高一数学下学期期末考试试题 新人教版
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
17.(10分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若
（1）求c的值；
（2）求sinC的值.
18.(12分）已知 .
（1）求tanβ：
（2）求sin2α.
19.(12分）已知函数 （其中a∈R）.
（1）当a＝－1时，解关于x的不等式 ；
【解析】
【分析】
先将直线方程 化为： ，再利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】直线方程 化为： ，
所以两条平行直线 与 的距离是：
.故选：D
【点睛】本题主要考查两平行线间 距离的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.A
【解析】
【分析】
分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 、 、 ，由题意结合平面几何的知识可得 、 、 或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.
所以点 到直线 的距离为 ，
所以圆M： ，
对于A、B，圆M的圆心 到直线 的距离 ，所以圆上的点到直线 的最小距离为 ，最大距离为 ，故A正确，B错误；
对于C，令 即 ，当直线 与圆M相切时，圆心 到直线的距离为 ，解得 或 ，则 的最小值是 ，故C正确；
对于D，圆 圆心为 ，半径为 ，若该圆与圆M有公共点，则 即 ，解得 ，故D正确.故选：ACD.
5.过圆 上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（）
A. B. C. D.
6.两条平行直线 与 的距离是（）
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2 ，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案
（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水 千吨，求 的最小值，使得供水紧张现象消除.
18.（12分）已知函数 .
（1）求函数 最小正周期；
（2）若将函数 图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在区间 上的值域.
19.（12分）有如下数阵： ，其中第 个括号内的所有元素之和记为 .
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（）
A. B. C. D.
2.已知 ， ，那么下列命题正确的是（）
A. B. C. D.
（可能用到的公式与数据： ，其中 ， ， ）
21.（12分）在 中， 是角 的对边，且 .
（1）若 ，解这个三角形；
（2）我们知道，如果 是某个定圆的一条弦，点 在 分圆所得的优（劣）弧上运动，则 的大小确定.本题中，若 ，请结合 的外接圆，根据 的取值讨论 解的个数，并请说明 取何值时 的面积最大.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22题考生都必须作答.
17.（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）
【解析】
【分析】（1）设蓄水量为y，根据题意求出函数解析式，求解 即可；（2）当每小时向池内注水 千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于3求解a即可得a的最小值.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
9.若直线 与圆 相切，则 的值为（）
A.2B. C.1D.
10.设直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 （）
A. -1或1B. 1或5C. -1或3D. 3或5
11.若圆 与圆 的公共弦过圆C的圆心，则圆D的半径为（）
A. 5B. C. D.
12.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（）
即实数 的取值范围为 ；故选C．
【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，其中解答中把圆的一般方程与标准方程，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7. C
【解析】
【分析】
由体积桥可知 ，求解出 和高 ，代入三棱锥体积公式求得结果.
【详解】 为 中点
又 平面
本题正确选项：
10. B
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离为 求出a的值.
【详解】由题得圆的方程为 ，所以圆心为(-1,2),半径为 .
所以圆心到直线的距离为 .故选B
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，考查圆心到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11. D
【点睛】本题考查三棱锥体积 求解问题，关键是能够利用体积桥将所求三棱锥更换顶点，从而更容易求得几何体的高和底面积，属于基础题.
8. B
【解析】
【分析】
根据三视图复原几何体，结合题中数据，即可求得答案.
【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，
故几何体的表面积为 ，故选B.
22.(12分）已知点 ，圆 的方程为 ，点 为圆上的动点，过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ．
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）. A.916B.1116C.12D.11182. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A.ac bc >B.11a b< C.20c a b≥- D.11a b a>-3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A. 14AB +34AC B.34AB +14AC C.13AB +23AC D.23AB +13AC 4. 设单位向量1cos 3e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则cos 2α的值为（ ）A.79B.12-C.79-D.35. 已知ABC 中，23,22,4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ） A. 有一个解 B. 有两个解C. 不能确定D. 无解6.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212-a a b的值是 ( ) A.12B.12-C.12或12-D.147. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中22tan tan a B b A =，那么ABC 一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ） A.5665-B.1665-C. 3365D.636510. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85 B.415C.215511. 设G 是ABC 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=，若ABC 外接圆的半径为1，则ABC 的面积为（ ）A. 33B.33C. 34D.91612.当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. -215510B.2515+ C. 10 D.310第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14. 在ABC 中，tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根，则tan C =_______．15. 如图，在半径为3的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若||||+=-AC CB AC CB ，则AB AC ⋅=_____．16.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*4()1nnT n N n λ≤∈+恒成立，则λ的最小值是_______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). （1）求顶点D 的坐标；（2）求AC 与BD 所成夹角的余弦值．18. （11分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,n n na nb log a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ． 19. （11分）已知向量()cos 3m x x=，(cos ,cos )n x x =且函数()f x m n =⋅.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求函数()f x 在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20. （12分）首届世界低碳经济大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21. （12分）已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-. （1）求A ；（2）从下列条件中：①3a =②3ABCS=中任选一个作为已知条件，求ABC 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. （14分）函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，都有()g()()αβαββα=+f f ，且(2)2f =，数列{}n a 满足()()2+=∈nn a f n N .（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列}{nb 前n 项和为n S ，且(1)nn n n ba +=，问是否存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. A 【解析】 【分析】根据题意得出每个数的分母为2n ，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…， 可得每个数的分母为2,n n N ∈，分子为连续的奇数，所以（ ）中的数应为916故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用. 2. C密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可. 【详解】对A ，当0c时，不成立，故A 错对B ，若a 为正数，b 为负数，不成立，故B 错对C ，由a b >，所以0a b ->，所以20c a b ≥-成立，故C 正确对D ，当2,1a b ==-时，11a b a>-不成立，故D 错 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题. 3. C 【解析】 分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-，所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 4. A【解析】 由题设可得2218cos 1cos 99αα+=⇒=，则27cos 22cos 19αα=-=，应选答案A ． 5. B 【解析】 【分析】通过比较sin a B 与b 的大小关系，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：23,22,4a b B π===2sin 2362==a B 622<=<b a 所以可知ABC 有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题. 6. A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a a b --==.本题选择A 选项.7. B 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数． 【详解】设第一天织1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得1111721284715a d a d a d a d +⎧⎨+++++⎩＝＝解得：111a d ==， ，∴第十四日所织尺数为14113113114=+=+⨯=a a d ．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题． 8. D 【解析】 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =，将等式中的边,a b 消去，化为关于角,A B的等式，整理化简可得角,A B 的关系，进而确定三角形ABC 的形状．【详解】由正弦定理可得：22sin tan sin tan =A B B A ，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-， 当22A B =时，ABC 为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC 为直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题. 9. D 【解析】 【分析】 计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=. ()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 10. B 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离415AB =故选B点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 11. B 【解析】 【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，则GA GB GC =--，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=，∵GB GC ⋅不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=， 即sin sin sin A B C ==，∴ABC 是等边三角形，又ABC 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60aR ==︒，则3a =∴2333ABC S ==△.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. A 【解析】 【分析】利用辅助角公式可知函数min ()f x ，然后把x θ=代入结合平方关系可得sin ,cos θθ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果. 详解】由题可知：()()2cos 5,tan 2ϕϕ=+=+=f x sinx x x所以min ()5=-f x 2cos 5θθ+=-sin密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以225sin sin 2cos 5sin cos 125cos 5θθθθθ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⎨⎨+=⎪⎩⎪=-⎪⎩所以2155sin sin cos cos sin 33310πππθθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()()444112115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 14.13【解析】 【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根所以37tan tan ,tan tan 22+=-=-A B A B 所以()tan tan tan tan 1tan tan 13+=-+=-=-A B C A B A B故答案为：13【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 15. 9 【解析】 【分析】化简||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=，然后将AB 用,CA CB 表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=AB CB CA =-所以()()229⋅=-⋅-=-⋅==AB AC CB CA CA CA CA CB CA故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题. 16. 32 【解析】 【分析】依据题意可得2=2n a n ，然后可得n b ，利用裂项相消法可得nT ，最密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：1212a a ++…21+=+n a n n n ① 当2n ≥时，1212a a ++…()211111-+=-+--n a n n n ② ①-②是可得：12n a n n =，所以()2=22≥n a n n当1n =时，1=2a 符合上式，所以()2=2*∈n a n n N则()()2222121211114411+⎛⎫++===- ⎪ ⎪++⎝⎭n n n n n b a a n n n n 所以()122222*********...1...422331⎛⎫ ⎪=+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭n n T b b b n n 所以()()()2221114141⎛⎫+ ⎪=-=⎪++⎝⎭n n n T n n又41λ≤+n n T n ，所以()()22111124411λλ+⇒≥+⨯=≤+++++n n n n n n n n又函数()111f x x =++在()0,∞+单调递减 所以max 13112⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n 所以*4()1n n T n N n λ≤∈+恒成立，则32λ≥故答案为：32【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）(2,2)；（2）685.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算AB DC =，可得结果. （2）用坐标表示AC ，BD ，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． （2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-=685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题. 18. （1）12n n a -=；（2）224133=+-n n T n .【解析】 【分析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）依题意利用等差数列的性质可得22a=，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()2222214a a a +=+，解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数21232=+++⋯+n n T b b b b3242152162()()-+++⋯++++⋯=++n n n T b b b b b b b b()024*******(13521）-=+++⋯+++++⋯+-n n T n2214(121)4114233-+-=+=+--n nn n n T n 【点睛】本题主要考查数列分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19. （1）1[,1]2-；（2）522-.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得 （1）1()sin(2)62f x x π=++，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得3cos 5α=，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可. 【详解】(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=()1311cos 22sin(2)2262π=+=++f x x x x50,22666x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ 1sin(2)[1,]62x π∴+∈-，则()f x 的值域为1[,1]2-（2）π11(),2610f α+=ππ111 sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即3cos 5α= ，又α为第一象限的角，则4sin 5α22π2sin()cos )42cos(2π2)c 2cos )2co o s s 2sin ααααααααα++==++-则πsin()4cos(2π2)2522cos sin 2αααα==--++【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20. （1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②. 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润2300(81010)y n n =-+，令0y >，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算2300(81010)--=n n W n结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金300n 万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯=因此利润2300(81010)y n n =-+ 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+ 所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+810300210120n n≤-⨯= 当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题. 21.（1）3A π=；（2）选择①，(23,33；选择②，[6,) +∞. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长23)36π=+l B ，然后根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===， 即ABC 周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+- 3sin 33B B =23)36B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题即ABC 周长的取值范围(23,33选择②3ABCS.，得13sin 324ABC S bc A bc ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立 2 41246l a b c ∴=++-= 即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.22. （1）证明见解析；2n n a n =⋅；（2）存在，4. 【解析】【分析】（1）依据题意计算()()()1122222,++==⋅+⋅n n nn a f f f 然后可得1122n n n a a ++=+，根据递推关系以及等差数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得12n nn b +=，然后利用错位相减法可得n S ，最后构造函数，利用函数的单调性可得结果.【详解】（1）()()112,22,=∴==n n a f a f()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+， 11122n nn na a ++∴-= 2n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为112a =，公差为1，,22nn n na n a n ∴∴==⋅.（2）由(1)12n n n n n n b a ++==23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=-，假设存在正整数m ， 使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +-> 由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+- m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立. 故存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立， 所以m 的最小值为4.【点睛】本题考查根据递推关系证明等差数列以及错位相减法求和，还考查了数列恒等式问题，本题关键在于得到1122n n n a a ++=+，考查分析能力以及计算能力，属中档题.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
C.关于直线 对称D.关于直线 对称
二、填空题（每小题5分，共20分)
13. 的值为__________．
14.过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是________．
15.化简： =_____
16. 2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.
1.直线 的倾斜角为（）
A. ；B. ；C. ；D.
2.如图所示，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于 平面的对称点的坐标为( )
A.（−3，4，5）B.（−3，−4，5）
C.（3，−4，−5）D.（−3，4，−5）
， ，
故函数的单调增区间为 ，
【点睛】本题考查利用 的部分图象求函数解析式，关键是掌握运用五点作图的某一
点求 ，考查三角函数单调区间的求法，是中档题．
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【详解】 角 在第三象限，且 ， 且 ，
因此， ．
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查知一求二，解决这类问题首先要确定角所在的象限，其次就是要确定所求三角函数值的符号，最后再利用相关公式进行计算，考查计算能力，属于基础题．
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案214人教版高一数学下学期期末考试卷第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.1920°转化为弧度数为A。
32π/3B。
16π/3C。
16/3D。
3提示：1°=π/180.2.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用A。
散点图B。
茎叶图C。
频率分布直方图D。
频率分布折线图提示：散点图是用来观察变量间的相关性的。
3.函数y=sin(x+π/4)的一个单调增区间是A。
[-π,0]B。
[0,π/4]C。
[π/4,7π/4]D。
[7π/4,2π]提示：函数y=sin(x)的单调增区间是(2kπ-π/2,2kπ+π/2) (k∈Z)。
4.矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BC=5e1，DC=3e2，则OC等于A。
(5e1+3e2)/2B。
(5e1-3e2)/2C。
(-5e1+3e2)/2D。
-(5e1+3e2)/2提示：OC=AC=AD+DC=BC+DC=(5e1+3e2)/2.5.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A。
6，12，18B。
7，11，19C。
6，13，17D。
7，12，176.函数y=x/2sin(x)+3cos(x/2)的图像的一条对称轴方程是A。
x=π/2B。
x=-πC。
x=-π/2D。
x=π提示：函数y=sin(x)的对称轴方程是x=kπ+π/2 (k∈Z)。
7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是A。
甲获胜B。
乙获胜C。
二人和棋D。
无法判断提示：由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%。
8.如图是计算1/11+1/12+。
+1/30的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
（2）将 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求 的单调递减区间.
21.（12分）已知圆 ，经过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， .
（1）若直线 的斜率为2，求 ；
（2）求 的取值范围.
22.（12分）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”. 年 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝， 盘里有 盘是我们澜沧种的！”
综上所述： .
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦函数的周期，考查了正弦函数的最值，考查了正弦函数的零点，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义，求得 ，进而利用诱导公式求出 的值．
【详解】∵ 是角 终边上一点，则
.
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及到诱导公式，属于基础题．
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短 年，最长不超过 年；③投资年数 与总回报 的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当 时， ，以后 每增加 时， 增加 ；方案二： ；方案三： .请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.
最新人教版高一下册数学期末考试含答案
2022年人教版高一下册期末考试数学试卷一、选择题1. 已知复数z =1−2i ，则z (z +2i )=（ ） A.1−2i B.9+2i C.7−4i D.1+2i2. 将圆锥的高缩短到原来的12，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.缩小到原来的16 C.不变 D.扩大到原来的2倍3. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y =x 2，x ∈[1,2]与函数y =x 2，x ∈[−2,−1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A.y =sinx B.y =x 3 C.y =e x −e −xD.y =lnx4. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为12，14，18，则密码能被译出的概率是（ ） A.120 B.2132C.2164D.43645. 数据x 1，x 2，…，x 9的平均数为4，标准差为2，则数据3x 1+2，3x 2+2，…，3x 9+2的方差和平均数分别为（ ） A.36，14 B.14，36 C.12，19 D.4，126. 设λ为实数，已知向量m →=(2,1−λ)，n →=(2,1)．若m →⊥n →，则向量m →−n →与n →的夹角的余弦值为（ ） A.−√55B.−√1010C.−12D.√557. 若P (AB )=16，P(A)=13，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（ ） A.互斥 B.相互独立C.互为对立D.无法判断8. 下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象，则（）A.函数y=f(x)的最小正周期为π2B.直线x=5π12是函数y=f(x)图象的一条对称轴C.点(−π6,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心D.函数y=f(x−π3)为奇函数9. 若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−π2)=0，则下列取值范围中的每个x都能使不等式f(x+π2)⋅cosx≥0成立的是（）A.[−2π,−π]B.[−π,0]C.[0,π]D.{x|x=kπ2,k∈Z}10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中点，点F 在BB1上，记B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（）A.13B.12C.23D.111. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点E ，F ，M ，N 分别为棱AB ，BC ，DD 1，D 1C 1上的中点，下列判断正确的是（ ）A.直线AD//平面MNEB.直线FC 1//平面MNEC.平面A 1BC//平面MNED.平面AB 1D 1//平面MNE12. 矩形ABCD 中，AB =√2，AD =1，M 是矩形ABCD 内（不含边框）的动点，|MA →|=1，则MC →⋅MD →的最小值为（ ） A.−√6 B.−√6+1 C.−√6+2 D.3+√62二、填空题1.已知函数f (x )={sin (π4x),x ≤1,lnx,x >1,则f(f (e ))=________．2. 已知在△ABC 中，点D 满足BD →=34BC →，点E 在线段AD （不含端点A ，D ）上移动，若AE →=λAB →+μAC →，则μλ=________．3.一组数据共有7个整数，m ，2，2，2，10，5，4，且2<m <10，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是________.4. 如图，在正三棱锥A −BCD 中，底面边长为√6，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点O ，且OB =2，则动点O 在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为________．三、解答题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3bcosC =csinB ． (1)求角C ；(2)若b =2,△ABC 的面积为2√3，求c ．2.某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：(1)若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；(2)现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率．3. 已知向量a →=(sinx,1)，b →=(1,sin (π3−x))，f (x )=a →⋅b →．(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当x ∈[0,π4]时，关于x 的不等式2f (x )−1≤m 有解，求实数m 的取值范围．4.如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60∘，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点．(1)求二面角P −CD −A 的大小；(2)求证：AE ⊥PD ．5.雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”．而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种．在中国，雪豹的数量甚至少于大熊猫．某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2． (1)假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进入这个区域后未被拍摄到的概率；(2)要使雪豹一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机（lg2≈0.301）．6.如图，已知四棱锥P−ABCD，△ABD为等边三角形，直线PC，DC，BC两两垂直，且PC=CD=BC=2，M为线段PA上的一点．(1)若平面BDM⊥平面ABCD，求AM2；(2)若三棱锥P−MBD的体积为四棱锥P−ABCD体积的1，求点M到平面ABCD的距离．2参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】B【解析】无2.【答案】D【解析】无3.【答案】A【解析】无4.【答案】D【解析】无5.【答案】A【解析】无6.【答案】A【解析】无7.【答案】B【解析】无8.【答案】C【解析】无9.【答案】B【解析】无10.【答案】D【解析】无11.【答案】D【解析】无12.【答案】C【解析】无二、填空题【答案】√22【解析】无【答案】3【解析】无【答案】5【解析】此题暂无解析【答案】3π2【解析】无三、解答题【答案】解：(1)由正弦定理可得√3sinBcosC=sinCsinB. 因为sinB≠0，所以√3cosC=sinC，所以tanC =√3.因为C ∈(0,π)，所以C =π3．(2)由(1)得C =π3. 因为S △ABC =12absinC =√34ab =2√3，所以ab =8.因为b =2，所以a =4.由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =16+4−8=12， 所以c =2√3． 【解析】 此题暂无解析 【答案】解：(1)由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为2001200=16，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为16．(2)采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4人，从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各抽取1人组成6个人的样本．将6人中病情恶化的1人用符号A 代替，其余5人分别用1，2，3，4，5代替， 则从6人中任意抽取3人的基本事件表示如下： (A,1,2)，(A,1,3)，(A,1,4)，(A,1,5)，(A,2,3)， (A,2,4)，(A,2,5)，(A,3,4)，(A,3,5)，(A,4,5)， (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，共20个基本事件． 其中没有抽到病情恶化的志愿者的基本事件为： (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，共10个基本事件， 因此，抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为1020=12．【解析】 无 无 【答案】解：(1)因为f (x )=a →⋅b →=sinx +sin (π3−x)=12sinx +√32cosx =sin (x +π3)，所以函数f (x )的最小正周期T =2π．因为函数y =sinx 的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ， 所以−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ,k ∈Z ，解得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ,k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k ∈Z ．(2)不等式2f (x )−1≤m 有解，即m+12≥f (x )min ．因为x ∈[0,π4]，所以π3≤x +π3≤7π12.又sin 7π12=sin 5π12>sin π3，故当x +π3=π3，即x =0时，f (x )取得最小值，且最小值为f (0)=√32， 所以m ≥√3−1． 【解析】 此题暂无解析 【答案】(1)解：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PA .因为CD ⊥AC,PA ∩AC =A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 所以CD ⊥PC . 又AC ⊥CD ，故∠PCA 为二面角P −CD −A 的平面角. 又PA =AB =BC =AC ，故二面角P −CD −A 的大小为45∘． (2)证明：由于AE ⊂平面PAC ， 所以AE ⊥CD .因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD =C ，所以AE ⊥平面PCD . 又PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 【解析】 此题暂无解析 【答案】解：(1)雪豹被拍摄到的概率，即至少有1个红外线触发相机拍摄到雪豹的概率． 设雪豹被第k 个红外线触发相机拍摄到的事件为A k (k =1,2,3,4,5)， 那么5个红外线触发相机都未拍摄到雪豹的事件为A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4⋅A 5． ∵ 事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴ 雪豹未被拍摄到的概率为 P(A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4⋅A 5)=P(A 1)⋅P(A 2)⋅P(A 3)⋅P(A 4)⋅P(A 5) =(1−0.2)5=(45)5，∴ 雪豹未被拍摄到的概率为(45)2．(2)设至少需要布置n 个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹， 由(1)可知，雪豹被拍摄到的概率为1−(45)n.令1−(45)n≥0.9， ∴ (45)n≤110，两边取常用对数，得n ≥11−3lg2≈10.3.∵ n ∈N ∗， ∴ n =11，∴ 至少需要布置11个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹． 【解析】 无 无 【答案】解：(1)连接AC 交BD 于点O .易知AC 为线段BD 的垂直平分线，且AC 为AP 在平面ABCD 上的投影， 所以MD =MB .连接MO ，则MO ⊥BD .又因为平面BDM ⊥平面ABCD ，平面BDM ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面MBD ， 所以MO ⊥平面ABCD .又因为AO ⊂平面ABCD ，所以MO ⊥AO .因为CO =√2，AO =√6，AP 2=AC 2+PC 2=12+4√3. 又因为AOAC =AM AP，即AM 2=18−6√3．(2)过点M 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′， V M−ABD =13×12×√6×2√2×MO ′=2√33⋅MO ′，V P−BCD =43，V P−ABCD =13×12×2√2×(√2+√6)×2=4(√3+1)3， 故V P−BCD +V M−ABDV P−ABCD=1−12，解得MO ′=1−√33， 故点M 到平面ABCD 的距离为1−√33． 【解析】 此题暂无解析。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.已知 ， ， ，则 的最小值为（）
A. 6B. 12C. 18D. 24
8.设在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 的形状为（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
9.若不等式 ，对 恒成立，则关于 的不等式 的解为（）
即（ h）2＝h2+102﹣2h×10×cos120°，
∴h2﹣5h﹣50＝0，解得h＝10或h＝﹣5（舍去）；
故选B．
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．
12. C
【解析】
正实数x,y满足 ，
则 ，
当且仅当 取得最小值2.
由 有解,可得 ，
13.已知等差数列 中， ， ，则其通项公式 __________.
14.已知 的三个内角之比为 ， ，那么最大边长等于__________.
15.一元二次不等式 的解集是 ，则 的值等于__________.
16.如图，从气球 上测得正前方的 ， 两点的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则 的距离等于__________ .
11. B
【解析】
【分析】
设出塔高为h，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h的值．
【详解】如图所示：
设塔高为AB＝h，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝h；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD h；
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
A. ＝ B.
C. D.
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）
A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°
16.已知 ，则 等于（）
A. 0B. C. D.
第Ⅱ卷（共52分）
由正弦定理可得， ，
得 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积为 .
解法二：（1）同解法一.
（2）由正弦定理得 ，
因为 ， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 为直角三角形，
所以 的面积为 .
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
四
总分
得分
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用符号表示“点 在平面 外，直线 在平面 内”，正确的是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在 中，已知 ，则 的形状一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
7.已知圆锥 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，圆台轴截面的面积为 ，则圆锥 的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知 是公比为整数的等比数列，设 ， ，且 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（）
人教版高一下学期期末考试数学试题与答案解析(共五套)
人教A版高一下学期期末考试数学试卷（一）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 124.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．18.已知函数，且当时，的最小值为2．(1)求a的值，并求的单调递增区间；(2)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的x的集合．19.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角的正弦值．20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间满分150分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．求A的大小；若，，求的面积．22.如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，E在上，并且，点M在平面内，且平面，证明：平面．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选D．2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故选：D．3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，且，，故．故答案选C．4.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，所以，因为，所以，．故选：B．5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简，即可得到答案．【解答】解：，，，，又．代入可得故答案选D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】本题考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．根据互斥事件、对立事件的概念判断即可．【解答】解：对于A选项，E、G事件有可能同时发生，不是互斥事件；对于B选项，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C选项，F与G可以同时发生，不是互斥事件；对于D选项，G与I也可以同时发生，不是互斥事件．故选：BC．10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】DB【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图与应用问题，是基础题．根据频数分布直方图的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，甲同学的成绩的平均数，乙同学的成绩的平均数，所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在之间，乙同学的成绩的中位数在之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确．故选：BD．11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形【答案】DBA【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属中档题．利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择．【解答】解：对A：因为，又，可得，故，故A选项正确；对B：因为，，与的夹角为，所以．故在上的投影向量为，故B选项正确；对C：点P在所在的平面内，满足，则点P为三角形ABC的重心，故C选项错误；对D：不妨设，则，故四边形ABCD是平行四边形；又，所以，故四边形ABCD是矩形故D选项正确；综上所述，正确的有ABD．故选ABD．12如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【答案】ABD【解析】【分析】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题．采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果．【解答】解：对于A，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，面BDE，面APC，且面面，，又四边形ABCD是正方形，为AC的中点，为PA的中点，故A正确．对于B，面ABCD，面ABCD，，又，，面PAC面PAC，故B正确．对于C，，为PB与CD所成的角，面ABCD，面ABCD，，在中，，，故C错误．对于D，由等体积法可得，又，，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果．【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题．用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，，因为三点共线，所以，解得．故答案为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．【答案】【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．根据题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错．【解答】解：根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；由相互独立事件的概率乘法公式，可得，故答案为．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．1.2.3.【答案】1【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。
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2. C
【解析】
【分析】
设出三件相互互斥的事件，事件“某地在节气夏至当日下雨”为事件A，"某地在节气夏至当日阴天”为事件B，“某地在节气夏至当日晴天”为事件C，根据互斥事件概率的基本性质可得 ，进而可得答案.
【详解】解：设事件“某地在节气夏至当日下雨”为事件A，"某地在节气夏至当日阴天”为事件B，“某地在节气夏至当日晴天”为事件C，
A. B. C.- D.-
2.“二十四节气”是上古农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民族悠久文化内涵和历史沉淀.根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为（）
A.0.65B.0.55C.0.35D.0.75
3.已知向量 ， .若 与 共线，那么 （）
A. B. C. 4D.-4
4.已知圆 的标准方程为 ，则它的圆心坐标是（）
A. B. C. D.
5. （）
A. B. C. D.
6.已知函数 ，下列命题正确的是（）
A. 的周期为 B. 的值域为
C. 的图像关于直线 成轴对称D. 的图像关于点 成中心对称
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
22.（12分）若圆 的内接矩形的周长最大值为 ．
(1)求圆O的方程；
(2)若过点 的直线 与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线 的斜率 ，求 的取值范围．
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，故答案为 .
【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，属于基础题.
13. (1). (2). .
【解析】
【分析】
①通过平行关系，直线 与直线 所成角即直线 与直线 所成角，解三角形即可得解；
②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.
【详解】作图：连接 交 于 ，连接
①在正方体中， ，易得 为等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）由数量积定义可直接求得结果；
（2）结合数量积的运算律可求得 ，进而得到结果；
（3）根据垂直关系得到 ，由数量积 运算律构造方程求得结果.
【详解】（1） ；
（2） ， ；
（3） ， ，
即 ，解得： .
【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题.
所以 .故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.
7. B
【解析】
【分析】
显然 平面 ，所以 就是平面 与底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三角形即可.
【详解】解：在正方体 中， 平面 ，
E、F分别为棱AD、BC的中点，所以 ，所以 平面 ，
所以 ，
所以 就是平面 与底面ABCD所成的二面角的平面角，
根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的表面积 .故选：C.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
4. A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系可求得 ，由两角和差正切公式可求得结果.
【详解】 ， ， ， ，
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密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题ABCDB'D'DCBA人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ． 相交D ．内切 2．设a 、b 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ 3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( ) A ．-3B ．31-C ．31 D ．34．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( ) A ．y ＝－2x －3 B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．已知等差数列的前项和为，，420S ，则( )A ．B ．C ．D ． 6．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．438．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．)0,02a b ab a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a b{}n a n n S 37a =10a =25323540密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题C ．)20,0abab a b a b>>+D ．)220,022a b a b a b ++≤>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( )A ．4B ．5C ．10D ．15 10．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km. 85 B 415C ．215 D ．511．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( )A ．平面平面B ．异面直线与所成的角为C ．二面角的大小为D ．在棱上存在点使得平面12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥体积的最大值为．以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是 .14.已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的一般方程为 .P ABCD -ABCD 60DAB ∠=︒PAD PAD ⊥ABCD PAB ⊥PBC AD PB 60︒P BC A --60︒AD M AD ⊥PMB M ACN -248()2214x y +-=11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭l ,A B C ACB ∠l密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的方程．18.（本题共12分）已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．（1）求与的通项公式；（2）令，求的前项和．20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A与P重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A .（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC{}n a n S n 2()n S n n *=∈N {}n b 1q >11b a =22b 4b 33b {}n a {}n b nn na cb ={}n c n T密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题13. A>B 14.15. []24π,π 16. (8，0).17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220xy Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5AB =2212212114522DED E F ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+-=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 18．解：（1）∵，，∴，…3分，，由于，∴，∴…6分（2）由（1）得，，① ∴，② ①②得，∴…12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF // ……3分. 又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ……4分 ∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥，又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂.∴BC AF ⊥ …… 9分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ … 11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分 21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BEPE E =，∴EF ⊥平面PBE ，又⊂EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE …4分0324=--y x 111a S ==221(1)n n S S nn --=--21()n a n n *=-∈N 234232b b b +=23232q q q +=1q >2q =12()n n b n -*=∈N 1212n n n c --=0121135212222n n n T --=++++123111352321222222n n n n n T ---=+++++-1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-123662n n n T -+=-<密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ∆的面积最大，此时，2BE PE ==． (6)分由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)2622EFCB PO PE S =⋅=⨯==⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= (9)分∵01cos 60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC ∆中，2221417OC BO BC =++=∵PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为51……12分22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即：23421k kk --=+，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． ……5分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k kN k k --++．又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx k y x k=--=--(也可以通过直线与圆联立消去y,得到 22221(286)8210.+-+++++=（）x k k k x k k 2122286+=1+++k k x x k 而求出M 坐标).得22224342(,)11+++++k k k k M k k222222224342223(1)()(1)()112121k k k k k k AM AN k k k k +++-⋅=-+-+-++++2222213116121k k k k k ++=+=++为定值．故AM AN ⋅是定值，且为6．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用符号表示“点A 在平面α外，直线l 在平面α内”，正确的是（ ） A.A α⊄，l α∈ B. A α⊄，l α⊂ C. A α∉，l α⊂ D. A α∉，l α∈2. 若0a b >>，c R ∈，则（ ） A.a cbc +>+B. a c b c -<-C.11a b> D. 22a b <3. 已知向量(),2a t =，()2,1b =，若a b ⊥，则t 的值为（ ） A. -4B. -1C. 1D. 44. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且2222a b c bc =+，则A =（）A. 135︒B. 120︒C.60︒D. 45︒5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ）A. 16B. 32C. 48D. 646. 在ABC △中，已知sin sin A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形7. 已知圆锥SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60︒，圆台轴截面的面积为203，则圆锥SO 的体积为（）A.483πB. 723πC. 1443πD.2163π8. 已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n n n na ab a -+=，n N +∈，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A. 11B. 10C. 9D. 8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A.2n S n =B.223n S n n =-C.21n a n =-D.35n a n =-10. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =30A =︒，则B =（）A. 30︒B. 45︒C. 135︒D. 150︒密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11. 若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A.1ab B.11ab ≥C.222a b +≥D.112a b+≥ 12. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥B. 若a b ⊥，//b α，则//a αC. 若//a b ，//a α，则//b αD. 若αβ⊥，a α⊂，b αβ=，a b ⊥，则a β⊥三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13.已知变量x ，y 满足约束条件010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为______.14. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n N +∈，11a =，22a =，则5a =______. 15.ABC △为等腰直角三角形，且2A π∠=，4AB =，若点E 为BC 的中点，则AE AB ⋅=______.16. 正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A BC D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为______，线段AP 长度的取值范围为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a=，2b =.（1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 18. 已知球O 的半径为5. （1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，n N +∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记11n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=.（1）求A ； （2）若3a =1c =，求ABC △的面积.21. 如图所示，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD .密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：平面//ABF 平面CDE ；（3）若2DE DB ==，3BCD π∠=，求点D 到平面BCE 的距离.22. 在①5CA CB ⋅=-，②ABC △的面积为33一个，补充在下面问题中，并解决该问题： 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++，______，且1b =.（1）求ABC △的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =.若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n nn n a c b a a -+=-，2n ≥.证明：116n S <.注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.高一数学参考答案评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：CABDB6-8：ABB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. AC 10. BC 11. BCD 12. AD 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13. 1 14. -2 15.8 16.3，6262-+⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）因为向量a 与b 的夹角为3π，所以cos ,a b ab a b⋅=112cos12132π=⨯⨯=⨯⨯=， 所以()2a b a b+=+密线学校班级姓名学号密封线内不得答题2221427a b a b=++⋅=++=（2）设向量a b+与向量a的夹角为θ，所以()cosa b aa b aθ+⋅=+⋅22a a ba a ba b a a b a+⋅+⋅==+⋅+⋅2771==⨯18. 解：（1）因为球O的半径为5R=，所以球O的表面积为24100S Rππ==.（2）设两个半径分别为13r=和24r=的平行截面的圆心分别为1O和2O，所以22153164OO=-==，所以2225493OO=-==，所以1212347O OO OOO=+=+=，或1122431OOO OO O=-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.19. 解：（1）当2n≥时，21nS n n-=-，所以()2212n n na S S n n n n n-=-=+--=，因为当1n=时，112a S==，适合上式，所以2na n=，n N+∈.（2）由（1）可得()121na n+=+，所以11122(1)nn nca a n n+==⋅+11141n n⎛⎫=-⎪+⎝⎭，所以11111111141242341nTn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111414(1)nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，n N+∈.20. 解法一：（1）因为ABC△中，()2cos cosb c A a C-=，由正弦定理可得，(2sin sin)cos sin cosB C A A C-=⋅，得2sin cos sin cos cos sinB A AC A C⋅=⋅+⋅，得2sin cos sinB A B⋅=，因为sin0B>，所以1cos2A=，因为0Aπ<<，所以3Aπ=.（2）由余弦定理得222222cosa b c bc A b c bc=+-=+-，因为3a=1c=，所以220b b--=，即()()120b b+-=，所以1b=-或2b=，因为0b>，所以2b=，所以ABC△的面积为1133sin2122bc A=⨯⨯=.解法二：（1）同解法一.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）由正弦定理得sin sin c aC A=， 因为3sin sin 3A π==3a =1c =，所以sin 1sin 2c A C a ==，因为a c >，所以A C >，即3C π<，所以6C π=，所以2B AC ππ=--=，所以ABC △为直角三角形，所以ABC △的面积为11331222ABC S ac ===△.21. 证明：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC DE ⊥， 因为BDDE D =，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE .（2）因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， 所以//DE AF ，因为DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， 所以//AF 平面CDE ； 因为四边形ABCD 是菱形， 所以//AB CD ，因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ； 因为ABAF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面//ABF 平面CDE .（3）因为CD BC =，3BCD π∠=，所以BCD △为等边三角形，因为2DB =，所以BCD △的面积为343BCD S ==△ 因为DE ⊥平面ABCD ，所以三棱锥E BCD -的体积为11232333E BCD BCD V DE S -=⋅=⨯=△ 因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以DE BD ⊥，DE CD ⊥，因为2DE BD CD ===，所以22BE CE ==所以BCE △的面积为()21222172BCES =⨯-=△设点D 到平面BCE 的距离为d ， 所以1723333E BCD D BCE BCE V V d S --==⋅==△， 所以2217d =，所以点D 到平面BCE 的距离为2217. 22. 解：（1）选择条件①，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为5CA CB ⋅=-，所以cos 5ab C =-，所以22252a b c ab ab +-⋅=-， 所以22210a b c +-=-，因为1b =，代入222b c a bc +-=和22210a b c +-=-， 得221a c c -+=和2211a c -=-，联立解得133a =12c =，所以ABC △的周长为13133（1）选择条件②，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为ABC △的面积为33113sin sin 332234bc A c c π=== 所以12c =，把1b =，12c =代入222b c a bc +-=得133a =所以ABC △的周长为13133（2）因为1cos 2A =，所以12a =，所以12b =，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为23b a =，37b a =，所以222q d =+，2226q d =+， 联立以上两式消d 得2320q q -+=，所以1q =或2q =，因为数列{}n a 为公差不为0，所以0d ≠，所以1q ≠，所以2q =，1d =. 所以()111n a a n d n =+-=+，112n n n b b q -==， 当2n ≥时，11111212n n n n n n a nc b a a n n -+⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 又因为113c =适合上式，所以11212n nn c n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，n N +∈. 故212111111222233412n n n S n n ⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 令212222n nn T =+++， 则2311122222n n n T +=+++， 作差得23111111222222n n n n T +=++++-，所以222nnn T +=-， 设111111233412n K n n =-+-++-++1122n =-+，所以321222n n n n n S T K n +=-=-++，因为n N +∈，所以202n n +>，所以3122n S n <++，因为1123n ≤+，所以3111226n +≤+，所以116n S <.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =- 2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．33．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A 5B 35C 145D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s 3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC的外接圆的面积为3π，且2cos A 22cos cos 13sin sin B C A C -+=，则ABC 的最大边长为（）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P -ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（）A 61+B 62+C 261+D 262+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值．18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin 3b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值．22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB二、填空题：13．3 14．3 15．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯． 因为22ππϕ-≤<，所以0k =． 所以2236πππϕ=-=-．（2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 1664ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =1220210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒． ∴122A A B 是等边三角形，1212102AB A A ==．由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B AB AB AB AB =+-⋅⋅︒，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22220(102)220102200=+-⨯⨯=．∴12102B B =10260302=/h ）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．12202260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin 45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)4-=()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)4=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B AB A A AB A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯100(423)=+．∴2110(13)A B =+.由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠ 2(13)210(13)+==+．∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．2(13)cos15sin105︒︒+==． 在122B A B 中，由已知，22102A B =由余弦定理,得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅． ∴12102B B =，2222(13)10(13)(102)210(13)1022004=++-⨯⨯=乙船速度的大小为1026030220⨯=/h ． 答：乙船每小时航行302海里．19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||2b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题化简可得52b a ⋅=-，即55cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯ 如图所示，取BC 的中点M ，在RtBOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()2OM OB BM =-=-=在RtDOM中，12OM BD BM=-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 31．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23s b B =，in 23s c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c+-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=， 整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)3)233AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+- 44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+-43sin23cos2B =+- 43sin(2)3B π=+-，当sin(2)13B π-=， 即512B π=时，2AD 取得最大值423+所以AD 31．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB= 所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA 中可得25cm MA =，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线AM 的距离减OB 长．解得：2cm ．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
若甲的中位数为a，乙的众数为b，则 __________．
14.若 ，且 ，则 的值是____________．
15.为实现“两个一百年”的奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某高校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年份
2016
2017
所以 ，
所以 ，
所以点P在 边所在直线上．故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.
10. A
【解析】
【分析】先根据平均数的计算方法分别求出两位同学成绩的平均数 和 ，再利用方差的计算公式求得 和 ，而方差越大，成绩越不稳定．
【详解】 ，
．
，
．
因为 ，所以成绩不太稳定的是乙同学，其标准差为 ．
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）若 ，得 ，
解得 ，故实数k的值为7．
【点睛】本题考查平面向量的数量积公式的应用、向量求模，需熟记常用公式，考查计算化简的能力，属基础题.
19.（1）10.1分；（2）10.3.
【解析】
【分析】（1）由频率直方图，根据平均数计算方法可得答案；
（2）根据中位数的计算方法可得答案.
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若45°角的终边上有一点 ，则 （）
A.2B.4C. D.
2.下列给变量赋值的语句正确的是（）
3个白球与事件A不能同时发生，是对立事件．故选：C.
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（2）若采用分层抽样的方式从评分在 ， ， 的师生中抽取10人，则评分在 内的师生应抽取多少人？
（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
11. D
【解析】
【分析】分公比是否为 进行讨论，再利用等比数列的前 项和公式及定义求解即可.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，当 时， ，
则 不为等比数列，舍去，
当 时， ，
为了符合题意，需 ，得 ，故 .故选D．
【点睛】本题考查等比数列的前 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.
2.已知 ， ， ，则 的形状是（）．
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
3.下列不等式中，正确的是()
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
4.设等差数列 的前 项之和为 已知 ，则 （）
A.12B.20C.40D.100
5.记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则（）．
【点睛】此题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题
14. 或
【解析】
【分析】根据正弦定理可求得 .分类讨论，即可确定角 ，由三角形面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理可知 ，
代入可得 ，解得 ，
所以 或 ，
当 时， ，由三角面积公式可得 ，
当 时， ，由三角形面积公式可得 ，
所以 的面积为 或 ，故答案为： 或 .
【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的 这个向量，就转化为了 这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得 的值.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 四 总分 得分一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l.()tan 2025-︒=（） A. -1 B. 1C. 3D. 32.复数21i i+的共．轭．复数为（ ）A. 1i -B. 1i +C.1i -+D.1i --3. 在ABC △中，“A B <”是“cos cos A B >”成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知等边ABC △的边长为1，则BC CA CA AB AB BC ⋅+⋅+⋅=（ ） A.32- B. 32C. -3D. 35. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为（ ） A.512B. 12C. 56D. 596. 若G 是ABC △的重心，且AG AB AC λμ=+（λ，μ为实数），则λμ+=（ ） A.23B. 1C.43D. 537. 先画出函数()sin y x x R =∈的图象，再把图象向右平移3π个单位长度，然后使图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数解析式为（ ）A.1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 若23a =，34b =，4c ab =，则abc =（ ）A.12B. 1C. 2D. 4二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知角α的终边过点()()3,0P m m m -≠，则sin α的值可以是（ ） A.10B.310 C.10 D.31010. 给出下列四个命题：①若a b >且11a b>，则0ab >；②若0c a b >>>，则a bc a c b >--；③若0a b c >>>，则b b c a a c +<+；④若1a b +=，则114a b+≥.其中正确的命题是（ ） A. ①B. ②C. ③D. ④11. 已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ）A.4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4,33⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,3D.8,33⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知两条不同的直线a ，b 与三个不同的平面α，β，γ.给出下面四个命题：甲. 若a α⊥，b β⊥，//αβ，则//a b ；乙. 若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b ；丙. 若//a α，//b β，//αβ，则//a b ；丁. 若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥.其中错误．．的是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.14. 若α，β都是锐角，且1tan 7α=，in s 10β=则()tan 2αβ+=_____.15. 已知M 是长方体1111ABCD A BC D -的棱1BB 的中点，底面ABCD 为正方形且12AA AB =，则AM 与11B D 所成角的大小用弧度制可以表示为______. 16. 已知集合{}2|1A x y x==-，{}2|0B x x ax a =-+=，若12,x x A B ∃∈且12x x ≠，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （10分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N，E ，F 分别是棱11A B ，11A D ，11BC ，11CD 的中点.（1）计算棱台1EFC BDC -的体积； （2）求证：平面//AMN 平面DBEF .18. （12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒.某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a 的值；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值x ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （3）求中位数的估计值.19. （12分）新冠肺炎波及全球，我国计划首先从3个亚洲国密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题家（伊朗、巴基斯坦、越南）和2个欧洲国家（意大利、塞尔维亚）中选择2个国家进行对口支援.（1）若从这5个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括伊朗但不包括意大利的概率.20. （12分）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.21. （12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥；（2）连接DE ，求DE 与底面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角E CD A --的平面角的正切值. 22. （12分）已知函数()44sin 2sin cos cos x x x f x x =+-.（1）求()f x 的最大值及取得最大值时相应的自变量x 的取值集合.（2）若函数()()g x f x ω=在区间[]0,π内恰有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x .①求实数ω的取值范围； ②当12342x x x x π-=-=时，求实数ω的值及相应的四个零点.高一数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1-5：AACAA6-8：ADB二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9. AC 10. BC 11. AD 12. CD 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 4 14. 1 15.3π16.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题（共70分） 17.（1）解:由题可知，118C EFS =△，12BCD S =△，1h =. 根据棱台的体积公式，可得11111713882224V ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. （2）证明：连接11B D ，则11////MN B D EF .分别取AB 与DC 的中点G ，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题H ，连接GH ，1B G ，1C H . 在四边形1AGB M 中，1//AG MB 且1AG MB =， 所以四边形1AGB M 为平行四边形. 同理可得四边形1DHC F 也是平行四边形.又11////GH BC B C ，11GH BC B C ==，所以四边形11GB C H 为平行四边形， 所以11//////AM GB C H FD .因为AM MN M =，DF EF F =，所以平面//AMN 平面DBEF .18. 解：（1）由题意，得(0.0050.0120.0350.0150.003)101a +++++⨯=. 解得0.03a =.（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值50.00510150.01210250.0310350.03510x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯450.01510550.0031030.2+⨯⨯+⨯⨯=（分钟）.（3）设中位数的估计值为30x +.由(0.0050.0120.03)100.0350.035(10)(0.0150.003)10x x ++⨯+=-++⨯， 得67x =，所以中位数的估计值为6307.19. 解：（1）设3个亚洲国家分别为1A （伊朗），2A （巴基斯坦），3A （越南），2个欧洲国家分别为1B （意大利），2B （塞尔维亚）.从5个国家中任选2个，其可能的结果组成的基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个，其中，选到的这2个国家都是亚洲国家的基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，共3个.故所求事件的概率10P 3=.（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其可能的结果组成的基本事件有{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共6个，其中，选到的这2个国家包括1A （伊朗）但不包括1B （意大利）的基本事件有{}12,A B ，共1个， 故所求事件的概率16P =.20. 解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元. 根据题意可设1y xλ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=.所以()20405y x x x=+>.根据均值不等式可得，204285y x x ≥⋅=， 当且仅当2045x x=，即5x =时，上式取等号.故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题之和最小，且最小值为8万元.21.（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥.因为底面ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB . 因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥.因为E 为PB 的中点，PA AB =，所以AE PB ⊥. 又因为BCPB B =，所以AE ⊥平面PBC .因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥.（2）解：作EF AB ⊥于点F ，则F 是AB 的中点，//EF PA ，且12EF PA =，EF ⊥底面ABCD .连接DF ，则EDF ∠为DE 与底面ABCD 所成的角. 设PA AB a ==，在Rt EFD △中，12EF a =，5FD =，所以5tan 5EF EDF FD ∠==.（3）解：作FG CD ⊥，垂足为G ，则G 为CD 的中点，连接EF ，则CD EG ⊥，所以EGF ∠为所求二面角的平面角. 在Rt EFG △中，12EF a =，FG a =，所以1tan 2EFEGF FG∠==. 22. 解：（1）()sin 2cos 2224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当2242x k πππ-=+，即3(Z)8x k k ππ=+∈时，()max 2f x =()38x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭.（2）()224g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.①()g x 在区间[]0,π内恰有四个不同的零点的充分必要条件为(0)0138178g ππωππω⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解得131788ω≤<.②123448x x x x πω-=-=或88πω.若482ππω=，得1ω=，此时()224g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π内只有两个零点，不符合题意，舍去； 若882ππω=，得2ω=，此时()244g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π内恰有四个零点，它们分别是16π，516π，916π，1316π.综上所述，2ω=，相应的四个零点分别是16π，516π，916π，1316π.密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 四 总分 得分一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中，5000 名学生成绩的全体是（ ）A.总体B.个体C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量 2.设α是第三象限角，且tan 1α=,则cos α=（ ） A.-12B.22C.22-D.12-3. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有2枚正面C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面4.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y 的值为（ ）A.7B.8C.9D.10 5.若4sin cos 3θθ-=则sin()cos()πθπθ--=（ ）A. 16B.16-C.718-D.7186.如图所示，用两种方案将块顶角为120°， 腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二的扇形的面积分别为S 1，S 2，周长分别为l 1，l 2，则（ ）A.S 1=S 2，l 1>l 2B.S 1=S 2, l 1<l 2C.S 1>S 2,l 1=l 2D.S 1<S 2, l 1=l 2 7.已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ,若存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2020πB.1010πC.505πD.4040π8.将函数()cos 2f x x =图象向左平移0)2πϕϕ<<（个单位后得到函数g(x )的图象，若函数g(x )在区间[,]66ππ-上单调递减， 且函数g (x )的最大负零点在区间(,0)6π-上，则ϕ的取值范围是（ ）密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A.[,]43ππB (,)43ππ C.(,]64ππD.(,]43ππ二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B.连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C.某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定 能中奖D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是:该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 10.给出下列结论，其中真命题为（ ） A.若0,0a a b ≠⋅=,则0b =B.向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b⋅=⋅ C.若非零向量a 、b 满足22a ba b+=+，则a 与b 垂直D.若向量a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a +b 与a b -的夹角是2π11.已知∆ABC 的面积为3,在∆ABC 所在的平面内有两点P ，Q,满足20,2PA PC QA QB +==，记∆APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A. PB //CQB.2133BP BA BC =+ C. 0PA PC < D.S=212.某学生对函数()sin f x x x =进行研究后，得出如下结论，其中正确的是（ ） A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[,]22ππ-上单调递增C.存在常数M>0，使|()f x M x≤对切实数x 都成立D.点(π,0)是函数y= f (x )图象的一个对称中心 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35,35,40, 38,52, 则这5名党员教师学习积分的方差为_______________ 14.已知向量a =(2,1), b =(x , -2),若ab ,则____a b +=15.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_______16.如图，在∆OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E,设OA=a , OB=b(1)用a ,b 表示向量____DC =; (2)若OE OA λ=,则____λ=四、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题骤.17.(本小题满分10分)已知角α的项点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P 34(,)55--(1)求sin α的值; (2)若锐角β满足5sin 13β=，求cos()αβ+的值. 18.(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:当20b ∧=-时，求回归直线方程y b x a ∧∧∧=+;(2)预计在今后的销售中，销量与单价服从(1) 中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元? (利润= 销售收入-成本) 19.(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的一段图象如图所示. (1)求函数f (x )的单调递增区间; (2)若3[,]84x ππ∈-，求函数f (x )的值域.20. (本小题满分12分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )m x x n x x ==-， 函数1()2f x m n =⋅+(1)若()1,(0,)2x f x π=∈,求tan()4x π+的值:(2)若1372(),(,)sin (0,)10242f πππααββ=-∈=∈, 求2+αβ的值21.(本小题满分12分)某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位:小时)各分为5组: [0,10)，[10,20)， [20,30), [30,40),[40,50]，得其频率分布直方图如图所示.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少:(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率;(3)国家规定:初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间? 22.(本小题满分12分)将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数f (x )的图象.(1)写出函数f (x )的解析式;(2)求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0,]n π上恰有2020个零点.参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在.题号 1234567 8答案A C CB D A B D4解：由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是85，所以x ＝5. 乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，所以x ＋y ＝5＋3＝8. 答案：B5解：由题意，，则187cos sin -=θθ， 又187cos sin )cos()sin(=-=--θθθπθπ 6解：∵为顶角为，腰长为的等腰三角形，∴，，方案一中扇形的周长，方案二中扇形的周长， 方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积，所以，．故选A ． 7解：)62020sin(22020cos 2020sin 3)(π+=+=x x x x f ,则,101020202ππ==T A=2 416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=AOB △120︒2π306A B ==︒=1OD =1ππ222463l =++⨯=+22π2π111233l =++⨯=+11ππ22263S =⨯⨯⨯=2212ππ1233S =⨯⨯=12S S =12l l >密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10101010212||21ππ=⨯⨯≥-x x A8解：将函数图象向左平移个单位 得到函数图象，若函数在区间上单调递减，则，得①， ，则，求得， 根据函数的最大负零点在区间上，∴， 求得②，由①②求得的取值范围为．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的五个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.题号 9101112答案AB CD BCD AC10解：对于A ，若，，则或，所以该命题是假命题；对于B ，，而，由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题； 对于C ，若非零向量、满足，，所以，则与垂直，所以该命题是真命题．对于D ，以和为邻边作平行四边形是正方形，则和所在的对角线互相垂直，所以向量与的夹角是2π，所以该命题是真命题；11解：如图：B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点， 故A 错，C 对；因为→→→→→→→→+=-+=+=BC BA BA BC BA AP BA BP 3132)(31，故B 对； 因为322131221=⋅⨯⨯=∆∆h AB hAB S S ABCAPQ ，所以，2=S ，故D 对。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知 ， ，则下列关系式一定成立的是（）
A． B． C． D．
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
20．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 ，数列 的前项和为 ，求 ．
21．如图，在四棱锥 中， ，底面 为边长为2的菱形，且 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，在线段 上是否存在一点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求直线 与平面 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
数形结合可得当直线 经过点B时z取到最小值，
由 可得点B（1,2），
所以 的最小值为z=1-2-2=-3故选：B
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
两式相减可得： ，
∴ ，又 ，
∴ ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） 为中点，正弦值为 ．
【解析】（1）连接 ，因为底面 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，
取 中点 ，连接 、 ，所以 ，且 ，所以 ，
∵ ，所以 平面 ，∵ 平面 ，所以 ；
（2）因为 ，且 ，所以 ，所以 ， ，
∴ ，所以 ， 平面 ， ，
C：由 且 ，根据不等式的性质，可得 ，所以C不正确；
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-<<，那么A ∪B =（ ）A ．{}21x x -<<-B ．{}12x x -<<C ．{}21x x -<<D．{}23x x -<<2．已知角α的终边经过点(,4)P m ，（0m < ），且1cos 5m α= ，则sin cos αα-=（ ）A ．15B ．75C ．15-D ．13．已知函数221log (),0(),03x x a x f x x -⎧+<=⎨≥-⎩，若f [f (2)]=1，则a =（ ）A ．-2B ．-7C ．1D ．5 4．在等差数列{}na 中，35712aa a +=-，则19a a +=（） A ．8B ．12C ．16D ．205．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则（ ）A ．21,33x y ==B ．12,33x y ==C ．23,55x y == D ．13,44x y == 6．已知1sin(3)3πα+=-，则2cos ()24απ-值为（ ）A ．13B ．326+C ．326-D ．237．在等比数列{a n }中，已知其前n 项和，则a 的值为( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．28．已知⊙C 1：()()22111x y ++-=，⊙C 1与⊙C 2关于直线10x y --=对称，则⊙C 2的方程为 A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=9．若定义在R 上的偶函数f (x )在（0, +∞）上单调递增，且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ） A ．（-∞, -2）∪（0, 2） B ．（2, +∞） C ．（-2, 2）D ．（-∞, -2）10．已知点P 为直线250x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：()()22122x y -++=的两条切线，切点分别为A 、B ，则四边形P ACB 面积的最小值为（ ） A ．6B ．26C ．6D ．1212n n S a +=+密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能12．设{}max ,p q 表示,p q 两者中较大的一个．已知：定义在[]0,2π上的函数{}()max 2sin ,2cos f x x x =满足关于x 的方程()()2212()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为( ) A ．()2,2B ．()2,12+ C ．()1,2-D ．()12,22+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．直线l 过点（-1, 2）且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是 ． 14．已知函数221,0()log (1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，记()1f x <的解集为 ．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，E 为CD 中点．则PE 与平面PAC 所成角的正切值为 ． 16. 在数列{a n }中，12,a=12(1)n n a a n +-=+，则数列1{}na 的前n 项的和n S = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 18．(本小题满分12分) 如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线与圆A相交于,M N两点．（1）求圆A的方程；（2）当||219MN =时，求直线l 的方程．19．(本小题满分12分) 已知数列{}na 中，14nn a a +=，2116a =，递增等差数列{}nb 满足11b =，2b 是1b 与6b 的等比中项．（1）求数列{},{}nna b 的通项公式；（2）求数列{}nn ab +的前n 项的和n S ．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC //AD ，BC =CD =12AD . （1）求证：CD ⊥PD ；A BCD EP密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）求证：BD ⊥平面P AB ；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使CM //平面P AB . 若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ) （A >0,0<ω<1，|φ|<π2)，x ∈R ）的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝1 20°． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．21．(本小题满分12分) 已知函数()22xxf x k -=+⋅，x R ∈．(其中e为自然对数的底数)（1）若1k =，且()3f m =，求(2)f m 的值； （2）若1k =-，求不等式22(2)(3)0f xx f x x -+-->的解集；（3）若1k =-，且2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1~12 DBBA ADCB AACA 13．3210x y +-= 14．(,1)-∞ 15．3516．1n n + 17．（1）,T π=[,]()36k k k Z ππππ-+∈； （2）4m ≤-．18．（1）22(1)(2)20x y ++-= ； （2）2x =-或3460x y -+=． 19．（1）1(),324n nn a b n ==- ； （2）21333()42n nn nS -=-⋅+．20．略． 21．（1）2,,63A ππωϕ=== ； （226 ．22．（1）7； （2） (,1)-∞； （3）5m ≥-PABCD密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．求17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．32．已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()2b a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．12C ．10D ．14 4．已知变量x ，y 之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据(,)(1,2,...,10)i i x y i =得到的回归方程为5y bx =+，且10120i i x ==∑，1018ii y==∑，则b =（ ）A ．2.1B ．2C ．-2.1D ．-25．在三角形ABC 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，且10a b +=，则向量AB 在向量AC 的投影是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．46．将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ）A.πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．188．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） A 433+B 433- C 334+D 334- 9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10. 已知函数的最大值为2，其图密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A ．函数在上单调递增B ． 函数的图象关于直线对称C ． 当时，函数的最小值为2-D ．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位 11．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<12．已知函数()()231cos sin 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 .14. 若向量(21)a x =+，，(26)b x =+，，又a b ，的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为 ． 15．函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =-⋅++-在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________.16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论： ①0<q<1； ②a 1a 99－1<0； ③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98. 其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，. ( I )求数列{}n a 的通项公式; (II)设n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .满足22cos c a b A =+.（1）求B ；（2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满,2BE EC DF FC==，记AB a=，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用,a b 来表示向量BF ⃗⃗⃗⃗ ；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）若3,2ab ==，且3BF =，求DE ；20．（本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示: （1）求出样本的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用 分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率． 21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来源:学*科*网] （2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT ；22．（本小题满分12分）已知向量(sin 3cos ,1)m x x =-，2(2sin ,4cos )n x x =，函数()f x m n =⋅．（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)=1，a =3,求b+2c 的取值范围．参考答案1．A由诱导公式可得17171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 2．C根据题意，得()24,3a b m -=-，由()2b a b ⊥-，得()430m m --=.解得1m =或 3.m =故选C.[来源:]3．B 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d =+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =． 4． C因为10101112,2010i i i i x x x ===⇒=⨯=∑∑10101118100.8i i i i y y y ===⇒=⨯=∑∑，所以根本点的中心为(2,0.8)，把样本点的中心代入回归直线方程，得0.825 2.1b b =+⇒=-，故本题选C.5. ．A 由题意，利用正弦定理可得::2:3:4a b c =，则设2a k =，3b k =，4c k =，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由105a b k +==，所以2k =，故有4a =，6b =，8c =，由余弦定理可得2227cos 28b c a A bc +-==， 所以，向量AB 在向量AC 的投影是7cos 878AB A ⋅=⨯=.故选：A. 6．B 解：将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+7. D由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， ∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦925log a =29log 4=18=故选：D. 8．B 解：∵cos （α6π+）35=（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）45=， ∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6π4331433552-=-⨯=， 故选：B ．9．A由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 10. D 当时，，在为减函数，故A错，故函数图像的对称中心为，故B 错；当时，，故，故C 错；因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故，所以，令，则即，因，故，.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题，故向右平移个单位后可以得到，故D 正确；11．C根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==，故sin 22A =，三角形有两解，故2sin 1222A <=<，解得222a <<故选：C. 12．D1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点 (1)(,2)(2,2),66k k k Zππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤；[来源:学科网]（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k =，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k的取值范围是5511(0,][,]12612，选D . 13.221192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：214.5{|2}4x x x >-≠且15．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦令3sin cos 2),[0,]()[,],2]4444t x x x x x t πππππ=+=+∈∴+∈∴∈. 221sin cos 12sin cos sin cos 2t t x x t x x x x -=+⇒=+⋅⇒⋅=.所以2221111()1(1)2222t f t t t t t -=-+-=-+-=--.13(0),(2)2,(0)(2)22f f f f =-=∴<，当2]t ∈，所以有max min 1()(1)0,()(0)2f t f f t f ====-， 所以函数的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．①②③④密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．（Ⅰ）22n a n =+；（Ⅱ）22324n n S n n +=++-. 解: (I)在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩22n a n ∴=+.(II)在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴,1222n n c n +∴=++,2341426282...222n n S n -∴=+++++++++()23146...2222...2n n +=++++++++ ()2314622222n n +=++++++++22324n n n +=++-.18．（1）π3B =；（243.（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+， 则2sin cos sin A B A =，在ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B=+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-，又5a c +=，所以163ac =，所以ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19．（1）见解析；（27（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且3BF =∴222213223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE=20．（1）41.5岁；（2）35（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =． 平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； （3）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，从第1，2组密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b ．设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105．21．（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯； 22．（1）()222sin 23sin cos 4cos f x x x x x =-+222cos 23sin cos x x x =+-3cos23sin2x x =+2cos 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,4． （2）f (A )=1，则cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则A=3πsin 2aA R=，223R ∴= 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3cos )R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ=ABC 为锐角三角形， 62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+， 由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 27πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭()0sin 17B θ<+≤，432221b c ∴<+≤ 故答案为: (43,221].密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ） A ．360°B ，361°C ．362°D ．363°2．关于x 的不等式()()110x x -+≤的解集是（ ） A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-3．设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．11ab<4．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB BC=，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．已知函数()cos3f x x =的图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()cos 312g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 34g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()cos 312g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 34g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．下列函数中，最小正周期是π，且在区间,2n π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan 2xy =D ．cos 2y x =7．已知实数x ，y 满足约束条件2602000x y x y x y --≤⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥，则z x y =+的最大值为（ ） A ．0B ．18C ．2D ．38．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）A ．64里B ．32里C ．16里D ．8里9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a a +=，则8S 等于（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在线段CD 上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．2,2⎡⎤-⎣⎦ B ．2,4⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．2⎡⎣11．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin cos sin A B C <，则ABC △一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D.等边三角形12．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,c a b ，(),m a c b =+，(),2n a c b a=-，若m n ⊥，则()2sin22tanA B -的取值范围为（ ）A ．(0,526-B ．[)2,0-C ．2,526⎡--⎣ D ．()2,0-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）13．已知O 为坐标原点，()1,2OA =，()1,3AC =-，则OC =______．14．若关于x 的不等式4x xm +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数m的取值范围是 ______．15．已知函数()sin f x x =，[]0,x π∈，实数[)0,1k ∈，则关于x 的方程()f x k =所有根之和为______．16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前n 项和是2 的整数次幂，且3100n <<，则n 的所有取值的和为 ______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．(12分）已知向量a ，b 满足：2a =，()1,1b =． （1）若//a b ，求a 的坐标；（2）若()6a a b ⋅+=，求a 与b 的夹角的余弦值．19．(12分）已知角,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且角α的终边与单位圆的交点为525⎛ ⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．20．(12分）如图，某海港一天从0~12时的水位高度y （单位：密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题米）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数()()sin 0,0y A t b ωϕωϕπ=++><<．（1）求该函数的解析式；（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？21．(本题10分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA与AC 的夹角的余弦值为13。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2{1,2,3},|1A B x x ===，则A B =() A ．{}1- B ．{1}C ．{1,1}-D ．{1,2,3}2．sin 20cos70cos20sin 70+=（） A ．0B ．1-C ．1D ．12 3．下列函数中，在(0,)+∞上存在最小值的是( ) A ．2(1)y x =-B ．y x =C ．2x y =D ．ln y x =4．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且13BD BC =，则AD =（ ）A ．13AB AC +B ．13AB AC -C ．2133AB AC + D ．1233AB AC + 6．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5B ．8C ．10D ．147．等比数列{}n a 的各项均为正数，且675818a a a a +=，则3132312log log log a a a ++⋅⋅⋅=（）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．已知等差数列5，247，437，…，的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．7或8D ．99．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 3 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km10．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A ．12B 21C ．14D ．22111．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．(6223+B ．6225+ C ．10 D ．1212．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cos g x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017—2018学年度下期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．严格按题号所指示的答题区域内作答，选择题在答题卡内相应位置按要求用2B 铅笔把正确答案的代号字母涂黑，超出答题区域书写的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知α2sin ＞0，且αcos ＜0，则角α的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.下列说法错误的是( )A.在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.众数是一组数据中出现次数最多的数3.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．08B ．07C ．02D ．014.已知，是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )A.和, B.和C.和D.和5. 一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,则从中抽取的男运动员的人数为( )A. 8B.12C.16D.326.把红、蓝、黑、白4张纸牌分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A. 对立事件B. 互斥但不对立事件C.不可能事件D. 以上都不对7．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A.5B.6C.7D.88．若向量a r ，b r ，c r 两两所成的角相等，且1a =r ，1b =r ，3c =r ，则a b c ++r r r等于（ ）A.2B.5C.2或5D.2或5 9．如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为（ ）A.34B.16C.1112D.252410.在夏令营的7名成员中，有3名同学已经去过北京，从这7名同学中选出2名同学，则选出的2名同学恰是已去过北京的概率是（ ）A.17 B. 27 C. 37 D. 4711．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( )A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度B ．r 1≤，且r 越接近于1，相关程度越大C ．r 1≤，且r 越接近0，相关程度越小D ．r 1≥，且r 越接近于1，相关程度越小12．样本的平12(,,,)n x x x ……均数为-x ，样本12(,,)m y y y ……，的平均数为)(y --≠y x .若样本),,,,,(2121m n y y y x x x ΛΛ的平均数()y x z αα-+=1，其中210<<α，则m n ,的大小关系为( )A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在题中横线上。
13.比较大小sin 18π⎛⎫- ⎪⎝⎭_______sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭14．将八进位制()82376化为十进位制数，结果为_______。
15.用辗转相除法或更相减损术求228与1995两数的最大公约数______。
16．如下图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________。
a a1123三.解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)已知a 3=r ，4b =r，且a r 与b r 的夹角150θ=︒，求a b ⋅r r ，()2a b +r r ，a b +r r 的值。
18.（本小题满分12分）某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：数学成绩分组[0,30) [30,60) [60,90) [90,120)[120,150] 人数6090300x160(1)的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．19.(本小题满分12分)已知()()1cos cos sin +sin =3αββαββ++，且3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 2+4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．20．(本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:零件数x(个) 102030405060708090100加工时间()y min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122(1)画出散点图; (2)求回归方程;(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?(附:在线性回归方程中,,,其中,为样本平均值．,,,)21．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．22．(本小题满分12分)已知a ＞0，函数()2sin(2)2,[0,]62f x a x a b x ππ=-+++∈当时，5()1f x -≤≤. (1)求常数b a ,的值； (2)设()⎪⎭⎫⎝⎛+=2πx f x g ,且()x g lg ＞0，求()x g 的单调区间．2017—2018学年度下期期末考试高一数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B DCCBDCCADA二、填空题13.> 14．1278 15．57 16．512三、解答题17.解：根据题意可得，，。
18．解：(Ⅰ)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率101p . ……………………………………3分 (Ⅱ)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290. …………6分(Ⅲ)频率分布直方图如图所示．………………………………9分该学校本次考试的数学平均分x＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．………………………………12分19.解：，，可得cos（α+β-α）=cosα=，所以cos2α=2cos 2α-1=，sin2α=2sinαcosα=，所以==；20.解：解:(1)散点图如图所示:(2),,,,,因此,,因此,所求的回归直线方程为.(3)这个回归直线方程的意义是当x每增大1时,y的值约增加0.668,而54.96是y不随x增加而变化的部分.21. (（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）由互斥事件的加法公式得：，即中三等奖的概率为；（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）由互斥事件的加法公式得：即中奖的概率为：．22.解 ：(Ⅰ)∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx . ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,2162sin πx ，又∵a ＞0， ………………………2分 ∴[]a a x a ,262sin 2-∈⎪⎭⎫⎝⎛+-π．∴()[]b a b x f +∈3，， …………………3分 又∵()15≤≤-x f ，∴13,5=+-=b a b ∴5,2-==b a . ……………5分 (Ⅱ) 由(1)知5,2-==b a ，∴()162sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛+-=πx x f ， ()162sin 42-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx x f x g ………………6分又由()x g lg ＞0，得()x g ＞1，∴162sin 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ＞1，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx ＞12，∴62ππ+k ＜62π+x ＜652ππ+k ，Z k ∈， ………………………8分 其中，当62ππ+k ＜62π+x ＜22ππ+k ，Z k ∈时，()x g 单调递增，即πk ＜x ≤6ππ+k ，Z k ∈，∴()x g 的单调增区间为⎥⎦⎤⎝⎛+6,πππk k ，Z k ∈ …………………10分 又∵当22ππ+k ＜62π+x ＜652ππ+k ，Z k ∈时，()x g 单调递减， 即6ππ+k ＜x ＜3ππ+k ，Z k ∈.∴()x g )的单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛++3,6ππππk k ，Z k ∈.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星 综上，()x g 的递增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛+6,πππk k （Z k ∈）； 递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛++3,6ππππk k (Z k ∈)． …………………12分。