201x版中考数学复习 第九讲 三角形学案 新人教版

2019版中考数学复习第九讲三角形学案新人教版

【学习目标】

1、掌握全等三角形判定及性质，并能灵活运用。

2、掌握特殊三角形的概念和性质，并能熟练运用。

3、掌握线段的中垂线及角平分线定理。

【知识框图】

全等判定全等三角形应用

等腰三角形判定、性质等边三角形

三角形特殊三角形直角三角形判定、性质

角的平分线及线段的中垂线定理

【典型例题】

例1：已知三角形两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，求第三边长。

解：第三边长为5或。

评注：根据不同情况讨论。

例2：已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CD。

证明：作AF⊥CD交CD的延长线于F。ＡF

∵AB⊥BC，FC⊥BC，AB=BC

∴AF=BC=AB=CF Ｄ

又AE=AD ＢＥＣ

∴RtΔABE≌RtΔAFD ∴DF=BE ∴CE=CD

评注：证明两条线段（或两个角）相等的时候，可构造全等三角形，常见辅助线：（1）连结某两个已知点（2）过某已知点作某已知直线的平行线（3）延长某已知线段到某个点或与某已知直线相交（4）作一个角等于已知角。

例3：已知点C为线段AB上一点，ΔACM和ΔCBN是等边三角形，AN交CM于点P，BM 交CN于点Q，AN于BM交于点R。求证：AN=BM

Ｎ

证明：由AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB ＭＲ

得ΔACN≌ΔMCB ＰＱ

∴AN=BM ＡＣＢ

评注：本例在条件不变的前提下，可以探险求很多结论：（1）求证：CP=CQ，（2）求证：ΔCPN≌ΔCBQ，（3）求证：ΔCPQ是等边三角形，（4）求证：PQ∥AB。另外，若增加一个条件，在AN 上取中点E，在BM上取中点F，则可求证：ΔCEF是等边三角形。

例4：ΔABC 中，∠B=22.50，∠C=600，AB的中垂线交BC于点D，BD=6 ，AE⊥BC 于E，求EC的长。A

解：连结AD。

由AD=BD=6 ，∠ADE=45

得AE=6， B D E C

由∠C=600，得EC=2

评注：线段相等不要局限于三角形全等一种思想，（1）条件中含有中垂线，角平分线时，可利用它们的性质（2）条件中含有线段中点时，中位线是常用的辅助线之一，既可获得平行

线，又可过渡数量关系。

【备选例题】

取等腰ΔABC底边上任一点D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CH为高线。

求证：（1）DE+DF=CH （2）如果将条件“底边BC上任取一点D”改为“在BC延长线上取上点D”，其他条件不变，则结论应变为什么？请加以证明。

证明：（1）过点D 作DG⊥CH，垂足为G。Ａ

则证明ΔCDG≌ΔDCF

Ｈ

（2）过C点作CG⊥DE，垂足为G。ＥＦ

则证明ΔDGC≌ΔCFD。可得结论为DE-DF=CH。ＢＤＣ

【课堂小结】

1、利用三角形全等可证明线段（角）相等，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图形中隐含的边、角关系。

2、要注意角平分线、线段中垂线、“三线合一”等定理的运用，使解题过程简洁、明快。【课堂练习】

一、填空题

1、四条线段的长分别是5cm、6cm、8cm、13cm，以其中任意三条线段为边可以构成____个三角形。

2、已知AC=DC，∠DCA=∠ECB，请添加一个条件________，使ΔABC≌ΔDEC。

Ｄ

Ａ

ＢＥＣ

3、已知等腰三角形的一个角为750，则其顶角为_________ 度。

4、在ΔABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB=10，AC=16，则MN长为____________. A

N

B M C

二、在ΔABC中，BE、CF分别是AC、AB 两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，求证：AG=AD G A

F

D E

B C

三、已知AD是ΔABC中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF

A

F

E

C

【课后练习】D

一、填空题： B

１、已知∠B=∠C，BD=CE，DC=BF，∠A=400，则∠EDF为___度。

Ａ

F E

B D C

2、已知等腰三角形一腰上的高与腰之比为，则其顶角度数等于_______.

3、已知∠A=520，O是AB、AC的中垂线的交点，那么∠OCB=_______ Ａ

.

O

B C

二、ΔABC中，∠C=2∠B，∠BAD=∠CAD，求证：AB=AC+CD Ａ

B D C

三、ΔABC中，∠ACB=900，∠CAB=300，ΔACD和ΔABE都是等边三角形，DF⊥AC于M。（1）求证：BF=EF （2）设BC=2，求DF长。

【课后反思】

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