三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质

1．三角函数中的值域及最值问题

a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题

(1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的最小值为( ) A ．－1

B ．－

22

C.22

D ．0

答案：B

解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π

4，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22， f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＝2

2， f (0)

2

，故选B.

变式思考：

(经典题，5分)函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π

24上的值域为________． 答案：⎣

⎡⎦

⎤

－

32，

22 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π24，∴－π4≤2x －π4≤π

3，∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上单调递增，∴函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上单调递减．∵f (0)＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝2

2，f ⎝⎛⎭⎫7π24＝－sin π3＝－32，∴函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上的值域为⎣⎡⎦

⎤－32，2

2 .

(2)(经典题，5分)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛－π4≤x ≤

⎭⎫π

4且x ≠0的值域是( ) A ．[－1，1]

B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C ．(－∞，1)

D ．[－1，＋∞)

答案：B

解析：∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1tan x ，且定义域关于原点对称，∴该函数为奇函数．当0

tan x ≤

－1，∴函数y ＝tan (π

2－x )⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B.

b ．利用换元法解决最值问题

(3)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π

2])的最大值是________．

答案：1

解析： f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋ 1

4，设t ＝

cos x ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]，则t ∈[0，1]，∴f (t )＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，t ∈[0，1]，∴当t ＝

32时，函数f (t )取得最大值1.故当cos x ＝32，即x ＝π

6

时，函数f (x )取得最大值1.

(4)(2018河北张家口月考，5分)已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ，若∀t ∈R ，x ∈R ，a sin t +3a +1≥f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[0，＋∞)

B.⎣⎡

⎭

⎫22，＋∞

C.⎣⎡

⎭

⎫24，＋∞

D ．[2，＋∞)

答案：B

解析：令m ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4，则|m |≤2，2sin x cos x ＝m 2－1，∴sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝m ＋m 2－1，设g (m )＝m 2＋m －1，|m |≤2，则g (m )＝m 2＋m －1＝(m ＋12)2－5

4，∴

函数g (m )在⎣⎡⎭⎫－2，－12内单调递减，在⎝⎛⎦⎤－1

2，2内单调递增，且g (－2)＝1－2，g (2)=1+2，∴g (m )max ＝1＋ 2.∵∀t ∈R ，x ∈R ，a sin t ＋3a ＋1≥f (x )恒成立，∴a sin t ＋3a ＋1≥1+ 2.又∵－1≤sin t ≤1，∴3＋sin t >0，∴a ≥23＋sin t 恒成立，∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋sin t max .∵当sin t =

－1时，23＋sin t

取得最大值22，∴a ≥22.故选B.

c ．利用化一法解决最值问题

(5)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________. 答案：5

解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛

⎭

⎫255cos x ＋55sin x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝

2.∵-1≤sin(x +φ)≤1，∴－5≤5sin(x ＋φ)≤5，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.

(6)(2018四川联考，5分)函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin(π

4－x )cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π4上的最小值是( )

A ．1－2

B ．0

C ．1

D ．2

答案：A

解析： f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin(π4－x )cos(π

4－x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

4＋1. 当π2≤x ≤3π4时，5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π4上先减后增，当2x ＋π4＝3π

2时， f (x )取得最小值，最小值为1－ 2.

d ．利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题