可压缩气体的流动

有dv ? dp (a)
a?
宗燕兵
4
m
m
dv P+dP a v=0 A ρ+dρ T、P、ρ
n
dv ? dp (a)
a?
P+dP ρ+dρ
a a-dv
T、P、ρ n
连续性方程为: a? A ? (a ? dv)(? ? d ? )A
得：dv ? ad ? ? ? d?
由（a）、(b)得
宗燕兵
(b)
宗燕兵
3
m
m
dv P+dP a v=0 A ρ+dρ T、P、ρ
P+dP a-dv a
ρ+dρ
A T、P、ρ
n
n
将坐标系固定在扰动面mn 上，即观察者随波面mn 一起以速度
a向右运动，气体相对于观察者从右向左流动，经过 mn 。取虚
线范围为控制体。
动量方程为： ? pA ? ( p ? dp) A ? ? Aadv
? ?x dt
运动方程:欧拉方程
z
?
p
v2 ?
?C
? 2g
能量方程: 伯努利方程
宗燕兵
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5.2可压缩气体一元稳定等熵流动的基本方程 5.2.3能量方程 dp ? vdv ? 0 将上式积分，得 ?
dp
??
?
v2 2
?
常数
将等熵过程关 系式代入，
p
?k
?
C
k p v2 ? ?C
k ?1? 2
(1)
a ? dp ＝ kRT
d?
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dp
a?
? kRT
d ? k——绝热指数，k ? Cp ,
CV
p
?k ? C
Cp —等压热容，
Cv ?—等等容容热热容容，k，J/k(Jk/g(?℃kg)；?℃)；
可查表得到。
单原子分子:k=1.67, 双原子(空气):1.4; 三原子分子(水蒸汽):1.33
R：气体常数，
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5.2可压缩气体一元稳定等熵流动的基本方程
（工程上常用:喷管p）? ? RT
p
?k
?
C
5.2.1连续性方程
? vA ? C
(或 d ? ? dv ? dA ? 0） ? vA
5.2.2运动方程
欧拉方程
X ? 1 ?p ? dvx
? ?x dt 气体密度很小，略去质量力
Y ? 1 ?p ? dvy
第五章 可压缩气体的流动
前几章涉及的不可压缩流体的理论对液体和低速运动的气体 是适用的。
当气体的出流速度很高时（接近或超过音速），必须按不可 压缩气体来处理。
工程上的蒸汽、氧气、压缩空气、天然气的出流过程， 出流速度高达数百米，其出流过程必须按不可压缩流体处理。
5.1 基本概念
5.2 可压缩气体一元稳定等熵流动的基本方程
a2 ?ຫໍສະໝຸດ Baidu(1? d ? ) dp ? d?
d ? ?? 1 a ? dp
?
d?
5
a ? dp
d?
说明：1、当不同的气体受到相同的dp 作用时，密度变化dρ
大者（即气体易压缩），则音速较小。所以， 音速可作为表 征气体压缩性的一个指标。
2、不可压缩流体，音速传播很快。只要在其中有压力扰动， 就立即传播到各处。
相同的的dp 作用下,若 dρ 大.
流体易压缩 音速小
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因扰动微小，被扰动的流体 压力、温度、密度变化极小， 因而扰动过程接近于可逆过 程。
扰动过程既可逆又绝 热，即为等熵过程。
因扰动传播迅速，与外界来 不及热交换，因而扰动过程 认为是绝热。
等熵过程关系式：
p
?k
?
C
dp ? kp
d? ?
气体的状态方程： p=? RT
对于不同的气体其音速是不同的。在常压下， 15℃ 空气中的音速为340m/s ；而同样条件下氢气中的音 速是1295m/s 。
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5.1.2 马赫数
马赫数是判断气体压缩性对流动影响的一个准数， 其定义为气体流速与当地音速的比值，即
振动源的传播速度(气体流速)
Ma ? v a
说明： 1、 相同马赫数具有相似的流场特性。
流速和压力表示的 能量方程。
kp ? k (? RT ) ? kRT ? a2
?
?
a2 ? v2 ? C (2) k?1 2
流速和音速表示的 基本方程。
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k p v2 ? ?C
k?1? 2
CP
kp
k ?1 ?
?
CV ? CP ? 1
CP CP ? CV
?
Cp R
p
?
?
C pT
?
i
CV
i称为热焓:单位质量气体所含的热能，单位 :kJ / kg
v2 i? ? C
2
以流速和热焓表示的能 量方程。
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对
k p ? v2 ? C 变形
k?1? 2
1
p?
p v2 ?
?C
k ?1? ? 2
其中
1 p? k ?1 ?
CV C p ? CV
振动波的传播速度 (当地音速)
2、根据马赫数的大小，气体流动分为：
Ma<<1：不可压缩流动。 Ma<1为亚音速流动；
dp a?
d?
Ma=1为音速流动；
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Ma>1为超音速流动
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第五章 可压缩气体的流动
5.1 基本概念 5.2 可压缩气体一元稳定等熵流动的基本方程 5.3 一元稳定等熵流动的基本特性 5.4 理想气体在变截面管中的流动
R
?
CP
? CV
?
8313 M
(m2 / s2 ?K )
M：气体分子量
迈耶公式
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a ? kRT
说明：1、气体的音速随气体的状态参数 T变化而变化，若 同一流场中各点的状态参数不同，则音速也不同，所以音 速指的是流场中某一点在某一时刻的音速，称为 当地音速。
2、音速与气体的种类有关，且与气体绝对温度的平方 根成正比。
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2
5.1.1压力波的传播与音速
音速(声速)：微弱扰动在介质中的传播速度。用字母 a表示。
m
dv
P+dP
a v=0 静止气体
A ρ+dρ T、P、ρ B
n
音速在等直径管内的传播（向右产生一个微小速度 dv ），一层一 层传下去，在管中形成一个扰动面mn ，以速度a向前稳定推进。
未扰动的部分处于静止状态。
5.3 一元稳定等熵流动的基本特性
5.4 理想气体在变截面管中的流动
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1
5.1基本概念
两个问题: 压力波的传播与音速，马赫数
在可压缩气体流动时，大家要注意两个速度： （1） 气体流速的大小； （2） 气体内微小扰动的传播速度。 —即声音在流体中的传播速度（音速）。
微小扰动：压力扰动使压力发生一个微小变化， 从而引起介质的密度也发生一个微小变化。
一维
稳定流动
? ?y dt
Z ? 1 ?p ? dvz
宗燕兵 ? ?z dt
? 1 dp ? v dv
? dx dx
即
dp ? vdv ? 0
?
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复习: 对于欧拉方程，考虑以下特殊条件： 1.理想流体； 2.稳定流动； 3.不可压缩流体； 4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。
X ? 1 ?p ? dvx