分离参数法 - 学生版

合集下载

第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题 (精讲+精练)(学生版)

第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法高频考点二：已知零点个数求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法第四部分：高考真题感悟第五部分：第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）1、分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题： ①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2、分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a 范围核心知识点：将()a x f ,与0的大小关系转化成()x g 和()a h 的大小关系 ①,()()x D h a g x ∀∈≥恒成立⇔max ()()h a g x ≥ ②,()()x D h a g x ∀∈≤恒成立⇔min ()()h a g x ≤ ③,()()x D h a g x ∃∈≥恒成立⇔min ()()h a g x ≥ ④,()()x D h a g x ∃∈≤恒成立⇔max ()()h a g x ≤4、常见题型2：已知零点个数求解参数a 范围核心知识点：将()0,=a x f 转化成()()x g a h =，应用导数方法绘制()x g 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e<<+ D ．11a e<<2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 3．（2015·浙江金华·高二期中（理））1kx ≤-对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围是：___________．4．（2022·全国·高三专题练习）若存在[]0,1x ∈，使得13713x x m +≥+成立，则实数m 的取值范围是___________. 5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数()32133f x x x x a =---有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1af x x a R x =-∈+.若函数()y f x =在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式ln 0x mx ->只有一个整数解，则m 的取值范围是（） A ．10,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11ln 2,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11ln 3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值范围为（） A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()e ln x f x x x x =--，若不等式()f x a ≥恒成立，则a 的最大值为（） A ．1B ．e 1-C ．2D ．e4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若32223328e 4e e x x x x x a x a a ++<++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________;6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f (x )＝ax －2ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝x －2，若存在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈． (1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数()e 1,()ln x f x a g x x =+=． (1)讨论函数()()()e xxf x xh x g x -=+的单调性； (2)若()()1xf x g x <+，求a 的取值范围．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-，R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2ex x xf x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.②部分分离参数法1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数()4ln 8f x x kx k =--+，若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，则k 的取值范围为（） A ．[1,)+∞B ．[e,)+∞C ．[4,)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()21xkx k e x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（）A ．23243k e e≤< B ．23243k e e<≤ C ．324354k e e <≤ D ．324354k e e ≤< 3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数()()()3213853f x x x a x a a R =-+---∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（） A ．11,156⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()e 13xf x x ax a =-+-，其中1a <，若有且只有一个整数0x ，使得()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．23,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()31e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a的取值范围是（） A ．218,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．436427,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32278,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()2ln ||28f x x x ax a =-+-，其中0a ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最值；（2）若存在唯一整数0x ，使得0()0f x ，求实数a 的取值范围．高频考点二：已知零点个数求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·全国·高二期末）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（） A ．e 1k -<≤B ．11ek -<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数(),12,1x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若()f x k -有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数()e 1xaf x x =--有唯一零点，则实数a 的值可以是（） A ．1-B ．12-C ．0D ．14．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数()e ln xy x a x x =+-存在零点，则实数a的取值范围是______．5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数3()3f x x x a =--仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数()ln f x a x =- (1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(]0,16上有两个零点，求a 的取值范围．7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数32()31f x x ax x =-++. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有三个零点，求a 的取值范围.（注：3232(2)(1)x x x x --=-+）8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()21e ,0e 2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()0f x =的根为________．若函数()()y f f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是________．②部分分离参数法1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2e 1,0ln 1,0xx f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有两个不同的实数根，则k 的取值范围为（） A ．()(),20,1-∞-⋃ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),00,1-∞⋃D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是（）A ．1,1ln 24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1e ,122⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =--，若关于x 的方程()f x x a =+恰有四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数()24ex x f x =，若存在1x ，2x ，…，()*n x n ∈N ，使得()()()1212222n nf x f x f x x x x ---==⋅⋅⋅=，则n 的最大值为______. 5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知()2,112e ,1x x f x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-⎩若方程()2f x mx =+有一个实数根，则实数m 的取值范围是___________.1．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有个1零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有个3零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有个3零点．其中所有正确结论的序号是_______．2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．4．（2020·浙江·高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式3221e xax x axx +++≥在0,上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．1,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e 2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ln ,()12f x xg x x ==+，直线()y t t R =∈与函数(),()f x g x 的图象分别交于点()()1122,,,A x y B x y ，若对任意t R ∈，不等式2121x x a -≥+成立，则实数a 的取值范围为 A ．ln 21,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．ln 23,4+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．ln 2,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,ln21]-∞-3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数()2x e ax a g x x-+=在[]2,3内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)3,e ⎡-+∞⎣B ．)2,e ⎡-+∞⎣C ．()3,e -+∞D ．()2,e -+∞4．（2022·全国·高二）若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．(]2ln3,2ln 2-- B ．(),2ln 2-∞- C ．(],2ln3-∞-D ．(),2ln3-∞-5．（2022·全国·高二）若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（） A ．1(,]e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]eD ．1(0,)e6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数()1ln()f x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A ．ln 2k ≠B ．ln2k >C ．ln 2k ≥D ．0ln 2k <<7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当,()0x ∈+∞时，函数()e x f x k =的图象与函数2()21xg x x =+的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．⎛ ⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()1,0,0x x f x xe x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩且关于x 的方程()0f x ax -=有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（）A ．(],e -∞-B ．(),e -∞-C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）方程1ln cos 3x x +=在(0,1)上的实数根的个数为___________.10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式()()23e 2x x a x -<-在(),2-∞上仅有一个整数解，则a 的取值范围是______．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e (31)x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是____.12．（2022·全国·高三专题练习）已知()|sin(2)6h x m x π=+-+的最小值为0，则正实数m 的值为__．三、解答题13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()21e x f x x x -=-+⋅. (1)求()f x 的单调区间；(2)若不等式()22f x x x m ≥-++对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x ∈1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，求实数m 的取值范围．15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为2y =-.(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[]0.80=，[]1.42-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+，求[]t 的最大值.16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知()()2x x m f x m R e+=∈. （1）若34m =，求()f x 的极值.（2）若方程()8ln x e f x x ⋅=在[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.。

利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法学生版

利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法基本方法直接法：直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围典型例题(1)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解典型例题(2)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍典型例题(3)温馨提醒：已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准确.这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题典型例题精选与变式（1）已知函数()g x 满足()12g x g x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当[]1,3x ∈时， ()ln g x x =.若函数()()f x g x mx =-在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（） A. ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 3ln3,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,ln3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)已知函数f (x )=|x|x+2-kx 2(x ∈R )有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,1)D.(1,+∞)(3)若函数f (x )=x 2+2a|x|+4a 2-3的零点有且只有一个,则实数a= .新题好题训练与提高1.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞2．（2020·天津和平高三三模）已知函数()f x x a a =--+，()243g x x x =-+，若方程()()f x g x =有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1313,,228⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．113513,282⎛⎫+⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．1313,228⎛⎡⎤⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭D ．1313,228⎛⎡⎤⎢⎥ ⎣⎦⎝⎦3．（2020·重庆九龙坡高三三模）已知函数()31(0)log (0)x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（） A ．()1，-+∞ B ．71,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．73⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．71,3⎛⎤- ⎥⎝⎦4．（2020·湖南长郡中学高三三模）已知函数()2ln ,0,0x x f x x ax x >⎧=⎨--≤⎩，若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()2,1--C ．()1,0-D ．(),1-∞-5．（2020·河北衡水中学高三三模）已知函数()()22,1109,1xx x e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,4 B ．()1,16- C ．(][)1,01,16- D ．{}[)01,4。

(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档

高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。

∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

方法3.4 分离(常数)参数法(讲)-2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 Word版含解析

2019届高三二轮精品第三篇方法应用篇方法四分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+，，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（Ⅰ）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴，即.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，．由题意得在[]1,2x ∈时恒成立，∴在[]1,2x ∈时恒成立．令，则有，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴.∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =，且，所以，且即且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，第21题解答图第21题图1第21题图2由消去y ，可得.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以，即. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得；同理可得.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和，可得. ②将①代入②得，.当214k >时，；当2104k ≤<时，.因2104k ≤<，则，22214k ≥-，所以，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3.已知函数，判断函数()f x 的单调性.【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例4.【2018届高三训练】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈1(0, 2⎤⎥⎦恒成立，则a 的最小值为( )A. 0B. －2C. －52D. －3 【答案】C【解析】因为x∈1(0, 2⎤⎥⎦，且x 2＋ax ＋1≥0，所以a≥－1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. 又y ＝x ＋1x 在1(0, 2⎤⎥⎦内是单调递减的，所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－(12＋112)＝－52 故选：C1.3 用分离常数法创设应用基本不等式的条件例5.已知，则的大小关系是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【山东省济南市2019届高三上学期期末】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】学-科网作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：变量分离可得：，令则,又∴∴故选：B例7.【广东省2019届高三上期末】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.（2）由可得，即.因为，所以.令，则.令则（8分）因为，所以，所以在上单调递增，则，所以，即实数的取值范围.2.2 求定点的坐标例8. 已知直线l ：，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1). 【解析】直线l 的方程可化为，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1).【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

分离参数法解决恒成立问题的步骤

引言在数学建模和问题求解过程中，分离参数法是一种常用的方法，用于解决恒成立问题。

本文将以分离参数法解决恒成立问题的步骤为主题，深入探讨这一方法的应用和原理。

通过对这一主题的深度分析，希望读者能更全面地了解分离参数法在解决恒成立问题中的作用和意义。

一、分离参数法的基本概念分离参数法是一种通过引入新的参数，将原方程中的变量分离的方法。

在解决恒成立问题时，我们通常会遇到一些复杂的方程或不等式，通过分离参数法可以简化问题的求解过程。

这种方法的关键在于选择合适的参数，使得原方程中的变量可以被分离或者化简成更容易处理的形式。

二、分离参数法解决恒成立问题的步骤1. 确定需要分离的参数在使用分离参数法解决恒成立问题时，首先需要确定需要引入的参数。

这一步需要观察原方程的形式，找到能够将变量分离的合适参数。

通常情况下，选择参数需要考虑到简化方程和减少求解难度的原则。

2. 将参数引入原方程确定了需要分离的参数后，接下来就是将参数引入原方程。

这一步需要仔细分析原方程的结构，选择合适的方式引入参数，并进行变形操作，使得原方程中的变量能够被成功分离。

3. 分离变量并求解引入参数后，原方程中的变量应该被分离到各自的部分，使得方程的形式更简单或者更易于处理。

在分离变量的过程中，可能会需要运用一些基本的数学技巧或变换方法。

对分离后的方程进行求解，得到恒成立条件或者特定的解。

三、分离参数法解决恒成立问题的示例分析举例来说明分离参数法解决恒成立问题的具体步骤。

假设有一个非常简单的不等式问题：证明当x＞0时，恒有2x+1＞0成立。

这个问题可以通过分离参数法得到简单的解。

首先我们选择参数t，使得2x+1可以被分离为2(x-1/t)+1/t，接着我们引入t后，可以得到不等式 2(x-1/t)+1/t＞0。

由于x＞0，所以x-1/t＞0，因此不等式转化为1/t＞0。

当1/t＞0时，不等式2(x-1/t)+1/t＞0成立。

根据1/t＞0，我们知道t必须是正数，因此不等式2x+1＞0在x＞0时恒成立。

25.分离常数法和分离参数法

分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。

解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。

由1x ≤，得 21x -≤-。

所以1102x -≤<-。

故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。

解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。

3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。

解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。

所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。

通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。

这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。

高考数学常用的解题技巧第05讲分离参数法(含答案)

第05讲：分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现，特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中，经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成()()k f x k f x 或的形式，再解答.二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号，可以分类讨论，也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数xx x f ln 1)(（1）求曲线)(x f y 在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值；（3）对(0,),()2x f x bx 恒成立，求实数b 的取值范围．列表：x )1,0(1),1()('x f - 0 +)(x f ↘0↗函数)(x f y 的极小值为0)1(f , 无极大值。

（3）依题意对(0,),()2x f x bx 恒成立等价于2ln 1bx x x 在(0,)上恒成立可得x xx b ln 11在(0,)上恒成立，令21ln ln 2()1()xx g x g x x x x【点评】本题第（2）问是恒成立问题，刚好b 的系数x 是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值,比较简洁. 【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x . （1）若0a ,试判断()f x 在定义域内的单调性；（2）若()f x 在1,e 上的最小值为32,求a 的值；（3）若2()f x x 在1,上恒成立,求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x (,a b R,且0)的部分图象如图所示．(1) 求,,a b 的值；(2) 若方程23()()0f x f x m 在2(,)33x 内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．高中数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) f x 在0,上是单调递增函数；（2）a=-e ；（3）1a .【反馈检测1详细解析】（1）由题意知f x 的定义域为0,,且221f '(x)=+=, a>0,a xax x x ,x2376yO 1。

每日一题型7恒成立之分离参数最值法

每日一题型 7 恒成立之分离参数最值法在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．分离参数最值法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、x D ∈,[](),f x a b ∈()m f x x D m b >∈⇔>在上恒成立 ()m f x x D m a <∈⇔<在上恒成立 ()m f x x D m b ≥∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a ≤∈⇔≤在上恒成立思路2、x D ∈,()(),f x a b ∈()m f x x D m b >∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a <∈⇔≤在上恒成立 ()m f x x D m b ≥∈⇔≥在上恒成立 ()m f x x D m a ≤∈⇔≤在上恒成立先看看几道例题：1．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得.即22a x x >--而223x x --≤- 所以3a >- 2.已知当x R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)=4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+33,∴即上式等价于或解得.注：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

分离参数法求解高考压轴题

分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题一洛必达法则介绍如果当0x x ®(或¥®x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x ®或)()(lim x g x f x ¥®可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或¥¥．1．（洛必达法则1）型不定式型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）0)(lim )(lim 0==®®x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3） A x g x f x x =¢¢®)()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim )()(lim 0（或为无穷大）．（或为无穷大）．把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．时，结论也成立．2（洛必达法则2）¥¥型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）¥=¥=®®)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3）A x g x f x x =¢¢®)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim)()(lim（或为无穷大）把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0³x ，都有ax x f ³)(成立，求实数a 的取值范围．的取值范围．解：分离变量法解：分离变量法 ①若①若0=x ，则R a Î. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++£，则m in ])1ln()1([xx x a ++£。

导数大题求参归类(学生版)

导数大题求参归类目录题型01 恒成立求参：常规型题型02 恒成立求参：三角函数型题型03恒成立求参：双变量型题型04 恒成立求参：整数型题型05恒成立求参：三角函数型整数题型06“能”成立求参：常规型题型07“能”成立求参：双变量型题型08“能”成立求参：正余弦型题型09 零点型求参：常规型题型10 零点型求参：双零点型题型11 零点型求参：多零点综合型题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构题型13 虚设零点型求参高考练场热点题型归纳题型01恒成立求参：常规型【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法：(1)分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；(2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.1(2024上·北京·高三阶段练习)设a>0，函数f(x)=x a ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤x，求a的取值范围；(3)若f (x)≤1，求a．2(2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数f x =2xe x+a ln x+1.(1)当a=0时，求f x 的最大值；(2)若f x ≤0在x∈0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.【变式训练】1(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数f x =x2-ax e x．(1)若f x 在-2,-1上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若f x ≥sin x对x∈-∞,0恒成立，求实数a的取值范围．2(2024上·山西·高三期末)已知函数f x =m x-12-2x+2ln x，m≥2.(1)求证：函数f x 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间a,b的长度b-a的取值范围；(2)当x≥1时，f x ≤2xe x-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.3(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=2x2-a ln x-1，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x+1)>(x+1)2+1x+1-1e x恒成立，求实数a的取值范围．题型02恒成立求参：三角函数型【解题攻略】三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sin x x≥0.1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin xx，g x =a cos x．(1)求证：x∈0,π2时，f x <1；(2)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x >g x 恒成立，求实数a的取值范围；(3)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x2>g x 恒成立，求实数a的取值范围．2(2023上·全国·高三期末)已知函数f (x )=e x sin x -2x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2)求f (x )在区间0,π2上的最大值；(3)设实数a 使得f (x )+x >ae x 对x ∈R 恒成立，求a 的最大整数值.【变式训练】1(2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习)已知函数f x =e ax -2ax a ∈R ,a ≠0 .(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≥sin x -cos x +2-2ax 对任意x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.2(2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习)已知函数f x =e x-sin x-cos x,f x 为其导函数．(1)求f x 在-π,+∞上极值点的个数；(2)若f (x)≥ax+2-2cos x a∈R对∀x∈-π,+∞恒成立，求a的值．题型03恒成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2023·四川攀枝花·统考模拟预测)已知函数f x =ae x -x a ∈R ．(1)当a =1时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =x 2-1 e x -x -f x ，当g x 有两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 时，总有tg x 2 ≥2+x 1 ex 2+x 22-3 成立，求实数t 的值．2(2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)设函数f x =e x -ax ，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )在[1,+∞)上的极值；(2)若函数f (x )有两零点x 1,x 2x 1<x 2 ，且满足x 1+λx 21+λ>1，求正实数λ的取值范围.【变式训练】1(2023·上海松江·校考模拟预测)已知函数f (x )=ax -a ln x -e xx.(1)若a =0，求函数y =f (x )的极值点；(2)若不等式f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y =f (x )有三个不同的极值点x 1、x 2、x 3，且f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)≤3e 2-e ，求实数a 的取值范围.2(2023下·山东德州·高三校考阶段练习)已知函数f x =2ln x +12(a -x )2，其中a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f x 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ,f x 2 -f x 1 的取值范围为34-ln2,158-2ln2 ，求a 的取值范围.题型04恒成立求参：整数型【解题攻略】恒成立求参的一般规律①若k ≥f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≥f (x )max ；②若k ≤f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≤f (x )min ；③若k ≥f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≥f (x )min ；④若k ≤f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≤f (x )max ；如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号1(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知f x =e x -2x +a ．(1)若f x ≥0恒成立，求实数a 的取值范同：(2)设x 表示不超过x 的最大整数，已知e x +2ln x -e +2 x +2≥0的解集为x x ≥t ，求et ．(参考数据：e ≈2.72，ln2≈0.69，ln3≈1.10)2(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =ae x-2，g x =x+1x+2ln x，e=2.71828⋯为自然对数底数．(1)证明：当x>1时，ln x<x2-12x；(2)若不等式f x >g x 对任意的x∈0,+∞恒成立，求整数a的最小值．【变式训练】1(2023·江西景德镇·统考一模)已知函数f x =sin x+sin ax，x∈0,π2.(1)若a=2，求函数g x =f x +sin x值域；(2)是否存在正整数a使得f xx>3cos x恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =5+ln x，g x =kxx+1k∈R．(1)若函数f x 的图象在点1,f1处的切线与函数y=g x 的图象相切，求k的值；(2)若k∈N∗，且x∈1,+∞时，恒有f x >g x ，求k的最大值．(参考数据：ln5≈1.61,ln6≈1.7918,ln2+1≈0.8814)题型05恒成立求参：三角函数型整数1(2020·云南昆明·统考三模)已知f(x)=e x-2x-1 2．(1)证明：f(x)>0；(2)对任意x≥1，e sin x+x2-ax-1-ln x>0，求整数a的最大值．(参考数据：sin1≈0.8,ln2≈0.7)2(2020上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =a sin x +sin2x ，a ∈R .(1)若a =2，求函数f x 在0,π 上的单调区间；(2)若a =1，不等式f x ≥bx cos x 对任意x ∈0,2π3恒成立，求满足条件的最大整数b .【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x +a cos x -2x -2，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)讨论f ′(x )在区间0,π2 内极值点的个数；(2)若x ∈-π2，0时，f (x )≥0恒成立，求整数a 的最小值．2(2023·云南保山·统考二模)设函数f x =x sin x ，x ∈R (1)求f x 在区间0,π 上的极值点个数；(2)若x 0为f x 的极值点，则f x 0 ≥λln 1+x 20 ，求整数λ的最大值.题型06“能”成立求参：常规型【解题攻略】形如f x ≥g x 的有解的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x max≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a≥φx 或a≤φx 恒成立，即a≥φx min或a≤φx max恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可.1(2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中)已知函数f x =a ln x+x，a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x∈e,e2，使f x ≤ax+1 2ln x成立，求实数a的取值范围.注：e为自然对数的底数.2(2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习)已知函数f x =a2e2x+a-2e x-12x2，y=g x 是y=f x 的导函数.(1)若a=3，求y=g x 的单调区间；(2)若存在实数x∈0,1使f x >32a-2成立，求a的取值范围.【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =x2+a ln ex．(1)讨论f x 的单调性；(2)若存在x∈1,e，使得f x -ax-a≤2，求实数a的最小值．2(2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习)已知函数f x =a ln x+1-a2x2-x a∈R.(1)若a=2，求函数f x 的单调区间；(2)若存在x0≥1，使得f x0<aa-1，求a的取值范围.题型07“能”成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)相等关系记y =f x ,x ∈a ,b 的值域为A , y =g x ,x ∈c ,d 的值域为B ,①若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊆B ；②若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊇B ；③若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，故A ∩B ≠∅；(2)不等关系(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2022·江西上饶·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=2ax -e x +2，其中a ≠0.(1)若a =12，讨论函数f (x )的单调性；(2)是否存在实数a ，对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f x 1 +f x 2 =4成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．2(2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f x =a ln x +1xx >0 ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x 1，x 2满足0<x 1<x 2，且x 1+x 2=1，f x 1 =f x 2 ，求实数a 的取值范围．【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 2-2+5a x +5ln x a ∈R ，g x =x 2-52x .(1)若曲线y =f x 在x =3和x =5处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f x 的单调区间；(3)若对任意x 1∈0,52 ，均存在x 2∈0,52，使得f x 1 <g x 2 ，求a 的取值范围．2(2023上·重庆·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ax +ln x (a ∈R ),g (x )=x 2-2x +2．(1)当a =-12时，求函数f (x )在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)若对任意的x 1∈[-1,2]，均存在x 2∈(0,+∞)，使得g x 1 <f x 2 ，求a 的取值范围．题型08“能”成立求参：正余弦型1(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)函数f (x )=a cos x -x +b (a >0,b >0).(1)求证：函数f (x )在区间0,a +b 内至少有一个零点；(2)若函数f (x )在x =-π6处取极值，且∃x ∈0,π2 ，使得f (x )<3cos x -sin x 成立，求实数b 的取值范围.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x +2-2cos x(1)求函数f (x )在-π2，π2 上的最值：(2)若存在x ∈0，π2使不等式f (x )≤ax 成立，求实数a 的取值范围【变式训练】1(2020·四川泸州·统考二模)已知函数f (x )=sin x x,g (x )=(x -1)m -2ln x .(1)求证：当x ∈(0,π]时，f (x )<1；(2)求证：当m >2时，对任意x 0∈(0,π]，存在x 1∈(0,π]和x 2∈(0,π](x 1≠x 2)使g (x 1)=g (x 2)=f (x 0)成立.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ln1+x-a sin x，a∈R．(1)若y=f x 在0,0处的切线为x-3y=0，求a的值；(2)若存在x∈1,2，使得f x ≥2a，求实数a的取值范围．题型09零点型求参：常规型【解题攻略】零点常规型求参基础：1.分类讨论思想与转化化归思想2.数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处(极值点处)3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。

(分离常数法与分离参数法)

分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。

分离参数法求解参数问题含详解

一、分离参数，绕开分类讨论
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…）（2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间．【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）．【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx，则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0，故所求切线方程为 x+y﹣e＝0．（2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练)(学生版)

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法高频考点二：分类讨论法高频考点三：等价转化法第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若()a f x >)对x D ∈恒成立，则只需max ()a f x >；若()a f x <对x D ∈恒成立，则只需min ()a f x <． ③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(0a >，0∆<或0a <，0∆<)求解．3、等价转化法当遇到()()f x g x ≥型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数()()()F x f x g x =-或者“右减左”的函数()()()H x g x f x =-，进而只需满足min ()0F x ≥，或者max ()0H x ≤，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.1．（2022·全国·高二）设a 为正实数，函数322()34f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．2(0,)32．（2022·全国·高二）若不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．27a <-B ．25a >-C ．29a ≥D ．29a >3．（2022·全国·高二）已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-高频考点一：分离变量法1．（2022·全国·高三专题练习）设a R ∈，若不等式ln ax x >在()1,x ∞∈+上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,∞+D ．()e,+∞2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数2()ln 2a f x x x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x -≥-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)4∞+，B ．()4.∞+C ．(]4∞-，D ．()4∞-，3．（2022·全国·高三专题练习）已知对(0,)x ∀∈+∞，不等式ln 1ax x ≥-恒成立，则实数a 的最小值是（） A ．eB ．2eC ．21e D ．1e4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当0x >时，()21e 1x x a x -≤--恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],e 1-∞-B ．(],1-∞C ．(]2,e 1--D ．(],2-∞-5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数()ln af x x x=+（a 为常数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）不等式()1f x ≥在2(]0,x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．（2022·河南·三模（文））已知函数()e x f x ax b =++（e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为y a b =-. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式()1f x mx >-在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求正实数m 的取值范围.高频考点二：分类讨论法1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数()ln f x ax x =-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1x =为函数()f x 的极值点，当[)e,x ∞∈+，不等式()()()1e x f x x m x -+≤-恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数()()1ln f x a x a x=+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调减区间；(2)若不等式()f x x ≥对(]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线()ln f x m x =+在1x =处的切线方程为()y h x =，且210e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()h x 的解析式；(2)若0x ≥时，不等式()20e x ax h x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e xf x =，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线为()yg x =．(1)证明：对于x R ∀∈，()()f x g x ≥； (2)当0x ≥时，()11axf x x≥++恒成立，求实数a 的取值范围．5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围.6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数()22ln f x x a x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当x >1时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围.高频考点三：等价转化法1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()1ln f x a x x=+，()()1e 1,x g x x mx a m x =+--∈R . (1)讨论f （x ）的单调性；(2)当a =1时，若不等式()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围.2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数()ln f x ax x =+，()()220g x a x a =>．若()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立，求实数a 的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x a x =+，()2g x ax x =+．(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值；(2)当0a ≤时，若对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x a x =+，()2g x x x =+.(1)若()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程为30x y b -+=，求实数a 、b 的值； (2)若对任意1x >，都有()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数()ln f x x ax b =-+，中,a b ∈R . (1)当0a >时，求()f x 的单调区间；(2)若[]()1,0,2,ln 1a b x kx x x ϕ=∈=--，对任意实数[]()()1,e ,x f x x ϕ∈≥恒成立，求2k b -的最大值.高频考点四：最值法1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数321()22f x x x x m =--+，其中.m R ∈(1)若函数()f x 的极小值为0，求实数m 的值； (2)当[1,2]x ∈-时，1()2f x 恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()222(0)exmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意[]1,2x ∈-，不等式()23f x c <恒成立，求实数c 的取值范围.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()221n l 0f x ax a x a x=-+->. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对[]2,3a ∀∈，[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()12ln 2m f x f x +>-恒成立，求实数m 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()()3,f x ax bx a b =+∈R 在点()()1,1f 处的切线方程是20y +=.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意[]12,2,3x x ∈-，都有()()12f x f x m -，求实数m 的取值范围.1．（2019·天津·高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2．（2020·海南·高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．一、单选题1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[2,)+∞ D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高二）函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是（） A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．4,3⎛-+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知()xae f x x x =-，()0,x ∈+∞，且1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()12210f x f x x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．12,e ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(2,e ⎤-∞⎦D ．13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高二）已知函数()()e 10xx a f a x =--≠在[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数()()31e 1x f x x kx =--+，若对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是（） A ．e ,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．e ,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数22,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若()0f x ≥恒成立．则a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,2e]C ．[1,2]D ．[2,2e]7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为（） A ．1-B ．2-C ．1D ．28．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足2()1()f x f x x x'+=，且2(e)e f =，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式()20f x a x x x--+≤恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞C ．2,e e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．322,e e e ⎡⎫-+++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题 9．（2022·全国·高二课时练习）当(]0,1x ∈时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是______．10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知()2ln f x x ax a =-+，若对任意1≥x ，都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是______.11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x =++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________. 三、解答题13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数()ln f x x x =，(1)求过点(0,1)-的函数()f x 的切线方程(2)若对任意0x >，都有ln()x ax x a ≥-成立，求正数a 的取值范围.14．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数()()1ln f x x x =+(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值.15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()()e ln 1x f x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．16．（2022·四川达州·二模（文））已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.。

考点14函数的零点与方程的解(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版

考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y ＝f (x )，我们把使的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有 ⇔函数y ＝f (x )的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y ＝f (x )在区间内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解．2．二分法对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一　函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程33log 1xx ×=的两根为1x ，()212x x x <，则A ．101x <<，23x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．124x x +>【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数()36xf x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（）A ．1,12æöç÷èøB ．31,2æöç÷èøC ．3,22æöç÷èøD ．52,2æöç÷èø【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数()123x f x x -=+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数()26log f x x x=-零点所在的一个区间 .题型二　函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到；②()f x 在区间ππ,44éù-êúëû上单调递增；③当ππ,62x éùÎêúëû时，()f x的取值范围为；④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数()f x 满足()()8f x f x +=，()()80f x f x +-=，当[)0,4x Î时，()πln 1sin 4f x x æö=+ç÷èø，则函数()()()3F x f x f x =-在()0,8内的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记()x t 是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31t t t ==-=-,则函数()()128x f x x x t -=--+的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型三　函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1　根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()22e 21e 2x xf x a x a a x =-+++（其中e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有1个零点B ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有3个零点C ．a "ÎR ，函数()f x 都有零点D ．若函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为()e 2,e -【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数()()14f x k x =--有两个零点，则实数k 的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程2ln 0ax x -=在()1,+¥上有两个不同的根，则a 的取值范围为（）A ．10,2e æöç÷èøB ．1,e æö-¥ç÷èøC ．()1,e D ．(),2-¥【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中122()log 2xf x x +=-.(1)求证：()y f x =是奇函数；(2)若关于x 的方程()12()log f x x k =+在区间[3,4]上有解，求实数k 的取值范围.命题点2　根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()()πcos 04f x x w w æö=+>ç÷èø在区间π,π3æöç÷èø上单调递减，且()f x 在区间()0,π上只有1个零点，则w 的取值范围是（）A ．10,4æùçúèûB ．13,24æùçúèûC ．13,44æùçúèûD ．15,44æùçúèû【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A ．{}|12a a -<<B ．9{|8a a =-或12}a -<<.C ．{|12}a a -££D ．9{|8a a =-或12}a -££.【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 .【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数()(0)f x x w w =>的图像向右平移3w p 个单位长度得到函数()g x 的图像．若()g x 在区间π5π,36æöç÷èø内有零点，无极值，则w 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x æö=+=-=+ç÷èø的零点分别为,,a b c ，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数()()224424e e x x f x x x a --=-++有唯一零点，则实数=a （）A ．2B ．12C ．4D ．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数()24xf x =，若存在12x x <，使得()()120f x f x <，则下列结论不正确的是（）A ．11<x B ．21x >C ．()f x 在()12,x x 内有零点D ．若()f x 在121,2x x x +æöç÷èø内有零点，则1202x x f +æö>ç÷èø4．（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,25．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ππ2sin 222f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36æö-ç÷èø，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212éù-êúëû，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数()()221,42x f x a g x x x a =--=-+-，则（）A ．当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B ．当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点C ．当()f x 有2个零点时，()g x 有2个零点D ．当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数2()()e ln x f x x x x =++的零点为0x ，下列判断正确的是（）A ．012x <B ．01ex >C ．00e ln 0x x +<D ．00ln 0x x +<三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若12πw <£，则关于x 的方程sin x x w =的解的个数是．9．（2023·河北·模拟预测）已知1e ln ()2x x xxf x +-=，0x 是该函数的极值点，定义x 表示超过实数x 的最小整数，则()0f x 的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数()2cos sin 1f x ax x x x =-+-.(1)若1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对于任意π0,2x éùÎêúëû，()12³-f x a 恒成立，求a 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()πsin (03)4f x x w w æö=-<<ç÷èø，π8x =是()f x 的零点．(1)求w 的值；(2)求函数π1π828y f x f x æöæö=-++ç÷ç÷èøèø的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数()()()222f x x m x m =+-+．(1)若()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)已知()f x 仅有两个零点，证明：函数()3y f x =-仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程3log 2x x +=的根所在区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2023·宁夏银川·三模）函数()22log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),18-¥-B ．(5,)+¥C ．(5,18)D ．()18,5--4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x w j w j æö=+<-<<ç÷èø，的最小正周期为π，在区间ππ,66æö-ç÷èø上单调递减，且在区间π0,6æöç÷èø上存在零点，则j 的取值范围是（）A ．ππ,62æöç÷èøB ．3π,2πæù--çúèûC ．ππ,32éö÷êëøD ．π0,3æùçúèû5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数()()sin 0,02f x x p w j w j æö=+><<ç÷èø的最小正周期为T .若()f T =，6x p =为()f x 的零点，则w 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（）A ．221e ln ex x ×=B ．2111e2x x -+>C ．12ln 1x x -=D ．21121ln x x +£+8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[a ]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设12,x x 分别是方程24x x +=及ln(1)4x x +-=的根，则12[]x x += （）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数()324f x x x ax =++-有3个不同的零点123,,x x x ,且23122x x x =，则（）A ．4a =-B ．()0f x <的解集为()1,2-C ．7y x =-是曲线()y f x =的切线D ．点()1,0-是曲线()y f x =的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数()()()0f x x w +j w >的最小正周期πT <，1π5f æö=ç÷èø，且()f x 在π10x =处取得最大值.下列结论正确的有（）A ．sin j =B ．w 的最小值为152C ．若函数()f x 在ππ,204æöç÷èø上存在零点，则w 的最小值为352D ．函数()f x 在13π11π,2015æöç÷èø上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数2(e 21)xax x f x -+=，则下列结论正确的是（）A ．对于任意的a ÎR ，存在偶函数()g x ，使得e ()()x y f x g x =+为奇函数B ．若()f x 只有一个零点，则1a =C ．当1a =时，关于x 的方程()f x m =有3个不同的实数根的充要条件为340e m <<D ．对于任意的a ÎR ，()f x 一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(),a b 的长度为b a -．经过估算，函数()1312x f x x =-的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过16的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数()()232ln 13f x x x a x =-+-+在区间()1,2上有最小值，则整数a 的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为 .四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()()1f x f x m -+£恒成立，求实数m 的最大值；(2)若函数1()()g x f x a=+有零点，求实数a 的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ln R f x x x ax a =+Î.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，方程()f x m =有两个解，求参数m 的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1w（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．(1)若2w =，求函数()y g x =在区间ππ,44éù-êúëû上的最大值；(2)若函数()y g x =在区间ππ,42æöç÷èø上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()21321e 2316x af x x x x x -=-+-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)设函数()()2131e 3x g x f x x ax -=-+，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ³，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -£．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移j （0j >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)j 上恰有两个零点，则j 的取值范围是（）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû2．（2024·全国·模拟预测）设函数()πcos 4f x x w æö=+ç÷èø在区间π0,2æöç÷èø上恰有3个零点、2个极值点，则w 的取值范围是（）A ．79,22æùçúèûB ．911,22æùçúèûC ．913,22æùçúèûD ．713,22æùçúèû3．（2023·北京·模拟预测）已知函数()e e x xf x -=-，下列命题正确的是（）①()f x 是奇函数；②方程()22f x x x =+有且仅有1个实数根；③()f x 在R 上是增函数；④如果对任意()0,x Î+¥，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221e m x x < ②122x m >+ ③121x x >A ．0B ．1C ．2D ．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程22log 1x x ×=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数()1cos cos2,02f x x x x w w w w =->，则下列结论正确的是（）A ．()()0,1,f x w "Î在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若1w =且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则w 的取值范围为54,63éö÷êëøD ．存在()0,1w Î，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()24,0,log 2,0x x x f x x x ì+>ï=íï--<î的图象与直线y a =的交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（）A ．4a >B ．124x x =C ．344x x =D ．341x a x æö+ç÷èø8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数()(),0e ln ,0424,4x xx xf x x x f x x ì£ïïï=<£íï->ïïî，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在()*(44e)k k k +ÎN ，上单调递增B ．函数()f x 在()*(4e 44)k k k ++ÎN ，上单调递减C ．若方程()(1)f x a x =<有两个实数根1x ，2x ，则12x a x =D ．当方程()(08)f x bx x =££的实数根最多时，b 的最小值为ln 28三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）已知()()4sin sin 1f x x x x =+相邻的两个零点分别为12,x x ，则12cos x x -=.10．（2024·四川成都·三模）若函数()2e x f x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为．四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()x f x e =，()a g x x =．(1)当1a =时，求()()f x g x -的最小值；(2)讨论函数()y f x =和()y g x =的图象在(0,)+¥上的交点个数．12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,x f x x a x a x æö=-++Îç÷èø(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．。

分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
∴函数在上单调递增，
又，
∴ ，
∴ ．
∴函数的值域为．
（Ⅲ）当时，．
由题意得在时恒成立，
∴ 在时恒成立．
令，
则有，
∵范围为．
例2.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

分离参数法解决恒成立问题

分离参数法解决恒成立问题
恒成立法是一种解决方程组的方法，它的核心思想是将多个方程的每一个变量分离出来，用一个新的变量表示，然后用这个新的变量替换原来的变量，从而得到新的方程组，最终求出解。

恒成立法具有解决复杂方程组的优势，因此，它在数学、物理和工程等领域都得到了广泛的应用。

恒成立法的基本思想是将方程的每一个变量分离出来，用一个新的变量表示，然后将原来的变量用新的变量取代，从而得到新的方程组，最终求出解。

换句话说，就是将多个方程的多个变量拆分成一个一个的，用新的变量来表示，然后将原来的变量用新的变量取代，从而得到新的方程组。

例如，有两个方程，可以使用恒成立法来求解：2x+3y=6
4x-y=7
首先，可以将x和y分离出来，用新的变量来表示，即：
x=ay=b然后，将原来的变量（x和y）用新的变量（a和b）
取代，得到新的方程组：2a+3b=6
4a-b=7
再用普通的求解方法，就可以求出a=
2，b=1的解。

最后，将a和b替换回原来的变量（x和y），即可求出x=
2，y=1的解。

以上就是恒成立法的基本思想。

恒成立法的优势在于，可以解决复杂的方程组，而且不需要使用复杂的数学方法，可以很快求出解。

它在数学、物理和工程等领域都得到了广泛的应用，在解决复杂问题方面非常有效。

分离参数法 - 学生版精选.甄选范文

分离参数法 - 学生版精选.分离参数法1已知不等式2210ax x -+>在[]1,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.2 不等式2210x ax -+>在[]2,2x ∈-上恒成立.求实数a 的取值范围3.若关于x 的方程22210x x a a +⋅++=有实根，求实数a 的取值范围.4.已知()()23132x x f x k =-+⋅+当x R ∈时，()f x 恒为正值，则k 的取值范围是5.已知函数在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是6若函数()211,2f x x ax x ⎛⎫=+++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，求a 的取值范围. 7.已知函数()()2111x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意*x N ∈，()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.8.已知()2222x ax a f x x+-=在[)1+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是9.设()()1+24lg ,3x x a f x a R +⋅=∈如果(]-1∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围10已知函数()[]2424g x x ax a =-+在，上有零点，求的取值范围11已知函数()21,.2xx f x e ax a =---其中为实数（1）当1,2a =-时求曲线()y f x =在()()11f ，处的切线方程；（2）当()10.2x x f x a ≥≥时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围94a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭12已知函数()ln .a f x x x =-（1 ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性.（2）若()2f x x <在()1+∞，上恒成立，求a 的取值范围.()1a ≥-最新文件仅供参考已改成word文本。

方便更改。

【导数经典技巧与方法】第2讲分离参数法：全分离及半分离-原卷版

第2讲分离参数法：全分离及半分离知识与方法分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.1.全分离参数法将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.2.半分离参数法其一般步骤为:将不等式变形为ax+b≥f(x)或ax+b≤f(x)的形式(其中a为参数,b为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线y=ax+b与曲线y= f(x),而直线y=ax+b过定点(0,b).需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.典型例题全分离参数【例1】已知函数f(x)=e x+ax2−x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;x3+1,求a的取值范围.(2)当x≥0时,f(x)≥12【例2】设函数f(x)=e x−1−x−ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.【例3】已知函数f(x)=x(e x+1−a)(x∈R).(1)若a=2,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)−lnx−1≥0恒成立,求实数a的取值范围.【例4】已知函数f(x)=x3e ax−1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=2,不等式f(x)≥mx+3lnx对x∈(0,+∞)恒成立,求m的取值范围. 换元后分离参数【例5】已知函数f(x)=x(e xa−2a−2)+a.(1)若a=−1,求f(x)的单调区间和极值点;(2)若x>0时,f(x)>−1(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.半分离参数【例6】已知函数f(x)=e x−ax−1(a∈R,其中e为自然对数的底数).(1)若f(x)在定义域内有唯一零点,求a的取值范围;(2)若f(x)≤x2e x在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【例7】已知函数f(x)=xlnx+ax−1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=2时,对任意x>1,f(x)>b(x−1)恒成立,求正整数b的最大值.【例8】设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a,其中a<1.若存在在唯一的整数x0使得f(x0)<0.则a的取值范围是（）A.[−32e ,1) B.[−32e,34) C.[32e,34) D.[32e,1)强化训练1.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y= g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥−2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.2.设函数f(x)=e x−ax−2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x−k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.3已知函数f(x)=ln2(1+x)−x21+x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式(1+1n )n+a≤e对任意的n∈N∗都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.。

高考复习专题导数与恒成立问题一——参数分离法

导数与恒成立问题一——参数分离法（3星）(★★★) 教学目标 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题的最大值和最小值．知识梳理 5min.设函数在某区间内可导，则()0()f x f x '>⇒在该区间上单调递增；()0()f x f x '<⇒在该区间上单调递减．反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．典例精讲 20min.例1. ★★★已知函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a ＞0且a ≠1)，如果函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是________．解析由题意可知x 3－ax ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0恒成立，所以a ＞(x 2)max ，即a ≥14.当14≤a ＜1时，需函数y ＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上递减，y ′＝3x 2－a ≤0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0恒成立，所以a ≥(3x 2)max ，故34≤a ＜1；当a ＞1时，需函数y ＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上递增，y ′＝3x 2－a ≥0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0恒成立，所以a ≤(3x 2)min ，a ≤0，舍去，综上a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 对于利用导数解法含有参数的单调问题时，一般是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用．例2. ★★★已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。