高斯公式的内容及其证明
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
高斯公式和斯托克斯公式
高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式：解读电磁场与物质相互作用的数学工具引言：电磁场与物质之间的相互作用是自然界中一种重要的现象。
为了描述和理解这种相互作用，科学家们发展了一系列的数学工具和公式。
本文将介绍两个重要的公式：高斯公式和斯托克斯公式。
这两个公式在电磁场与物质相互作用的研究中起着至关重要的作用。
一、高斯公式高斯公式是描述电场与电荷之间相互作用的数学工具。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出。
高斯公式的核心思想是电场线通过闭合曲面的总通量等于包围在曲面内的电荷量的比例。
具体而言，高斯公式可以用以下形式表示：∮E·dA=Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示曲面内的电荷量，ε₀是真空中的电介质常数。
高斯公式的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过计算闭合曲面上的电场通量来确定曲面内的电荷分布情况。
同时，高斯公式也能够帮助我们理解电场与电荷之间的相互作用规律，揭示自然界中电磁现象的本质。
二、斯托克斯公式斯托克斯公式是描述磁场与电流之间相互作用的数学工具。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出。
斯托克斯公式的核心思想是磁场线沿闭合曲线的环绕的总磁通等于通过曲线所围成的面积的比例。
具体而言，斯托克斯公式可以用以下形式表示：∮B·ds=μ₀I其中，∮B·ds表示磁场B沿闭合曲线的环绕磁通，I表示通过曲线所围成的电流，μ₀是真空中的磁导率。
斯托克斯公式在磁场与电流相互作用的研究中起着重要的作用。
例如，在计算磁场分布时，可以通过计算闭合曲线上的磁场环绕磁通来确定曲线内的电流分布情况。
同时，斯托克斯公式也能够帮助我们理解磁场与电流之间的相互作用规律，深化对电磁现象的认识。
结论：高斯公式和斯托克斯公式是描述电磁场与物质相互作用的重要数学工具。
高斯公式用于描述电场与电荷的相互作用，斯托克斯公式用于描述磁场与电流的相互作用。
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析在高考数学的冲刺复习阶段，高斯公式是一个重要的考点，理解并掌握它对于提高数学成绩至关重要。
高斯公式，又称为高斯通量定理，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯公式的基本概念。
高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
简单来说，如果我们有一个空间闭区域Ω，其边界曲面为Σ，函数 P、Q、R具有一阶连续偏导数，那么高斯公式可以表示为：∫∫∫Ω （∂P/∂x ＋∂Q/∂y ＋∂R/∂z) dV ＝∫∫Σ Pdydz ＋ Qdzdx ＋ Rdxdy 。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解高斯公式的应用。
例 1：计算∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ，其中Ω是由球面 x²＋ y²＋ z²＝1 所围成的闭区域。
我们先求出∂P/∂x ＝ 1，∂Q/∂y ＝ 1，∂R/∂z ＝ 1 ，然后将其代入高斯公式，得到：∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ＝3∫∫∫Ω dV ，而∫∫∫Ω dV 表示闭区域Ω的体积，由于Ω是半径为 1 的球体，其体积为4π/3 ，所以最终结果为4π 。
例 2：计算∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ，其中Σ是立方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1 的表面外侧。
这里，我们直接使用高斯公式，得到：∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ＝∫∫∫Ω （2x ＋ 2y ＋ 2z) dV ，然后分别计算三个积分，最终结果为 3 。
在运用高斯公式时，需要注意一些关键的要点。
一是要正确判断闭区域的边界曲面的方向。
如果方向判断错误，会导致整个计算结果的错误。
二是要注意函数的偏导数是否连续。
如果不连续，可能需要采用其他方法进行计算。
三是在计算过程中，要仔细计算三重积分和曲面积分，避免出现计算错误。
高斯公式的内容及其证明
一、高斯公式 二、通量与散度
高斯公式的物理意义、散度 散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
O 1y 1 x
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
考研高等数学复习——高斯公式
考研高等数学复习——高斯公式高斯公式是高等数学中的一个重要的公式，它是计算闭曲线内部面积的一种方法。
高斯公式可以用于求解定积分，也可以用于计算二重积分和三重积分。
高斯公式在数学和物理中都有广泛的应用。
在数学中，高斯公式常用于计算包围封闭曲线的内部面积，或者计算通过曲面的流量。
在物理学中，高斯公式常用于计算电场的通量和磁场的通量，以及计算介质中的电荷和磁荷的总量。
高斯公式的表述为：对于平面封闭曲线C，其内部有一无穷个数的点，每个点视为源点，曲线C上有一单位的源强度。
假设曲线C包围的面积为A，则通过曲线C的总通量Φ等于A。
这个公式的数学表达式可以表示为：∫∫D dxdy=∮C(xdy-ydx)其中D表示平面曲线C所围成的区域，∮C表示曲线C的线积分，dxdy表示在D上的二重积分，xdy-ydx表示曲线C的微分形式。
高斯公式的证明可以通过对二重积分的计算来完成。
假设曲线C的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，其中t的范围为[a,b]，则曲线C的线积分可以表示为∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)dy(t)-y(t)dx(t))根据微积分中的参数方程曲线上的导数关系，我们可以得到dy(t)=dy/dt dt，dx(t)=dx/dt dt，并将其代入线积分的表达式中，得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)(dy(t)/dt)-y(t)(dx(t)/dt))dt=∫[a,b](x(t)*dy(t)/dt-y(t)*dx(t)/dt)dt通过对该式进行变形，我们可以得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b]((x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt)dt利用变量替换，我们可以将x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt表示为求面积D上的二重积分，即∫∫D dxdy。
因此，我们得到了高斯公式∮C(xdy-ydx)=∫∫D dxdy利用高斯公式，我们可以简化一些定积分的计算过程。
第六节：高斯公式
2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz
由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为
其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高等数学—高斯公式
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P x
Q y
R z
d xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P
d
y
d
z
Qdz P
同济版大一高数第十一章第六节高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
高斯积分定理
高斯积分定理
摘要：
一、高斯积分定理的简介
二、高斯积分定理的推导过程
三、高斯积分定理的应用领域
四、高斯积分定理的意义和价值
正文：
高斯积分定理，又称高斯(Gauss) 积分公式、高斯(Gauss) 积分反常定理，是数学分析领域中一种非常重要的积分定理。
它不仅为我们提供了一种求解积分的方法，还在许多领域有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯积分定理的推导过程。
高斯积分定理的推导主要依赖于概率论中的概率密度函数和概率分布函数。
设随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则随机变量Y=|X|的概率密度函数为f_Y(y)=f(x)/2，其中
y=|x|。
通过对Y 进行积分，我们可以得到高斯积分定理的数学表达式。
高斯积分定理的应用领域非常广泛。
在概率论中，它可以用来求解随机变量的数学期望和方差；在数理统计中，它可以用来求解参数的极大似然估计；在信号处理中，它可以用来求解信号的能量和功率谱密度；在量子力学中，它可以用来求解量子态的概率密度函数。
高斯积分定理的意义和价值在于，它提供了一种将不同领域的积分问题联系起来的方法。
通过高斯积分定理，我们可以将概率论、数理统计、信号处理、量子力学等领域的积分问题转化为求解概率密度函数或概率分布函数的问
题，从而简化问题的求解过程。
9-6高斯公式
高斯(Gauss)公式通量与散度空间二维单连通域的概念：对于空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域仍属于G，则称G是空间二维单连通域;否则称G为二维复连通域.通俗而言，空间二维单连通域之中不含“洞”，而二维复连通域之中含有“洞”.例如，两个同心球面所围区域不是二维单连通域；环面（即轮胎面）所围区域是二维单连通域.一、高斯(Gauss)公式定理1设空间闭区域W 是由分片光滑的闭曲面S 所围成, 函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在W 上具有一阶连续偏导数, 则有,或 其中闭曲面S 取外侧（即法方向朝外）,cos a , cos b , cos g 是S 上任一点(x ,y ,z )处法向量的方向余弦.òòòòòSW ++=¶¶+¶¶+¶¶Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(dS R Q P dv zRy Qx P)cos cos cos ()(òòòòòSW++=¶¶+¶¶+¶¶g b a简要证明设W 是一柱体, 上边界曲面为S 2: z =z 2(x , y ), 下边界曲面为S 1: z =z 1(x , y ), 侧面为柱面S 3, S 1取下侧, S 2取上侧; S 3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有.另一方面, 有,,,òòòòòò¶¶=¶¶W xyD y x z y x z dz z Rdxdy dv zR ),(),(21òò-=xyD dxdyy x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12òòòòS -=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R òòòòS =2)],(,,[),,(2xyD dxdyy x z y x R dxdy z y x R òòS =30),,(dxdy z y x R以上三式相加, 得.所以 . 类似地有, , 把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式.òòòò-=SxyD dxdyy x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12òòòòòSW =¶¶dxdyz y x R dv z R ),,(òòòòòSW =¶¶dydz z y x P dv x P ),,(òòòòòSW =¶¶dzdx z y x Q dv y Q ),,(对于一般二维单连通域：对于二维复连通域：对于二维复连通域（如下图），高斯公式仍然成立:. 12()P Q Rdv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z W S +S +S ¶¶¶++=++¶¶¶òòòòòΣΣ1Σ2ΩGauss 公式使用要求：（1） 积分曲面å为闭曲面，取外侧；（2） å所围区域W 上函数P (x ,y,z ), Q (x ,y,z ), R (x ,y,z )有一阶连续偏导数.设空间闭区域W 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，则闭区域W 的体积,其中闭曲面S 取外侧.13V xdydz ydzdx zdxdyS=++òò例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =3所围成的空间闭区域W 的整个边界曲面的外侧.xdydz z y dxdy y x )()(-+-òòS解 这里P =(y -z )x , Q =0, R =x -y ,, , .由高斯公式, 有.z y x P -=¶¶0=¶¶y Q0=¶¶z R ()()x y dxdy y z xdydz S-+-òòòòòòòòWW-=-=dzd d z dxdydz z y q r r q r )sin ()(29)sin (201030p q r r r q p-=-=òòòdz z d d ΣO xyzΩ例 2 计算曲面积分, 其中S 为锥面x 2+y 2=z 2介于平面z =0及z =h (h >0)之间的部分的下侧, cos a 、cos b 、cos g 是S 上点(x , y , z )处的法向量的方向余弦. dS z y x )cos cos cos (222g b a ++òòS解 设S 1为z =h (x 2+y 2£h 2)的上侧, 则S 与S 1一起构成一个闭曲面, 记它们围成的空间闭区域为W , 由高斯公式得注意:利用对称性.1222(cos cos cos )x y z dS a b g S +S ++òò()222x y z dvW=++òòòòòò£++++=22222)(2h y x h yx dz z y x dxdy òòò£++=222222h y x h yx zdzdxdy òò£+--=222)(222h y x dxdy y x h 421hp =0)(22222=+òòò£++hy x h yx dz y x dxdy ΣO xyzΣ1而,因此 .42222222211)cos cos cos (h dxdy h dS z dS z y x h y x p g b a ===++òòòòòò£+S S 4442222121)cos cos cos (h h h dS z y x p p p g b a -=-=++òòS例3 设函数u (x , y , z )和v (x , y , z )在闭区域W 上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明,其中S 是闭区域W 的整个边界曲面, 为函数v (x , y , z )沿S 的外法线方向的方向导数,符号, 称为拉普拉斯算子. 这个公式叫做格林第一公式. òòòòòòòòWSW¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶-¶¶=D dxdydz z vz u y v y u x v x u dS n v u vdxdydz u )(n v¶¶222z y x ¶¶+¶¶+¶¶=D 证: 因为方向导数 ,其中cos a 、cos b 、cos g 是S 在点(x , y , z )处的外法线向量的方向余弦.gb a cos cos cos zv y v x v n v ¶¶+¶¶+¶¶=¶¶于是曲面积分.利用高斯公式, 即得, 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.òòòòSS¶¶+¶¶+¶¶=¶¶dS z vy v x v u dS n v u )cos cos cos (g b a òòS ¶¶+¶¶+¶¶=dSz v u y v u x v u ]cos )(cos )(cos )[(g b a òòòòòWS¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶dxdydz z vu z y v u y x v u x dS n v u )]()()([òòòòòòWW ¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶+D =dxdydz z v z u y v y u x v x u vdxdydz u )(例4.计算曲面积分,其中S 是由曲线绕y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2(81)2(1)4I y xdydz y dzdx yzdxdy S=++--òò1z y x ì=-ïí=ïî(13)y ££2p[]34p 解：这里作辅助面,法方向取右侧，则S 与S 1构成法方向指向外侧的闭曲面.记Ω为S 与S 1所围闭区域.2(81),2(1),4.P y x Q y R yz =+ =- =-81441P Q Ry y y x y z¶¶¶++=+--=¶¶¶()221:32y x z S = +£xyzOS :S 1x 2+ z 2= y-13112(81)2(1)4I y xdydz y dzdx yzdxdyS +S =++--òò12(81)2(1)4y xdydz y dzdx yzdxdyS -++--òò()2222213x z P Q R dv dzdx x y z W +£æö¶¶¶=++--ç÷¶¶¶èøòòòòò()222311162x z y dydzdx p+£-=+×òòò()231132y dy p p =-+ò()32113234.2y pp p =-+=例5.计算曲面积分，其中Σ是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.()()222I z xy dydz x yz dxdy S=++-òò221x y +=1y z +=0z =解: 作椭圆面Σ1（取上侧）及圆面Σ2（取下侧），它们分别位于平面y +z =1及z =0上.这样Σ+Σ1+Σ2构成闭曲面，其法向量指向外侧，记Ω为Σ+Σ1+Σ2闭曲面所围空间闭区域.，因为Σ1、Σ2在yOz 坐标面上投影为零，所以，；根据高斯公式，有其中()()12222I z xy dydz x yz dxdy S +S +S =++-òò()()1222z xy dydz x yz dxdy S -++-òò()()2222z xy dydz x yz dxdyS -++-òò()1220zxy dydz S +=òò()2220z xy dydz S+=òò()I y y dv W =-òòò()()21xyD x y y dxdy ---òò()20xyD x y dxdy+-×òò()21xyxyxyD D D y y dxdy ydxdy y dxdy=-=-òòòòòò()2122200110.224xy D x y dxdy d d p p q r r r =-+=-×=-òòòò(){}22,|1.xy D x y x y =+£例6.计算曲面积分其中S 为曲面的上侧.2223()xdydz ydzdx zdxdyI x y z S++=++òò()22(2)(1)105169z x y z ---=+³[]2p 解：这里 其中，当时，，，.作辅助面上介于与之间部分，取下侧；上半球面，取下侧; 其中充分小，则S 、S 1及S 2构成法方向指向外侧的闭曲面.记Ω为S 、S 1及S 2所围空间闭区域.333,,,x y zP Q R r r r===222r x y z =++2220x y z ++¹()243351133P rx x r x r x r r -¶¶=+-=-¶¶223535113,3Q y R z y r r z r r¶¶=- =-¶¶0P Q Rx y z ¶¶¶++=¶¶¶1:0z S = 222x y d+=22(2)(1)1169x y --+=()22222:0x y z z d S ++= ³0d>xyzOSS 1S 2其中为上任意点处单位法向量.122223()xdydz ydzdx zdxdy I x y z S +S +S ++=++òò12223()xdydz ydzdx zdxdy x y z S ++-++òò22223()xdydz ydzdx zdxdyx y z S ++-++òò0P Q R dv x y z W æö¶¶¶=++-ç÷¶¶¶èøòòò23xdydz ydzdx zdxdy d S ++-òò231x y z x y z dS d d d d S éùæöæöæö=-×-+×-+×-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëûòò()22222421122.x y z dS pd p d dS =++=×=òò,,x y z d d d æö---ç÷èø()22222:0x y z z d S ++= ³(),,x y z xyzOSS 1S 21.计算曲面积分,其中S 为锥面的下侧.222()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdyS=-+-+-òò22z x y=+()0z h ££44h p éù-êúëû练习。
10.5 高斯公式
Ω 2π
0
D xy
dθ ∫ 0dr
1
−∫
2 π 0
cos2θ dθ
13 π = 12
在闭区域 Ω上具有一阶和 例4. 设函数 ∂v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公 P=u 式 ∂x ∂2v ∂2v ∂2v ∂v ∫∫∫Ωu ∂x2 +∂y2 +∂z2 dxd ydz Q= u ∂y ∂v ∂v ∂v ∂v = ∫∫ u cosα + cos β + cosγ dS R=u Σ ∂y ∂z ∂x ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v + + ) dxd ydz −∫∫∫ ( Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 其中 ∑ 是整个 Ω 边界面的外侧. ∂P ∂Q ∂R 分析: 分析 高斯公式 ∫∫∫Ω( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz = ∫∫ Pd yd z +Qdzd x + Rdxd y
=∫
2 π
Ω
o 1 x
y
0
9 π dθ∫ rdr∫ (rsinθ − z) dz = − 0 0 2
1 3
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
∑h 1h
o x
∑
y
(x, y)∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 取上侧 ∑ : z = h, 1
移项即得所证公式.
高斯(1777 – 1855) 高斯 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的 原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
高斯公式
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
o
x
1y
13 12
2
0
Dxy
d
0
1
dr
2 0
cos d
2
8
例4
为 所围立体, 判断下列演算是否正确?
x3 y3 z3 (1) 3 d y d z 3 d z d x 3 d x d y r r r
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
16
Dx y Dx y
3
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
5.6Gauss公式
o
y
x
解
空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
曲面Σ不是封闭曲面 曲面Σ不是封闭曲面, 为利用 高斯公式
z
补充Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 ) Σ1
Σ1取上侧， 取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
解
Q P = y − z , Q = z − x, R = x − y
∂P ∂Q ∂R ∴ = = =0 ∂x ∂y ∂z
公式,得 由Guass公式 得 公式
∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x − y)dxdy
Σ
= ∫∫∫ 0dv = 0
Ω
使用Guass公式时应注意 使用 公式时应注意: 公式时应注意
Stokes公式 5.6.3 Stokes公式
一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ 定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面 有向曲面, 以 为边界的分片光滑的有向曲面,Γ 的正向与 Σ 的侧符合右手规则, 函数 的侧符合右手规则, Σ P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)在包含曲面 在
z
⋅a2
o
y
x
则
I=
∑ + ∑0
∫∫ − ∫∫
∑0
= ∫∫∫ (−2 x + 2 y + 1)dxdydz −
Ω
高斯公式半球面
高斯公式半球面
高斯公式是微积分中的一个重要定理，它表达了曲面上的曲率和该曲面边界上的曲率之间的关系。
在三维欧几里得空间中，高斯公式可以表示为：
∫∫S K dS = ∫∫S k_g dA
其中，S是一个紧致曲面，S是S的边界，K是S上的高斯曲率，k_g是S上的平均曲率。
当S为一个半球面时，高斯公式可以简化为：
∫∫S K dS = 2πr^2
其中，r是半球面的半径。
这个公式表明了一个有趣的事实：在一个半球面上，其高斯曲率处处相等，且等于1/r^2。
这个结论对于几何学和物理学都有非常重要的应用。
在几何学中，它可以用来证明半球面是一个正则曲面，即其所有点都是正则点。
在物理学中，它可以用来计算球体的总曲率，从而得到球体的总面积。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、高斯公式
二、通量与散度
高斯公式的物理意义、
散度
散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
Q y
1
V
F
S
ndS
表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而
lim 1 F ndS
WM V S
表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在
点M的散度，记为divF，即
divF lim 1 F ndS ． WM V S
散度的计算： 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则
通量：
divF P Q R ． x y z
设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位 法向量，则
F ndS
S
叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）． 高斯公式的另一形式：
divFdv = F ndS ．
W
S
z
S2 ：zz2(x, y)
S3 W
S1 ：zz1(x, y)
O
y
Dxy
x
根据三重积分的计算法，有
Rdv dxdy z2 (x, y) R dz
W z
Dx y
z z1 ( x, y )
另一方面，有
{R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1 (x, y)]}dxdy ．
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
3
P yz， Q 0，R 0．
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
O
1
y
( y z)dxdydz
1 x
W
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
R z
dv
S
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
，
或
W
P x
Q y
R dv z
(P cos
S
Q cos
R cos
)dS
这里S是W的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是S上点(x, y, z) 处的法向量的方向余弦． 这两个公式称为高斯公式．
证明
简要证明：
如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的 方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy．
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
S S1
W
h
h
2
dxdy
(x y z)dz 2
x2 y2
dxdy
zdz
x2 y2
x2 y2 h2
x2 y2 h2
(h 2 x 2 y 2 )dxdy 1 h 4 ．
x2 y2 h2
Dx y
以上三式相加，得
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z1 (x, y)]dxdy ，
S1
Dx y
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z2 (x, y)]dxdy ，
S2
Dx y
R(x, y, z)dxdy 0 ，
S3
R(x, y, z)dxdy {R[x, y, z2 (x, y)] R[x, y, z1 (x, y)]}dxdy ．
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
cos 、cos是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦．
解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲 面，记它们围成的空间闭区域为W．
z
S1 h
S : z x2 y2
O
y
x2y2 h 2 x
S
Dx y
所以有
类似地有
W
Rdv z
R( x,
y,
z)dxdy
．
W
Pdv x
S
P( x,
y,
z)dydz
，
W
Qdv y
S
Q( x,
y,
z)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 ( x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
2
而
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS z2 dS h 2dxdy h 4．
S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h 4 h 4 1 h 4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W
P x
Q y
R z
dv
S
F
ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左 端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
质量．
散度： 在流速场
内一定点M(x, y, 区域为W，W的体积为V，则
F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的