导数的概念导学案
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
3.1 导数的概念及其运算导学案
§3.1 导数的概念及其运算2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科&(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1． f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 答案 (1,0)解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．5． 曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．答案 y ＝2x ＋1解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率f ′(－1)＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔfΔx. 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1x ＋2的导数．解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx ＝－12.(2)∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，∴f ′(x )＝lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 学科解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 Z.xx.k ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1.解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (2)∵y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2， 由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 题型三 导数的几何意义例3 已知曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43上，且f ′(x )＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.① 又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1， ② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含学*科*网Z*X*X*K]典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) Z_xx_k 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧 ZXXK]1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与(f (x 0))′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x 与Δx 的区别，这里的x 是常量，Δx 是变量． 2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 2． 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C. D ．ln 2 答案 B解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 4． (2011·大纲全国)曲线y ＝f (x )＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1答案 A解析 ∵f ′(x )＝－2e －2x ， k ＝f ′(0)＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即y ＝－2x ＋2.如图，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)，∴S ＝12×1×23＝13.二、填空题(每小题5分，共15分) Z §xx §k 5． 若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为__________． 答案 [－2,2]解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2.6． 设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， 故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 7． 已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图像在x ＝5处的切线方程为____________． 答案 5x －16y ＋3＝0 解析 由y ＝f (x )＋2g (x )＝h (x )知y ′＝h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.9． (12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离． 解 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x . 所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，切点为T ⎝⎛⎭⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. ZXXK]因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) Z,xx,k 1． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.2． (2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22D.22答案 B解析 ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 3． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则k ＝y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以由基本不等式可得 k ≥－42e x·1ex ＋2＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0. 所以3π4≤α<π.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若函数f (x )＝－13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋5，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线l 的方程为________． 答案 x －y ＋5＝0解析 f ′(x )＝－x 2＋f ′(1)·x －f ′(2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋f ′(1)－f ′(2)f ′(2)＝－4＋2f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝－1，f ′(1)＝1.∴f (x )＝－13x 3＋12x 2＋x ＋5，f ′(x )＝－x 2＋x ＋1.∴f ′(0)＝1，f (0)＝5.∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋5.5. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.6． 曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，134解析 设P (x 0，x 20＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)， 得S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， 所以当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大． 三、解答题7． (13分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
大学导数的概念优质教案
课时：2课时教学目标：1. 理解导数的定义，掌握导数的概念。
2. 能够运用导数的概念解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学重点：1. 导数的定义。
2. 导数的几何意义和物理意义。
教学难点：1. 导数的定义的理解和应用。
2. 导数在解决实际问题中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 导数概念相关的教学视频。
3. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中学过的函数概念，引导学生思考函数在某一点的变化率。
2. 提出问题：如何描述函数在某一点的瞬时变化率？二、新课讲授1. 引入导数的定义：设函数y=f(x)在x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x从x0变到x0+h（h不为0）时，函数值从f(x0)变到f(x0+h)，那么函数值的变化量△y=f(x0+h)-f(x0)，自变量的变化量△x=h。
当h→0时，如果极限存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点x=x0的导数，记作f'(x0)或dy/dx|x=x0。
2. 讲解导数的几何意义：导数f'(x0)表示函数y=f(x)在点x=x0处的切线斜率。
3. 讲解导数的物理意义：导数f'(x0)表示物体在x=x0处的瞬时速度。
4. 通过实例讲解导数的计算方法。
三、课堂练习1. 计算函数f(x)=x^2在x=1处的导数。
2. 计算函数f(x)=lnx在x=1处的导数。
四、小结1. 总结导数的定义、几何意义和物理意义。
2. 强调导数在解决实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课的内容，引导学生回顾导数的定义和几何意义。
2. 提出问题：导数在解决实际问题中有哪些应用？二、新课讲授1. 介绍导数在经济学中的应用：例如，计算成本函数、收入函数、利润函数的边际值。
2. 介绍导数在物理学中的应用：例如，计算速度、加速度、位移等物理量的瞬时值。
3. 介绍导数在工程学中的应用：例如，计算曲线的斜率、切线、法线等。
导数的概念教案
导数的概念教案导数的概念教案一、导学目标：1.了解导数的概念及其作用；2.掌握求导的方法和技巧；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学过程：1.导入导数概念：导数是微积分学中的一个重要概念，它是一个函数在某一点上的切线的斜率。
可以理解为函数的变化率，用来描述函数在某一点附近的变化情况。
2.导数的定义：如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则在 x=a 处的导数定义为：f'(a)=lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)3.求导的方法：（1）导数的基本运算法则：- 常数的导数等于0；- 幂函数的导数等于其指数乘以自身的底数，再乘以幂差一的指数；- 三角函数的导数等于其对应的导数函数；- 指数函数的导数等于其对应的导数函数。
（2）运用链式法则求导：- 两个函数相乘，求导结果等于两个函数的导数相乘；- 复合函数，求导结果等于外函数对内函数求导结果的乘积。
4.导数的应用：通过求导，我们可以得到一个函数在某一点的导数，从而推断出该函数在该点的增减性、极值点、凹凸性等。
5.例题演示：（1）求函数 f(x) = x^2 在 x=2 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (f(x)-f(2))/(x-2) 。
代入函数 f(x) = x^2，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (x^2-2^2)/(x-2) 。
计算出 f'(2)=lim(x->2) (x+2) = 4。
（2）求函数 f(x) = sin(x) 在x=π/6 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (f(x)-f(π/6))/(x-π/6) 。
代入函数 f(x) = sin(x)，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (sin(x)-sin(π/6))/(x-π/6) 。
(完整版)《变化率问题与导数的概念》导学案.doc
的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够
反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于
瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?
问题2:
问题3:
问题4:x≠0
基础学习交流
1 B
2,
0
1,
y=f
(
x+
x
)
-f
(
x
)
=f
(2
.
1)
-f
(2) (2
1
2
-
(2
2
0 41
∴
1)
1)
.
∵x=
x= .
= .
+
+
= . .
2.C
=
=a+b x,f'
(x0)=
=
(a+b x)=a.
3.8
s(2+ t)-s(2)=2(2+
t)
2-2×2
2=2(t)
2+8
t,
∴
=
=
(2
t+8)=8.
4.解:
y=2(3+
x)2+4(3+
x)-(2×32+4×3)=2(
x)2+16x,
=2
x+16,
=(2x+16)=16,
即y'|x=3=16.
重点难点探究
探究一:【解析】
(1)∵y=f(-1+x)-f(-1)=-(-1+x)2+(-1+x)-[-(-1)2+(-1)]=-(x)2+3x,
导数的概念(学案)
课 题导数的概念 课 型 新授 时 间09/ 9 / 课程标准1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、掌握利用定义求函数的导（函）数的基本步骤；3、会用定义求解函数的切线方程。
学习重点1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用一、自主学习1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
（即导数的几何意义） 4.自学检测：（1）见课本（文P66，理P14）练习第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。
（2）见课本（文P67，理P16）习题第2题：=)5(f ；=)5('f ；第4题：斜率为 ；切线方程为 。
学习反思：5.求导数的基本步骤：二、问题探究 问题1：割线逼近切线的方法的理解见课本（文P67，理P16）习题：第5题 ；第6题 。
小结1：问题2：导数概念的理解 若函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+x f x f 2)1()1( = ； （2）=-+x f x f )1()21( = 。
13导数的概念 导学案设计模板
滨城区第一中学 高 三 、科目 数学 人教A 版 导学案编号NO ：13 编写人： 黎红英 审核人： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：课题13：导数的概念与计算【学习目标】1了解导数的概念的实际背景，2、通过函数图象直观理解理解导数的几何意义，3、能用导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，,y=x 2,y=x 3,y=x1,y=x 的导数， 4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5、了解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数 【使用说明及学法指导】1、先复习教材选修2-2相关内容 ；再认真填写针对导学案预习部分的知识梳理；2、知识梳理完成后，试着做基础自测，检测一下自己对这部分内容的掌握程度：3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论；预 习 案【知识梳理】1、 导数的概念（1）函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数①函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝___________________，我们称它为函数y＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.②导数的几何意义函数f(x)在x=x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x 0,f(x 0))处的__________________ (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数).相应地,切线方程为__________________ (2)函数f(x)的导函数称函数f'(x)= __________________为f(x)的导函数. 2．基本初等函数的导数公式若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝xn (n ∈R )，则f ′(x )＝；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝ ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝ ；若f (x )＝x a ，则f ′(x )＝(a ＞0且a ≠1)； 若f (x )＝x e ，则f ′(x )＝ ；若f (x )＝xa log ，则f ′(x )＝ (a ＞0且a ≠1)；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ .3．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ ． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝ ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 【预习自测】1、若f (x )＝c bx ax ++24满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ ( )． A ．－4B ．－2C ．2D ．42．下列求导运算正确的是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2sin x 3、曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝ ( )．A.12 B ．－12 C 、13 D ．－134、曲线y=x e x +2x-1在点(0,-1)处的切线方程为( )(A )y=3x-1 (B )y=-3x-1 (C )y=3x+1 (D )y=-2x-1【我的疑惑】探 究 案【质疑探究一】导数的概念（2）、求下列函数的导数：(1)y ＝e x·ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1.(5)y ＝ln(2x ＋5) (6)y ＝(2x －3)5【拓展提升1】1-1、求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)【质疑探究二】导数的运算 【例2】 (1)已知f(x)=x(2012+ln x),f'(x 0)=2013,则x 0等于( )(A)e 2(B)1 (C)ln 2 (D)e (2)若函数f(x)=cos x+2xf'⎪⎭⎫ ⎝⎛6π,则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π与f ⎪⎭⎫⎝⎛3π的大小关系是( ) (A)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π (B)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π>f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π (C)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π (D)不确定【拓展提升2】21:已知)(1x f =sin x+cos x, )(1x f n +是)(x f n 的导函数,即)()(12x f x f '=,)()(23x f x f '=,…,)(1x f n +=f n '(x),n ∈N *,则f 2013(x)等于( )(A)-sin x-cos x (B)sin x-cos x (C)-sin x+cos x (D)sin x+cos x【质疑探究三】导数的几何意义及应用例3 (1)曲线y=x 3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 .(2)已知f(x)=lnx,7221)(2++=mx x x g (m<0),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1, f(1)),则m 等于( )(A)-1 (B)-3 (C)-4 (D)-2例1：设f (x )在x 0处可导，下列式子中与f ′(x 0)相等的是( ) (1)lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0－2Δx )2Δx ； (2)lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx ； (3)lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0＋Δx )Δx ； (4)lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－2Δx )Δx . A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(3) D ．(1)(2)(3)(4)【拓展提升3】2-1、（1）已知曲线y ＝13x 3＋43.①求曲线在点P (2,4)处的切线方程；②求曲线过点P (2,4)的切线方程 （2）已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【质疑探究四】导数运算的综合应用 【例4】 若函数f(x)=sin )6π3(θ++x (0<θ<π),且f(x)+f'(x)是奇函数,则θ= .【拓展提升4】4-1、若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切,则a 等于( )(A)-1或-6425 (B)-1或421(C)-47或-6425(D)-47或7【我的知识网络图】【当堂检测】1、曲线y ＝e 2x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝12x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1 2曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．3、曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线 y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为____.4、设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．5、设f (x )＝123+++bx ax x 的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值【我的收获】【备选题】1、已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁I N ＝( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22、设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．23、曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12 B.12 C ．－22D.224、设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．6、设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．。
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
第1课时 导数的概念及其运算一、目标要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的概念.3.理解导数的几何意义和物理意义.4.掌握几种常见函数的导数计算公式和导数运算法则.重点：熟练运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 难点：导数概念的理解.二、知识梳理：（P48） 三、主自学习：1.若f (x )=22x 图象上一点(1,2)及附近一点(1+Δx , 2+Δy)，则yx∆∆等于( ) A. 3+2Δx B.4+Δx C.4+2Δx D.3+Δx 2.设函数f (x )可导,则lim(1)(1)3f x f x+∆-∆等于( )A . f ′(1) B. 3f ′(1) C. f ′(1) D. f ′(3)3.（2011·山东卷）曲线y ＝x 3＋11在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.154.写出下列函数的导数：（1）y =x 3－6x 2+11x +6，则y ′＝________.； （2）y =x cos x －sin x ，则y ′＝________.； （3）y =log 2x +2a x ,则y ′＝______________.; (4)1xy x =+,则y ′＝________. 5.(2014届珠海一中等六校联考)一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒6.(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 .7.(2014届广东省百所高中高三联考)曲线y ＝x ＋1x 2(x >0)在点(1,2)处的切线方程为 . 1-3CCC 4. (1)3x 2－12x ＋11 (2)－x sin x ；(3)12ln ln 2x a a x + (4)21(1)x + 5.C 6.3 7. 3x ＋y －5＝0四、考点探究:题型一 对导数概念的理解设函数f (x )在x ＝2处可导且f ′(2)＝3，求lim h →0f (2＋2h )－f (2)h的值．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2题型二 利用导数的定义求导数用导数定义求函数y ＝4x 2的导数．用导数的定义求函数f (x )＝1x的导数．用定义求导的基本步骤：①求函数的增量：Δy ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）；②求平均变化率：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆； ③取极限得导数：0()()'()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆题型三 导数的基本运算求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1.求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝cos 2xsin x －cos x； (3)y ＝2x e x ；(4)y ＝3x ln x ； (5)y ＝x2x ＋1.题型四 导数的几何意义()()()()()314.y 1P 2,4;23P 2,4;343.x =+【例4】已知曲线求曲线在点处的切线方程求曲线过点的切线方程求斜率为的曲线的切线方程(1)设曲线y ＝a e x在x ＝0处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.(2)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.五、课堂检测：1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx 满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx ≠0D.Δx=02.一物体的运动方程是s=3+t 2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.13.(2010·新课标全国)曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+24.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为（ ）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.445. 若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为2x +y +1=0,则（ ）A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)=0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在6．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线（ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定7．设函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a 等于( )A.2B.－2C.3D.不确定8. 曲线y ＝x 2＋3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79. 已知函数y =f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2=0平行,则y ′|x =2等于（ ）A.－3B.－1C.3D.110. 设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.11.曲线f (x )=x 3+x －2在点p 0处的切线平行于直线y =4x －1,求点p 0的坐标。
导学案014(导数的含义、几何意义与运算)
导数的概念、几何意义及运算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．4.［理］能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax +b ）的 复合函数）的导数. 考情分析1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进行考查．2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题．3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步. 教学过程基础梳理： 1、函数的平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为__________。
2、导数的概念：设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，若x 无限趋近于0时，比值____________y x= 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处__________，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的__________，记作__________.若()f x 对于区间(),a b 内任一点都可导，就称()f x 在区间(),a b 内可导，其导数称为()f x 的导函数，简称导数，记作__________. 3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的__________，即0().kf x '=4、导数的物理意义：（1）设()s s t =是位移函数，则0()s t '表示物体在0t t =时刻的__________. （2）设()v v t =是速度函数，则0()v t '表示物体在0t t =时刻的__________.5、基本函数的导数公式（1）()_______(a x a '=为常数），（2）(sin )________,(cos )___________x x ''==；（3）()________(0x a a '=>且1a ≠），()_x e '=；（4）(log )________(01),a x a a '=>≠且(ln )________x '=。
导数的概念及其几何意义导学案
★精品文档★
导数的概念及其几何意义(4) 导学案
三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第七课时导数的几何意义习题课学习目标会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方
程
学习重点曲线上一点处的切线斜率的求法学习
难点理解导数的几何意义
学法指导探析归纳，讲练结合学习过程一自主学习复习：导数的几何意义：函数在x0 处的导数就是曲线在点( x0，)处的切线的斜率。
二师生互动
例1 、在曲线上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足列条件：
★精品文档★
（1）平行于直线y＝x＋1；
（2）垂直于直线2x－16y＋1＝0；
（3）倾斜角为135°。
例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。
例3 、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，
根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
三、自我检测
练习册：7、8．
四、课堂反思
1 、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2 、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
习题2-2A： 3.4.5B。
初中数学中什么是导数教案
初中数学中什么是导数教案教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决一些实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和意义；2. 导数的计算方法。
教学难点：1. 导数的定义的理解；2. 导数的计算方法的掌握。
教学准备：1. 课件；2. 习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习函数图像的特点；2. 提问：如何描述函数在某一点的“变化率”呢？二、新课导入（15分钟）1. 介绍导数的定义：导数是描述函数在某一点附近变化率的一个数学概念；2. 解释导数的意义：导数可以帮助我们了解函数在某一点的斜率，即切线的斜率；3. 引导学生通过图像理解导数的意义：函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率；4. 举例说明导数的计算方法：a. 基本初等函数的导数公式；b. 导数的四则运算法则；c. 复合函数的导数运算法则。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固导数的计算方法；2. 引导学生思考如何应用导数解决实际问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考导数在实际生活中的应用，如速度、加速度等问题；2. 举例说明如何利用导数解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结导数的定义、意义和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用。
六、布置作业（5分钟）1. 让学生课后复习导数的定义和计算方法；2. 布置一些实际问题，让学生运用导数解决。
教学反思：本节课通过导入、新课导入、课堂练习、拓展与应用、课堂小结和布置作业等环节，让学生学习了导数的定义、意义和计算方法。
在教学过程中，要注意引导学生通过图像理解导数的意义，让学生掌握导数的计算方法，并能够应用导数解决实际问题。
在课后，教师应加强对学生的辅导，帮助学生巩固所学知识。
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
导数的概念教(学)案
【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。
【教学重点】：在一点处导数的定义。
【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。
【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。
【教学过程】：一） 导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。
问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为00()()s t s t v t t -=-若0t t →时平均速度的极限存在，则极限00()()limt t s t s t v t t →-=-为质点在时刻0t 的瞬时速度。
问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。
下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。
问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为0000()()tan y y f x f x x x x x ϕ--==--（ϕ为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限00()()tan limx x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）为点M 处的切线的斜率。
导数的概念及其几何意义 学生导学案 【第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动】
Δt<0
平均速度
时间区间
[1.5,1.51] [1.5,1.501] [1.5,1.5001] [1.5,1.50001] [1.5,1.500001] [1.5,1.5000001] [经过以上 2 个时刻的计算，大家发现瞬时速度可以怎样得到？
平均速度
1
我们再来研究 t=1.5s 的瞬时速度. 请填写运动员在 1.5s 附近的平均速度的表格.
时间区间
[1.49,1.5] [1.499,1.5] [1.4999,1.5] [1.49999,1.5] [1.499999,1.5] [1.4999999,1.5] [1.49999999,1.5] 1.5s 的瞬时速度是
问题 3：当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度什么特点？
平均速度
问题 4：要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个 量，使其得到简化？ 以上三个式子可以统一写成 化简后是 问题 5：当Δt 趋于 0 时，平均速度有怎样的变化趋势？ 讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在 t 2s 的瞬时速度，类比上面的做法
l1 是否为曲线在点 A 处的切线? l2 是否为曲线在点 B 处的切线?
l2 是否为曲线在点 C 处的切线?
例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却 和加热. 如果在第xh时，原油的温度(单位 : 0C)为y f (x) x2 7x 15(0 x 8）.计 算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
果在第 x h 时，原油的温度为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8) 。计算第 2 h 与第 6 h 时，原油 温度的瞬时变化率.
问题 10：导函数的概念是
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
Δx→0
A. f′(1)
1 C. f′(1) 3
B. 3f′(1)
3x
等于(
)
D. f′(3)
选C.因为f(x)可导，
f (1 x) f (1) lim 所以 x 0 3x 1 f (1 x) f (1) 1 lim g ' (1) x 0 3 x 3
4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
(1)设曲线 y＝aex 在 x＝0 处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂 直，则实数 a＝________. 1 (2)直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实 数 b＝________.
2 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
导数的概念----问题导学法教学设计
“导数的观点”——问题导学法教课方案一、三维目标（一）知识与技术理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的观点.（二）过程与方法经过观看国家运功员跳水视频，引出刹时速度，从而联合刹时变化率及极限的思想得出导数的观点.（三）感情、态度与价值观学生经过观看运动员跳水视频，理解刹时速度及刹时变化率，从而过渡到导数，培育了学生自主察看、发现新知的能力.二、教课重难点要点：导数的观点难点：导数的观点形成过程三、教课过程（一）新课导入师：在前面的学习中，我们已经学习了物体运动的均匀速度及均匀速率的知识，可是，在实质生活中，我们常常需要知道物体在某一时辰的速度及速度在该点处的刹时变化率。
比如：国家运动员高台跳水，从起跳到落入水中这一过程（PPT演示视频），请同学们仔细观看视频，并回答所提出的的问题。
问题 1：运功员在起跳和落入水中的那一瞬时，有没有速度？在物理学中，我们把这类速度称为何？师：这个画面显示的是运动员在2s 处的地点（ PPT 演示）问题 2：在这个地点运动员有没有速度呢？运动员是动的仍是静止的呢？问题 3:同学们怎样利用刹时上述均匀速度靠近于刹时速度的思想来求运动员在 t=2s 处的速度？问题 4：怎样计算 2,2t 内的均匀速度？师：计算量比较大，这里课本已经给出了 t 的一些取值的结果， 而且跟着 t 愈来愈小，我们发现了什么规律呢？（设计企图：指引学生发现新知 : t 趋势于 0 时，均匀速度趋势于 t=2 的速度）问题 5：类比学习的思想， t=0,t=1 的刹时速度怎么表示？ t=t 0 呢？ （二）观点形成师：问题 5 中，我们已经知道了运动员在t=t 0 的刹时速度。
那么函数在 x=x 0处的刹时变化率又怎么表示呢？问题 6：函数 yf ( x) 在 x=x 0 处的刹时变化率是什么？导数的观点：一般地，函数函数y f (x) 在 x=x 处的刹时变化率是lim ylimf ( xx)f ( x 0 ),t 0x t 0x我们把他称为函数 y f (x) 在 x=x 处的导数，记作 f ( x 0 ) 或 y x x（三）观点深入问题 7：导数的实质是什么？问题 8： f ( x 0 ) 与 x 的取值相关系吗？问题 9：导数的观点公式中的分子、分母分别表示什么？（四）应用例题例1、已知函数 y x 3，求 f ( 2).（设计企图：经过实例，让学生理解导数的观点的简单应用）（五）应用练习练习 1、已知函数 y1，求 f (1)， f ( x 0 )x（活动：小组合作沟通达成，随机抽取一组派代表解说，投影展现其余小组的成就）（六）总结概括说说我们本节课所收获的知识：问题 10：导数的观点是什么？问题 11：在本节学习中，我们学习了哪些思想方法？（七）板书1.1.2 导数的观点1、导数的观点：一般地，函数函数y f ( x) 在 x=x 0 处的刹时变化率是lim y lim f (x 0x)f ( x 0 ),t 0x t 0 x（八）教课反省三个亮点：（1）（ 2） （ 3）两个不足：（1）（ 2）一个建议：。
导数的概念导学案
§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 学习重点难点：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 学习过程 一、课前准备<预习教材，4-6找出疑惑之处）复习1：气球的体积V 与半径之间的关系是，求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：.求在这段时间里，运动员的平均速度.b5E2RGbCAP 二、新课导学 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置>的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的 得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即注意：(1>函数应在点的附近有定义，否则导数不存在(2>在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0(3>是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点<）及点）的割线斜率(4>导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. p1EanqFDPw 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度<单位：）为. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.DXDiTa9E3d 总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s>，(1>当t=2，Δt=0.01时，求. (2>当t=2，Δt=0.001时，求.(3>求质点M 在t=2时的瞬时速度 小结：利用导数的定义求导，步骤为： 第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数.动手试试一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m ，时间单位：s>，求小球在时的瞬时速度 三、总结提升 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=学习评价当堂检测<时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为< ）Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度2. 在=1处的导数为< ）A．2 B．2 C． D．13. 在中，不可能< ）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于04.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为5. 若，则等于申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速
度，理解导数(瞬时变化率)的概念
预习内容：
问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为
)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t
s v x ∆∆=→∆0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000
0()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑?
课内探究学案
一：探究求导数的步骤：
（即________变化率）
二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数.
(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
三：有效训练
求22+=x y 在点x=1处的导数.
);()()1(00x f x x f y -∆+=∆求增量;)()()2(00x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆算比值时）（在求0.)3(0→∆∆∆='=x x
y y x x
反思总结：
附注： ①导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同
②定义的变化形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)
()(lim )(lim 0000；
()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x
x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000； 0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
当堂检测：
1、已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ）
A 、)()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量；
B 、x x f x x f x y
∆-∆+=∆∆)
()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率；
C 、)(x f 在点0x 处的导数记为y '；
D 、)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '。
课后练习与提高
1、若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）
A 、6
B 、18
C 、54
D 、81
2、设函数)(x f 可导，则x f x f x ∆-∆+→∆3)
1()1(lim 0=（ ）
A 、)1(f '
B 、)1(31
f ' C 、不存在 D 、以
上都不对
3、函数y=x 2在1=x 处的导数是______________.
4、已知自由下落物体的运动方程是22
1gt s =，(s 的单位是m,t 的单位是s)，求：
（1）物体在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度；
（2）物体在0t 时的瞬时速度；
（3）物体在0t =2s 到s t 1.21=这段时间内的平均速度；
（4）物体在s t 2=时的瞬时速度。