模糊最大数聚类法
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种数学方法，它使用模糊数学语言根据某些要求对事物进行描述和分类。
模糊聚类分析通常是指根据研究对象的属性构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定隶属度确定聚类关系，即样本之间的模糊关系由样本的数量来确定。
模糊数学方法，以客观，准确地聚类。
聚类是将数据集划分为多个类或群集，以便每个类之间的数据差异应尽可能大，并且该类内的数据差异应尽可能小基本覆盖当涉及事物之间的模糊边界时，模糊聚类分析是一种根据某些要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数学统计中的一种多元分析方法是利用数学方法定量确定样品之间的关系，从而客观地分类类型。
事物之间的某些界限是精确的，而其他界限则是模糊的。
人群中人脸的相似度之间的界限是模糊的，多云和晴天之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用于气象预报，地质，农业，林业等领域。
通常，聚类的事物称为样本，一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类和逐步聚类。
基本方法基本流程（1）通过计算样本或变量之间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）通过对模糊矩阵进行一系列综合变换，生成模糊等效矩阵。
（3）最后，根据不同的截获水平λ对模糊等效矩阵进行分类系统聚类方法系统聚类方法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典聚类分析方法中，经典等价关系可用于对样本集X进行聚类。
令R为X上的经典等价关系。
对于X中的两个元素x和Y，如果XRY或（x，y）∈R ，然后x和y，否则X和y不属于同一类。
[3]使用这种方法，分类的结果与α的值有关。
α的值越大，划分的类别越多。
当α小于某个值时，X中的所有样本将被归为一类。
该方法的优点是可以根据实际需要选择α值，以获得正确的分类。
系统聚类的步骤如下：①用数字描述样品的特性。
设要聚类的样本为x = {x1，xn}。
每个样本具有p个特征，记录为Xi =（Xi1，xip）；i = 1，2，…，N；XIP是描述样本Xi的第p个特征的编号。
模糊聚类
9
基于模糊关系（矩阵）的方法
聚类分析： 模糊聚类分析： 问题描述：
X { x1 , x2 , , xn }是待分类事物集 , C1 , C 2 , , C m是 分类所依据的 m 个指标，其中 xi 所对应的指标为 ( xi1 , xi 2 , , xim ).
雷鸣.模糊聚类新算法的研究[D]. 天津大学.2006
陈东辉.基于目标函数的模糊聚类算法关键技术研究[D]. 西安电子科技大学.2012
18
FCM算法
目标函数：带约束的非线性函数
d(xk,vi)表示第i个聚类中心与第k个数据点间的距离度量。 vi表示第i个聚类中心，称为聚类原型向量。 m是模糊因子用来决定聚类结果模糊度的权重指数，其 经验值范围为1.5≤m ≤2.5。 该算法的约束条件：
画出动态聚类图。
16
基于模糊关系（矩阵）的模糊聚类分析法的特点
1. 传递闭包法、直接聚类法，尽管在形式上不相同，但 其聚类原则不外乎是，ui与uj在λ水平上归为一类，即 元素ui 与uj 具有等价关系R的程度不小于λ。因此，对 于同一问题，这些方法聚类结果是相同的。 2. 传递闭包法适合于计算机操作，直接聚类法当矩阵阶 数小时，容易手工实现。但是，基于模糊关系的模糊 聚类法不适用于大数据量情况，难以满足实时要求高 的场合，并且计算复杂度较高。
模糊矩阵
模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵。 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵。
பைடு நூலகம்
设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
模糊聚类法
第二节模糊聚类分析方法模糊聚类分析，是从模糊集的观点来探讨事物的数量分类的一类方法。
近年来，模糊聚类分析方法在地理分区与地理事物分类研究中得到了广泛地应用。
本节，我们将主要介绍基于模糊等价关系与基于最大模糊支撑树的模糊聚类分析方法在地理分区和地理事物分类中的应用。
一、基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关上的一个普通等价关系，也就得到了关于U中被分类对象元素的一种分类。
当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态聚类分析方法中的一个关键性的环节。
(一)建立模糊等价关系各个分类对象之间的相似性统计量，建立分类对象集合U上的模糊相似关系1.模糊相似关系的建立关于各分类对象之间相似性统计量r ij的计算，除了采用夹角余弦公式和相似系数计算公式(分别见第二章第三节中(10)和(11)式)以外，还可以采用如下几个计算公式。
(1)数量积法：在(1)式中，M是一个适当选择之正数，一般而言，它应满足：(2)绝对值差数法：在(2)式中，c为适当选择之正数，使0≤r ij＜1(i≠j)。
(3)最大最小值法：(4)算术平均最小法：(5)绝对值指数法：(6)指数相似系数法：在(6)式中，s k是第k个指标的方差，即传递性，也就是说它并不是模糊等价关系。
因此，为了聚类，我们必须采用这样下去，就必然会存在一个自然数K，使得：显然，对于第二章中表2-12所描述的九个农业区域，用夹角余弦公式计算所得的相似系数矩阵就是这九个农业区域所构成的分类对象集合上的一个模糊相似关系，经过自乘计算后可以验证：■R=R4R4=R4(二)在不同的截集水平下进行聚类结果：(1)取λ=1，得：各自成为一类。
(2)取λ=0.99，得：G6，G7归并为一类，而G1，G2，G3，G4，G8，G9各自成为一类。
(3)取λ=0.95，得：行与第3行和其它各行均不相同，故G2与G8聚为一类，G4与G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，而G1和G3各自成为一类。
模糊聚类算法（FCM）
模糊聚类算法（FCM）伴随着模糊集理论的形成、发展和深化，RusPini率先提出模糊划分的概念。
以此为起点和基础，模糊聚类理论和⽅法迅速蓬勃发展起来。
针对不同的应⽤，⼈们提出了很多模糊聚类算法，⽐较典型的有基于相似性关系和模糊关系的⽅法、基于模糊等价关系的传递闭包⽅法、基于模糊图论的最⼤⽀撑树⽅法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨别关系等⽅法。
然⽽，上述⽅法均不能适⽤于⼤数据量的情况，难以满⾜实时性要求较⾼的场合，因此实际应⽤并不⼴泛。
模糊聚类分析按照聚类过程的不同⼤致可以分为三⼤类：(1)基于模糊关系的分类法：其中包括谱系聚类算法(⼜称系统聚类法)、基于等价关系的聚类算法、基于相似关系的聚类算法和图论聚类算法等等。
它是研究⽐较早的⼀种⽅法，但是由于它不能适⽤于⼤数据量的情况，所以在实际中的应⽤并不⼴泛。
(2)基于⽬标函数的模糊聚类算法：该⽅法把聚类分析归结成⼀个带约束的⾮线性规划问题，通过优化求解获得数据集的最优模糊划分和聚类。
该⽅法设计简单、解决问题的范围⼴，还可以转化为优化问题⽽借助经典数学的⾮线性规划理论求解，并易于计算机实现。
因此，随着计算机的应⽤和发展，基于⽬标函数的模糊聚类算法成为新的研究热点。
(3)基于神经⽹络的模糊聚类算法：它是兴起⽐较晚的⼀种算法，主要是采⽤竞争学习算法来指导⽹络的聚类过程。
在介绍算法之前，先介绍下模糊集合的知识。
HCM聚类算法⾸先说明⾪属度函数的概念。
⾪属度函数是表⽰⼀个对象x ⾪属于集合A 的程度的函数，通常记做µA(x)，其⾃变量范围是所有可能属于集合A 的对象（即集合A 所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=µA(x)，µA(x)<=1。
µA(x)=1 表⽰x 完全⾪属于集合A，相当于传统集合概念上的x∈A。
⼀个定义在空间X={x}上的⾪属度函数就定义了⼀个模糊集合A，或者叫定义在论域X={x}上的模糊⼦集A’。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
基于模糊的聚类算法
基于模糊的聚类算法
基于模糊的聚类算法，是一种将数据对象分组的方法，其目的是使得
同一组内的对象相似度较高，不同组之间的相似度较低。
与传统聚类
算法不同的是，基于模糊的聚类算法允许一个数据对象属于多个不同
的组别。
基于模糊的聚类算法主要有两种：Fuzzy C-Means (FCM) 和Possibilistic C-Means (PCM)。
FCM 算法是一种常用且经典的基于模糊聚类算法，它通过对每个数据点分配一个隶属度来确定其所属群体。
隶属度越高，则该数据点越可能属于该群体。
PCM 算法则是 FCM 算
法的改进版，它通过引入不确定性因素来减少分类错误率。
基于模糊的聚类算法在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如在图像
分割、文本分类、生物信息学等领域都有着重要作用。
在图像分割中，可以使用基于模糊的聚类算法将图像中相似区域进行分割，并进行后
续处理；在文本分类中，可以使用该算法将文本进行分类，并进行相
关统计和分析；在生物信息学中，可以使用该算法将基因进行分类，
以便更好地研究其生物功能。
总之，基于模糊的聚类算法是一种非常有效的数据分析方法，可以帮
助我们对大量的数据进行分类和分析。
随着人工智能技术的不断发展，该算法在未来的应用前景也将会越来越广泛。
模糊聚类法
模糊聚类分析法及其应用（汽车学院钟锐2011122071）摘要模糊聚类分析方法是一种多元统计分析方法, 它通过多个指标将样本划分为若干类, 这种分类方法能很好地应用于交通规划、交通流分析、安全评价等多个方面。
文章以交通调查的选择为例说明了模糊聚类分析在规划过程中的具体应用, 并分析了模糊聚类分析在交通规划其他方面的应用。
在交通调查中, 可利用模糊聚类分析将交通分区按工业、居住、公建、道路绿化广场等各项用途来进行分类。
可相应减少同类交通分区的相似调查工作量。
关键词模糊聚类分析; 交通规划; 交通调查1 问题的提出交通规划旨在确定公路和城市道路交通建设的发展目标, 设计达到这些目标的策略、过程与方案。
交通规划包括目标确定、组织工作、数据调查、相关基本模型分析、分析预测、方案设计、方案评价、方案实施过程中的信息反馈和修改等工作阶段。
在交通规划的很多阶段, 需要进行分类。
例如可将众多的交通小区划分成几大类, 将具有相似特性的交通小区归于一类, 可以减少调查的工作量; 对线路网络进行分析评价时, 也需要进行分类。
单一的指标往往不能全面反映交通分区之间的关系, 需要用多个指标来进行。
在分类方法中, 聚类分析是一种应用很广泛的方法, 它在交通规划领域应用较多。
2 聚类分析方法聚类分析取意于“人以群分, 物以类聚”的俗语, 即将一组事物根据其性质上亲疏远近的程度进行分类, 把性质相近的个体归为一类, 使得同一类中的个体具有高度的同质性, 不同类之间的个体具有高度的异质性。
为使分类合理, 必须描述个体之间的亲疏程度。
对此, 通常有距离法、相关系数法等方法。
距离法是将每个样本看成m（ m为统计指标的个数）维空间的一个点，在m维空间中定义点与点之间的某种距离; 相关系数法是用某种相似系数来描述样本之间的关系, 如相关系数。
聚类的方法有很多, 如系统聚类法、模糊聚类法、分裂法、动态聚类法、有序样品的聚类、爬山法、加入法、最优分段法、图论法、预报法、 变量筛选法等，模糊聚类法是应用较为广泛的一种方法。
模糊聚类案例分析(DOC)
模糊数学方法及其应用论文题目：模糊聚类方法案例分析小组成员：王季光宋申辉兰洁陈倩芸肖仑杨洋吴云峰2013年10 月27 日模糊聚类分析方法1.1距离和相似系数为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。
目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。
比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。
另一种方法是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。
但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。
由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分： 间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。
在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。
有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。
名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。
不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。
研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。
设有n 个样品，每个样品测得p 项指标（变量），原始资料阵为px x x np n n p p nx x x x x x x x x X X X X 2122221112112121 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=其中(1,,;1,,)ij x i n j p ==为第i 个样品的第j 个指标的观测数据。
四种常用聚类方法
聚类就是按照某个特定标准把一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。
即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同类数据尽量分离。
主要的聚类算法可以划分为如下几类：划分方法、层次方法、基于密度的方法、基于网格的方法以及基于模型的方法。
下面主要对k-means聚类算法、凝聚型层次聚类算法、神经网络聚类算法之SOM,以及模糊聚类的FCM算法通过通用测试数据集进行聚类效果的比较和分析。
k-means聚类算法k-means是划分方法中较经典的聚类算法之一。
由于该算法的效率高，所以在对大规模数据进行聚类时被广泛应用。
目前，许多算法均围绕着该算法进行扩展和改进。
k-means算法以k为参数，把n个对象分成k个簇，使簇内具有较高的相似度，而簇间的相似度较低。
k-means算法的处理过程如下：首先，随机地选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值或中心;对剩余的每个对象，根据其与各簇中心的距离，将它赋给最近的簇;然后重新计算每个簇的平均值。
这个过程不断重复，直到准则函数收敛。
通常，采用平方误差准则，其定义如下：E=\sum_{i=1}^{k}\sum_{p\in C_i}\left\|p-m_i\right\|^2这里E是数据中所有对象的平方误差的总和，p是空间中的点，$m_i$是簇$C_i$的平均值[9]。
该目标函数使生成的簇尽可能紧凑独立，使用的距离度量是欧几里得距离，当然也可以用其他距离度量。
算法流程：输入：包含n个对象的数据和簇的数目k；输出：n个对象到k个簇，使平方误差准则最小。
步骤：(1) 任意选择k个对象作为初始的簇中心；(2) 根据簇中对象的平均值，将每个对象(重新)赋予最类似的簇；(3) 更新簇的平均值，即计算每个簇中对象的平均值；(4) 重复步骤(2)、(3)直到簇中心不再变化；层次聚类算法根据层次分解的顺序是自底向上的还是自上向下的，层次聚类算法分为凝聚的层次聚类算法和分裂的层次聚类算法。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊聚类分析的理论(17页)
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
这种方法在处理现实世界中的问题时非常有效，因为现实世界中的数据往往不是完全确定的，而是具有模糊性的。
模糊聚类分析的基本思想是将数据点分为若干个类别，使得每个数据点属于各个类别的程度不同。
这种程度可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不属于该类别，1表示完全属于该类别。
这种模糊性使得模糊聚类分析能够更好地处理现实世界中的不确定性。
模糊聚类分析的理论基础是模糊集合论。
模糊集合论是一种扩展了传统集合论的数学理论，它允许集合的元素具有模糊性。
在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
隶属度函数是一个介于0和1之间的数，它表示元素属于集合的程度。
模糊聚类分析的理论方法有很多种，其中最著名的是模糊C均值(FCM)算法。
FCM算法是一种基于目标函数的迭代算法，它通过最小化目标函数来得到最优的聚类结果。
目标函数通常是一个关于隶属度函数和聚类中心之间的距离的函数。
模糊聚类分析的理论应用非常广泛，它可以在很多领域中使用，例如图像处理、模式识别、数据挖掘等。
在图像处理中，模糊聚类分析可以用于图像分割、图像压缩等任务；在模式识别中，模糊聚类分析可以用于特征提取、分类等任务；在数据挖掘中，模糊聚类分析可以用于发现数据中的隐含规律、预测未来趋势等任务。
模糊聚类分析的理论还有很多需要进一步研究和发展的地方。
例如，如何提高模糊聚类分析的效率和准确性，如何处理大规模数据集，如何将模糊聚类分析与其他方法相结合等。
这些问题都需要进一步的研究和探索。
模糊聚类分析的理论是一种强大的聚类方法，它能够处理现实世界中的不确定性，并且具有广泛的应用前景。
通过不断的研究和发展，模糊聚类分析的理论将会更加完善，并且将会在更多的领域中得到应用。
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
模糊聚类分析
模糊聚类分析----96845308-7160-11ec-a68e-7cb59b590d7d聚类分析就是将一个没有类别标记的样本集按照某种准则划分成若干个子集（类），使相似的样本尽可能归为一类，而不相似的样本尽可能划分到不同的类中。
由于在对样本集进行聚类的过程中，没有任何关于类别的先验知识，所以聚类分析属于无监督分类的范畴。
传统的聚类分析是一种硬划分，它严格地将每个待识别对象划分为一个类。
阶级划分的界限是明确的，具有非此即彼的性质。
在现实世界中，无论是一组对象根据其亲和力和相似性形成一个组，还是一个对象是否属于一个类别，其边界往往是不明确的，并且具有“这个和那个”的性质。
对于这种具有不确定性的聚类问题，模糊聚类分析提供了一种强有力的分析工具。
模糊聚类分析能够建立样本对于类别的不确定性描述，表达样本类属的中介性，已经成为聚类分析研究的主流。
粗略来讲，模糊聚类分析方法可分为两类：基于模糊等价关系的聚类方法和基于目标函数的聚类方法。
有时，这两类方法也结合起来使用。
一、数据预处理在模糊聚类分析中，我们称待分类的对象为样本。
要对样本进行合理的分类，首先应考虑样本的各种特性指标（观测数据）。
设有n个被分类对象，即样本集为x={x1，x2，…，xn}每一个xi有m个特性指标，即xi可表示为特性指标向量xi={xi1，xi2，…，xim}其中xij表示第i个样本的第j个特性指标。
于是，n个样本的特性指标矩阵为⎜⎜x21⎜M⎜⎜十、⎜n1x12lx1m⎜x22lx2m⎜xn2lxnm⎜⎜通常，我们也将样本集记为特性指标矩阵的形式，即x=(xij)n×m。
如果M个特征指标的维度和数量级不同，在运行过程中可能会突出一些大数量级特征指标的作用，而一些小数量级特征指标的作用可能会减少甚至被排除，导致每个特征指标的分类缺乏统一的尺度。
因此，为了消除不同特征指标单位和数量级的影响，当特征指标的维度和数量级不同时，通常会提前对各种指标值进行数据标准化（归一化），使每个指标值统一在一个共同的数值特征范围内。
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学中的模糊聚类分析-教案
模糊数学中的模糊聚类分析-教案一、引言1.1模糊聚类分析的基本概念1.1.1模糊聚类的定义：介绍模糊聚类分析作为处理不确定性和模糊性数据的一种方法。
1.1.2模糊聚类的重要性：强调其在数据挖掘、模式识别等领域中的应用价值。
1.1.3模糊聚类与传统聚类的区别：对比分析两者在处理数据时的不同方法论。
1.2模糊聚类分析的背景1.2.1模糊数学的发展：介绍模糊数学的起源和发展历程。
1.2.2模糊聚类的发展历程：概述模糊聚类分析从理论到实践的演变。
1.2.3当前模糊聚类分析的研究热点：列举当前学术界对模糊聚类分析的主要研究方向。
1.3教学目标和意义1.3.1知识目标：明确学生通过本课程应掌握的模糊聚类分析的理论知识。
1.3.2技能目标：培养学生运用模糊聚类分析解决实际问题的能力。
1.3.3情感态度与价值观：强调模糊思维在解决复杂问题中的重要性。
二、知识点讲解2.1模糊聚类分析的基本原理2.1.1模糊集合理论：介绍模糊集合的概念、运算及其在聚类分析中的应用。
2.1.2模糊关系和模糊矩阵：解释模糊关系的基本概念和模糊矩阵的构建方法。
2.1.3模糊聚类算法：详细介绍模糊C-均值（FCM）算法的原理和步骤。
2.1.4聚类有效性分析：讨论如何评价模糊聚类结果的合理性和有效性。
2.2模糊聚类分析的关键技术2.2.1隶属度函数的选择：介绍不同类型的隶属度函数及其在聚类分析中的作用。
2.2.2聚类准则的确定：解释如何选择合适的聚类准则来指导聚类过程。
2.2.3聚类数的确定：讨论确定最佳聚类数的方法和策略。
2.2.4算法优化与改进：介绍提高模糊聚类分析效率和精度的方法。
2.3模糊聚类分析的应用案例2.3.1图像处理中的应用：举例说明模糊聚类在图像分割、识别等方面的应用。
2.3.2金融数据分析中的应用：介绍模糊聚类在客户细分、风险评估等方面的应用。
2.3.3生物学研究中的应用：阐述模糊聚类在基因分类、生物种群分析中的应用。
2.3.4其他领域的应用：简要介绍模糊聚类在其他领域，如医疗诊断、市场调查等的应用。
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊分类的方法及其应用解析
在本例中，我们将模糊相似矩阵中各个不同的元 素进行从大到小的顺序进行排序，得到：
1 0.9 0.85 0.8 0.6 0.2 0.1
然后依次按照四种不同方法的步骤进行分类可以得到
分类结果为：
❖当
0 0.2
时，分为一类：｛u1，u
2，u
3，u
4，u
｝
5
；
❖ 当 0.2 0.8 时，分为两类：｛u1，u2，u3，u5｝，｛u4｝；
1.2 模糊分类的基本步骤
2 模糊传递闭包法
2.1 模糊传递闭包法的基本步骤
2.2 模糊传递闭包法的应用
3 直接聚类法的基本步骤及其应用
3.1 直接聚类法的基本步骤
3.2 直接聚类法的应用
4 最大树法（最大生成树法）的基本步骤 及其应用 4.1 最大树法的基本步骤 4.2 最大树法的应用
5 编网法的基本步骤及其应用 5.1 编网法的基本步骤 5.2 编网法的应用 6 总结
模糊分类的方法及其应用
一、四种不同的方法 1、模糊传递闭包法 2、直接聚类法 3、最大树法 4、编网法
二、应用
例 设表示由父、子、女、邻居、母五人组成的 集合，请陌生人对这五个人按相貌相像程度 进行打分得到模糊相似矩阵为：
1 0.8 0.6 0.1 0.2
0.8
1
0.8 0.2 0.85
R 0.6 0.8 1 0 0.9
0.1
0.2
0
1
0.1
0.2 0.85 0.9 0.1 1
，
请用四种不同的方法对其进行模糊分类。
分析：
通过四种方法的分类步骤，我们知道 要对某一对象进行分类，首先都要将模糊 相似矩阵中的所有不同的按照从大到小的 顺序编排，然后在根据各个方法的分类步 骤进行分类，得到最终的分类结果，然后 画出其动态聚类图。
数学建模之模糊评价与模糊聚类
一、模糊评价模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。
运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。
特点：①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。
②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。
③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。
由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。
1.1模糊评价的应用①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定，③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。
1.2一级模糊综合评判模型的建立步骤①确定因素集及评语集确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,,n U u u u L ，评语集{}12,,,m V v v v =L ； ②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。
用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有111212122212=,01m m ij n n nm r r r r r r R r r r r ⎛⎫⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L③确定各因素的权重用i a 表示第i 个因素的权重，11ni i a ==∑，则评价因素权向量A 为()12,,,n A a a a =L 。
④综合评判由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为:()(),R T F U F V →则评判的综合结果为()11121212221212,,,m m n n n nm r r r r rr B A R a a a r r r ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L Lo L o M M M M L 。
模糊分类的方法及其应用
u2
0.85
u5
0.9
u3
总结
全文对分类数不确定的情况下对对象进 行分类的几种方法的简单介绍，在实际情况 中，还有好多种分类方法，限于个人水平， 只探讨四种，不足之处，恳请批评指正。
在此，我借着这次机会，感谢我的导师惠小静老师，感 谢她对我论文的悉心指导。
同时感谢和我一组的同学们，感谢他们在我的论文写作 过程中对我的帮助！
在此需要指出的是，当我们应用上述四种不同 方法对对象进行分类时，需要考虑不同的方法的应 用环境。其中，模糊传递闭包法在分类数较少的情 况下，用起来比较方便，但是当分类数较多的时候 如果继续用模糊传递闭包法就会比较困难了（主要 为计算的时候比较麻烦）。但是如果换用其它的三 种方法来分类，难度就会减少很多。尤其是用最大 树法或者编网法就会容易很多。
1.2 模糊分类的基本步骤
2 模糊传递闭包法
2.1 模糊传递闭包法的基本步骤
2.2 模糊传递闭包法的应用
3 直接聚类法的基本步骤及其应用
3.1 直接聚类法的基本步骤
3.2 直接聚类法的应用
4 最大树法（最大生成树法）的基本步骤 及其应用 4.1 最大树法的基本步骤 4.2 最大树法的应用
5 编网法的基本步骤及其应用 5.1 编网法的基本步骤 5.2 编网法的应用 6 总结
值得提出的是当用最大树法对对象进行分类时， 最大树根据选取的顶点不同，可以有多种，但是要用 哪一种，就根据实际需要了。但是要注意的是，在连 接最大树时，必须注意在最大树中不能够出现回路， 同时也不能出现相交线。
在本文中应用最大树法进行分类时，选取 了一个较为容易的最大树，即:
u1
0.8
0.2
u4
在本例中，我们将模糊相似矩阵中各个不同的元 素进行从大到小的顺序进行排序，得到：
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例题
有三个家庭，每家的成员为4～ 7人，其中有 一家有一个客人。取每人的照片一张放在一 起，共16张，由和这三家人素不相识的中学 生对照片两两进行比较，按相貌相似程度打 分，得到16张照片的“ 相似” 模糊关系矩阵。
11
12
13
14
15
7
几何平均最小法
8
最大树法
以模糊图为基础图，生成最大树。 从某一个定点出发，按μ从大到小的顺序依次 画边，要求不产生回路（即圈），直到所有 顶点都连通为止。构造的一个特殊的图，称 为最大树。
9
设阈值α，将μ<α的枝砍掉，就可以得到一个 聚类结果。
聚类结果：w1： {1,2,3,5}； w2： {4}
模糊聚类分析：现实的分类问题往往伴有许多模
糊性这就需要借助模糊数学的手段和方法来描述和处 理分类中的大量模糊性，从而就形成了模糊聚类分析 方法。也就是说，通过建立事物间模糊相似关系对事 物进行分类的方法，就称为模糊聚类分析。
3
模糊聚类分析
模糊聚类分析步骤： 1、设论域（订定样本）； 2、定模糊关系矩阵。（求相似关系矩阵，其 应符合自反性及对称性） 3、求模糊等价关系矩阵。（即自乘得传递闭 包，直到R2k = Rk为止，则便是一个模糊 等价关系矩阵） 4、求 Rλ并进行聚类。（0 ＜ λ ≦ 1） 5、绘制动态聚类图。
4
模糊相似关系建立方法
相关系数法
rij =
å
m k= 1
m
| x ik - x i | | x jk - x j |
ik
k= 1
邋(x
- xi )
2
m
(x jk - x j )
k= 1
m
2
其中
1 xi = m
1 x ik , x j = 邋 m k= 1
m
x jk .
k= 1
5
最大最小值法
6
算术平均最小法
模糊最大树聚类法
Agenda
1 2 3 知识回顾 最大树法的介绍 最大树法的应用
2
模糊聚类分析的相关概念
分类：分类是指对事物按要求分成若干类。通俗的
讲就是将我们研究的谓聚类分析就是对所研究的事物按一
定标准(相似程度或亲疏关系)进行分类的数学方法， 它是多元统计中研究“ 物以累聚”的一种多元分析方 法。