27.86-112 =3.66
n
5
Lxy
X X
Y Y
XY
25 6
❖ 1.绘制散点图 有相关关系,再作回归分析 ❖ 2.计算回归系数
41
❖ (1)编制回归系数计算表:求基础数据
X 75
Y 11
X 2 1375
Y 2 27.86
XY 194.25
42
(2)计算离均差平方和及离均差积和
Lxx
2
XX
X2
X 2 =1375-752 =250
tr
r
n2 1-r 2
=n-2=12-2=10 t=7.73,查t值表P436, t0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228,由t所推断的P值小于0.05,按
=0.05水准拒绝H0 ,接受H1, r为正值,说明唾液
药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗?
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
❖ 概念:描述和推断两个(事件、现象)正态 变量(x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向(但又非确定的函数关系) 的统计分析方法。
❖ 协同变化:同增同减,此增彼减
7
2.直线相关的特点:
❖ 两变量同时进入数据分析; ❖ 两变量不区别为原因变量和结果变量,
20
(3)直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
❖ 上例中的相关系数r等于0. 9256,说明了12名癫痫病人的唾 液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是,这12 名癫痫病人只是总体中的一个样本,由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
直线相关与回归分析的区别和联系
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直线相关与回归分析的区别和联系
1、区别
(1)资料要求不同相关要求两个变量是双变量正态分布;回归要求因变量Y服从正态分
布,而自变量X是能精确测量和严格控制的变量。
(2)统计意义不同相关反映两量变间的伴随关系,这种关系是相互的、对等的,不一定
有因果关系;回归则反映两变量间的依存关系,有自变量和因变量之分,一般将“因”
或较易测定、变异较小者定为自变量。
这种依存关系可能是因果关系,也可能是从属关系。
(3)分析目的不同相关分析的目的是把两变量间直线关系的密切程度及方向用一统计
指标表示出来;回归分析的目的则是把自变量与因变量的关系用函数公式定量表达出来。
2、联系
(1)变量间关系的方向一致对同一资料,其r与b的正负号一致。
(2)假设检验等价对同一样本,而这的概率值相同
(3)r与b值可相互转换。
(4)用回归解释相关相关系数的平方成为决定系数,是回归平方和与总的离均差平均和之比,故回归平方和是引入相关变量后总平方和减少的部分,其大小取决
于r2。
回归平方和越接近总平方和,则r2越接近1,说明引入相关的效果越好;
反之,则说明引入相关的效果不好或意义不大。
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生物统计学:第七章 直线回归与相关分析
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特别要指出的是:利用直线回归方程进行预 测或控制时,一般只适用于原来研究的范围,不 能随意把范围扩大,因为在研究的范围内两变量 是直线关系,这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围,则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制,一般只能内插, 不要轻易外延。
(三)、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 ), 得 r0.05(n2) ,r0.01(n2)。若|r|< r0.05(n2),P>0.05,则相 关系数r不显著,在r的右上方标记“ns”;若 r0.05(n2) ≤|r|< r0.01(n2) ,0.01<P≤0.05,则相关系数 r 显 著,在r的右上方标记“*”;若|r|≥ r0.01(n2) ,P ≤ 0.01, 则相关系数 r 极显著,在 r 的右上方标记 “**”。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如:人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系:依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系:依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
(一)、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y,如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值: (x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn) 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点,作出散点图。
y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x
直线相关与回归分析

第九章:直线回归依变量y 的实际观测值总是带有随机误差,因而依变量y 的实际观测值yi 可用自变量x 的实际观测值xi 表示为:i i i x y εβα++= (i=1,2, …, n)x 为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量); y 为可以观测的随机变量;i 为相互独立,且都服从N (0,σ2)的随机变量。
在x 、y 直角坐标平面上可以作出无数 条直线,我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x 与y 的直线关系,这条直线称为回归直线。
设回归直线的方程为: bx a y +=ˆ ( 其中,a 是α的估计值,b 是β的估计值。
)xxy SS SPx x y y x x n x x n y x xy b =---=--=∑∑∑∑∑∑∑222)())((/)(/))((x b y a -=式中的分子是自变量x 的离均差与依变量y 的离均差的乘积和))((∑--y y x x ,简称乘积和,记作xySP ,分母是自变量x 的离均差平方和∑-2)(x x ,记作SS X,a 叫做样本回归截距,是回归直线与y 轴交点的纵坐标,当x=0时,y ˆ=a ;b 叫做样本回归系数,表示x 改变一个单位,y 平均改变的数量;b 的符号反映了x 影响y 的性质,b 的绝对值大小反映了x 影响y 的程度; yˆ叫做回归估计值,是当x 在在其研究范围内取某一个值时,y 值平均数x βα+的估计值。
例题:在四川白鹅的生产性能研究中,得到如下一组关于雏鹅重(g )与70日龄重(g)的数据,试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方程。
表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 (单位:g )1、作散点图 以雏鹅重(x )为横坐标,70日龄重(y )为纵坐标作散点图,见图8-3。
2、计算回归截距a ,回归系数b ,建立直线回归方程,首先根据实际观测值计算出下列数据:5.9812/1182/===∑n x x 8333.272012/32650/===∑n y y()()00.168512/1182118112/222=-=∑-=∑n x x SS x00.36585123265011823252610))((=⨯-=-=∑∑∑ny x xy SP xy()()67.83149112/3265089666700/222=-=∑-=∑n y y SS y 进而计算出b 、a : 7122.2100.168536585===xxy SS SP b1816.5825.987122.218333.2720=⨯-=-=x b y a得到四川白鹅的70日龄重y 对雏鹅重x 的直线回归方程为:x y7122.211816.582ˆ+= 二、直线回归的偏离度估计偏差平方和2)ˆ(∑-yy 的大小表示了实测点与回归直线偏离的程度,因而偏差平方和又称为离回归平方和。
第八章直线相关与回归分析

第十章一元回归与相关分析概述:许多问题需要研究多个变量之间的关系,例如生物的生长发育速度就与温度,营养,湿度等许多因素有关。
相关关系:两变量X,Y均为随机变量,任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。
回归关系:X是非随机变量(如施肥)或随机变量(如穗长),Y是随机变量,对X的每一确定值x i都有Y的一个确定分布与之对应。
区别:1.相关中的两个变量地位对称,互为因果;回归中X是自变量,Y是因变量。
两种意义不同,分析的数学概念与推导过程不同,但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小(最小二乘法),可得到相同的参数估计式。
因此主要讨论X为非随机变量(不包含有随机误差)的情况,所得到的参数估计式也可用于X为随机变量的情况。
2.分析目的不同。
回归分析是建立X与Y之间的数学关系式,用于预测;而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的共同变化规律,例如当X增大时Y如何变化,以及这种共变关系的强弱。
分类:从两个变量间相关(或回归)的程度分三种:(1)完全相关。
一个变量的值确定后,另一个变量的值可通过公式求出(函数关系);生物学研究中不太多见。
(2)不相关。
变量之间完全没有任何关系。
一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。
(3)统计相关(不完全相关)。
介于上述两情况之间。
知道一个变量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。
一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值,但可或多或少地决定它的分布。
科研中最常遇到。
研究“一因一果”,即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析;研究“多因一果”,即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种;多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析;研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析;研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。
第七章 直线回归与相关分析

ˆ a bx y
(6-2)
其中, a 是α的估计值,b是β的估计值。
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建立 样本线性回归方程的方法 最小二乘法
实际观察值与样本回归线上
的点的距离的平方和最小
y
n
i1
yi yi
n 2 i i 1
函数关系 有精确的数学表达式 (确定性的关系) 直线回归分析 一元回归分析 变量间的关系 因果关系 曲线回归分析 (回归分析) 多元线性回归分析 多元回归分析 相关关系 多元非线性回归分析 (非确定性的关系) 简单相关分析—— 直线相关分析 平行关系 复相关分析 (相关分析) 多元相关分析 偏相关分析
2
(x,y) y=a+bx y-y y-y y
ˆ y) 2 (y y ˆ ) 2 2 (y ˆ y)(y y ˆ) (y
ˆ y )( y y ˆ ) b( x x )( y y ) b( x x ) (y bSPxy b 2 SS x ( SP SP 2 ) SP ( ) SS x 0 SS x SS x
多因一果,多元回归分析 多个自变量与一个依变量的回归分析,分为 多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
回归分析的任务: 揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形 式,建立它们之间的回归方程,利用所建立的 回归方程,由自变量(原因)来预测、控制依 变量(结果)。 回归分析主要包括: 找出回归方程;检验回归方程是否显著; 通过回归方程来预测或控制另一变量。
2
a、b应使回归估计值与实际观测值的误差平方和最小,即:
ˆ )2 ( y a bx) 2 最小 Q (y y
卫生统计学课件---直线相关与回归

3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度(即统计意义的程度)和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高,概率越小,在判断变 量间具有相关关系时,犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低,是相 关系数具有统计意义的前提下,根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X-χ)2及离均差积和 ∑(X-χ)(Y-у)
∑(X-χ)2= ∑X2-(∑X)2/n=224.31- (47.28)2/10=0.77
∑(X-χ)(Y-у)= ∑XY-∑X∑Y/n =6594.26-47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
(一)直线回归的概念 直线回归又称简单回归,是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系,但又非函数关系,称作回归关系。 如前所述,20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系,只知道两者存在正相关关系,但不能说, 红细胞数是多时,血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量,需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程,以确定一条最接近于各 实测点的直线,来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下:
(1)作散点图:见下图。由散点图可见,10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130
第7章 直线回归与相关分析

y y ( x x)
y x
总体资料直线回 归的数学模型
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α:它是y的本底水平,即x对y没有任何作用时,y的数量 表现。 βx:它描述了因变量y的取值改变中,由y与自变量x的线 性关系所引起的部分,即可以由x直接估计的部分。 误差:它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分,即不能由 x直接 估计的部分。
ˆ y) ( y y ˆ) ( y y) ( y
2 2
2
回归平方和 U
离回归平方和 Q
ss
y
U Q
ˆ y ) 2 [ y b ( x x ) y ]2 U (y b 2 ( x x) b 2 ss x bsp ( sp ) 2
2 sy /x
2
sy / x SSx
回归系数的标准误
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy / x SSx
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U b
2
ss bsp
x
(sp)
2
ss
x
U t F Q /(n 2)
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现,虽然在同样身高 下,体重并不完全一样。但在每一身高下,都有一个确定的 体重分布与之相对应;
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现,虽然在同样体重 下,身高并不完全一样。但在每一体重下,都有一个确定的 身高分布与之相对应;
相关分析和回归分析的联系和区别

相关分析和回归分析的联系和区别相关分析和回归分析的联系和区别⼀、总结⼀句话总结:> 1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,⽽在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是⼀致的;> 2、相关分析中,x与y都是随机变量,⽽在回归分析中,y是随机变量,x可以是随机变量,也可以是⾮随机的,通常在回归模型中,总是假定x是⾮随机的;> 3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,⽽回归分析不仅可以揭⽰x对y的影响⼤⼩,还可以由回归⽅程进⾏数量上的预测和控制.⼆、相关分析和回归分析的联系和区别⼀、回归分析和相关分析主要区别是:1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,⽽在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是⼀致的;2、相关分析中,x与y都是随机变量,⽽在回归分析中,y是随机变量,x可以是随机变量,也可以是⾮随机的,通常在回归模型中,总是假定x是⾮随机的;3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,⽽回归分析不仅可以揭⽰x对y的影响⼤⼩,还可以由回归⽅程进⾏数量上的预测和控制.⼆、回归分析与相关分析的联系:1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上:有⼀定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归⽅程等问题,需进⾏直线相关分析和回归分析。
3、从研究的⽬的来说:若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和⽅向,宜选⽤线性相关分析;若仅仅为了建⽴由⾃变量推算因变量的直线回归⽅程,宜选⽤直线回归分析.扩展资料:1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析⽅法。
例如,⼈的⾝⾼和体重之间;空⽓中的相对湿度与降⾬量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的⼀种统计分析⽅法。
直线相关与回归

两变量关联性分析
一、线性相关( Linear Correlation ) (一)概念及其统计描述 1、散点图(scatter plot)
为了确定相关变量之间的关系,首先收集一些 数据,这些数据应该是成对的。例如,每人的身高 和体重。然后在直角坐标系上描述这些点,这一组 点集称为散点图。
为了研究父亲与成年儿 子身高之间的关系,卡 尔·皮尔逊测量了1078 对父子的身高。把1078 对数字表示在坐标上, 如图。用水平轴X上的数 代表父亲身高,垂直轴Y 上的数代表儿子的身高, 1078个点所形成的图形 是一个散点图。它的形 状象一块橄榄状的云, 中间的点密集,边沿的 点稀少,其主要部分是 一个椭圆。
直线通过两个特殊点: (0,a)、
(X,Y)
二、回归模型的前提假设(LINE) 1、线性(linear): x与y之间呈线性关系; 2、独立(independent):各观察值之间互相独立; 3、正态性(normal):x、y均服从正态分布; 4、方差齐性(equal):不论x取任何值,y都具有
相同的方差。
计算表:
X(尿雌三醇) Y(产儿体重) X•Y
X2
Y2
7
2.5
9
2.5
9
2.5
12
2.7
…
…
…
…
X
Y
(X •Y) X2 Y2
X
Y
∑X=534,∑Y=99.2, ∑ X2=9876,∑ Y2=324.8,∑XY=1750
41.20
r
0.61
677.42 6.74
从计算结果可以知道,31例待产妇尿中雌三醇含 量与产儿体重之间程正相关,相关系数是0.61。
第十一章
直线相关与回归
第九章 直线回归与相关分析

ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 2.1603 = 13.7782 ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 24.3508
第三节 直线相关
一、相关系数和决定系数 如果两个变量间呈线性关系,又不需要由x来估计 如果两个变量间呈线性关系,又不需要由 来估计 y,只需了 和y相关以及相关的性质,可通过计算 相关以及相关的性质, ,只需了x和 相关以及相关的性质 x和y相关程度和性质的统计数-相关系数来进行 相关程度和性质的统计数- 和 相关程度和性质的统计数 研究。 研究。 相关系数r为 相关系数 为: SP
ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 0.8559 = 16.9701 ˆ ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 21.1589 ˆ
(四)单个y值的置信区间
单个y观测值的标准误为: 单个 观测值的标准误为: 观测值的标准误为
2
ˆ L1 = y − t a s y ˆ ˆ L2 = y + t a s y ˆ
根据例1,估计出黏虫孵化历期平均温度为 ℃ 根据例 ,估计出黏虫孵化历期平均温度为15℃时, 历期天数为多少( 置信区间)。 历期天数为多少(取95%置信区间)。 置信区间
x = 15 df = n − 2 = 8 − 2 = 6 ˆ y = a + bx = 57.04 + (−2.5317) × 15 = 19.0645 sy = sy / x ˆ 1 ( x − x )2 1 (15 − 16.8375) 2 + = 1.9835 × + = 0.8559 n SS x 8 55.1788
直线相关与回归分析

lxx = 1859.2 lxy = 1059.4
b lXY 7190.7597.4 3=00.2.5774 lXX 21.685395.2
34
n = 20,∑X = 3376,∑Y = 3407
X
X
n
5363.5706 1260
=3.15638.8
37
1. 方差分析 变异分解的思想:
Y Y (Y Yˆ) (Yˆ Y)
Y
P ( X, Y )
Y Yˆ
Yˆ
Y Y
Yˆ Y
Y
X
上式两边求平方和:
(Y Y )2 (Y Yˆ) (Yˆ Y )2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2 2 (Y Yˆ)(Yˆ Y )
30
b>0
b=0
b<0
二、直线回归方程的求法
利用数学上的最小二乘法原理,使各实 测点到回归直线的纵向距离平方和最小:
Y Yˆ 2 min
a、b的计算公式:
b
X X Y Y
2
X X
lXY lXX
a Y bX
可计算出儿子身高(因变量)与父亲身高(自变量) 的直线回归方程。
第十八章 直线相关与回归分析
客观世界中的种种现象可分为确定性现象和 非确定性现象两类。
就两个变量而言,如果对一个变量的每个可 能取值,另一个变量都有完全确定的值与之 对应,则称这两个变量之间的关系呈现函数 关系(如:圆周长=2πr)。
在生物医学研究中,变量之间的关系多不是确 定的,表现为具有随机性的一种“趋势”,也 即自变量(independent variable)取不同数值时 ,应变量(dependent variable)可是不同的取值 ,而且某值的出现完全是随机的。
第10章 直线回归与相关分析

回归方程的基本条件(性质): 回归方程的基本条件(性质): 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小; Q = ∑( y − y)2 = 最小;
ˆ ∑( y − y) = 0
; 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验: 回归关系的假设测验: 对于样本的回归方程,必须测定其来自无 对于样本的回归方程,必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时,我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法: 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法:t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7,44.2], 由于x变数的实测区间为[31.7,44.2], [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时,需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时,需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7,44.2];如要在x<31.7或>44.2的 [31.7,44.2];如要在x 31.7或 44.2的 区间外延,则必须有新的依据。 区间外延,则必须有新的依据。
整理后可得: 整理后可得:
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
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第六节 直线相关与回归的SAS程序
SAS的CORR过程可用于求变量之间的线性
相关系数及偏相关系数。;
SAS的REG过程可用于各种线性回归分析,
包括多元回归(见第七章),逐步回归和最优 子集回归(见第八章)等。
第六节 多元回归在医学中的应用
1.一。根据较易测得的自变量推算不易测得的应变量 如:用身高, 体重推算体表面积 。 二。确定各自变量xi取不同值时,y的正常值范围
如:建立一个由身高,体重推算心象面积的多元 回归方程,利用此方程就可分别求出身高, 体重取不同 值的组合时,心象面积的正常值范围。 三。预测预报
如:建立心肌梗塞预报方程或脑卒中预报方程。 四。回顾推断 如:推断死亡时间。
第七节 多元回归及相关的SAS程序
求偏相关系数用CORR过程。 求多元回归及相关用REG过程。
第八章 逐步回归及最优子集回归
第一节 逐步回归分析
一.逐步回归分析的基本概念
逐步回归分析的目的是建立“最优”回归方 程。
“最优”回归方程是指包含所有对y有显著作 用的自变量,而不包含对y作用不显著的自变量的 方程。
ˆ y b0 b1 x1 b2 lg( x2 ) b x
2 3 3
第二节 多元回归的计算
1. 计算截距和各偏回归系数。 2. 多元回归方程的显著性检验:
(1)整个方程的显著性检验:用方差分析。 H 0 : 1 2 m 0 H1 : 至少有一个 i不等于0
r=0.7495
回
60
3.2 3.1 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 40 45 50 55
回
r=-0.83597
60
65
r
相关系数的计算: x x y y x x 2 y y 2
xxx
x x y y xy x y n
体重
心脏横径
设有n对x,y的观察值,先在直角坐标系中 作散点图,如果散点的分布呈直线趋势,则可设法 求出直线方程。 通常用最小二乘法,依据:各点与该直线的 纵向距离的平方和为最小
先由(6.3)式求得b,再由(6.4)式求得a,就得出 直线回归程。
b ( x x )( y y ) /[ ( x x ) 2 ]
因此在较单纯的情况下,如果x1 ,x2与周围其他变量没 什么关系的话,则用简单相关系数来表示x1 ,x2之间的相 关性是可行的;如果存在着对x1 ,x2关系密切的其他变量, 则r就不能确切地表示x1 ,x2之间的真实关系,这就需要用到 偏相关系数。 所谓偏相关系数指的是当把x1 ,x2以外的其他变量对 它们的影响都扣除掉(或平衡掉)以后, x1 ,x2之间的相关系 数。
( xi xi ) 2 / ( y y ) 2
bi lii / l yy
消除不同单位的影响后,标准偏回归系数的绝对值 越大,该自变量对于应变量的作用越大,但该差别是否 有统计意义,也必须经过检验。
第四节 偏相关系数
相关系数r应称为简单相关系数,因为它只考虑了x1和 x2 之间的相互影响,而未注意到其他变量对x1和x2可能有的影响。 事实上,客观事物间的关系是错综复杂的,变量之间的相 互影响也往往是多种多样的。例如,当存在x1 ,x2 ,x3三个变量时, 如果我们不考虑x3 ,而只对x1 ,x2计算其相关系数r,则这r的 大小往往不反映客观真实情况;如r很大,可能意味着x1 ,x2之 间的关系很密切,但也可能实际上x1 ,x2之间并无什么关系, 而x3却对x1 ,x2能同时发挥很大的影响,我们所看到的较大r值 不过是x3对x1的作用和x3对x2的作用的客观表现而已。反之, x1 ,x2之间算得的一个小r值,也不一定就意味着x1 ,x2之间的关 系确实薄弱,也有可能x1 ,x2之间虽有关联,但此关联性却被 x3对它们的作用所抵消,以致被掩盖了。
b0 :截距 bi:标准偏回归系数
标准偏回归系数表示其他自变量固定的情况下, xi改变一个单位,y平均改变bi个单位。
多元线性回归的应用条件:
1. 独立性:各观察对象间相互独立。 2. 线性:自变量与应变量间的关系为线性。 3. 正态性:自变量取不同值时,应变量的分布为 正态。 4. 方差齐性:自变量取不同值时,应变量的总体 方差相等。 当不符合条件时,可对自变量进行变换。 如:
第二节 相关系数
相关分析的目的在于通过相关系数r来描述和度 量两变量线性联系的程度和方向。 r>0 正相关 图例1
r<0 负相关
r=0 零相关
图例2
图例3
零相关即两变量间无关。
样本相关系数不等于零,并不表示总体相关系 数不等于零,还要作显著性检验。
next
3.7 3.5 3.3 3.1 2.9 2.7 2.5 40 45 50 55
(总例数减1) (自变量个数)
误差自由度:n-2
(总的自由度减去回归自由度)
F 回归均方 / 误差均方
F
U /1 Q /( n 2 )
查方差分析用的F界值表,得P值
df1=1, df2=n-2
例6.2 研究正常男性年龄与运动后最大心率 的关系,求直线回归方程。
ˆ y 302.2684 3.2496 x
tb 5.4078, df 12, P 0.01
U 2404.5954, df1 1 Q 987.4046, df 2 12
F 29.2232, P 0.01
直线回归相关分析的注意事项:
1. 相关分析只是以相关系数来描述两个变量 间线性相关的程度和方向,并不阐明事物间存在 联系的本质,也不是两事物间存在联系的证据。 要阐明两事物间的本质联系,必须凭专业知识从 理论上加以论证。因此,把两个毫无关系的事物 放在一起作相关分析是毫无意义的。同样,作回 归分析也要有实际意义。
(2) 对各偏回归系数的显著性检验: F检验:去掉xj后回归平方和的减少是否显著。 t检验:回归系数除以它的标准误。
第三节 标准偏回归系数
要比较各个自变量对于应变量的作用大小,不能用偏回 归系数,因为各偏回归系数的单位不同。必须把偏回归系 数标准化,化成没有单位的标准偏回归系数,公式为:
bi' bi
X和Y的离均差积和
x x Biblioteka 2 x x
2
2
n
X的离均差平方和
相关系数的显著性检验
H0 : 0
sr
H1 : 0
1 r n2
2
样本相关系 数的标准误
tr
r sr
df n 2
查t界值表, 得P值
例6.1 极谱法和碘量法测定水中溶解氧的含 量,两法的测得值是否有相关性?
医学统计学及其软件包
第六章 直线相关与回归
上海第二医科大学
生物统计教研室
第一节 概述
分析两个变量间的关系常用回归及相关分析的统 计方法。 如两个变量间的关系是线性的,可用直线相关与 回归分析;如两个变量间的关系是非线性的需用非线 性(曲线)回归。 回归分析适用于分析变量间的因果关系;用一个 自变量的值来估计另一个应变量的值。 相关分析用于分析两变量间相互联系的密切程度 及相关方向。
t 检验法:
tb b / sb
sb s y. x /
s x. y
ˆ )2 ( y y
df n 2
(x x)
2
2
样本回归系 数的标准误 剩余标准差
ˆ ( y y) /( n 2)
估计误差平方和
( y y) 2 ( y y ) 2 [ ( x x )( y y )]2 / ( x x ) 2 ˆ
第七章 多元回归及相关
第一节 多元线性回归的基本概念 事物间的相互联系往往是多方面的,在很多情 况下对应变量y 发生影响的自变量往往不止一个 。 多元线性回归的目的就是用一个多元线性回归方 程表示多个自变量和1个应变量间的关系。
ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 bi xi bm xm
ˆ y a bx
Y为应变量(dependent variable)
X为自变量(independent variable)
A为截距(intercept) b为回归系数(regression coefficient) 回归系数b表示x每改变一个单位,y平均改变b 个单位。
Y=10x+5
ˆ y =4.22+0.20x
( x x ) 32.63 ( x x ) 93.01 ( x x )( x x ) 54.95
2 1 1
2 2 2
1
1
2
2
r 0.9975
tr 46.82
P 0.01
df 11
两法的测得值有相关(P<0.01)
第三节 直线回归方程
目的:找出描述x与y依存关系的直线方程。
r12,3
表示把x3的作用扣除掉以后x1 和x2的偏相关系数
r12,34 表示把x3和x4的作用扣除掉以后x1 和x2的偏相关系数
偏相关系数可从简单相关系数计算得到,也要作显 著性检验。
第五节 多元相关系数及决定系数
在多元回归中可算得一个多元相关系数,用R表示,它 ˆ 是y与 y 之间的简单相关系数,也可理解为y与自变量组合 之间的相关系数。
二. 逐步回归分析的计算方法 在供选的自变量Xi中,按其对y的作用大小, 由大到小地把自变量逐个引入方程, 每引入一个 自变量就对它作显著性检验,显著时才引入,而 当新的自变量进入方程后, 对方程中原有的自变量 也要作检验,并把作用最小且退化为不显著的自 变量逐个剔出方程。因此,逐步回归的每一步 (引入一个变量或剔除一个变量都称为一步)前 后都要作显著性检验,以保证每次引入新变量前 方程中只包含作用显著的自变量。这样一步步进 行下去, 直至方程中所含自变量都显著而又没有新 的作用显著的自变量可引入方程为止。