三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质1．三角函数中的值域及最值问题a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题(1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C.22D ．0答案：B解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22， f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＝22， f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π2，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B.变式思考：(经典题，5分)函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上的值域为________． 答案：⎣⎡⎦⎤－32，22 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π24，∴－π4≤2x －π4≤π3，∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上单调递增，∴函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上单调递减．∵f (0)＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，f ⎝⎛⎭⎫7π24＝－sin π3＝－32，∴函数f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，7π24上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，22 .(2)(经典题，5分)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛－π4≤x ≤⎭⎫π4且x ≠0的值域是( ) A ．[－1，1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)答案：B解析：∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1tan x ，且定义域关于原点对称，∴该函数为奇函数．当0<x ≤π4时，y =tan x 单调递增，∴0<tan x ≤1，∴1tan x ≥1.又∵函数y =1tan x 为奇函数，∴当-π4≤x <0时，1tan x ≤－1，∴函数y ＝tan (π2－x )⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B.b ．利用换元法解决最值问题(3)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是________．答案：1解析： f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋ 14，设t ＝cos x ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]，则t ∈[0，1]，∴f (t )＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，t ∈[0，1]，∴当t ＝32时，函数f (t )取得最大值1.故当cos x ＝32，即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值1.(4)(2018河北张家口月考，5分)已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ，若∀t ∈R ，x ∈R ，a sin t +3a +1≥f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞C.⎣⎡⎭⎫24，＋∞D ．[2，＋∞)答案：B解析：令m ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则|m |≤2，2sin x cos x ＝m 2－1，∴sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝m ＋m 2－1，设g (m )＝m 2＋m －1，|m |≤2，则g (m )＝m 2＋m －1＝(m ＋12)2－54，∴函数g (m )在⎣⎡⎭⎫－2，－12内单调递减，在⎝⎛⎦⎤－12，2内单调递增，且g (－2)＝1－2，g (2)=1+2，∴g (m )max ＝1＋ 2.∵∀t ∈R ，x ∈R ，a sin t ＋3a ＋1≥f (x )恒成立，∴a sin t ＋3a ＋1≥1+ 2.又∵－1≤sin t ≤1，∴3＋sin t >0，∴a ≥23＋sin t 恒成立，∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋sin t max .∵当sin t =－1时，23＋sin t取得最大值22，∴a ≥22.故选B.c ．利用化一法解决最值问题(5)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________. 答案：5解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎫255cos x ＋55sin x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2.∵-1≤sin(x +φ)≤1，∴－5≤5sin(x ＋φ)≤5，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.(6)(2018四川联考，5分)函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin(π4－x )cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π4上的最小值是( )A ．1－2B ．0C ．1D ．2答案：A解析： f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin(π4－x )cos(π4－x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当π2≤x ≤3π4时，5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π4上先减后增，当2x ＋π4＝3π2时， f (x )取得最小值，最小值为1－ 2.d ．利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题(7)(2018山东期末，5分)函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．不存在 答案：C解析：(法一)将原式变形得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即(y ＋1)cos x ＝2y －2，当y ＝－1时，等式不成立，∴y ≠－1，∴cos x ＝2y －2y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －2y ＋1≤1，即|2y －2|≤|y ＋1|，即4y 2－8y ＋4≤y 2＋2y ＋1，解得13≤y ≤3，∴函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3，故选C.(法二)y ＝2＋cos x 2－cos x ＝－2＋cos x ＋42－cos x ＝－1＋42－cos x .∵－1≤cos x ≤1，∴1≤2－cos x ≤3，∴43≤42－cos x ≤4，即13≤y ≤3，∴函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3，故选C.e ．与值域有关的参数问题(8)(2018安徽模拟，5分)若函数y ＝2sin ωx (ω>0)在[－π3，π4]上的最小值是－2，但最大值不是2，则ω的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫32，2解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，∵ω>0，∴ωx ∈⎣⎡－ωπ3，⎦⎤ωπ4，且－ωπ3<0<ωπ4.∵函数y ＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，但最大值不是2，∴根据函数y ＝2sin x 的图像，如图所示，可得⎩⎨⎧－3π2<－ωπ3≤－π2，0<ωπ4<π2，解得32≤ω<2，∴ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.2．三角函数的周期性、对称性、奇偶性(9)(经典题，5分)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 答案：B解析：选项A 中，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，但函数为偶函数，故A 不满足条件；选项B 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，且函数为奇函数，故B 满足条件；选项C 中，y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，但函数不具有奇偶性，故C 不满足条件；选项D 中，y ＝sin x ＋cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，函数的最小正周期为T ＝2π，且函数不具有奇偶性，故D 不满足条件．故选B.变式思考：(Ⅰ)(经典题，5分)函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12的最小正周期为_____； (Ⅱ)(2019改编，10分)(ⅰ)函数f (x )＝2sin2x ·1－tan 2x1＋tan 2x的最小正周期为_____；(ⅱ)函数f (x )＝sin x ＋2sin 2x1＋2sin x 为________(填“奇函数”或“偶函数”或“非奇非偶函数”)．答案：(Ⅰ)2π (Ⅱ)(ⅰ)π (ⅱ)非奇非偶函数解析：(Ⅰ)画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12的图像，如图所示，则函数的最小正周期为T ＝2π.(Ⅱ)(ⅰ)函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ， f (x ) ＝2sin2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝2sin2x ·cos2x =sin4x ，画出函数图像，如图所示，由图可知函数的最小正周期为T ＝π.(ⅱ)易知1＋2sin x ≠0，则sin x ≠－12，∴x ≠－π6＋2k π(k ∈Z )且x ≠7π6＋2k π(k ∈Z )．∵函数f (x )的定义域不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(10)(2018江苏，5分)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．答案：－π6解析：因为函数y =sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x =π3对称，所以2π3+φ=k π+π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )．因为－π2<φ<π2，所以－π2<k π－π6<π2，解得－13<k <23.因为k ∈Z ，所以k ＝0，即φ的值是－π6.(11)(经典题，5分)如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝( )A.2 B ．－2 C ．1 D ．－1 答案：D解析：(法一)∵函数y ＝f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，∴f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4，即0＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos(－π2)，即a ＝－1.故选D. (法二)∵y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，tan φ＝a ，∴该三角函数的最小正周期T=π，T 4＝π4，∴函数在x ＝－π8＋π4处的函数值为0，∴sin2⎝⎛⎭⎫－π8＋π4＋a cos2⎝⎛⎭⎫－π8＋π4＝0，解得a ＝－1.故选D.(法三)y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，tan φ＝a .∵函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x =－π8对称，∴当x =－π8时，y =sin2x +a cos2x 取得最大值或最小值，∴sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＋ a cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝1＋a 2或sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＋a cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝－1＋a 2，解得a ＝－1.故选D.3．三角函数的单调性a ．已知函数解析式求函数的单调区间(12)(2018江西期中，6分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－4cos 2x ＋2，求函数f (x )的单调递减区间．答案：⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π， k ∈Z 解： f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－4cos 2x ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin2x ·32＋cos2x ·12－2cos2x ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(3分) 令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得x ∈⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π， k ∈Z ， 故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π， k ∈Z .(6分)变式思考：(Ⅰ)(经典题，5分)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为__ __. 答案：⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间．令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(Ⅱ)(2018江苏模拟，5分)设f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为_______．答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 解析：∵f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos2x )＋32sin2x ＝sin(2x －π6)＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，－π6≤x ≤π3.又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤x ≤π3，即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3.b ．已知函数的单调区间求参数(13)(2018北京海淀模拟，5分)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，56B.⎣⎡⎦⎤13，76C.⎣⎡⎦⎤14，56D.⎣⎡⎦⎤14，76答案：B解析：根据题意知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期T ≥2⎝⎛⎭⎫π－π2＝π，∴T ＝2πω≥π，∴0<ω≤2.由2k π＋π2≤ωx ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋π6≤ωx ≤2k π＋7π6，k ∈Z ，∴2k πω＋π6ω≤x ≤2k πω＋7π6ω，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ π3的单调递减区间为[2k πω＋π6ω，2k πω＋7π6ω]，k ∈Z . ∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴⎩⎨⎧2k πω＋π6ω≤π2，2k πω＋7π6ω≥π，k ∈Z ，∴4k ＋13≤ω≤2k ＋76，k ∈Z .又∵0<ω≤2，∴k ＝0，∴13≤ω≤76，故选B.(14)(2018福建期中，5分)将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后得到f (x )的图像，若f (x )在⎝⎛⎭⎫π，5π4上单调递减，则φ的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫π8，3π8 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎣⎡⎦⎤π8，3π8 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2 答案：C解析：y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到f (x )的图像，则f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π4＝2sin(2x ＋2φ＋π4). 由2k π＋π2≤2x ＋2φ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8－φ≤x ≤k π＋5π8－φ，k ∈Z .若f (x )在⎝⎛⎭⎫π，5π4上单调递减， 则⎩⎨⎧k π＋5π8－φ≥5π4，k π＋π8－φ≤π，解得⎩⎨⎧φ≤k π－5π8，φ≥k π－7π8，即k π－7π8≤φ≤k π－5π8，k ∈Z .又∵0<φ<π2，∴k ＝1，∴π8≤φ≤3π8，即φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π8，3π8.故选C.(15)(2019改编，5分)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤2a ，7π6上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2B.⎣⎡⎦⎤π6，π2C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤π4，3π8答案：A解析：∵函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，∴令－π＋2k π≤2x － π3≤2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，－π3≤x ≤π6；当k ＝1时，2π3≤x ≤7π6. ∵－π3<0<π6，∴要使函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤2a ，7π6上单调递增，需使⎩⎨⎧0<a 3≤π6，2π3≤2a <7π6，解得π3≤a ≤π2，故选A.4．三角函数的性质的综合应用 (16)(经典题，5分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案：A解析：依题意得22T ωωπ==π∴=,.又∵A >0，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，∴2π3×2＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z .又∵φ>0，∴可取φ＝π6，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6，f (0)＝A sin π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫－7π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6.∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且函数y ＝A sin x 在(－7π6，－π)上为减函数，∴0＝A sin(－π)<A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<A sin ⎝⎛⎭⎫－7π6，即0<f (－2)<f (0)，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.(17)(经典题，5分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为______． 答案：π解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴π2－π6＝π3≤T2， 即T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴函数f (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，且2π3－π2＝π6<π3，∴函数f (x )图像的一条对称轴方程为x ＝12(2π3＋π2)＝7π12.∵（2k ＋1）4T ＝7π12－π3＝π4，k ∈N ，∴T ＝π2k ＋1，k ∈N ，又∵T ≥2π3，∴令k ＝0，得T ＝π，∴函数f (x )的最小正周期为π.(18)(2016全国Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5答案：B解析：(法一)设函数f (x )的最小正周期为T .∵x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，∴（2k ＋1）T 4＝π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π2，k ∈N ，即（2k ＋1）π2ω＝π2，k ∈N ，解得ω＝2k ＋1(k ∈N )．∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，∴5π36－π18＝π12≤T 2，即2π2ω≥π12，解得0<ω≤12.当ω＝11时，∵x ＝－π4为f (x )的零点，∴－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝11π4＋k π，k ∈Z .又∵|φ|≤π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4.∵π18×11－π4<π2<5π36×11－π4，∴此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，∵x ＝－π4为f (x )的零点，∴－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝9π4＋k π，k ∈Z .又∵|φ|≤π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4.∵π2<π18×9＋π4<5π36×9＋π4＝3π2，∴此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，满足题意，∴ω的最大值为9，故选B.(法二)依题意，有⎩⎨⎧ω·⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2，(m ，n ∈Z )解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2（n －m ）＋1，φ＝2（m ＋n ）＋14π.(m ，n ∈Z )又|φ|≤π2，∴m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1.∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，∴5π36－π18＝π12≤T 2， 即2π2ω≥π12，解得0<ω≤12.当m ＋n ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ω＝4n ＋1，φ＝π4，(n ∈Z )取n ＝2，则ω＝9, f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，函数f (x )单调，符合题意；当m ＋n ＝－1时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ω＝4n ＋3，φ＝－π4，(n ∈Z )取n ＝2，则ω＝11, f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，23π18，函数f (x )不单调，不符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B.随堂普查练161．(2018山东临沂期末，12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. (Ⅰ)求函数y ＝sin x 的值域；(Ⅱ)求函数y ＝－3cos 2x －4sin x ＋4的最大值和最小值． 答案： (Ⅰ)⎣⎡⎦⎤－12，1 (Ⅱ)函数的最大值为154，最小值为－13解：(Ⅰ)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6时，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减．(2分)∵当x ＝－π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12；当x ＝5π6时，y ＝sin 5π6＝12， ∴函数的最小值为－12.(4分)∵当x ＝π2时，函数取得最大值1，(5分)∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1.(6分) (Ⅱ)y ＝－3cos 2x －4sin x ＋4＝3sin 2x －3－4sin x ＋4＝3sin 2x －4sin x ＋1.(7分) 设t ＝sin x ，由(Ⅰ)知t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴ f (t )＝3t 2－4t ＋1＝3⎝⎛⎭⎫t －232－13，t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，(9分) ∴当t ＝23时，函数取得最小值－13.(10分)∵23－⎝⎛⎭⎫－12>1－23， ∴当t ＝－12时，函数取得最大值154，(11分)∴函数的最大值为154，最小值为－13.(12分)2．(2016全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7答案：B解析：f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ，设sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，则g (t )＝ 1－2t 2＋6t ＝－2⎝⎛⎭⎫t －322＋112，－1≤t ≤1.∵二次函数g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －322＋112图像的对称轴为 t ＝32，∴函数在[－1，1]上单调递增，∴当t ＝1，即x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值5.故选B.3．(经典题，5分)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 答案：[－1，1]解析：令t ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，则(sin x －cos x )2＝t 2，∴sin x cos x ＝1－t 22.∵x ∈[0，π]，∴x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴－1≤t ≤2，∴g (t )＝t ＋ 1－t 22，t ∈[－1，2]，即g (t )＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－1，2]，∴函数g (t )在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．又∵g (1)＝1，g (－1)＝－1，g (2)＝－12＋2>－1，∴函数g (t )的值域为[－1，1]．4．(经典题，5分)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝______． 答案：±3解析：∵f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，∴函数f (x )的最大值为16＋a 2，∴16＋a 2＝5，解得a ＝±3.5．(2019改编，5分)已知函数f (x )＝a sin x cos x －sin 2x ＋12的一条对称轴为x ＝π6， 则函数f (x )的最小值为______．答案：－1解析：∵函数f (x )＝a sin x cos x －sin 2x ＋12的一条对称轴为x ＝π6，∴f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12＝ a sin π3cos π3－sin 2π3＋12，即0＝34a －34，解得a ＝3，∴f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ＋12＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∴函数f (x )的最小值为－1.6．(2018山东月考，5分)对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．既有最小值也有最大值D ．既无最大值也无最小值答案：B解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x (0<x <π)，当 0<x <π时，0<sin x ≤1，且y ＝sin x 先增后减，∴f (x )＝1＋1sin x(0<x <π)先减后增，∴函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，无最大值，故选B.7．(2018湖南一模，5分)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪[)6，＋∞B. ⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C. (]－∞，－2∪[)6，＋∞D. (]－∞，－2∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω.∵－π3ω<0<π4ω，∴要使函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥32π，解得ω≥32；当ω<0时， f (x )＝2sin ωx ＝－2sin(－ωx )，且π3ω≤－ωx ≤－π4ω.∵π3ω<0<－π4ω，∴要使函数f (x )＝－2sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则－π4ω≥π2或π3ω≤－32π，解得ω≤－2.综上，ω的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.故选D.8．(2018哈尔滨模拟，5分)设a ＝sin 8π11，b ＝cos 3π11，c ＝tan 3π11，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b答案：B解析：a ＝sin 8π11＝sin 3π11＝sin 6π22，b ＝cos 3π11＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－5π22＝sin 5π22.∵函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且sin x <1，∴b <a <1.∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，∴c ＝tan 3π11>tan π4＝1，∴b <a <c ，故选B.9．(2017全国Ⅲ，5分)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减答案：D解析：(法一)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π，k ∈Z 且k ≠0，当k ＝－1时，函数的周期为－2π，A 正确；将x ＝8π3代入函数解析式，得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋π3＝cos3π＝－1，为函数 f (x )的最小值，∴函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 正确； f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，将x ＝π6代入该函数解析式，得f ⎝⎛⎭⎫π6＋π＝－cos(π6＋π3)＝－cos π2＝0，即x ＝π6是函数f (x ＋π)的一个零点，C 正确；当π2<x <π时，5π6<x ＋π3<4π3.∵5π6<π<4π3，∴此时函数f (x )不是单调函数，D 错误．(法二)画出函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，如图所示．由图可知，选项A ，B 正确； f (x ＋π)的图像由f (x )的图像向左平移π个单位长度得到，由图知f (x )的一个零点为7π6，所以f (x ＋π)对应的零点为π6，选项C 正确； f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先单调递减后单调递增，D 选项错误．故选D.10．(2018江苏模拟，5分)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)的图像过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调减区间是______．答案：⎣⎡⎦⎤π12，7π12解析：∵函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图像过点(0，3)，∴2sin φ＝3，∴φ＝π3＋2k π或φ＝2π3＋2k π，k ∈Z .∵ 0<φ<π2，∴φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12，k ∈Z .又0≤x ≤π，∴令k ＝0，得π12≤x ≤7π12.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间为[π12，7π12]．11．(经典题，5分)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调，且在该区间上的最小值为－2，则ω的值为______．答案：±2解析：(法一)∵函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调，且在该区间上的最小值为－2，∴函数f (x )在x ＝－π4或x ＝π4处取得最小值－2.又∵f (x )＝2sin ωx ∈[－2，2]，∴x ＝－π4或x ＝π4是函数f (x )＝2sin ωx 的图像的一条对称轴．易知函数f (x )＝2sin ωx 为奇函数，∴函数f (x )＝2sin ωx 的图像关于原点对称，即原点是函数f (x )＝2sin ωx 的图像的一个对称中心，∴T ＝4⎝⎛⎭⎫π4－0＝π.又∵T ＝2π|ω|，∴ω＝±2.(法二)当ω＞0时，由已知条件可知函数f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增，如图所示，∴f (－π4)＝2sin(－ωπ4)＝－2，∴sin(－ωπ4)＝－1，∴－ωπ4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝2－8k (k ∈Z )．∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，∴T 2≥π4－(－π4)＝π2.又∵T ＝2π|ω|＝2πω，∴0<ω≤2，∴ω＝2.同理，当ω<0时，可求得ω＝－2.综上可知，ω的值为±2.12．(2019改编，5分)函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π12在区间[0，a π9]与[]2a π，4π上均单调递增，则实数a 的取值范围为_______．答案：⎣⎡⎭⎫1912，2解析：当0≤x ≤a π9时，－π12≤12x －π12≤a π18－π12，a >0.∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π12，π2上单调递增，∴a π18－π12≤π2，∴0<a ≤212；当2a π≤x ≤4π时，a π－π12≤12x －π12≤2π－π12，∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递增，∴3π2≤a π－π12<2π－π12，解得1912≤a <2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1912，2.13．(2019改编，12分)已知函数f (x )＝2a ·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b . (Ⅰ)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(Ⅱ)当a <0时， f (x )在[0，π]上的值域为[2，3]，求a ，b 的值． 答案：(Ⅰ)⎣⎡⎦⎤3π4＋2k π，7π4＋2k π，k ∈Z(Ⅱ)a ＝1－2，b ＝3解：(Ⅰ)当a ＝1时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＋b ，令π2＋2k π≤x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z ，(3分) ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡3π4＋⎦⎤2k π，7π4＋2k π，k ∈Z .(5分) (Ⅱ)当x ∈[0，π]时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4先增后减，(7分) 当x －π4＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－22；当x －π4＝3π4时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝22，∴－22≤ sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，(8分) 又∵a <0，∴f (x )＝2a ·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b 的最大值为－22·2a ＋a ＋b ＝b ，最小值为 2a ＋a ＋b ＝(2＋1)a ＋b .(9分)又∵当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2，3]，∴⎩⎨⎧b ＝3，（2＋1）a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝3，a ＝1－2，∴a ，b 的值分别为1－2，3.(12分)14．(2018四川绵阳中学月考，5分)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ≤π2是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)的值为( )A.32B ．－32C ．1D ．－1答案：B解析：∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z .又∵0＜φ≤π2，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx .∵当x ＝3时， f (x )取得最小值－3，∴A ＝3，且3ω＝2k π＋ π2，k ∈Z ，∴ω＝π6＋2k π3，k ∈Z ，∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2ππ6＝12.∵2017＝168×12＋1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)＝168×(f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12))＋f (1)．∵函数f (x )的图像关于点(6，0)对称，∴f (6－x )＋f (6＋x )＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＋f (12)＝0，又∵f (1)＝－3sin π6＝－32，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)＝f (1)＝－32.故选B.课后提分练16 三角函数的图像与性质A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案：C解析：a ＝sin33°，b ＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°.∵函数y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin35°>sin33°，即b >a .∵c ＝tan35°＝sin35°cos35°，0<cos35°<1，∴sin35°cos35°>sin35°，即c >b ，∴c >b >a .故选C.2．(经典题，5分)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：当f (x )为奇函数时，φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件；当φ＝π2时，f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，该函数为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是 “φ＝π2”的必要条件．综上所述，“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．故选B.3．(2018全国四省联考，5分)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为2πB ．f (x )的图像关于直线x ＝π8对称C ．f (x )的一个零点为x ＝－π8D ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 答案：D解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，则函数f (x )的周期T ′＝k π(k 为非零整数)．取k ＝2，可得函数f (x )的一个周期为2π，选项A 正确；函数f (x )的图像的对称轴满足2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．取k ＝0，可得f (x )的图像关于直线x ＝π8对称，选项B 正确；函数f (x )的零点满足2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π8(k ∈Z )．取k ＝0，可得f (x )的一个零点为x ＝－π8，选项C 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，则π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上不单调，选项D 错误．4．(2019改编，5分)已知x 0＝π3是函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的一个极大值点，则函数f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫2π3，π答案：B解析：∵x 0＝π3是函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的一个极大值点，且f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡π3＋k π，π3＋⎦⎤π2＋k π，k ∈Z ，即⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，故选B.5．(经典题，5分)如果函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(||ω<3)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称，那么函数f (x )的最小正周期是( )A.π2 B.2π3C ．πD ．2π答案：D解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称，∴2sin(π4ω＋π4)＝0， ∴π4ω＋π4＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－1＋4k ，k ∈Z .又∵|ω|<3，∴令k ＝0，得ω＝－1，∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π|ω|＝2π，故选D.6．(2018全国Ⅱ，5分)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π答案：A解析：(法一)f (x )＝c o s x －s in x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝ cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，令2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为[2k π－π4，2k π＋3π4]，k ∈Z .由已知可得[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以－π4≤ －a <0，即0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.答案为A.(法二)同方法一可得f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以直线x ＝－π4为函数f (x )图像的一条对称轴，画出函数图像如图：可知－π4≤－a <0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.答案为A.7．(2018北京，5分)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______．答案：23解析：根据题意，可知f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4ω－π6＝1，所以π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，所以 ω＝23＋8k ，k ∈Z .因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值，ωmin ＝23.8．(2017天津，5分)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24答案：A解析：(法一)∵函数的解析式为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)且f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，∴当x ＝5π8时，函数取得最大值．设函数的最小正周期为T ，∵f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0, f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，∴（2k ＋1）T 4＝11π8－5π8，k ∈N ，解得T ＝3π2k ＋1，k ∈N .又∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π2k ＋1>2π，k ∈N ，即2k ＋1<32，k ∈N ，∴2k ＋1＝1，∴T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，∴5π8×23＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π12＋2k π，k ∈Z .又∵|φ|<π，∴φ＝π12，故选A. (法二)由题意知⎩⎨⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，∴ω＝43(k 2－2k 1)－23.∵T ＝2πω>2π，∴0<ω<1，∴0<43(k 2－2k 1)－23<1，∴12<k 2－2k 1<54.又∵k 1，k 2∈Z ，∴k 2－2k 1＝1，∴ω＝23，∴φ＝2k 1π＋112π，k 1∈Z .又由|φ|<π，得φ＝π12，故选A.9．(2018广东一模，5分)已知函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π4－2sin 2ωx ()ω＞0在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是____． 答案：⎣⎡⎦⎤12，23解析：∵f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π4－2sin 2ωx ＝4sin ωx ·1－cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π22－2sin 2ωx ＝2sin ωx (1＋sin ωx )－2sin 2ωx ＝2sin ωx ，∴⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω(ω>0)是函数f (x )含原点的递增区间．又∵函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，∴⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω⊇⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π4，3π4≤π2ω，ω>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤2，0<ω≤23，∴0＜ω≤23.根据正弦函数的性质可知，当函数f (x )取得最大值时，ωx ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )在x ＝2k πω＋π2ω处取得最大值．又∵函数f (x )在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，∴0≤π2ω≤π，∴ω≥12.综上，可得ω∈⎣⎡⎦⎤12，23 .10．(经典题，14分)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ(A >0，ω>0，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4，在同一周期中，在x ＝5π12时取得最小值－4. (Ⅰ)求函数f (x )的解析式； (Ⅱ)求函数f (x )的单调增区间． 答案：(Ⅰ) f (x )＝4sin(3x ＋π4)(Ⅱ)⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3 ＋ π12，k ∈Z 解：(Ⅰ)设函数f (x )的最小正周期为T .∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4，在同一周期中，在x ＝5π12时取得最小值－4，∴A ＝4，且5π12－π12＝T 2，∴T ＝2π3，(3分)∴T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3.(5分)由f ⎝⎛⎭⎫π12＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，∴π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z .(7分) 又∵0<φ<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(8分) (Ⅱ)令2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[2k π3－π4，2k π3＋π12], k ∈Z .(14分)11．(经典题，5分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，则ω的值是( ) A.23B ．2C.23或2D ．无法确定答案：C解析：∵f (x )是偶函数，0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝cos ωx .∵函数f (x )的图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，∴cos 3ωπ4＝0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝23＋43k ，k ∈Z .∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，∴π2－0≤T 2，即π2≤πω，∴0<ω≤2，∴令k ＝0，得ω＝23；令 k ＝1，得ω＝2.故选C.B 组(冲刺满分)12．(经典题，5分)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A.π2B.π4C.π3D.2π3答案：C解析：∵当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在该区间内存在对称轴．令2x ＋π6＝π2，解得x ＝π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在该区间内的对称轴方程为x ＝π6.∵方程 2sin(2x ＋π6)＝m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等的实数解x 1，x 2，∴x 1，x 2关于x ＝π6对称， ∴x 1＋x 2＝π6×2＝π3，故选C.13．(2018辽宁模拟，5分)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z 答案：C解析：∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，∴当x ＝π6时，函数f (x )取得最值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝π2＋k 1π，k 1∈Z ，∴φ＝π6＋k 1π，k 1∈Z ①.由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，得sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0，解得π＋2k 2π<φ<2π＋2k 2π，k 2∈Z ②.由①②得φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π＋ π6，k π＋ 2π3]，k ∈Z .14．(经典题，5分)已知函数f (x )＝12m cos2x ＋(m －2)sin x ，其中1≤m ≤2，若函数f (x )的最大值记为g (m )，则g (m )的最小值为( )A ．－14B ．1C ．3－3D.3－1答案：D解析：函数f (x )＝12m cos2x ＋(m －2)sin x ＝12m (1－2sin 2x )＋(m －2)sin x ＝12m －m sin 2x ＋(m －2)sin x ，设sin x ＝t (|t |≤1)，则h (t )＝－mt 2＋(m －2)t ＋12m ，|t |≤1.∵1≤m ≤2，∴函数h (t )＝－mt 2＋(m －2)t ＋12m 的图像开口向下，且函数图像的对称轴为t ＝m －22m ＝12－1m .∵1≤m ≤2，∴－12≤12－1m ≤0，满足|t |≤1，∴当t ＝m －22m 时，函数h (t )取得最大值－2m 2－（m －2）2－4m＝第 21 页 共 21 页 34m ＋1m －1，∴g (m )＝34m ＋1m －1，1≤m ≤2.∵34m ＋1m －1≥234m ·1m－1＝3－1，当且仅当 34m ＝1m 且1≤m ≤2，即m ＝233时取等号，∴g (m )的最小值为3－1，故选D.15．(2016全国Ⅰ，5分)若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 答案：C解析：∵函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x ＝x －23sin x cos x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立.∵f ′(x )＝1－23(cos 2x －sin 2x )＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，∴－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0.设cos x ＝t ，则－1≤t ≤1，不等式－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0等价于－43t 2＋at ＋53≥0.构造函数g (t )＝－43t 2＋at ＋53，－1≤t ≤1，抛物线开口向下，要使g (t )≥0对t ∈ [－1，1]恒成立，则⎩⎨⎧g （－1）＝－43－a ＋53≥0，g （1）＝－43＋a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13，故选C.。