专题一 乘法公式及应用

专题一乘法公式的复习

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，x y y x x2y2

②符号变化，x y x y x2y2 x2y2

③指数变化，x2y2x2y2x4y4

￥

④系数变化，2a b2a b4a2b2

⑤换式变化，xy z m xy z m

xy2z m2

x2y2z m z m

x2y2z2zm zm m2

x2y2z22zm m2

⑥增项变化，x y z x y z

x y2z2

x y x y z2

x2xy xy y2z2

》

x22xy y2z2

⑦连用公式变化，x y x y x2y2

x2y2x2y2

x 4y 4

⑧ 逆用公式变化，x y z

2

x y z

2

x y z

x y z

x y z x y z

2x

2y 2z 4xy 4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

￥

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab

b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3：计算19992-2000×1998

—

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几 例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982 例8．计算 （

1

）

a 4b

3c

a 4

b 3c

（

2

）

3x y 23x y 2

例9．解下列各式 （1）已知a 2

b 213，ab

6，求

a b

2

，a b

2

的值。

（2）已知a b

2

7，a b 2

4，求a 2b 2，ab 的值。

:

（3）已知a

a 1

a

2

b

2，求22

2

a b ab +-的值。

（4）已知13x x

-=，求44

1x x +的值。 例11．计算 （1）x 2x

1

2

（2）3m n p

2

两数和的平方的推广

a

b c

2

a b c

2

a b

2

2a b c c 2

a 22a

b b 22a

c 2bc c 2

a 2

b 2

c 2

2ab 2bc

2ac 即

a b c 2

a 2

b 2

c 22ab 2bc 2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

^

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-5325922

22

44x y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a 例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+ 四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：()()x y z x y z +-++26

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

|

()()()()(

)

()()122232442

222222

2

2

2

22

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b

a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。 解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5) 、

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．

例2 计算(-a 2+4b )2

分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）