201x版中考数学复习第九讲三角形学案新人教版

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九年级数学下册三角形复习教案人教版

人教版·九年级下·三角形复习·教案考点综述：三角形是生活中最常见的图形之一，它贴近生活，联系实际，是近年中考的必考点之一。

三角形的内容包括：三角形三边的不等关系，三角形的分类，三角形内角和定理，全等三角形的性质及条件，三角形中位线的性质，等腰和直角三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等相关知识。

典型例题：例1：（2007株洲）现有2cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）. A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个例2：（2007某某）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数（） A ．60B ．75C ．90D ．120例3：（2008某某）如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是 A ． ∠B=∠E,BC=EFB ．BC=EF ，AC=DFC ．∠A=∠D ，∠B=∠E D ．∠A=∠D ，BC=EF例4：（2008某某）如图，DE 是ABC △的中位线，2DE =cm ，12AB AC +=cm ，则BC =cm ，梯形DBCE 的周长为cm ．例5：（2007某某）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠=度．A E CBaac丙︒72︒50　乙︒50甲a︒507250︒︒︒58c baC BA例6：（2007某某）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．实战演练：1.（2008某某）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（） A ．15B ．16C ．8D ．72.（2007某某）如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（）A ．130° B.230° C.180° D.310°3.（2007某某）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（） A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对4.（2007某某）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A ．甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙5.（2007某某）如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则ACBD80A 1BCDE2FC Bb 的面积为（）A ．4B ．6C ．16D ．556.（2008某某）如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠；③12ADFE S AF DE =四边形； ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．47.（2006某某）在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（） A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm8.（2008某某）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形9.（2007某某）如图所示，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD要使△ABE ∽△ACD ，需添加一个条件是(只要写一个条件)。

【K12学习】XX中考数学第九讲三角形(二)复习教案(人教版)

XX中考数学第九讲三角形（二）复习教案（人教版）第九讲三角形胡艳华．1直角三角形基础盘点．有一个内角_____的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角______．．在直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的_______．．直角三角形斜边上的中线等于________．．勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则__________，即，直角三角形_________平方和等于_________.．如果三角形三边a、b、c满足_________，那么这个三角形是直角三角形．考点呈现考点1直角三角形两锐角互余例1如图1，Bc⊥AE于点c，cD∥AB，∠B＝40°，则∠EcD的度数是A.70°B.60°c.50°D.40°解析：由题意知，△ABc是直角三角形，且∠B＝40°，所以∠A=90°-40°＝50°，再根据“两直线平行，同位相等”可得∠EcD＝∠A=50°.故选c．评注：“直角三角形两锐角互余”揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数．考点2含30°角的直角三角形的性质例2如图2，在△ABc中，∠c=90°，∠B=30°，AD是△ABc的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则Bc等于A.B.2c.3D.+2解析：在Rt△BDE中，根据“直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”，可求得BD=2BE=2，再根据角平分线性质定理，求得cD=ED=1，所以Bc=cD+BD=3.故选c．评注：含30°角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问题的重要依据．考点3直角三角形斜边上的中线例3如图3，在Rt△ABc中，∠AcB=90°，点D，E，F 分别为AB，Ac，Bc的中点．若cD=5，则EF的长为______．解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得AB=2Bc=10，再根据三角形中位线定理，可得EF==5，故EF=5．评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供必要的条件．考点4勾股定理例4如图4，Rt△ABc中，∠B=90°，AB=4，Bc=3，Ac 的垂直平分线DE分别交AB，Ac于D，E两点，则cD的长为_____．解析：先根据线段垂直平分线的性质得出cD=AD，故AB=BD+AD=BD+cD，设cD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BcD中，根据勾股定理可得,即x2=32+2，解得x=，即cD=.评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合．运用方程思想，能使思路开阔，方法简便．考点5勾股定理的逆定理例5下列各组线段能构成直角三角形的一组是A.30，40，50B.7，12，13c.5，9，123，4，6解析：在A选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可．误区点拨．受思维定式影响，认为c边一定是斜边例1在△ABc中，∠A，∠B,∠c的对边分别是a,b,c，若，则有A.∠A为直角B.∠B为直角c.∠c为直角D.不是直角三角形错解：c剖析：错解受定式影响，认为∠c为直角，事实上，已知条件可转化为，所以∠A为直角.故正确答案为A.评注：勾股定理为了表述方便，通常设∠c为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角．．忽视分类讨论致错例2一直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为A.5B.c.D.5或错解：A剖析：条件中并没有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3和4是直角边时，第三边长为5；当3和4中有一边为斜边时，第三边长为，故应选D．评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解．跟踪训练．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是A.，，B.1，，c.6，7，8D.2，3，4．如图，AB∥cD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是A.60°B.50°c.40°D.30°．如图，在△ABc中，∠c=90°，Ac=2，点D在Bc上，∠ADc=2∠B，AD=，则Bc的长为A.－1B.+1c.－1D.+1如图，△ABc中，cD⊥AB于D，E是Ac的中点．若AD=6，DE=5，则cD的长等于______．5.如图，四边形ABcD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交Bc的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为____．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABcD、正方形EFGH、正方形NT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=____．7.如图，在Rt △ABc中，∠c=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交Bc于点D，过D作DE⊥Ac于点E．若DE=a，则△ABc 的周长用含a的代数式表示为．如图，在Rt△ABc中，∠c=90°，△AcD沿AD折叠，使得点c落在斜边AB上的点E处．已知Ac=6，Bc=8，求线段AD的长度．9．2解直角三角形基础盘点在△ABc中，∠c=90º，三个内角对边分别为a，b，c，则有___；___；_____.特殊角的三角函数值.三角函数30°45°60°视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_________的角叫做仰角，视线在水平线________的角叫做俯角.如图，把________与________的夹角叫做坡角.坡面的_________与______的比叫做坡度，用字母表示为i=____=_____．考点呈现考点1锐角三角函数例1如图1，点A为∠边上的任意一点，作Ac⊥Bc于点c，cD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是A.B.c.D.解析：在Rt△ABc中，cos=；在Rt△DBc中，cos=；易得∠AcD=，在Rt△AcD中，cos∠AcD=cos=，故错误的应选c．评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系．考点2特殊角三角函数值例2已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝______．解析：因为条件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零，即|sinα－|=0，且=0，由此可得sin=，tan=1，故=30°，=45°，所以α＋β＝75°．评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键；同时本题也考查了“几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零”这一性质．考点3解直角三角形例3如图2，AD是△ABc的中线，tanB=，cosc=，Ac=．求：⑴Bc的长；⑵sin∠ADc的值．分析：⑴本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点A作AE⊥Bc于点E，即可将△ABc分成两个直角三角形，并将题目中的条件充分利用起来；⑵根据AD是△ABc的中线，求出BD的长，得到DE的长，从而求得sin∠ADc的值．解：如图2，过点A作AE⊥Bc于点E，∵cosc=，∴∠c=45°.在Rt△AcE中，cE=Ac•cosc=1.∴AE=cE=1.在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴Bc=BE+cE=4.∵AD是△ABc的中线，∴cD=Bc=2.∴DE=cD﹣cE=1.∵AE⊥cD，∴∠ADc=45°.∴sin∠ADc=．评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决．考点4解直角三角形的应用例4如图3是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，cB⊥DB，坡面Ac的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面Dc的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？分析：先根据题目中给出的条件，求出AB的长，在Rt △BcD中，根据新的坡面坡度的意义，求出DB的长，由AD=DB ﹣AB，求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．解：需要拆除.理由如下：∵cB⊥AB，∠cAB=45°，∴△ABc为等腰直角三角形，∴AB=Bc=10米.∵新坡面Dc的坡度为，即，解得DB=10，∴AD=BD﹣AB=米≈7.32米.∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概念及之间的关系是解题的关键.．例5如图4，两幢建筑物AB和cD，AB⊥BD，cD⊥BD，AB＝15，cD＝20，AB和cD之间有一观景池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在c点测得E点的俯角为45°，求两幢建筑物之间的距离BD.分析：在Rt△ABE中，根据正切可求得BE，在Rt△DEc 中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED 求解即可．解：由题意,得∠AEB=42°，∠DEc=45°.∵AB⊥BD，cD⊥BD，∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°.∵tan∠AEB=,∴BE=≈15÷0.90=.在Rt△DEc中，∠cDE=90°，∠DEc=∠DcE=45°，cD=20，∴ED=cD=20，∴BD=BE+ED=+20≈36.7．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7．评注：本题主要考查了利用俯角解直角三角形．在利用解直角三角形的知识解决实际问题时，要借助俯角、仰角构造直角三角形．误区点拨．题中无图漏解致错例1在△ABc中，AB=12，Ac=13，cos∠B=，则Bc边长为A.17B.8c.8或17D.7或17错解：A剖析：由于题目中没有给出图形，所以在解题时只画出图甲，利用解直角三角形的知识和勾股定理，可得BD=12，cD=5，所以Bc=BD+cD=17，这便漏下了△ABc为钝角三角形这一情况，正解应分图6和图7两种情况，在图7中，Bc=BD-cD=7.故应选D．．混淆概念致错例2河堤横断面如图8所示，堤高Bc=6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB的长为A.12B.4米c.5米D.6米错解：D．剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平宽度，即图中的Bc与Ac之比，即等于坡角的正切，本题错在将坡比误认为等于坡角的正弦．应先根据坡比的意义，求出坡角为30°，进而求得AB=12米，应选A．跟踪训练．如图，在Rt△ABc中，∠c＝90°，AB＝13，Bc＝12，则下列三角函数表示正确的是A.sinA＝B.cosA＝c.tanA＝D.tanB＝在△ABc中，若角A，B满足|cosA﹣|+2=0，则∠c的大小是A．45°B．60°c．75°D．105°．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点c，使Dc=BD，连接Ac，若tanB=，则tan∠cAD的值为A.B.c.D.．如图，△ABc中，DE是Bc的垂直平分线，DE交Ac于点E，连接BE，若BE＝9，Bc＝12，则cosc＝．5．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼Bc的顶部B的仰角为32°，底部c的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31，则楼Bc的高度约为_______．．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段N限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路N旁设立了观测点c，从观测点c测得一小车从点A 到达点B行驶了5秒钟，已知∠cAN=45°，∠cBN=60°，Bc=200米，此车超速了吗？请说明理由．．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和Bc，且∠DAB=66.5°．求点D与点c的高度差DH；求所用不锈钢材料的总长度l．参考答案．1直角三角形．B2．c3．D4．85．166．127．6+．解：在Rt△ABc中，由勾股定理，得AB=10．由折叠的性质知，AE=Ac=6，DE=cD，∠AED=∠c=90°．所以BE=AB﹣AE=10﹣6=4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2，即cD2+42=2，解得cD=3.在Rt△AcD中，由勾股定理得Ac2+cD2=AD2，即32+62=AD2，解得AD=．．2解直角三角形．A2．D3．D4．5．50．解：此车没有超速．理由：如图，过c作cH⊥N.因为∠cBN=60°，Bc=200，所以cH=Bc•sin60°=200×=100，BH=Bc•cos60°=100.因为∠cAN=45°，所以AH=cH=100，所以AB=100﹣100≈73.因为60千米/时=米/秒，所以=14.6＜≈16.7，所以此车没有超速．．DH=1.6×=1.2米.如图，连接cD．因为AD∥Bc，所以四边形ABcD为平行四边形．所以AB∥cD且AB=cD．所以∠HDc=∠DAB=66.5°.在Rt△HDc中，cos∠HDc=，所以cD==3．所以l=AD+AB+Bc=0.8+3+0.8=4.6．所以所用不锈钢材料的长度约为4.6米．。

七年级数学下学期期末复习《三角形复习课》课案(教师用) 新人教版

课案教师用三角形（复习课）【理论支持】巴班斯基“教学过程最优化”理论：教学过程最优化不是一种特殊的教学方法或教学手段，而是科学地指导教学、合理地组织教学过程的方法论原则；是在全面考虑教学规律、教学原则、教学任务、现代教学的形式和方法、该教学系统的特征以及内外部条件的基础上，教师对教学过程作出的一种目的性非常明确的安排，是教师有意识地、有科学根据地选择一种最适合于某一具体条件的课堂教学的模式和整个教学过程的模式，组织对教学过程的控制，以保证教学过程在规定的时间内发挥从一定标准看来是最优的作用，获得可能的最大效果。

本章主要研究三角形的边、高、中线、角平分线，三角形的稳定性，三角形的内角、外角，多边形的有关概念及其内角和。

教科书在学生已有的对三角形认识的基础上，首先整理了与三角形有关的线段，给出它们的符号表示；按照边的关系对三角形进行分类；通过探究三角形三边的大小关系，得出了两边之和大于第三边的结论；并从实际问题出发研究三角形的稳定性和四边形的不稳定性；对于三角形的内角，学生已经知道“三角形的内角和等于180”的结论，本章主要是对这个结论进行简单推理。

教科书通过探索把一个三角形的三个内角拼成一个平角的不同方法，找出说明三角形的内角和为180的思路，并对这个结论进行了简单推理，通过对三角形内角和等于180的简单论证，使学生进一步感受推理的作用；对于三角形的外角，通过探究得出了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”等结论。

三角形是最常见的几何图形，也是最简单的一种多边形，在几何研究中，常常将多边形分割成三角形，利用三角形的性质来研究多边形的问题，本章就采用这种将多边形分割成三角形的方法来研究多边形的内角和，并探究得出了多边形的外角和等于360的结论。

本章在最后一节安排了一个课题学习“镶嵌”，使学生综合利用所学有关多边形的知识解决实际问题。

【教学目标】1．通过小结本章的知识结构，培养学生分析、归纳、总结的能力。

人教版九年级下册数学解直角三角形及其应用复习教案

解直角三角形及其应用复习教案学生学校年级初三次数科目数学教师日期时段课题锐角三角函数（2）教学重点1、解直角三角形及其应用2、先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题教学难点1、解直角三角形及其应用2、把实际问题转化为解直角三角形的数学问题教学目标1、建构解直角三角形的知识网络体系，理清各知识点之间的关系。

2、加深对概念的理解，在强化练习中抽取解题规律。

3、进一步培养运用解直角三角形知识分析冋题、解决冋题的能力一、课堂前准备教学内容二、内容讲解1、知识点掌握；2、习题练习与巩固。

三、课堂总结与反思四、作业布置1、安排具有代表性的题目学生回家后巩固练习。

【新课知识讲解及巩固】一、考标要求：1探索并掌握勾股定理及其逆定理。

2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。

3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。

会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。

二、考点梳理：1、三角函数的定义：在Rt△ ABC中，/ C=90°/ A的正弦：sinA= ___________/ A 的余弦：cosA= ___________ :/ A 的正切:tanA= ____________ 。

ba2、特殊角的三角函数值、三角函数 Zsin acos atan a3045600<sin :- <1, 0<cos : <1, tan :- >03、锐角三角函数之间的关系式：在 Rt △ ABC 中，/ C=90° (1)互余关系：si nA cosB , cosA sinB(2)平方关系： sin 2 A con 2A = :(3) 倒数关系：tanA • tanB= ______________ ；4 、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。

七年级数学下册《三角形复习课》课案(教师用) 新人教版【精品教案】

课案（教师用）三角形复习（复习课）【理论支持】三角形是初中几何的基础，是学生刚刚接触的几何证明的开始，对培养学生学习数学兴趣，培养学生几何思维能力起重要作用，本章内容是学习了相交线和平行线之后的提升，将由线转到三角形，本章又是学习平面几何的基础，学生学好三角形对后面学习好三角形的全等及学好平面几何打下良好的基础，本章共包括三角形的基本概念，三角形三边的关系，与三角形有关的线段，三角形的内角和与外角和，多边形的内角和以及镶嵌，本章的重点是三角形的基本概念、三角形三边的关系、三角形的有关线段、多边形的内角和及简单的应用。

【教学目标】知识目标：1.使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和、三角形分类的有关知识。

2.在掌握基本知识的基础上，使学生加深对重要结论来龙去脉的理解，以及灵活运用。

能力目标：1.引导学生开展自主复习，初步掌握复习方法，形成基本复习技能。

2.加强学生推理能力的培养，滲透“转化”这一重要的数学思想，引导学生多角度分析问题，一题多解。

情感目标：1.提高复习课学习兴趣，培养积极的学习态度，使学生获得成功的情感体验。

2.通过一系列的数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论正确性的论证，提高学生学习的热情，体会数学来源于生活，又服务于生活。

【教学重难点】1.重点：复习三角形单元相关基础知识，初步掌握单元复习的基本方法。

2.难点：通过复习活动，提高学生上复习课的学习兴趣，培养学生积极的学习态度和培养推理能力、多角度分析问题的能力，并使学生获得成功的情感体验。

【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸一. 选择题：1. 若三角形两边长分别是4、5，则周长c的范围是（）A. 1＜c＜9B. 9＜c＜14C. 10＜c＜18D. 无法确定2. 一个三角形的三个内角中（）A. 至少有一个等于90°B. 至少有一个大于90°C. 不可能有两个大于89°D. 不可能都小于60°3.以下命题中正确的是（）A、三角形的三个内角与三个外角的和为540°B、三角形的外角大于它的内角C、三角形的外角都比锐角大D、三角形中的内角没有小于60°的角4. 从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）A. n个B. （n-1）个C. (n-2)个D. (n-3)个5. 装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。

人教版初三数学下册相似三角形学案学生用

相似三角形复习课启东市继述初中施峰艳学习目标：1掌握相似三角形的判定和性质，位似的性质2、掌握用相似三角形的判定和性质证明角相等，线段成比例(或等积式)3、体验用相似三角形的判定和性质求线段的长4、能运用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的长度或高度学习重点：灵活运用相似三角形的判定和性质解题学习难点：探索用相似三角形知识解决有关函数、运动类问题学习过程：【知识梳理】活动1：相似三角形基本图形的回顾问题：请同学们根据下列图形给出一个判断厶ADE与厶ABC相似的条件，并说明理由.活动2：如图1中厶ADEABC，相似比为2:3(1) _________________________________ △ ADE和厶ABC对应中线的比_________________________________________ ，对应角平分线的比________ ，对应高的比____(2)若它们的周长差为10,则厶ADE和厶ABC的周长分别是 _________ 和_______ .(3) _________________________________________________________ 若它们的面积和为19.5，则△ ADE和厶ABC的面积分别是_______________________________ 和_______ .总结：相似三角形的性质(1)相似三角形的对应中线比，对应角平分线比，对应高比都等于(2)相似三角形周长的比等于__________ ;(3)相似三角形面积的比等于_________________ .总结：相似三角形的判定方法活动3：相似在日常生活中应用举例(山东济宁中考题)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上•若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为 6 cm,则屏幕上图形的高度为________ cm.总结：本题是相似变换中的特例一一位似变换(1)位似定义：对于两个多边形不仅,如果它们的对应顶点的连线么这两个多边形就是__________________ ，这点叫做___________ .［典例精析】例1 :女口图，下列条件①/ B=Z ACD ;②/ ADC = / ACB ;AC AB③；④AC 2二AB • AD其中能判定△ ABCACDCD BC的是______________ .变式1: (2016杭州)如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC上，/ AED = Z B,线段AG分别交线段DE、BC于点F、G 且AD DFAC _ CG(1)求证：△ ADF ACG ;AD 1 AF砧/古(2 )若，求的值.AC 2 FG变式2 (山东泰安中考题)如图四边形ABCD 中，AC平分/ DAB,/ ADC= / ACB=90°, E 为AB 的中点.(1)求证：AC2=AB?AD;(2)求证：CE// AD ;AC(3 )若AD=4, AB=6，求的值.AF例2:如图，正方形ABCD的边长为4, M, N分别是BC, CD上的两个动点，且始终保持AM丄MN .当BM= ________________ 时，四边形ABCN的面积最大.GC DDNCIVIS A BDE - S A CDE =1:4，则 S ^BDE - S ^ADC -()D.-变式1: （2015岳阳）如图，在正方形 ABCD 中，M 是BC 上一点，F 是AM 的中点，EF 丄AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点 E ,交DC 于点N （1）求证：△ ABM EFA ;（2 ）若 AB=12, BM=5，求 DE 的长.变式2 :（扬州市中考题）已知矩形 ABCD 的一边 AD=8，将矩形落在CD 边上的P 点处.（1）如图1,已知折痕与边 BC 交于点O ,连接AP 、OP 、OA . ① 求证：△ OCPPDA ;② 若△ OCP 与厶PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长.【课堂总结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑?【当堂检测】1. （ 2016 湘西）如图，在△ ABC 中，DE // BC , DB=2AD , △ ADE DBCE 的面积为2.（山东省莱芜市）如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是AB 、 BC 上的点，且 DE // AC ,若A. 1:16B. 1:18C. 1:20D. 1:24AD3.如图，已知等腰厶ABC 中，顶角/ A=36 ° BD 为/ ABC 的平分线，贝U的值等于（）C.1MABCD 折叠，使得顶点4.(甘肃省陇南市)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F, AF=x( 0.2奚w 0.8, EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( )B.AB是直径，且CD丄AB,垂足为P ,求证:【分层作业】1.必做题：书本复习题27第3、7题2•选做题：(湖南永州中考题)如图，已知AB丄BD , CD丄BD .(1 )若AB=9, CD=4, BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9, CD=4, BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9 , CD=4 , BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m, CD=n, BD=|，请问在m、n、|满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？。

人教版数学九年级下册导学案解直角三角形复习(1)

解直角三角形复习（1）【学习目标】通过复习，使学生系统地掌握本章知识.在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题.【学习重点】通过复习，使学生系统地掌握本章知识.【学习难点】在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题.【自主探究】1.本章学习了哪些知识，用到了哪些数学思想方法？2.自己尝试画出知识结构图【范例精析】例1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积.例2．如图，AC ⊥BC ，cos ∠ADC＝45，∠B ＝30°AD ＝10，求 BD 的长.例3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠A 的平分线AD ＝1632，求∠B 的度数以及边BC 、AB 的长.【当堂检测】1、如图，点P （3，4）是∠α的边OA 上的一点，则Sinα=( )A. B. C. D. 2、某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥，一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达B 点，这时汽车离地面高度为( )A.300米B.150米C.75米D.50米354534433、把Rt △ABC 的各边都扩大3倍得Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A / 的余弦值的关系是( )A.cosA = cosA /B.cosA = 3cosA /C.3cosA = cosA /D.不能确定4、已知锐角A 的cosA≤，则锐角A 的取值范围是( ) A.0＜A≤60° B .60°≤A ＜90° C.0＜A≤30° D .30°≤A ＜90°5、王英从A 地向北偏西60°方向走100米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时王英离A地有( )A. B.100米 C.150米D.米6、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，tanA = ，则SinB =( )B. C.7、在Rt △ABC 中，∠C = 900，CD 是斜边AB 上的中线，CD = 2，AC = 3，则 SinB =( )A. B.C.D. 8．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边为a 、b 、c ，则a ：b ：c ＝() A.1:2:3 B.1: 2: 3 C.1: 3:2 D.1:2: 39．下列说法正确的是( )A ．在△ ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tanA ＝B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角△ ABC 中，已知∠A ＝60°，那么cosA ＝D ．一定存在一个锐角A ，使得sinA ＝1.2310．已知锐角α，且sinα=cos37°，则a 等于（）A ．37°B ．63°C ．53°D ．45°11．当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A ．大于B ．小于C ．大于D ．小于12．求值：(1) 6tan 2 30°－sin 60°＋2tan45°.(2)()()20tan 45cos60sin 45tan 30.2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒1213237242332344353211212223。

九年级数学复习教案锐角三角函数新课标人教版

课题锐角三角函数课的类型新授复备记录教学目标（三维）1．知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2．过程与方法：能根据正弦概念正确进行计算。

逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。

3．情感态度与价值观：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

教材分析重点：正弦概念难点：根据正弦概念正确进行计算教学资源（教学具及课件等）三角尺教法、学法启发式课时安排一课时教学过程导入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。

这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米?新授为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，，即结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

人教版初三数学下册解直角三角形的应用复习学案

解直角三角形的应用复习一、学习目标1．复习仰角、俯角以及坡度的概念；2．学会用锐角三角函数表示直角三角形中的边角关系；3．学会用“作垂线，构造直角三角形”的方法解决实际问题；二、自主学习1．仰角、俯角和坡度的概念：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角；（2）坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比．叫做坡度i ；坡面与水平面的夹角α叫做坡角，那么αtan ==lh i ；2．小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）NM C B D A三、考点突破：重庆大坪时代天街已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，时代天街从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图．已知自动扶梯AC 的坡度为i=1：2.4，AC=13m ，BE 是二楼楼顶，EF ∥MN ，B 是EF 上处在自动扶梯顶端C 正上方的一点，且BC ⊥EF ，在自动扶梯底端A 处测得B 点仰角为42°．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）（1）求二楼的层高BC 约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）为了吸引顾客，开发商想在P 处放置一个高10m 的《疯狂动物城》的装饰雕像，并要求雕像最高点与二楼顶层要留出2m 距离好放置灯具，请问这个雕像能放得下吗？如果不能，请说明理由．备用图四、当堂训练：游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘坐缆车到C：另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到C．已知在A处观测C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=1500米，A、B的竖直距离BE=750米，索道BC坡度i=2：3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F．求索道BC的长；（结果保留整数）备用图。

新人教版八年级数学三角形复习课导学案

复习课：十一章三角形导学案学习目标：一、复习十一章三角形相关知识点1.三角形的相关概念2.三角形的分类3.三角形的特性4.三角形的高、中线、角平分线5.三角形的内角和定理6.三角形的外角二、掌握三角形知识点的相关题型复习内容：1、三角形的相关概念1.定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①组成三角形的线段叫做三角形的边: AB 、 BC 、 AC②相邻两边的公共端点是三角形的顶点：A 、 B 、 C③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角: ∠A 、∠B 、∠C④三角形有三条边，三个内角，三个顶点.④三角形ABC用符号表示为△ABC。

注：直角三角形ABC表示Rt△ABC⑤三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b 表示，BC可用a表示二、三角形的分类按边分类按角分类当堂练习1判断三角形形状（1）∠1=42° ∠2=48° ∠3=90° 这是__________三角形（2）∠1=60° ∠2=80° ∠3=40° 这是_________-三角形（3）∠1=91° ∠2=80° ∠3=9° 这是__________三角形三．三角形的特性特性一：具有稳定性特性二：两边之差<第三边<两边之和当堂练习2.每组中的三根小棒，能围成一个三角形吗？（1）、3cm ，8cm， 5cm （）（2）、3cm ，1cm， 7cm （）（3）、4cm ，6cm， 3cm （）3、已知三角形的三边长分别为2,3,a，那么a的取值范围是（）(A) 1<a<5 (B)3<a<7 (C)4<a<6 (D)2<a<64、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，这个三角形的周长是________。

6. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形7、三角形的三条高相交于一点，此点在（）A. 三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的一条边上D. 不能确定8、填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2____,BD= ,AE=______.（2）如图(2),AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= ,∠3=______∠ACB=2 。

九年级数学中考复习：三角形基础知识导学案设计

三角形根基知识复习：知识点1、定义：由首尾按序连结的三条线段构成的图形。

知识点2：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边两边之差＜第三边＜两边之和注意：当出现三角形的边长计算时，应注意用三边关系进行考证。

例1、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，那么这个三角形的周长是中考在线：1、〔2021?金华〕假定长度分别为a，3，5的三条线段能构成一个三角形，那么a的值能够是〔〕A．1 B．2 C．3 D．82、〔2021?白银〕a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为〔〕A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．03、一个等腰三角形的两边长a、b知足方程组2a b3那么此等腰三角形的周a b3长为4、等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是对于x的一元二次方程x2-12x+k=O的两个根，那么k的值是知识点3：①三角形的三内角和为：180°②三角形的外角：三角形一边与另一边延伸线的夹角。

三角形的外角性质：外角等于和它不相邻的两内角和。

考题形式：一般为三角板题型或三角形折叠例1、以下1图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．假如∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么以下式子中正确的是〔〕A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β例2．如上2图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，那么∠EDF的度数是．中考在线：1、小桐把一副直角三角尺按以下1图所示的方式摆放在一同，此中∠E＝90°，∠C ＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，那么∠1+∠2等于〔〕A．150°B．180°C．210°D．270°2、将一副三角板按以下2图所示的地点摆放在直尺上，那么∠1的度数为〔〕A．60°B．65°C．75°D．85°技巧：在三角形中看到中点想中位线和中线，一般用倍长中线法、斜边的中线等于斜边的一半③三角形的高线：过极点作对边的垂线，极点和垂足之间的线段。

2019版中考数学复习第九讲三角形学案新人教版

2019版中考数学复习第九讲三角形学案新人教版【学习目标】1、掌握全等三角形判定及性质，并能灵活运用。

2、掌握特殊三角形的概念和性质，并能熟练运用。

3、掌握线段的中垂线及角平分线定理。

【知识框图】全等判定全等三角形应用等腰三角形判定、性质等边三角形三角形特殊三角形直角三角形判定、性质角的平分线及线段的中垂线定理【典型例题】例1：已知三角形两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，求第三边长。

解：第三边长为5或。

评注：根据不同情况讨论。

例2：已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CD。

证明：作AF⊥CD交CD的延长线于F。

ＡF∵AB⊥BC，FC⊥BC，AB=BC∴AF=BC=AB=CF Ｄ又AE=AD ＢＥＣ∴RtΔABE≌RtΔAFD ∴DF=BE ∴CE=CD评注：证明两条线段（或两个角）相等的时候，可构造全等三角形，常见辅助线：（1）连结某两个已知点（2）过某已知点作某已知直线的平行线（3）延长某已知线段到某个点或与某已知直线相交（4）作一个角等于已知角。

例3：已知点C为线段AB上一点，ΔACM和ΔCBN是等边三角形，AN交CM于点P，BM 交CN于点Q，AN于BM交于点R。

求证：AN=BMＮ证明：由AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB ＭＲ得ΔACN≌ΔMCB ＰＱ∴AN=BM ＡＣＢ评注：本例在条件不变的前提下，可以探险求很多结论：（1）求证：CP=CQ，（2）求证：ΔCPN≌ΔCBQ，（3）求证：ΔCPQ是等边三角形，（4）求证：PQ∥AB。

另外，若增加一个条件，在AN 上取中点E，在BM上取中点F，则可求证：ΔCEF是等边三角形。

例4：ΔABC 中，∠B=22.50，∠C=600，AB的中垂线交BC于点D，BD=6 ，AE⊥BC 于E，求EC的长。

A解：连结AD。

由AD=BD=6 ，∠ADE=45得AE=6， B D E C由∠C=600，得EC=2评注：线段相等不要局限于三角形全等一种思想，（1）条件中含有中垂线，角平分线时，可利用它们的性质（2）条件中含有线段中点时，中位线是常用的辅助线之一，既可获得平行线，又可过渡数量关系。

2021版九年级数学上册23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质导学案新版人教版

形的性质导学案新版人教版年级九学科数学课型新授授课人学习内容相似三角形的性质学习目标1.探索相似三角形的性质；2.利用相似三角形的性质解决实际问题。

学习重点相似三角形的性质及应用.学习难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.导学过程复备栏【温故互查】1、相似三角形的判定定理有哪几个？内容是什么？2、什么是相似三角形的相似比？两个相似的三角形有哪些性质？【设问导读】1、三角形除了边、角之外还有哪些要素？对于两个相似的三角形，以上要素与三角形的相似比有何关系？写出你的猜想？2、所有的等腰直角三角形都相似吗？观察手中的大小不同的等腰直角三角形三角板，并测量其边长，测量或计算斜边上的高、中线、直角顶角的角平分线以及三角形的周长、面积。

与同伴交流你的发现。

_______________________________.3、如何验证或者证明结论的正确性呢？验证可以采用作图、测量计算的方法，但是这一方法具有一定的局限性。

那么在数学中最有效的方法便是通过逻辑推理来证明结论的正确性。

以小组为单位，组长分任务完成如下命题的证明（每名同学至少完成一个命题的证明）（1）相似三角形对应边上的对应高的比等于相似比；（2）相似三角形对应边上的对应中线的比等于相似比；（3）相似三角形对应角上的对应角平分线的比等于相似比；（4）相似三角形的周长的比等于相似比；（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

小组交流并阅读教材，对比课本相应的证明方法，在课本空白处补充好结论以及证明。

并写出你的收获。

【自学检测】1、已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，求BC、、．2、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。

3、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。