相似三角形章末复习

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九年级数学上册第22章相似形章末复习课件

∴△HBF∽△ECF
H
∴
BF
HB
AE .
CF EC EC
B
第二十页，共二十三页。
A
D E
C
F
5. 如图, 阳光(yángguāng)通过窗口照到室内, 在地上留下 2.7m 宽的亮区. 已知亮区一边到窗下墙脚距离CE为 8.7m, 窗口高AB 为
1.8m, 求窗口底边离地面的高度
BC 的值.
c d
, 那a么d_=_b__c(_b_,_d_≠_0_)_____.
:
（2）合比性质: 如果
a b
,d那c 么____a_b__b___c__d_d___b_,d. ≠0
第六页，共二十三页。
（3）等比性质(xìngzhì): 如果ab11
a2 b2
···= an bn
a1 a2 ···an =a1 那么___b_1___b_2___·· _·__b_n__. b1
第四页，共二十三页。
练习(liànxí)
下列各组线段的长度(chángdù)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ比例的是D ( )
A.2, 3, 4, 1
B.1.5, 2.5, 6.5, 4.5
C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4
第五页，共二十三页。
3.比例(bǐlì)的性质
（1）基本(jīběn)性质如果(rúabguǒ)
（单位: m）
A 1.8 B
E 2.7 D
C
8.7
第二十一页，共二十三页。
解 ∵太阳光可以(kěyǐ)看成平行的光线.
∴△ACE∽△BCD,
∴
AC EC . BC DC
又∵AC = BC +1.8, EC=8.7, DC=6.

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2（附答案）1．已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．（y≠﹣4a）D．4x＝3y2．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm，6cm，8cm，9cm B．3cm，5cm，6cm，9cmC．3cm，6cm，7cm，9cm D．3cm，6cm，9cm，18cm3．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．B．C．D．4．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3B．6C．D．105．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D 作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对7．附加题：若x＝，则x＝．8．已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝．9．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC 于F，那么的值为（用n表示）．10．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为．11．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为m．12．两个相似三角形周长的差是4cm，面积的比是16：25，那么这两个三角形的周长分别是cm和cm13．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF ∽△ACD，其中一定正确的是．（填序号）14．如图，在直线m上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3＝12，则S2＝．15．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为米．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）18．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF•AB．求证：EF∥CD．19．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．20．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．21．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．22．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA＝OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB＝1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．参考答案1．解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．2．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴，∴当时，，∴EF∥CD，故C选项符合题意；而A，B，D选项不能得出EF∥CD，故选：C．4．解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．5．解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．故选：A．6．解：∵∠A＝∠A，分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＞AB，不合题意，故选：A．7．解：①a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴x＝＝＝﹣1；②a+b+c≠0时，x＝＝＝．综上所述，x＝或﹣1．故答案为：或﹣1．8．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；故答案为2．9．证明：∵AD：DC＝1：n，∴AD：AC＝1：（n+1）．作DG平行于AF交BC于G，则＝，根据比例的性质知，＝＝，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF＝FG．∴＝．故答案为：．10．解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：，故答案为：11．解：设每条纵向小路的宽为xm．∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得，x＝1.8，或，解得x＝25.8（不符合实际意义）故答案为：1.8．12．解：由题意，相似比＝4：5，两个相似三角形周长的比是4：5，可得：5x﹣4x＝4，解得：x＝4，所以这两个三角形的周长分别是16cm，20cm；故答案为：16；2013．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝（）2＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故答案为：①②③．14．解：设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∵F、G分别是BC、CE的中点，AB∥HF∥DC∥GN，∴MF＝AC＝BC，PF＝AB＝BC，又∵BC＝CE＝CG＝GE，∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，∴S1＝S，S3＝2S，∵S1+S3＝12，∴S+2S＝12，∴S＝4.8，故答案为：4.8．15．解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高，∴BG＝BC，DF＝DE＝×12cm＝0.06m，AF为臂长，即60cm＝0.6m．AG＝30m，由题意可知△AFD∽△AGB，即＝，即＝，解得BG＝3m，∴BC＝2BG＝2×3＝6m．16．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．17．解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．18．证明：∵DE∥BC，∴，∵AD2＝AF•AB，∴，∴，∴EF∥DC．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3∴EC＝3.1；（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC⊥AD．20．解：（1）△BPQ是等边三角形当t＝2时AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4∴BQ＝BP又∵∠B＝60°∴△BPQ是等边三角形；（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，∴BE＝t，QE＝t由AP＝t，得PB＝6﹣t∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝﹣t ∴S＝﹣t；（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等边三角形∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t∵BE＝BQ•cos60°＝×2t＝t∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t∴EP∥QR，EP＝QR∴四边形EPRQ是平行四边形∴PR＝EQ＝t又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴，∴解得t＝∴当t＝时，△APR∽△PRQ．21．证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG．22．解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE＝CE＝，，∵点C为OB中点，∴BC＝CO，，∴，∴PC＝＝，∴＝2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴＝＝，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC＝＝，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD＝a，则AO＝4a，∵OA＝OB，点C为OB中点，∴CO＝2a，在Rt△ACO中，AC＝＝＝2a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF＝，DF＝，PF＝AC﹣AF﹣PC＝2a﹣﹣＝，tan∠BPC＝tan∠FPD＝＝．（3）与（2）的方法相同，设AD＝a，求出DF＝a，PF＝a，所以tan∠BPC＝．。

第4章相似三角形期末复习

C B第7题第4章《相似三角形》期末复习一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知ab =cd ，把这个等积式改成比例式后，错误的是（）A.a d c b =B. a c d b =C.b a d c =D. d b a c= 2. 下列各组线段的长度成比例的为（）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm 3. 下列叙述正确的是（）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于14. 如图，⊙O 中，弦BA ，DC 的延长线交于点P ，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有（） A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对5. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似. 满足这样条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ∶AF =2∶3，则下列结论不正确的是（） A. 四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形 B. AD 与AE 的比是2∶3C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶97. 如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E . C ，E ，A 三点在同一条直线上，点B ，E 分别在点E ，A 的正下方且D ，B ，C 三点在同一条直线上. B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高AD 为(小明身高忽略不计)（） A. 40米 B. 20米 C. 15米 D. 30米8. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在ABC △与A B C '''△中，AB ACA A AB AC '==''''∠，那么ABC A B C '''△∽△；④已知ABC △及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD =6，则AF 等于（） A.B.C.D. 8ＢＦＣＥＤＡ10.如图，在△ABC 中，AB=AC =2，∠BAC =20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持 ∠PAQ =100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（）二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知26y x ，则y x :=______________.12. 若线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC =________.13．如图，D ，E分别是△ABC的边AB ，AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED 相似，你添加的条件是．14. 如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应是P 1、P 2、P 3、P 4四个点中的点 . 15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.16. 要使两个菱形相似，只需填上一个条件：________.17.在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知CD =8cm ，BE =5cm ，则．18.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格．．中画出．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为________．19. 将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3为 .20. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在CB ，CD 上滑动，当CM = ________时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似. 三、解答题（共40分）21. 已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项.Ｂ第10题Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第13题第14题第15题第18题图D M第20题图22.在△ABC 中，AC >BC ，D 是AC 边上一点，连接BD ．(1) 要使△CBD ∽△CAB ，还需要补充一个条件是（只要求填一个）； (2) 若△CBD ∽△CAB ，且AD =2，BCCD 的长．23. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.24.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4． (1) 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？(2) 能否分别过A ，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC 分割成的两个三角形与△DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．E FC25. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1) 求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) 当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？CB D 第7题第4章《相似三角形》期末复习参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知ab =cd ，把这个等积式改成比例式后，错误的是（）A.a d c b =B. a c d b =C.b a d c =D. d b a c= 答案：C 2. 下列各组线段的长度成比例的为（）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm 答案：C 3. 下列叙述正确的是（）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于1 答案：B 4. 如图，⊙O 中，弦BA ，DC 的延长线交于点P ，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有（） A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对答案：C5. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似. 满足这样条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条答案：C6.如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ∶AF =2∶3，则下列结论不正确的是（） A. 四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形 B. AD 与AE 的比是2∶3 C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶9 答案：B 7. 如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E . C ，E ，A 三点在同一条直线上，点B ，E 分别在点E ，A 的正下方且D ，B ，C 三点在同一条直线上. B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高AD 为(小明身高忽略不计)（）A. 40米B. 20米C. 15米D. 30米答案：D 8. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在ABC △与A B C '''△中，A B A CA A AB AC '==''''，∠∠，那么ABC A B C '''△∽△；④已知ABC △及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5．其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD =6，则AF 等于（） A.B. C.D. 8 答案：A10.如图，在△ABC 中，AB=AC =2，∠BAC =20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ =100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（）答案：A ＢＦＣＥＤＡ第9题二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知26y x =，则y x :=______________. 答案：1∶312. 若线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则AC =________.13．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED 相似，你添加的条件是．答案：如∠ADE=∠C 或∠AED =∠B 或DE ∥BC 等等 14. 如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应是P 1、P 2、P 3、P 4四个点中的点 . 答案：P 315.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm. 答案：1616. 要使两个菱形相似，只需填上一个条件：________. 答案：有一对内角相等17.在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知CD =8cm ，BE =5cm ，则AD= cm ．答案：1018.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格．．中画出．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为________．答案：2∶119. 将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3为 . 答案：1∶3∶520. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在CB ，CD 上滑动，当CM = 时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似.解析：分两种情况讨论.三、解答题（共40分）21. 已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项. 解：设a 、b 、(a +b )的第四比例项为x ，则有x b a b a +=，∴x963=，x =18. 22.如图，在△ABC 中，AC >BC ，D 是AC 边上一点，连接BD ．(1) 要使△CBD ∽△CAB ，还需要补充一个条件是（只要求填一个）；第13题第14题第15题A第18题图B OD M 第20题图A第18题答案BO B/A /解：(1) CBD A ∠=∠（或CDB CBA ∠=∠或CD BC BC AC =，或CD BC BDBC AC AB==等） (2) 设CD x =，则2CA x =+．若CBD CAB △∽△，且2AD =，BC ，则CD BC BC AC =,=, ∴2230x x +-=. 解得1213x x ==-，．经检验，1213x x ==-，都是原方程的解，但23x =-不符合题意，应舍去． ∴1CD x ==． 23. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.解：∵AD ∥BC , ∴△AMD ∽△CMB , ∴214AMD CMB S AD S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△.∵△AMD 的费用为500元, ∴△BMC 的费用为2000元.500+2000=2500>2000, ∴资金不够用. 24.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4． (1) 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ (2) 能否分别过A ，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．解：(1) 不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，90D ∠=°，32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴，．AB ACDE DF≠∴．Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似． (2) 能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°， FDN C ∠=∠∴．∴AMC FND △∽△．E FCM C N F E25. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，AC =6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ． (1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？解：(1) DE BC ∥，ADE ABC ∴△∽△．∴AD AEAB AC =．又82AD x =- ，8AB =，AE y =，6AC =，∴8286x y-=． ∴362y x =-+, 自变量x 的取值范围为04x ≤≤．(2) 11326222S BD AE x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭22336(2)622x x x =-+=--+． ∴当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．。

第二十四章-相似三角形-复习ppt课件

第二十四章相似三角形复习课件
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2）以连接后的这两个向量为邻边向量构造平行四边形
（3）这个平行四边形的对角线向量就是这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则加法：一终二起，一起二终减法：共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果（b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.

相似三角形期末复习

6
2 : 3
2 : 3
4 : 9
2、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
D
A
B
C
5
3
三,相似三角形的应用
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
即
a b b c
= ，
(或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
2
ac
b
=
即：
一.比例线段
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
∴ =
AD AE
AC AB
∴ AD·AB＝AE·AC
作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AD·EF＝AE·EC
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∵E是BC中点，FC= BC
∴
∴
∴△ADE∽△ECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
（1）对应角相等,对应边成比例（2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比（3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
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《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解

《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。

【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。

比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。

比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。

平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形专题复习(精品)

05
相似三角形的解题技巧与策略
相似三角形的解题思路与步骤
明确解题目标：确定要证明的结论和所求的量明确解题方向。
观察图形特征：分析相似三角形的形状、大小关系确定解题方法。
寻找相似条件：根据相似三角形的性质寻找对应边、对应角的关系构建相似三角形。
推导解题过程：利用相似三角形的性质和相关定理推导解题过程得出结论。
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似三角形的判定条件
定义：两个三角形如果对应角相等则它们相似
判定条件：SS、S、SSS、S、HL
应用：证明三角形相似求解线段长度和角度大小
性质：相似三角形对应边成比例对应角相等
03
相似三角形在解题中的应用
题目：在△BC中B=CD是BC上一点∠BD=40°E是D上一点且∠BE=∠CD则∠DEC= _______．题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在等腰三角形BC中B=CD是BC上一点且D=BD若∠CD=50°则∠CB的大小为 _______．
,

浙教版九年级上《第四章相似三角形》期末复习试题(有答案)

期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。

《相似三角形》单元复习

《相似三角形》单元复习相似三角形是初中数学中的重要内容，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为后续学习三角函数、解析几何等知识奠定了基础。

在这个单元的复习中，让我们一起系统地梳理相似三角形的相关知识。

一、相似三角形的定义相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角B 等于角 B'，角 C 等于角 C'，且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，记作：三角形 ABC ∽三角形A'B'C'。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，若角 A ＝角 D，角 B ＝角 E，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

当两个三角形两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等时，这两个三角形相似。

假设在三角形 MNP 和三角形 QRS 中，MN/QR ＝NP/RS，且角 M ＝角 Q，那么三角形 MNP 相似于三角形 QRS。

3、三边成比例的两个三角形相似。

若两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似。

例如三角形XYZ 的三边分别为 3、4、5，三角形 UVW 的三边分别为 6、8、10，因为 3/6 ＝ 4/8 ＝ 5/10，所以三角形 XYZ 相似于三角形 UVW。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。

这是相似三角形的基本性质之一，也是判定相似三角形的重要依据。

第一讲相似三角形的判定及有关性质章末复习方案课件(人教A选修4-1)

2 2 2
∴NE2＋NC2＝EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形．又∵NF⊥EC， ∴FN2＝EF· FC.
返回
[例 7]
如图，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边
AB 上的高，求证： AC2 AD (1) 2＝； CB DB (2)CA· CD＝CB· AD.
返回
[证明]
(1)由射影定理得，
返回
[解]
(1)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，
AE AF ∴ ＝ . ED FG BD 1 2 又＝，∴DC＝2BD＝ BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC，∴ ＝＝， BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG＝ BF，∴ ＝＝ . 3 ED 2 2BF BF 3
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BD m AE m＋n AF (2)当＝时，有关等式：＝ · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． AE AF ∴ ＝ . ED FG BD m BC m＋n 又∵ ＝，∴ ＝ . DC n DC n BF BC m＋n ∵DG∥FC，∴ ＝＝， FG DC n n ∴FG＝ BF， m＋n m＋n AF AE AF ∴ ＝＝ · . ED n n BF BF m＋n
返回
[例 5]
已知：在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点
C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点 F、E.
BD 1 AE 3AF (1)如图(1)，当＝时，求证：＝； DC 2 ED 2FB BD m AE AF (2)如图(2)，当＝时，猜想：与之间是否存 DC n ED FB 在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．

相似三角形知识点整理及习题

相似三角形知识点整理及习题相似三角形知识点整理本章的两套定理：第一套（比例的有关性质）：ac/bd = ad/bc (比例基本定理)bd/ac = dc/ab 或者 bacd = a±bc±d (合比性质)bd/ac = ma+c+…+ma/(b+d+…+n) (等比性质)涉及概念：第四比例项、比例中项、比的前项、后项、内项、外项、黄金分割等。

有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：1) 与全等的判定方法的联系列表如下：类型全等三角形的判定相似三角形的判定SAS 两边对应成比例夹角相等SSS 三边对应成比例AAS（ASA）两角对应相等HL 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出，只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”，就可得到相似三角形的判定定理。

6.直角三角形相似：1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：1)相似三角形的对应角相等。

2)相似三角形的对应边成比例。

3)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

4)相似三角形的周长比等于相似比。

5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2.注意：相似三角形的基本定理是相似三角形的一个判定定理，也是后面研究的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。

相似三角形的判定及有关性质章末总结课件

证明:∵DE∥BC,∴
= .

∵DH∥GC,∴ = .
∴AE·AB=AC·AD=AH·AG.
∴ຫໍສະໝຸດ =,∴
∥BH.
(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.
应用1如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和
AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.
求证:AM2=DM·EM.
提示:将 AM

=DM·EM 化为

2
=
即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
证明:∵AD,CF 是△ABC 的两条高线,
∴∠ADB=∠BFC.又 ∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBF.
∴

=

. 又∵PQ

∥BC,
∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠ACB,
∴△APQ∽△ABC.

.
=
.∴
=
,即
=
∴

又 ∵AP=AD,∴PQ=CF.
的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法
证不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例
线段来解决.
应用2如图,AD,CF是△ABC的两条高线,在AB上取一点P,使
AP=AD,再从点P引BC的平行线与AC交于点Q.
求证:PQ=CF.
提示:利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.
4
= 2.
证明:过点 C 作 CF∥AB 交 ED 于点 F.∴
∵AM=CM,