江西省高二数学上学期期末考试试题 文
江西省赣州市高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，402．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q3．有100张卡片（从1号到100号），从中任取一张，取到的卡号是7的倍数的概率为（）A． B． C． D．4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．6．函数在x=1处的切线方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣4=0 D．x+y+2=07．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=±2x C． D．8．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A． B． C． D．10．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5底为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，那么此几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．80 D．12011．如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2012．函数f（x）=lnx﹣x在区间（0，e]（e为自然对数的底）上的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．读程序，输出的结果是．14．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与直线y=0在原点处相切，函数f（x）有极小值﹣，则a的值为．15．已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率是．16．将边长为1正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形；（3）四面体A﹣BCD的表面积为．则正确结论的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．一个盒子中装有2个红球和2个白球，这4个球除颜色外完全相同．（1）无放回的从中任取2次，每次取1个，取出的2个都是红球的概率；（2）有放回的从中任取2次，每次取1个，取出的2个都是红球的概率．18．已知命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2015年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如图表：（1）求n的值和月均用电量的平均数估计值；（2）如果用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民，再从这5位居民中20至30度的概率是多少？20．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F，E分别为AD、PC的中点．（1）证明：DE∥平面PFB；（2）求三棱锥A﹣PFB的体积．21．已知椭圆E：的离心率为，F是椭圆的右焦点，点A（0，﹣2），若直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A倾斜角为的直线l与E相交于P，Q两点，求△OPQ的面积．22．已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．2．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：∀x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，∵∀x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．3．有100张卡片（从1号到100号），从中任取一张，取到的卡号是7的倍数的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：共有卡片10张；②符合条件的情况数目；2的倍数的卡片有5张，3的倍数的卡片有3张等，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：由题意知：共有卡片100张，数字是7的倍数的卡片有7，14，21， (91)98，共14张则从中任取一张，取到的卡号是7的倍数的概率为故答案为 A4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图的性质、平均数、中位数性质求解．【解答】解：∵甲运动员的中位数为a，∴a==18，∵乙运动员的众数为b，∴b=11，∴a﹣b=18﹣11=7．故选：A．5．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求．【解答】解：由抛物线y2=8x，得2p=8，，其焦点坐标为F（2，0）．因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，所以椭圆的右焦点为F（2，0）．则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得．所以椭圆的离心率为．故选D．6．函数在x=1处的切线方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y﹣4=0 D．x+y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．【解答】解：∵，∴y′=2x﹣，x=1时，y′=1，又x=1时，y=3，即切点坐标为（1，3），则函数在x=1处的切线方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y+2=0，故选：A．7．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=±2x C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选C．8．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充要条件．【分析】根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 B．9．在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4﹣m＞m＞0，可得区间长度，求出在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m的区间长度，即可得出结论．【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2，∴区间的长度为2，∵在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，区间长度为6，∴方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为=．故选：A．10．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5底为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，那么此几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．80 D．120【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，画出图形结合图形求出它的侧面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正四棱锥，画出图形如图所示；则该几何体的侧面积为S侧=4S△PBC=4××8×5=80．故选：C．11．如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【分析】根据已知中程序的功能是求S=1+++…+的值，由累加项分母的初值和终值可以判断循环次数，进而得到条件【解答】解：由于程序的功能是求S=1+++…+的值，分母n的初值为1，终值为39，步长为2，故程序共执行20次故循环变量i的值不大于20时，应不满足条件，继续执行循环，大于20时，应满足条件，退出循环故判断框内应填的是i＞20故选：C12．函数f（x）=lnx﹣x在区间（0，e]（e为自然对数的底）上的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣e【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数研究函数f（x）在（0，e]上的单调性，由单调性即可求得最大值．【解答】解：f′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，e）上递减，故当x=1时f（x）取得极大值，也为最大值，f（1）=﹣1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．读程序，输出的结果是209 ．【考点】循环结构．【分析】根据程序语言的运行过程，得出该程序运行后输出的S=2+3+4+…+20，求出S的值即可．【解答】解：根据程序语言的运行过程，得该程序运行后输出的是S=2+3+4+…+20=19×=209．故答案为：209．14．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与直线y=0在原点处相切，函数f（x）有极小值﹣，则a的值为﹣1 ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意得，函数f（x）在原点处于x轴相切，即导函数在x=0处等于0，同时可令导函数为0，解得两个极值，其中有一个为﹣【解答】∵f（x）与直线y=0在原点处相切f′（x）=3x2+2ax+b∴∴f（x）=x3+ax2f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a）令f′（x）=0，则x1=0，∵f（0）=0∴∴a3=﹣1∴a=﹣1故答案为a=﹣115．已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，∴﹣=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m+2=2m﹣3，解得=2（﹣舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为=，故答案为：．16．将边长为1正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形；（3）四面体A﹣BCD的表面积为．则正确结论的序号为（1）（2）（3）．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】作出此直二面角的图形，由图形中所给的位置关系，对题目中的命题进行判断，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示：二面角A﹣BD﹣C为90°，E是BD的中点，可以得出∠AEC=90°，为直二面角的平面角；对于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，命题（1）正确；对于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=AE=AD=CD，所以△ACD是等边三角形，命题（2）正确；对于（3），四面体ABCD的表面积为S=2S△ACD+2S△ABD=2××12×sin60°+2××1×1=+1，命题（3）正确；综上，正确的命题是（1）（2）（3）．故答案为：（1）（2）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．一个盒子中装有2个红球和2个白球，这4个球除颜色外完全相同．（1）无放回的从中任取2次，每次取1个，取出的2个都是红球的概率；（2）有放回的从中任取2次，每次取1个，取出的2个都是红球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）记两个红球为a1，a2，两个白球为b1，b2，利用列举法能求出取出的2个都是红球的概率．（2）利用列举法求出有放回的取两个球的所有情况和取到两个红球的所有情况，由此能求出取出的2个都是红球的概率．【解答】解：（1）记两个红球为a1，a2；两个白球为b1，b2，无放回的取球共有：（a1，a2），（a2，a1），（b1，b2），（b2，b1），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b2，a1），（b2，a2）共12情况，取到两个红球的情况2种∴取出的2个都是红球的概率（2）有放回的取两个球共有：（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b1），（b1，b2），（b1，a1）（b1，a2），（b2，b2），（b2，b1），（b2，a1），（b2，a2）共16情况，取到两个红球的情况4种取出的2个都是红球的概率18．已知命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；（2）求出命题p的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，不等式为x2﹣4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，若≤0，则2＜x≤3，即q：2＜x≤3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，则实数x的取值范围是2＜x＜3；（2）∵x2﹣4ax+3a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，∵q：2＜x≤3，∴若p是q的必要不充分条件，则a＞0，且，即1＜a≤2，则实数a的取值范围是1＜a≤2．19．某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2015年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如图表：（1）求n的值和月均用电量的平均数估计值；（2）如果用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民，再从这5位居民中20至30度的概率是多少？【分析】（1）频数等于45时频率为0.45，由此能求出n的值和月均用电量的平均数估计值．（2）用电量小于30度的居民共有50位，用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民，则第一组抽1人，第二组抽1人，第三组抽3人，从这5位居民中选2人，共有10种选法，由此能求出至少有1位居民月均用电量在20至30度的概率．【解答】解：（1）∵频数等于45时频率为0.45，∴月均用电量的平均数：（2）用电量小于30度的居民共有50位，用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民，则第一组抽1人，第二组抽1人，第三组抽3人从这5位居民中选2人，共有10种选法，至少有1位居民月均用电量在20至30度的共有9种，至少有1位居民月均用电量在20至30度的概率是．20．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F，E分别为AD、PC的中点．（1）证明：DE∥平面PFB；（2）求三棱锥A﹣PFB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB中点G，连接EG，FG，则由中位线定理可得四边形DEGF是平行四边形，即DE∥FG，从而DE∥平面PFB；（2）以△ABF为棱锥的底面，则PD为棱锥的高．【解答】解：（1）取PB中点G，连接EG，FG，∵E，G分别是PC，PB的中点，∴EG∥BC，，∵DF∥，∴EG∥DF，EG=DF．∴四边形DEGF是平行四边形，∴DE∥FG，∵DE⊄平面PFB，FG⊆平面PFB∴DE∥平面PFB．（2），∴三棱锥A﹣PFB的体积V===．21．已知椭圆E：的离心率为，F是椭圆的右焦点，点A（0，﹣2），若直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A倾斜角为的直线l与E相交于P，Q两点，求△OPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设F（c，0），运用直线的斜率公式可得c，再由离心率公式可得a，进而得到椭圆方程；（2）求得直线的方程，设出P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，即可得到所求三角形的面积．【解答】解：（1）设F（c，0），由A（0，﹣2），直线AF的斜率为，可得，得，又，所以a=2，b2=a2﹣c2，故E的方程为：；（2）直线的斜率为：tan120°=，所以直线方程为：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y，化简得：，可得，则，原点O到直线的距离：，所以：．22．已知函数f （x ）=x （x+a ）﹣lnx ，其中a 为常数．（1）当a=﹣1时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）是区间内的单调函数，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f′（1）≤0，解出即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，所以f （x ）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增于是f （x ）有极小值f （1）=0，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或f′（1）≤0 解得实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）。
江西省九江市高二数学上学期期末试卷文(含解析)
2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1．已知命题P：∃x∈R，x2+2x+2＜0，则￢P为（）A．∃x∈R，x2+2x+2≥0，真命题B．∀x∈R，x2+2x+2＜0，假命题C．∃x∉R，x2+2x+2≥0，假命题D．∀x∈R，x2+2x+2≥0，真命题2．“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[x1，x3]B．[x2，x4]C．[x3，x5]D．[x1，x2]4．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么△A BC是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形5．（普通中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，c=2，B=，则C=（）A． B． C． D．6．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的最大值为（）A．7B．﹣C．﹣26D．67．（重点中学做）在等差数列{a n}中，已知a6=1，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．7B．9C．11D．138．在等比数列{a n}中，已知a2+a3=1，a4+a5=2，则a8+a9等于（）A．2B．4C．8D．169．（重点中学做）不等式≤x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1]∪（1，3]B．[﹣1，1）∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，3]10．（普通中学做）不等式≤1的解集是（）A．（﹣∞，1]∪[5，+∞）B．（﹣∞，1）∪[5，+∞）C．（1，5]D．[5，+∞）11．函数y=sinx﹣x在区间[0，2π]上的最小值为（）A．﹣πB．1﹣C．0D．﹣2π12．（重点中学做）已知x＞0，y＞0，2x+y+2xy=3，则2x+y的最小值是（）A．6B．3C．2D．113．（普通中学做）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A．2B．3C．18D．14．已知函数f（x）=x2+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+b=0，则数列{}的前n项和为（）A． B． C． D．15．（重点中学做）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足对任意m，n∈N+，2S m S n=S m+n 恒成立，那么a2015=（）A．22013B．22014C．22015D．2201616．（普通中学做）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足对任意m，n∈N+，S m+S n=S m+n 恒成立，那么S2015=（）A．2014B．2015C．2016D．201717．如图，F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．﹣1D．18．（普通中学做）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）以及双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1，C2的离心率之积为（）A． B．或4C． D．4二.填空题（每小题5分，共20分）19．命题“若x2﹣2x﹣3＞0，则x＜﹣1或x＞3”的逆否命题是．20．函数y=x﹣e x的单调减区间是．21．（重点中学做）已知直线x﹣my﹣2=0与抛物线y2=8x相交于A，B两点，线段AB的中点为M（6，4m），则|AB|= ．22．（普通中学做）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，线段AB的中点为M（3，m），则|AB|= ．23．（重点中学做）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．24．（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为．三.解答题（每小题12分，共70分）25．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在（﹣2，2）内有且一个零点．命题q：x2+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立．若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．26．设数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=2n（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和S n．27．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的最大值．28．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+ccosA+acosC=0．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值．29．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，1]上的最小值为0，求a的取值范围．30．（重点中学做）如图所示，设A，B分别是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC与△ABD的面积分别为S1与S2．（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=x，点P（3，1）在椭圆E上，求椭圆E的方程；（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．31．（普通中学做）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（0，2），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）试问是否存在直线l：y=kx﹣与椭圆C相交于不同的两点M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．请考生在下面三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.32．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料．33．某物流公司购买了一块长AM=60m，宽AN=30m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？并求最大库容．（墙体及楼板所占空间忽略不计）34．如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（AB＞AD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用．设AB′交DC于点P．问AB长为多少时，△ADP的面积最大？并求最大面积．2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1．已知命题P：∃x∈R，x2+2x+2＜0，则￢P为（）A．∃x∈R，x2+2x+2≥0，真命题B．∀x∈R，x2+2x+2＜0，假命题C．∃x∉R，x2+2x+2≥0，假命题D．∀x∈R，x2+2x+2≥0，真命题【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果，然后判断真假即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：∃x∈R，x2+2x+2＜0的否定￢P为：∀x∈R，x2+2x+2≥0，真命题．故选：D2．“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则k（1﹣k）＜0，即k（k﹣1）＞0，解得k＞1或k＜0，即“k＜0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A3．函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[x1，x3]B．[x2，x4]C．[x3，x5]D．[x1，x2]【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）的导函数图象，得出f′（x）≤0的区间，即是函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：根据函数f（x）的导函数图象，得；当x∈[x2，x4]时，f′（x）≤0，函数f（x）是减函数；∴函数f（x）的单调递减区间是[x2，x4]．故选：B．4．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么△ABC是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A﹣B）=0，利用正弦函数的图象和性质可得A=B，从而得解为等腰三角形．【解答】解：∵cosB=，∴利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，∴sin（A+B）=2sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．5．（普通中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，c=2，B=，则C=（）A． B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可求得：sinC==，利用大边对大角可得C＜B，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵b=2，c=2，B=，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵b＞c，∴c=．故选：A．6．设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的最大值为（）A．7B．﹣C．﹣26D．6【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x结合图象可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，﹣3）时，直线的截距最小值，此时目标函数取最大值z=﹣2﹣3（﹣3）=7，故选：A．7．（重点中学做）在等差数列{a n}中，已知a6=1，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．7B．9C．11D．13【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6=1，∴数列{a n}的前11项和：S11==11．故选：C．8．在等比数列{a n}中，已知a2+a3=1，a4+a5=2，则a8+a9等于（）A．2B．4C．8D．16【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，可得q2==2，而a8+a9=（a4+a5）q4，代入计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，故a8+a9=（a4+a5）q4=2×22=8故选C9．（重点中学做）不等式≤x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1]∪（1，3]B．[﹣1，1）∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，3]【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据x﹣1＞0和x﹣1＜0两种情况分类讨论，能求出不等式≤x﹣1的解集．【解答】解：∵≤x﹣1，∴当x﹣1＞0时，（x﹣1）2≥4，解得x≥3；当x﹣1＜0时，（x﹣1）2≤4，解得﹣1≤x＜1，∴不等式≤x﹣1的解集是[﹣1，1）∪[3，+∞）．故选：B．10．（普通中学做）不等式≤1的解集是（）A．（﹣∞，1]∪[5，+∞）B．（﹣∞，1）∪[5，+∞）C．（1，5]D．[5，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】通过移项，利用通分，转化不等式求解即可．【解答】解：不等式≤1，即为﹣1≤0，即为≤0，即为（x﹣5）（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得x≥5或x＜1，故不等式的解集为（﹣∞，1）∪[5，+∞），故选：B．11．函数y=sinx﹣x在区间[0，2π]上的最小值为（）A．﹣πB．1﹣C．0D．﹣2π【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求出最小值．【解答】解：函数y=sinx﹣x，可得y′=cosx﹣1≤0，函数是减函数，函数y=sinx﹣x在区间[0，2π]上的最小值为：﹣2π．故选：D．12．（重点中学做）已知x＞0，y＞0，2x+y+2xy=3，则2x+y的最小值是（）A．6B．3C．2D．1【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，y＞0，2x+y+2xy=3，化为（2x+1）（y+1）=4，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由x＞0，y＞0，2x+y+2xy=3，化为（2x+1）（y+1）=4，∴（2x+1）+（y+1）≥2=4，即2x+y≥2，当且仅当2x+1=y+1=2，即x=，y=1时等号成立，∴2x+y的最小值是2，故选：C．13．（普通中学做）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A．2B．3C．18D．【考点】基本不等式．【分析】由正实数x，y满足2x+y+6=xy≥6+2，令=t＞0，化为t2﹣2t﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：由正实数x，y满足2x+y+6=xy≥6+2，令=t＞0，化为t2﹣2t﹣6≥0，解得t≥3，∴xy的最小值为18．当且仅当2x=y=6时取等号．故选：C．14．已知函数f（x）=x2+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+b=0，则数列{}的前n项和为（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，求出k，推出f（n），然后利用裂项消项法求解数列{}的前n项和【解答】解：函数f（x）=x2+kx，可得f′（x）=2x+k，∵函数f（x）=x2+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+b=0，∴2+k=3，∴k=1，∴f（n）=n2+n， =．S n===．故选：C．15．（重点中学做）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足对任意m，n∈N+，2S m S n=S m+n 恒成立，那么a2015=（）A．22013B．22014C．22015D．22016【考点】数列递推式．【分析】利用赋值法判断{S n}是等比数列，求出Sn，然后求解a2015．【解答】解：由题意可得：2S1S n=S n+1，可得=2，∴{S n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴，∴a2015==22013．故选：A．16．（普通中学做）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足对任意m，n∈N+，S m+S n=S m+n 恒成立，那么S2015=（）A．2014B．2015C．2016D．2017【考点】数列递推式．【分析】利用赋值法判断{S n}是等比数列，求出S n，然后求解S2015．【解答】解：由题意可得：a1=1，S1+S n=S n+1，可得S n+1﹣S n=1，∴{S n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴S n=1+（n﹣1）×1=n，∴S2015=2015．故选：B．17．如图，F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．﹣1D．【考点】椭圆的应用．【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用椭圆的定义，得到2a=|F1A|+|F2A|=（1+）c，即可算出该椭圆的离心率．【解答】解：连结AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF1F2=∠AF2B=30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c．根据椭圆的定义，得2a=|F1A|+|F2A|=（1+）c，解得a=c，∴椭圆的离心率为e==﹣1．故选C．18．（普通中学做）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）以及双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1，C2的离心率之积为（）A． B．或4C． D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线的方程可得=tan30°或=tan60°，即为b=a或b=a，利用c2=a2+b2，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率，进而得到所求之积．【解答】解：双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为y=±x，双曲线C2：﹣=1的渐近线方程为y=±x，由渐近线将第一象限三等分，可得：=tan30°或=t an60°，即为b=a或b=a，可得c==a或c=2a，即e=或e=2．则C1，C2的离心率之积为或4．故选：B．二.填空题（每小题5分，共20分）19．命题“若x2﹣2x﹣3＞0，则x＜﹣1或x＞3”的逆否命题是若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x ﹣3≤0．【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：命题的逆否命题为：“若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x﹣3≤0”，故答案为：若﹣1≤x≤3，则x2﹣2x﹣3≤020．函数y=x﹣e x的单调减区间是（0，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间，可以由y′＜0，解得x的取值范围即可．【解答】解：由函数y=x﹣e x的，可得y′=1﹣e x，由y′=1﹣e x＜0，解得x＞0．∴函数f（x）=x﹣e x的单调递减区间是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．21．（重点中学做）已知直线x﹣my﹣2=0与抛物线y2=8x相交于A，B两点，线段AB的中点为M（6，4m），则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），再由中点坐标公式，以及抛物线的定义，可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=8x焦点为（2，0），准线方程为x=﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得=6，即有x1+x2=12，由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=12+4=16．故答案为：16．22．（普通中学做）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，线段AB的中点为M（3，m），则|AB|= 10 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），再由中点坐标公式，以及抛物线的定义，可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=8x焦点为（2，0），准线方程为x=﹣2，设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得=3，即有x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=6+4=10．故答案为：10．23．（重点中学做）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（0，\frac{1}{e}）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，则必有a＞0，当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，设切点坐标为（x0，y0），则f′（x）=，即f′（x0）=，则切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=•x+y0﹣1=•x+lnx0﹣1，∵切线方程为y=ax，∴a=且lnx0﹣1=0，则x0=e，则a=，要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则0＜a＜，故答案为：（0，）24．（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为（0，\frac{1}{e}）．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】法1：利用参数分离法转化a=，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，利用数形结合进行求解即可．法2：作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：法1：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=|lnx|﹣ax=0得|lnx|=ax，即a==，设g（x）==，则当x≥1时，g（x）=，g′（x）==，由g′（x）＞0得1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e，此时函数单调递增，由g′（x）＜0得1﹣lnx＜0，解得x＞e，此时函数单调递减，即当x=e时，函数g（x）取得极大值g（e）==．当0＜x＜1时，g′（x）=﹣=﹣=＜0，此时函数单调递减，作出函数g（x）的图象如图：要使函数f（x）=|lnx|﹣ax有且仅有三个零点，则等价为a=g（x）有且仅有三个不同的交点，由图象知0＜a＜．法2：作出函数f（x）的图象如图：若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，则必有a＞0，当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，设切点坐标为（x0，y0），则f′（x）=，即f′（x0）=，则切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=•x+y0﹣1=•x+lnx0﹣1，∵切线方程为y=ax，∴a=且lnx0﹣1=0，则x0=e，则a=，要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则0＜a＜，故答案为：（0，）三.解答题（每小题12分，共70分）25．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在（﹣2，2）内有且一个零点．命题q：x2+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立．若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】由命题p为真，由于f（﹣2）f（2）≤0得a≤﹣1，或a≥1．由命题q为真，由于判别式非负，解不等式可得a的范围．由命题“p且q”是真命题，求出a的范围．由此求补集，能求出实数a的取值范围．【解答】解：若命题p为真，由于判别式为a2+8＞0，则有f（﹣2）f（2）≤0，即为（4﹣2a﹣2）（4+2a﹣2）≤0，解得a≥1或a≤﹣1；若命题q为真，由x2+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立，可得△=4a2﹣16≤0，解得﹣2≤a≤2．当命题“p∧q”是真命题，可得，即为﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2，则命题“p∧q”是假命题时，a的范围是a＜﹣2或﹣1＜a＜1或a＞2．26．设数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=2n（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式．【分析】（1）直接利用类加法求数列的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=，然后利用错位相减法求和．【解答】解：（1）由a n+1﹣a n=2n，得a n=[（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1=，又a1=2，∴数列{a n}的通项公式为；（2）由b n==，知，，两式作差得：==．∴．27．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知可得： =，整理可得sin（C﹣A）=sin （B﹣C），利用正弦函数的图象和性质可得2C=A+B，即可解得C的值．（2）由余弦定理可得：16=（a+b）2﹣3ab，又：ab≤（）2，解得（a+b）2≤16，从而解得：a+b≤8．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=，∴利用正弦定理可得： =，∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，即：sinCcosA﹣sinAcosC=sinBcosC﹣sinCcosB，∴sin（C﹣A）=sin（B﹣C），∴C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立），或C﹣A=﹣π﹣（B﹣C）（不成立），即2C=A+B，可得：C=…6分（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又：ab≤（）2，可得：16≥（a+b）2﹣3（）2，即（a+b）2≤16…10分可得：（a+b）2≤64．解得：a+b≤8…11分故a+b的最大值为8…12分28．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+ccosA+acosC=0．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由2bcosA+ccosA+acosC=0，利用正弦定理可得：2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，进而化为2cosA=﹣1，根据A的范围即可得出．（2）根据余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，9=b2+c2+bc，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵2bcosA+ccosA+acosC=0，∴2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，∴2sinBcosA+sin（C+A）=0，∴2sinBcosA=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosA=﹣，A∈（0，π），∴A=．（2）根据余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bc，∴9=b2+c2+bc≥3bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=3时取等号．∴bc的最大值为3．29．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，1]上的最小值为0，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，表示出最小值，得到关于a的方程，判断a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，x＞0，f′（x）=，（x＞0），∴f′（1）=﹣1，f（1）=0，故切线方程是：y﹣0=﹣1（x﹣1），故x+y﹣1=0；（2）f′（x）=，x∈（0，1]，a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1]递减，∴f（x）min=f（1）=0，0＜a≤2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，1]递减，∴f（x）min=f（1）=0，a＞2时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＞0，解得：＜x≤1，∴f（x）在（0，）递减，在（，1]递增，∴f（x）min=f（）＜f（1）=0（舍），综上，a的范围是（﹣∞，2]．30．（重点中学做）如图所示，设A，B分别是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC与△ABD的面积分别为S1与S2．（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=x，点P（3，1）在椭圆E上，求椭圆E的方程；（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由中点坐标公式求出A，B的中点M，把M坐标代入直线y=x得到a与b的关系，结合a2=b2+c2可求椭圆的离心率；（2）设出C和D点的坐标，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式求出C和D到直线AB的距离，因为△ABC和△ABD同底，所以把两个三角形的面积比转化为C，D到直线AB的距离比，然后借助于基本不等式求最大值．【解答】解：（1）由题意可知：A（a，0），B（0，b），∴M（，），点M（，）在y=x，∴=，a2=3b2，点P（3，1）在椭圆上，，解得a2=12，b2=4，故椭圆的方程为：；（2）设C（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则，点D（﹣x0，﹣y0），由题意知直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，点C的直线AB的上方，∴点C到直线AB的距离h C=，同理点D到直线AB的距离h D=，===1﹣，∵，，∴≤=，当且仅当bx0=ay0取等号，解得：，∴≤1﹣=3﹣2，∴的最大值为3﹣2．31．（普通中学做）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（0，2），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）试问是否存在直线l：y=kx﹣与椭圆C相交于不同的两点M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）椭圆的焦点在x轴上，经过P（0，2），即b=2，由离心率公式e=，及a2=b2+c2，即可a和c的值，即可求得椭圆方程；（2）假设存在直线，将直线方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，设出M和N点坐标及MN的中点坐标，由韦达定理可知，即可求得A点坐标，判断当k=0时，成立，当k≠0．，求得直线AP的斜率，由MN⊥AP，得﹣•k=﹣1，即可求得k的值．【解答】解：（1）∵椭圆C经过点P（0，2），∴b=2，离心率e==．即a2=c2=（a2﹣b2），整理得a2=3b2=12，∴．（2）假设存在直线l满足条件，则：，消去y整理得：（1+3k2）x2﹣8kx﹣=0，△＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），设A（x0，y0）为线段MN的中点，则，x1+x2=，x0=，y0=kx0﹣=﹣，即A（，﹣），当k=0时，满足题意，当k≠0时，直线AP的斜率k AP==﹣，由MN⊥AP，得﹣•k=﹣1，解得：k=±，故直线的斜率为：k=0，，﹣．请考生在下面三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.32．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】通过设面积为S，利用S=xy+=4可知y=﹣，进而化简可知c=x+，利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：设面积为S，则S=xy+=4，y=﹣，∴c=2x+2y+x=（2+）x+2（﹣）=x+≥2=4+4，当且仅当x=即x=4﹣4、y=2时取等号，于是当x=（4﹣4）米、y=2米时用料最省，为（4+4）米．33．某物流公司购买了一块长AM=60m，宽AN=30m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？并求最大库容．（墙体及楼板所占空间忽略不计）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】通过设AB的长度为x米，利用相似三角形可知AD=30﹣x，进而对仓库的库容V （x）=﹣x3+30x2（0＜x＜60）求导可知当x=40时V（x）有极大值也是最大值，代入计算即得结论．【解答】解：设AB的长度为x米，∵=，且AM=60、AN=30，∴ND=•AN=x，AD=AN﹣ND=30﹣x，仓库的库容V（x）=（30﹣x）•x•x=﹣x3+30x2（0＜x＜60），令V′（x）=﹣x2+60x=0，解得：x=40或x=0（舍），∵当0＜x≤40时V′（x）＞0、当40＜x＜60时V′（x）＜0，∴当x=40时V（x）有极大值也是最大值，且最大值为V（40）=16000m3，即AB的长度为40米时仓库的库容最大，最大库容为16000立方米．34．如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（AB＞AD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用．设AB′交DC于点P．问AB长为多少时，△ADP的面积最大？并求最大面积．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，设AB=x，AD=4﹣x．因x＞4﹣x，故2＜x＜4，设DP=y，则PC=x﹣y，运用三角形全等，结合勾股定理，可得y的关系式，记△ADP的面积为S1，则S1=（4﹣x）（4﹣），运用基本不等式可得最大值．【解答】解：由题意，设AB=x，AD=4﹣x．因x＞4﹣x，故2＜x＜4，设DP=y，则PC=x﹣y．因△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y．由 PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（4﹣x）2+y2，即有y=4﹣，2＜x＜4，记△ADP的面积为S1，则S1=（4﹣x）（4﹣）=12﹣2（x+）≤12﹣8，当且仅当x=2∈（1，2）时，S1取得最大值12﹣8．故当AB=2时，△ADP的面积最大，最大面积为12﹣8．。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
江西省吉安市学年高二上学期期末质量检测数学文试题解析版
班级_________姓名_________考场号______座位号______高二上学期期末质量检测数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选择其他答案标号。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列导数运算正确的是()A. (x−1)′=1x2B. (2x)′=x2x−1 C. (cosx)′=sinx D. (lnx+x)′=1+1x【答案】D【解析】解：(x−1)′=−1x2，(2x)′=2x ln2，(cosx)′=−sinx，(lnx+x)′=1+1x，故选：D．根据求导公式计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题2.下列说法正确的是()A. 函数f(x)=1x既是奇函数又在区间(−∞,0)上单调递增B. 若命题p，￢q都是真命题，则命题p∧q”为真命题C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0的否命题为若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”【答案】D【解析】解：函数f(x)=1x既是奇函数又在区间(−∞,0)上单调递减，故A错误；命题p，￢q都是真命题，即p真q假则命题p∧q”为假命题，故B错误；命题：“若xy=0，则x=0或y=0的否命题为若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C错误；命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”，故D正确．故选：D．由反比例函数的奇偶性和单调性可判断A；由p真q假，结合复合命题的真假，可判断B；由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，可判断C；由全称命题的否定为特称命题，可判断D．本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，复合命题的真假和命题的否定与否命题的区别，考查判断能力，是一道基础题．3.“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由a=1，得两直线方程为x+y=1与x+y=2，两直线平行；由直线ax+y=1与直线x+ay=2平行，可得{−2a+1≠0a2−1=0，解得：a=±1．∴“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的充分而不必要条件．故选：A．由a=1能得到直线ax+y=1与直线x+ay=2平行，反之由两直线平行可得a=±1.由此可得答案．本题考查了充分必要条件的判定方法，考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，是基础题．4.如图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为()A. 13B. 23C. 2D. 4【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：下底为底边长2，高为1的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱．故：V=12⋅2⋅1⋅2=2．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.若曲线y=x2+mx+n在点(0,n)处的切线方程是x−y+1=0，则()A. m=−1，n=1B. m=1，n=1C. m=1，n=−1D. m=−1，n=−1【答案】B【解析】解：∵曲线在点(0,n)处的切线方程是x−y+1=0，∴0−n+1=0，则n=1，即切点坐标为(0,1)，且切线斜率k=1，此时曲线方程为y=x2+mx+1，则函数的导数f′(x)=2x+m即k=f′(0)=0+m=1，即m=1，则m=1，n=1，故选：B．根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，根据导数的几何意义进行求解即可．本题主要考查函数的切线的应用，利用导数的几何意义建立方程关系是解决本题的关键．6.在空间直角坐标系中，点M(1,2，3)到z轴的距离为()A. √5B. 3C. √10D. √13【答案】A【解析】解：空间直角坐标系中，点M(1,2，3)到z轴的距离为√12+22=√5．故选：A．空间直角坐标系中点M(x,y，z)到z轴的距离为√x2+y2．本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题，是基础题．7.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，FM⊥x轴，且|OM|=√5，则抛物线的准线方程为()A. x=−1B. x=−2C. y=−1D. y=−2【答案】A,0)，M为抛物线上的点，且FM⊥x轴，【解析】解：抛物线y2=2px的焦点为F(p2,±p)；∴M(p2又|OM|=√5，)2+p2=5，∴(p2解得p=2，所以抛物线的准线方程为x=−1．故选：A．根据题意写出抛物线y2=2px的焦点坐标，求出点M，再根据|OM|的值求出p，即可写出抛物线的准线方程．本题主要考查了抛物线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．8.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的()A. 若m//α，m//n，n//β，则α//βB. 若m//α，m⊥n，n⊥β，则α//βC. 若m//α，m⊥n，n//β，则α//βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β【答案】D9.若直线ax−2by−2ab=0(a>0,b>0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长，则a+2b的最小值为()A. 1B. 3+2√2C. 4√2D. 5【答案】B【解析】解：因为直线ax−2by−2ab=0(a>0,b>0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长，所以圆心(2,−1)在直线ax−2by−2ab=0上，所以2a+2b=2ab，即1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a +1b)=1+2+(2ba+ab)≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，(当且仅当a=√2+1，b=1+√22).故选：B．根据题意得圆心在直线上得1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a+1b)=1+2+(2ba+ab)再用基本不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式，属中档题．10.F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上异于顶点的一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A. √22B. −1+√22C. 1+√22D. −1+√2【答案】D【解析】解：由△PF1F2是等腰直角三角形，且P是椭圆上异于顶点的一点，∴角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，此时P(c,y)，代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(不妨设焦点在x轴上)，解得y=±b2a，又三角形PF1F2为等腰直角三角形，得PF2=F1F2，故得b2a=2c，即2ac=a2−c2，即e 2+2e −1=0，解得e =−1±√2， 由0<e <1，可得e =−1+√2， 故选：D ．由已知可得，角F 1或角F 2为直角，不妨令角F 2为直角，求出PF 2的长度，再由PF 2=F 1F 2列式求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的方程、性质和应用，正确理解题意是关键，是中档题．11. 已知x ，y 满足x 2−4x +y 2=0，则x −2y 的最大值为( )A. 2√5B. 2√5+2C. 3√5+2D. 4√5【答案】B【解析】解：x 2−4x +y 2=0可化为(x −2)2+y 2=4，设x −2y =t ， 则直线x −2y −t =0与圆有交点，所以5≤2，解得2−2√5≤t ≤2+2√5，故选：B ．设x −2y =t ，则可利用直线x −2y −t =0与圆有交点列式解不等式可解得． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12. 已知点F 1(−2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足|PF 2|−|PF 1|=2√3，当点P 的纵坐标是√2时，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. 3B. 5C. 15D. 17【答案】B【解析】解：由题意可设P(x,√2)， ∵F 1(−2,0)，F 2(2,0)，|PF 2|−|PF 1|=2√3，∴P 的轨迹是以以F 1(−2,0)，F 2(2,0)为焦点的双曲线的左支， 其方程为x 23−y 2=1(x ≤√3)，∵点P 的纵坐标是√2时，横坐标为x =−3，即P(−3,√2)， ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√2)⋅(1,−√2)=1×3+(−√2)×(−√2)=5， 故选：B ．由已知可得P 的轨迹是以F 1(−2,0)，F 2(2,0)为焦点的双曲线的左支，结合定义可求方程，进而可求P ，然后由向量数量积的坐标表示即可求解．本题主要考查了双曲线的定义及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 经过点P(0,1)作直线l 与连接A(−1,−2)，B(2,1)的直线垂直，则直线l 的方程为______． 【答案】x +y −1=0【解析】解：k AB =−2−1−1−2=1．∵直线l 与连接A(−1,−2)，B(2,1)的直线垂直， ∴k l =−1．∴直线l 的方程为：y =−x +1，即x +y −1=0． 故答案为：x +y −1=0．利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14. 命题“对任意x ∈R ，mx 2+(m +1)x +1≥0恒成立”是真命题，则实数m 的取值集合是______． 【答案】{1}【解析】解：由命题“对任意x ∈R ，mx 2+（m+1）x+1≥0恒成立”是真命题， 则①m=0时，不等式可变为x+1≥0，显然不满足题意， ②m≠0时，由已知有{(m +1)2−4m ≤0m>0，解得：m=1， 综合①②得：{1}．结合分类讨论的数学思想方法分①m=0时，②m≠0时及二次不等式恒成立问题解题即可， 本题考查了不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA ，BC ，BB 1两两垂直，且BA =1，BC =1，BB 1=2，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为______． 【答案】6π【解析】解：∵BA ，BC ，BB 1两两垂直，且AB ∩BC =B ，∴BB 1⊥平面ABC ， 直角△ABC 的外接圆直径为AC =√AB 2+BC 2=√2，所以，该三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球直径为2R =√BB 12+AC 2=√6．因此，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为4πR 2=π×(2R)2=6π． 故答案为：6π．先证明BB 1⊥平面ABC ，计算出直角△ABC 的外接圆直径AC ，然后利用公式2R =√BB 12+AC 2可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，考查直线与平面垂直的判定，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16. 已知椭圆中心在原点，一个顶点是抛物线y 2=8x 的焦点，且离心率为12，则椭圆标准方程为______． 【答案】x 24+y 23=1或x 24+3y 216=1【解析】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F(2,0)，∴椭圆的一个顶点为A(2,0)； 若椭圆的焦点在x 轴上，则a =2，且离心率为e =ca =12， ∴c =1，b 2=a 2−c 2=3， 椭圆标准方程为x 24+y 23=1；若椭圆的焦点在y 轴上，则b =2，且离心率为e =ca =12，∴b =2，b 2=a 2−c 2=3c 2=4，解得c 2=43，a 2=163，∴椭圆标准方程为x 24+3y 216=1；综上，所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1或x 24+3y 216=1．故答案为：x 24+y 23=1或x 24+3y 216=1．求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的一个顶点坐标，讨论椭圆的焦点在x 轴和y 轴上，分别求出椭圆的标准方程．本题考查了椭圆的标准方程与应用问题，也考查了抛物线的标准方程应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 命题p ：若存在x 0∈R ，使得m −2sinx 0=0成立；命题q ：方程x 2m−1+y 2m−3=1表示焦点在x 轴上的双曲线.如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：若命题p 为真命题，则：m =2sinx 有解，得−2≤m ≤2， 若命题q 为真命题，则{m −3<0m−1>0，即1<m <3，又“p 且q “为假命题，“p 或q “为真命题，则p ，q 中一真一假， 即：{m ≤1或m ≥3−2≤m≤2或{1<m <3m>2或m<−2∴−2≤m ≤1或2≤m <3∴实数m 的取值范围为[−2,1]∪(2，3)．【解析】先求出p 真和q 真时的m 的范围，又“p 且q “为假命题，“p 或q “为真命题，则p ，q 中一真一假，在按照p 真q 假，p 假q 真两种情况解不等式后结果相并． 本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18. 如图，四面体P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB =BC =1，AC =√2．(1)证明BC ⊥平面PAB ；(2)在线段PC 上是否存在点D ，使得AC ⊥BD ，若存在，求PD 的值，若不存在，请说明理由．【答案】证明：(1)由题设知AB =BC =1，AC =√2， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∴AB ⊥BC ， ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，PA ⊥AB ，∵PA ∩AB =A ，∴BC ⊥平面PAB ．解：(2)点D 为PC 的中点，且PD =√32，使得AC ⊥BD ．理由如下：在平面ABC 内，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，在平面PAC 内，过点E 作DE//PA ，交PC 于点D ，连结BD ， 由PA ⊥平面ABC ，知PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC ， ∴AC ⊥平面DBE ，∵BD ⊂平面DBE ，∴AC ⊥BD ，在△ABC 中，AB =BC =1，点E 为AC 的中点，则点D 为PC 的中点， 在Rt △APC 中，AP =1，AC =√2，∴PC =√3， ∴PD =√32． 【解析】(1)推导出AB ⊥BC ，PA ⊥BC ，PA ⊥AB ，由此能证明BC ⊥平面PAB ． (2)过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，过点E 作DE//PA ，交PC 于点D ，连结BD ，推导出PA ⊥AC ，DE ⊥AC ，从而AC ⊥平面DBE ，进而AC ⊥BD ，由此能求出点D 为PC 的中点，且PD =√32，使得AC ⊥BD ．本题考查线面垂直的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19. 在菱形ABCD 中，A(−4,6)，C(6,−4)，边CD 所在直线过点M(3,3)．(1)求对角线BD 及边AB 所在直线的方程；(2)求菱形ABCD 内切圆方程，并判断此圆与直线AM 的位置关系． 【答案】解：(1)∵菱形的对角线相互垂直，∴BD ⊥AC ，k AC =−4−66−(−4)=−1． ∴k BD =−1kAC=1．而AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点， ∴直线BD 的方程为：y −1=x −1，即y =x ． k AB =k CD =−4−36−3=−73．∴直线AB 的方程为：y −6=−73(x +4)，即7x +3y +10=0． (2)直线AC 的方程为：y −6=−(x +4)，化为：x +y −2=0． 联立{x +y −2=0y=x，解得x =y =1．∴菱形ABCD 内切圆的圆心为(1,1)． 半径r =√72+32=√58．∴菱形ABCD 内切圆方程为：(x −1)2+(y −1)2=20029．直线AM 的方程为：y −3=−37(x −3)，即3x +7y −30=0． ∴圆心到直线AM 的距离d =√72+32=√58=r ，∴菱形ABCD 内切圆与直线AM 相切．【解析】(1)由菱形的对角线相互垂直，可得BD ⊥AC ，利用斜率计算公式可得k AC ，可得k BD =−1k AC.而AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，可得直线BD 的方程.由k AB =k CD ，利用点斜式可得直线AB 的方程．(2)直线AC 的方程为：y −6=−(x +4)，化为：x +y −2=0.联立{x +y −2=0y=x，解得菱形ABCD 内切圆的圆心.利用点到直线的距离公式可得半径r.可得圆的方程.通过计算圆心到直线AM 的距离d ，与半径比较即可得出．本题考查了菱形的性质、点到直线的距离公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1=B 1C 1=2，∠B 1A 1C 1=30∘，D 为AC 1的中点．(1)若CC 1⊥平面A 1B 1C 1，求证：①直线A 1B//平面CB 1D ；②平面CB 1D ⊥平面CC 1A 1A. (2)若点C 1在平面ABC 上的射影在BC 上，且侧面C 1CBB 1的面积为4，求三棱锥B −CB 1D 的体积．【答案】(1)证明：①连接B 1C 交BC 1于点E ，连接DE ， 则E 为B 1C 的中点，又D 为A 1C 1 的中点，∴DE//A 1B ， ∵DE ⊂CB 1D ，A 1B ⊄平面CB 1D ， ∴A 1B//平面CB 1D ；②若CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又B 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴B 1D ⊥CC 1，又A 1B 1=B 1C 1，且D 为A 1C 1 的中点， ∴B 1D ⊥A 1C 1，而CC 1∩A 1C 1=C 1， ∴B 1D ⊥平面CC 1A 1A ，又B 1D ⊂平面CB 1D ， ∴平面CB 1D ⊥平面CC 1A 1A ；(2)解：过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在BC上，由A1B1=B1C1=2，侧面C1CBB1的面积为4，得C1H⋅BC=4，则C1H=2．又A1B1=B1C1=2，∠B1A1C1=30∘，则S△A1B1D =12×1×√3=√32．∴V B−CB1D =V A1−CB1D=V C−A1B1D=13C1H⋅S△A1B1D=√33．【解析】(1)①连接B1C交BC1于点E，连接DE，由三角形中位线定理可得DE//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面CB1D；②若CC1⊥平面A1B1C1，则B1D⊥CC1，结合A1B1=B1C1，且D为A1C1的中点，得到B1D⊥A1C1，由线面垂直的判定可得B1D⊥平面CC1A1A，进一步得到平面CB1D⊥平面CC1A1A；(2)过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在BC上，由已知求得C1H=2，再由等积法求三棱锥B−CB1D的体积．本题考查空间中直线与平面，平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．21.已知函数f(x)=13x3+ax2−4ax+5a(a∈R)．(1)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；(2)若a>0且g(x)=f(x)−13x3，φ(x)=ax+2，当x1∈[−1,3]，x0∈[−1,3]时，不等式φ(x1)≥g(x0)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则关于x的方程f′(x)=0有2个不相等的实数根，又f′(x)=x2+2ax−4a，即方程x2+2ax−4a=0有2个不相等的实数根，故△=(2a)2+16a>0，解得：a>0或a<−4，故实数a的范围是(0,+∞)∪(−∞,−4)；(2)当x1∈[−1,3]，x0∈[−1,3]时，不等式φ(x1)≥g(x0)恒成立，即φ(x)min≥g(x)max，又函数φ(x)在[−1,3]递增，则函数φ(x)min=2−a，且函数g(x)=a(x−2)2+a，x∈[−1,3]，则函数g(x)max=10a，则有2−a≥10a，即0<a≤211，故a的范围是(0,211].【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可；(2)问题转化为φ(x)min≥g(x)max，根据函数的单调性求出函数的最值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．第11页，共11页 22. 已知抛物线C ：y =x 24，过焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，点E 是抛物线的准线l 与y 轴的交点；(1)若AB ⊥y 轴，求△ABE 的面积．(2)设M 为AB 的中点，以点A 为切点的抛物线的切线交准线l 于点N ，求证：MN ⊥x 轴．【答案】解：(1)由已知得：抛物线C 的方程即为：x 2=4y ，焦点F(0,1)，且准线l 的方程为x =−1，则点E(0,−1)．∵AB ⊥y 轴，∴A(2,1)、B(−2,1)或A(−2,1)、B(2,1)，则S △ABE =12|AB|⋅|EF|=12×4×2=4；(2)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，设点A(x 1,x 124)、B(x 2,x 224)． 则{x 2=4y y=kx+1，得x 2−4kx −4=0，由韦达定理得x 1+x 2=4k 且x 12−4kx 1−4=0． 线段AB 的中点M 的恒坐标为x M =2k =x 12−2x 1． 又以点A 为切点的抛物线的切线的斜率为y′|x=x 1=x 12，切线方程为y −x 124=x 12(x −x 1)， 令y =−1，得点N 的横坐标为x N =x 12−2x 1． ∴x M =x N ，即MN ⊥x 轴． 【解析】(1)求出抛物线C 的焦点F 的坐标和准线的方程，可得出点E 的坐标，由AB ⊥y 轴可得出点A 、B 的坐标，再由三角形的面积公式可求出△ABE 的面积；(2)设点A(x 1,x 124)、B(x 2,x 224)，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出的点M 的坐标，并求出抛物线C 在点处切线的方程，将该切线与准线l 方程联立，可得出点N 的横坐标，利用点M 、N 的横坐标相等来证明结论．本题考查直线与抛物线的综合，考查三角形面积的计算，同时也考查了切线方程的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．。
江西高二高中数学期末考试带答案解析
江西高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设（是虚数单位），则= （）A．B．C．D．2.下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈R, 2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件3.设函数若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或24.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．5.若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A．B．C．D．6.设的最小值是（）A．10B．C．D．7.已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3， x∈Z}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}8.函数的图像大致是（ ）9.当0<x≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，）D ．（，2）10.奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图像分别如图1、2所示，方程f （g （x ））＝0，g （f （x ））＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝（ ）A ．14B ．10C ．7D ．3二、填空题1.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1,2，…，n ）都在直线y ＝x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ．2.已知不等式的解集为，则实数= ．3.若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为．则两截面间的距离为________．4.定义在R 上的偶函数f （x ）满足对任意x ∈R ，都有f （x ＋8）＝f （x ）＋f （4），且x ∈[0,4]时，f （x ）＝4－x ，则f （2 015）的值为________．5.给出下列四个命题：①若a<b ，则a 2<b 2；②若a≥b>－1，则；③若正整数m 和n 满足m<n ，则；④若x>0，且x≠1，则lnx ＋≥2．其中真命题的序号是________．（请把真命题的序号都填上）三、解答题1.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． （1）若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； （2）若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．2.已知z ，y 之间的一组数据如下表：（1）从x ,y 中各取一个数，求x+y≥10的概率； （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好．3.已知函数f（x）＝ax2＋x－a，．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）当时，解不等式f（x）>1．4.已知函数．当时，解不等式；若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．5.在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，为的中点，求三棱锥的体积．6.设函数且,当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．（1）写出函数的解析式；（2）若当时，恒有,试确定的取值范围．江西高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设（是虚数单位），则= （）A．B．C．D．【答案】【解析】，故答案为．【考点】复数的四则运算．2.下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈R, 2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件【答案】【解析】对任意，都有，故选项错；当，，故选项错，故选项错，因为可以，若，则，但若，不一定成立，故选项错，故答案选．【考点】命题的真假判断．3.设函数若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2【答案】【解析】当时，，解得；当时，，解得，因为，所以，综上，或，故答案选【考点】分段函数求值．4.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D．【答案】【解析】由三视图可知此几何体是底面是面积为的直角梯形，高为1的四棱锥，其体积为，故答案为【考点】空间几何体的三视图和体积．5.若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A．B．C．D．【答案】【解析】开始，第一轮，；第二轮，；第三轮，；第四轮，；由题可知，第四轮退出循环，所以判断框应填：，故答案选．【考点】程序框图的识别．6.设的最小值是（）A．10B．C．D．【答案】【解析】，当且仅当，即时，等号成立．故答案选．【考点】基本不等式．7.已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3， x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}【答案】【解析】已知命题，所以或，即命题或，因为非为假命题，所以为真命题，又且为假命题，所以命题为假命题，所以，且故为，故答案选．【考点】命题的真假判断．8.函数的图像大致是（）【答案】【解析】当，即时，；当，即时，，故答案选．【考点】1．分段函数；2．函数图像．x，则a的取值范围是（）9.当0<x≤时，4x<logaA．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【答案】【解析】由题可知当时，函数的图像如图所示，若不等式恒成立，则的图像恒在的图像得上方，因为图像与图像交于点时，，所以满足条件的取值范围为，故答案选．【考点】函数的恒成立问题．10.奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图像分别如图1、2所示，方程f （g （x ））＝0，g （f （x ））＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝（ ）A ．14B ．10C ．7D ．3【答案】【解析】由图可得的零点或或，若，所以或或，当时，有2根，当时，有3根，当时，有2根，故；同理可得，所以，故答案选．【考点】函数与方程．二、填空题1.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1,2，…，n ）都在直线y ＝x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ．【答案】1【解析】由题可知，所有样本点都在直线上所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1 故答案为1【考点】线性回归方程．2.已知不等式的解集为，则实数= ． 【答案】【解析】因为不等式的解集为所以3,4是方程两根 故，解得【考点】不等式与方程之间的关系．3.若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为．则两截面间的距离为________． 【答案】7或1．【解析】因为球的表面积为，所以球的半径 设球心到两截面的距离分别为 如图①，当两平行直线在球心的同一侧时，两截面间的距离为； 如图②，当两平行直线在球心的两侧时，两截面间的距离为，故答案为7或1．【考点】1．球截面；2．两平行平面之间的距离．4.定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2 015）的值为________．【答案】3【解析】因为定义在上的偶函数满足对任意，都有，令，则，故所以满足对任意，都有，故函数的周期所以故答案为3．【考点】函数的周期性和奇偶性．5.给出下列四个命题：①若a<b，则a2<b2；②若a≥b>－1，则；③若正整数m和n满足m<n，则；④若x>0，且x≠1，则lnx＋≥2．其中真命题的序号是________．（请把真命题的序号都填上）【答案】②③【解析】选项①：若，则，故选项①错的；选项②：设，，所以函数在上单调递增，因为，所以，故选项②正确；选项③：，当且仅当，即时等号成立，故选项③正确；选项④：当时，，则，故选项④错误，故正确的是②③．【考点】命题的真假判断．三、解答题1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；B，求实数m的取值范围．（2）若A⊆∁R【答案】（1）2；（2）．【解析】通过解不等式得，．（1）因为，由集合间的关系得，解之即可得到实数的值；（2），因为，所以或，即可得到的取值范围．试题解析：由已知得：，．（1），，所以，即实数的值为2．（2）．因为，所以或．或．故实数的取值范围．【考点】1．不等式的解法；2．集合间的关系和运算．2.已知z，y之间的一组数据如下表：（1）从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率；（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好．【答案】（1）；（2）用直线拟合程度更好．【解析】（1）算出从各取一个数组成数对的个数，找出满足的数对的个数，然后代入古典概型概率计算公式求解；（2）分别算出利用两条直线所得的值与的实际数值的差的平方，比较大小后即可得到结论．试题解析：（1）从各取一个数组成数对，共有25对，其中满足的有，共9对故所求概率为，所以使的概率为．（2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为．用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为．，故用直线拟合程度更好．【考点】古典概型及其概率计算公式；最小二乘法．3.已知函数f（x）＝ax2＋x－a，．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）当时，解不等式f（x）>1．【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，【解析】（1）对进行分类讨论，当时，函数无最大值，故且，即可求得的值；（2）且，接下来分类讨论和大小即可得到不等式的解集．试题解析：（1）由题分析得（2）当即时，当即时，当即时，综上所述，当时，当时，当时，【考点】1．二次函数的最值；2．含参的一元二次不等式．4.已知函数．当时，解不等式；若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式化为，分类讨论去绝对值解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，等价于，由不等式性质可知，即，即可得到的取值范围．试题解析：（1）等价于或或解得或，所以不等式的解集为（2）由不等式性质可知若存在实数，使得不等式成立，则，解得实数的取值范围是【考点】1．绝对值不等式；2．不等式性质．5.在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，为的中点，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）可通过证线面垂直，证明线线垂直，易证和，可得证平面，继而得；（Ⅱ）由题设可知，在中，计算得，在中，，因为为的中点，，由．试题解析：（Ⅰ）证明：三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，平面，且平面，．又平面,平面,，平面，又平面，（Ⅱ）在直三棱柱中，．平面，其垂足落在直线上,．在中，，，,在中，由（1）知平面，平面,从而为的中点，【考点】1．线线垂直；2．空间几何体的体积．6.设函数且,当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．（1）写出函数的解析式；（2）若当时，恒有,试确定的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设点的坐标为，则，即即在函数图像上，代入求得，即；（2）由题意得；，又且，，因为，所以，设，即解不等式且，即可得到的取值范围．试题解析：（1）设点的坐标为，则，即在函数图像上，，即．（2）由题意得；，又且，，，又，所以，，所以在上为增函数，所以在上为减函数，从而，，于是所求问题转化为求不等式组的解．由解得，由解得，∴所求的取值范围是．【考点】1．函数的解析式；2．函数的恒成立问题．。
江西高二高中数学期末考试带答案解析
江西高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数= ( )A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2.若命题：，：，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知命题P ：“存在命题：“中，若则。
则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若直线L 的参数方程为为参数），则直线L 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．5.若，则实数等于（ ）A ．B ．1C ．D ．6.若则f′（x ）的解集为（ ）A ．B ．（-1,0）C ．D ．7.设函数，则（ ）A ．最大值为B ．最大值为C ．最小值为D ．最小值为8.已知，则S 1,S 2,S 3的大小关系为（ ）A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．. S 3＜S 2＜S 19.已知函数的导数为，则数列的前项和是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知定义在（上的非负可导函数f（x）满足xf′（x），对任意正数，若满足，则必有（）A．B．C．D．二、填空题1.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,()则直线与圆的交点的极坐标为______________．2.若=上是减函数，则的取值范围是。
3.已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是 ____ ．4.求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。
5.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第三个数为 ____ ．三、解答题1.已知；（1）如果求的值；（2）如果求实数的值.2.设命题P：函数在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数的定义域为R.若命题p或q为假命题，求的取值范围.3.在数列{}中，已知（1）求并由此猜想数列{}的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。
江西省赣州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A 选项，当 m n 0 时，曲线 C : x2 y2 m ，表示圆心在原点，
半径为 m 的圆，所以 A 选项正确.
B 选项，当 m n 0 时，曲线 C : x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上PD
时有
P
1 2
, 0,
1 2
，
BP
1 2
, 1,
1 2
，
AD1
1, 0,1
，
DC 0,1, 0 ， DA1 1, 0,1 ， DC AD1 0 ， DA1 AD1 0 ，
uuur AD1 是平面 A1B1CD 的一个法向量，
cos BP, AD1
BP AD1 BP AD1
名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 60
B. 90
C. 150
【答案】C
【解析】
【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.
D. 240
【详解】当每组人数为 2, 2,1时，方法有
C52C32 A22
A33
90 种.
当每组人数为 3,1,1时，方法有 C35 A33 60 种.
故选:C.
3. 若直线 ax y 2 0 与直线 x 2y 1 0 平行，则 a （ ）
A. 2
【答案】B
B. 1 2
C. 1
2
【解析】
【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解.
【详解】因为两直线平行，所以 a 1 ， 2
经检验，此时两直线的斜截式方程分别为 y 1 x 2, y 1 x 1 ，
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分）
江西省上饶市2020_2021学年高二数学上学期期末教学质量测试试题文含解析
江西省上饶市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量测试试题 文（含解析）一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 设11izi，则z =（ ） A. 2B. 3C. 2D. 12. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课､休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 04 9 2 3 1 4 9 35 8 2 0 9 36 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 48 1A. 25B. 24C. 29D. 193. 某学生一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（ ）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%4. 利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ） A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1 B a ，b ，c 中至多有一个数小于1 C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1 D a ，b ，c 中都小于15. 执行如图所示的算法，若输出的结果2y ≥，则输入的x 满足（ ）A. 4x ≥B. 1x ≤C. 1x ≤-或4x ≥D. 14x -≤≤6. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，且10a b ⋅=，则a b -=（ ） A. 5B. 5C. 10D. 107. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（ ）A. 1233AB AD -+ B.1323AB AD - C. 1536AB AD -D. 1334AB AD -8. 在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ） A. 4B. 5C.163D.2039. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数a 、b ，则直线0ax by -=与2255x y 相切的概率为（ ） A.16B.112C.118D.13010. 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为12，则圆周率π的值为（ ）A. 2m nB. 2n mC. 222m nD. 222n m11. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A. 1B. 1.5C. 0.75D. 1.7512. 已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 353,424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 373,424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 153,224⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 二､填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上) 13. 设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =___________. 14. 已知随机事件A ，B 互对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________.15. 锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 2sin sin sin a b C Bc A B--=+，且2a =，则ABC 面积的取值范围是___________. 16. 给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ；②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当变量x 增加一个单位时，ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________.三､解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明､演算步骤) 17. 已知22a b ==，且向量a 在向量b 方向上的投影为1-，求：（1）a 与b 的夹角θ;（2）()2a b b -⋅. 18. 已知m实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围.19. 设x ，y 满足约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域； （2）若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，求1123a b+的的最小值. 20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为164km h -⋅．（1）求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要男司机 70 30 女司机5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82821. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形ABC 中，边BC 的中点为D ，求证：向量22AB AC AD BD ⋅=-.（2）已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b aca-<.22. 已知关于x 的一元二次方程210x ax b -+-=，记该方程有两个不等的正实根为事件A . （1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为a 、b ，求事件A 发生的概率； （2）利用计算器产生两个随机数x 、y ，且[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，若21a x =-，254b y =-+，求事件A 发生的概率.上饶市2020-2021学年度第一学期期末教学质量测试高二数学(文科)试题卷（解析版）一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1. 设11izi，则z=（）A. 2 D. 1 【答案】D【解析】【分析】先化简z i=-，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz ii i i---====-++-，所以1z=.故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课､休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 04 9 2 3 1 4 9 35 8 2 0 9 36 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 48 1A. 25B. 24C. 29D. 19【答案】C【解析】【分析】根据随机数表结合编号逐次取可得正确的编号.【详解】从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，依次取出的编号为：25，30，24，29，故选出来的第4个学生的编号为29.故选：C.3. 某学生一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%【答案】D 【解析】 【分析】根据图2可得牛奶开支占食品开支的比例，结合图1，即可得答案.【详解】由图2可得，牛奶开支占食品开支的比例为4043040100805030=++++，根据图1可得该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为430%4%30⨯=. 故选：D4. 利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ） A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1 B. a ，b ，c 中至多有一个数小于1 C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1 D. a ，b ，c 中都小于1 【答案】D 【解析】 【分析】否定原命题的结论可得结果.【详解】“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”的否定为：a ，b ，c 都小于1， 故选：D5. 执行如图所示的算法，若输出的结果2y ≥，则输入的x 满足（ ）A. 4x ≥B. 1x ≤C. 1x ≤-或4x ≥D. 14x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】解不等式后可得输入的输入的x 的取值范围.【详解】流程图的作用是求分段函数(),01,02x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩的函数值.2y ≥的解即为20x x ≥>⎪⎩或0122xx ≤⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故1x ≤-或4x ≥，故选：C.6. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，且10a b ⋅=，则a b -=（ ） A. 5 5 C. 1010【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解x ，再根据向量线性运算公式以及模长公式求解即可. 【详解】由(1,2)a =，(,4)b x =， 得2410a b x ⋅=+⨯=， 解得2x =，(2,4)b = 故(1,2)a b -=--，22(1)(2)5a b -=-+-=，故选：B.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（ ）A. 1233AB AD -+ B.1323AB AD - C. 1536AB AD -D. 1334AB AD -【答案】C 【解析】 【分析】先用,AB AD 表示AE ，再结合DF AF AD =-可得正确的表示形式.【详解】因为12=+=+AE AB BE AB AD ， 故1111533636DF AF AD AE AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=-，故选：C.8. 在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ） A. 4 B. 5C.163D.203【答案】A 【解析】 【分析】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，即为即可得出结果.【详解】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，故点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离：4d ==，故选：A.9. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数a 、b ，则直线0ax by -=与2255x y 相切的概率为（ ） A.16B.112C.118D.130【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以通过直线0ax by -=与圆2255x y 相切以及点到直线距离公式得出2a b =，然后通过题意确定(),a b 数对一共有多少种以及满足2a b =的(),a b 数对有几种，最后通过概率计算公式即可得出结果．【详解】因为直线0ax by -=与圆2255x y 相切，所以圆的圆心为0,555b ab，化简得2a b =，因为一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数为a 、b ，所以(),a b 数对共有36种，其中满足2a b =的数对有()2,1、4,2、6,3三种， 故313612P，故选B ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及古典概型的相关计算公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，考查计算能力与推理能力，是中档题． 10. 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为12，则圆周率π的值为（ ）A. 2m nB. 2n mC. 222m nD. 222n m【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型的思想,求出圆的面积占正方形面积的比例即为豆落在圆内的概率,再化简求得圆周率π的表达式即可.【详解】根据几何概型可知, 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆， 向正方形中机扔一粒豆子它落在该圆内的概率为2222122n m m nππ=⇒=. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据几何概型的运用,属于基础题.11. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A. 1 B. 1.5C. 0.75D. 1.75【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x y a +=的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可.【详解】如图，不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域是AOB ，动直线x y a += (即y x a =-+)在y 轴上的截距从-2变化到1，知ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，EOC △是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为：ADCEOCS SS阴影131311222 71.754. 故选:D .【点睛】本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题. 12. 已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 35344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 37344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 15324⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设()()22cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 33D C P ππααααθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中03πα≤≤，0θπ≤≤，求出PC 、PD 的坐标后可求数量积的取值范围.【详解】如图，设()()22cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 33D C P ππααααθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中03πα≤≤，0θπ≤≤22cos cos ,sin sin 33PC ππαθαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()cos cos ,sin sin PD αθαθ=--，所以()2cos cos cos cos 3PC PD παθαθ⎡⎤⎛⎫+-⨯- ⋅=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin sin sin 3παθαθ⎡⎤⎛⎫++-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 1221cos cos cos sin sin sin 233ππθααθαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⨯++-⨯++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1cos sin sin cos 266ππθαθα⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 26παθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因03πα≤≤，0θπ≤≤，故3πθαπ-≤-≤，7666πππθα-≤-+≤故1sin 126παθ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，故1,12PC PD ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．二､填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上) 13. 设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =___________. 【答案】2i + 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z . 【详解】()21z i -⋅=，122z i i∴=+=-，因此，2z i =+.故答案为：2i +.14. 已知随机事件A ，B 互为对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________. 【答案】34【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系可求()P A .【详解】因为随机事件A ，B 互为对立事件，故()()1P A P B +=，而故()()3P A P B =，故()34P A =， 故答案为：34.15. 锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 2sin sin a b C Bc A B--=+，且2a =则ABC 面积的取值范围是___________.【答案】12⎛+ ⎝⎦【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出cos A 的值，可求得角A的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出12242ABC S B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭△，求出角B 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得ABC 面积的取值范围.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a b C B c c A B a b--==++，所以，222a b c -=，可得222b c a +-，所以，222cos 22b c a A bc +-==， 0A π<<，4A π∴=，由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，2sin b B ∴=，2sin c C =，()11sin 2sin sin sin sin 224ABC S ac B C B B A B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭△)211cos 2cos sin sin cos sin sin sin 222B B B B B B B B -=+=+=+1sin 2242B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，则0224B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得42B ππ<<，32444B πππ∴<-<，sin 214B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11242B π⎛⎫<-+≤⎪⎝⎭因此，ABC面积的取值范围是11,2⎛ ⎝⎦.故答案为：11,2⎛ ⎝⎦.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 16. 给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当变量x 增加一个单位时，ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________. 【答案】①②④. 【解析】 【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是不正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】解:对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y 所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据平均数的计算公式可得744471x ⨯+==+,根据方差的计算公式()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦，所以是不正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故答案为：①②④.【点睛】关键点点晴：本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键. 三､解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明､演算步骤) 17. 已知22a b ==，且向量a 在向量b 的方向上的投影为1-，求： （1）a 与b 的夹角θ; （2）()2a b b -⋅. 【答案】（1）23π；（2）3-. 【解析】 【分析】（1）由题知2,1,cos 1a b a θ===-，进而得出cos θ，即可求得θ.（2）根据数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，2,1,cos 1a b a θ===-，所以1cos 2θ=-. 又因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）()2222122cos22121332a b b a b b a b b π⎛⎫-⋅=⋅-=⋅⋅-=⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题. 18. 已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；（2）根据题意，可得复数z 对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-，直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>， 解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-.19. 设x ，y 满足约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域； （2）若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，求1123a b+的的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为4. 【解析】 【分析】（1）由题意可知不等式组表示的平面区域为在第一象限内两直线与y 轴所围成的区域； （2）由图可知当直线z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即有231a b +=，从而有1111(23)2323a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：（1）画出约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图阴影四边形AOBC 所示；由题意知，1(0,1),,02A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由21010x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ；（2）目标函数z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即231a b +=；所以11112323(23)222423233232a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1232a b ==时取等号；所以1123a b +的最小值为4. 20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为164km h -⋅．（1）求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要 男司机 70 30 女司机5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10828【答案】（1）0.04a =，0.03b =，中位数为65；（2）有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1以及平均数为64可以建立起关于a ，b 的二元一次方程，从而可以求出a ，b 的值，进而可以由频率分布直方图求出中位数；（2）根据2K 的计算公式计算出2K 的值，与临界值比较，即可得出结论. 【详解】（1）根据频率和为1可得：10(0.020.01)1a b ⨯+++=， 化简为0.07a b +=，①又450.1550.26510751064a b ⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以6575 4.85a b +=，②由①②联立得，0.04a =，0.03b =； 由于前两块矩形的面积分别为0.1和0.2， 故所求的中位数为()0.5100.010.026010650.4-⨯++⨯=；（2）根据表中数据，计算22200(70503050)258.333 6.635100*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关． 21. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形ABC 中，边BC 的中点为D ，求证：向量22AB AC AD BD ⋅=-.（2）已知a b c >>，且0a b c ++=23b ac-<.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）用综合法证明：因为2AB AC AD +=，2AB AC DB -=由22AD DB -化简得证；（2）用分析法证明：要证a<，即证223b ac a -<，逐步推出其成立的充分条件. 【详解】证明：（1）2AB AC AD +=，2AB AC DB -= ()222211242AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫+∴==++⋅ ⎪⎝⎭ ()222211242AB AC DB AB AC AB AC ⎛⎫-==+-⋅ ⎪⎝⎭ 22AB AC AD DB ∴⋅=-（2）要证a << 即证223b ac a -<即2230a b ac -+>又因为c a b =--即证223()0a b a a b -+-->即证2220a ab b -->即证()(2)0a b a b -+>又因为a b >，0a b ->，即证20a b +>，又因为a b c +=-即证0a c ->即证a c >又由已知，a c >，故原不等式成立.【点晴】方法点晴：综合法由定义、定理公理等逐步推出结论成立；分析法从结论出发，推出其成立的充分条件，直到得到一个显然成立的条件.22. 已知关于x 的一元二次方程210x ax b -+-=，记该方程有两个不等的正实根为事件A .（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为a 、b ，求事件A 发生的概率；（2）利用计算器产生两个随机数x 、y ，且[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，若21a x =-，254b y =-+，求事件A 发生的概率.【答案】（1）512；（2）416π-. 【解析】【分析】（1）计算出基本事件的总数，列举出事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得()P A ，即为所求；（2）根据题意求出事件A 所构成的区域，作出图形，利用面积比可求得()P A ，即为所求.【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子所得点数构成有序数对(),a b 的所有基本事件数为2636=，用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，则()2410a b ∆=-->且10b ->， 则事件A 包含的基本事件有：()3,2、()3,3、()4,2、()4,3、()4,4、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15个基本事件，所以，()1553612P A ==； （2）用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，()()222221114102140424a b x y x y ⎛⎫⎛⎫∆=-->⇒---+>⇒-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 211100042b y y ->⇒->⇒≤<， 12102a x x =->⇒>， 所以事件A 构成的区域如下图中的阴影部分区域如下图所示：阴影部分区域的面积为2111444216S ππ-⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 因此，()24416116P A ππ--==.【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下：（1）长度型；（2）面积型；（3）体积型.。
江西省高二上学期期末考试数学试题(含解析)
数学试题考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共计40分）1．空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c =23OM OA = BN NC = （ ）MN =A ．B ．C ．D ．121232a b c -+ 111222a b c +-221332a b c -++211322a b c -++2．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则10l y +=2:10l kx y -+=1l 2l 60︒实数的值为（ ）A B ．0D ．或k 3．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ） A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种4．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为2211636x y +=22146x y -=（ ） A ．B ．C ．D ．221128y x -=221812y x -=221128x y -=221812x y -=5．已知，则（ ） ()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++ 2a =A ．B ．2C ．4D ．122-6．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．B ．C ．D ．142312137．已知点D 在确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足ABC ，则：的最小值为（ ）2DO xOA yOB OC =+- 22x y +A ．B C ．1 D ．2458．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安A B 排方案数是（ ）A ．56B ．28C ．24D ．12二、多选题（每题5分，多选不得分，漏选少选扣2分一个，共计20分）9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） a b cA ．若，则0xa yb zc ++=0x y z ===B ．，，两两共面，但，，不共面a b c a b cC ．，，一定能构成空间的一个基底+a b b c -r r 2c a +D ．一定存在实数，，使得 x y a xb yc =+10．下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 1333C A B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 4343A A C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种4345A A D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种11.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是( )A ．O -ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45° D ．二面角D -OB -A 为45°12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B22195x y +=1F 2F 1F 两点.则下列说法正确的是（ ）A ．△ABF 2的周长为12BC ．的最大值为D ．△ABF 2面积最大值为 22||AF BF +263203第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共计20分）13．圆：与圆：没有公共点，则的取值1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=m 范围为__________.14．的展开式中含项的系数为___________.4(2)(3)y x --3x y 15．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确15答案的概率是___________.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______. P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=四、解答题17（10分）．已知圆，其圆心在直线上． 22:220(R)C x y mx y m ++--=∈0x y +=(1)求的值；m (2)若过点的直线与相切，求的方程．(1,4)l C l 18（12分）．（1）解不等式．288A 6A x x -<（2）若，求正整数n ．2222345C C C C 363n +++⋅⋅⋅+=（3）从正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为？19（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面111ABC A B C -11AAC C 平面，，，点是的中点，ABC ⊥11AAC C 3AB=5BC =E BC(1)求证：平面；(2)求证：平面； 1A B 1AC E 1A C ⊥1ABC (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值. 1BC D 1AD A B ⊥1BDBC20（12分）．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.21（12分）．如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，面1111ABCD A B C D -面，，.11ADD A ⊥1111D C B A 114AA DD ==1136A D AD ==(1)求到平面的距离； 1B 11CDD C (2)求二面角的正弦值.111B CC D --22（12分）．已知C ：，过椭22221x y a b+=12圆左焦点作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：F ，过点M 作垂直于直线m 交直线m 于点E .2x a =-ME (1)求椭圆C 的标准方程：(2)①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求面积的最大值.OEN参考答案：1．D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，OABC OA a = OB b = OC c =23OM OA = ，BN NC = 如图，所以，1122ON OB OC =+ 所以， 21211()32322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++ 故选：D 2．C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，直线恒过10l y +=k =120 2:10l kx y -+=点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或()0,11l 2l 60︒2l 60 0 k ，0k =故选：C3．D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.(2,2,1),(3,1,1)【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 2213531322C C C A 90A ⋅=②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 3113521322C C C A 60A ⋅=综上，选法共有. 9060150+=故选:D. 4．A【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为220c =y ，利用即可得解. ()22046x y λλ-=<222c a b =+【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，2211636x y +=y 2361620c =-=又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，22146x y -=所以设所求双曲线为，即，()22046x y λλ-=<22164y x λλ-=--则，解得， 26420c λλ=--=2λ=-所以所求双曲线为.221128y x -=故选：A. 5．C【分析】令，直接根据二项式定理求解即可. 1x t +=【详解】令，则，1x t +=1x t =-故，()()()445525012512221x x t t a a t a t a t -+=-+-=++++ 中得系数为，中得系数为，()42t -2t ()224C 224-=()51t -2t ()335C 110-=-所以， 224204a =-=故选：C.6．D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概3414率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝．]1434137．A【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得. 211x y --+=【详解】因为，2DO xOA yOB OC =+-所以，又点D 在确定的平面内， 2OD xOA yOB OC =--+ABC 所以，即， 211x y --+=22x y =-所以，()222222445422855455x y y y y y y ==-+⎛⎫+-+-⎪=+≥ ⎝⎭所以当时，的有最小值. 45y =22x y +45故选：A. 8．B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A 在甲社团B 在乙社团和A 在乙社团B 在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A 在甲社团B 在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲14C 24C社团有4人有种方案，共种方案；34C 123444C +C +C 46414=++=当B 在甲社团A 在乙社团时，同理也有14种方案； 所以不同的安排方案数是14+14=28. 故选：B 9．ABC【分析】由已知，选项A ，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B ，可根据基底的定义和性质来判断；选项C ，可先假设，，共面，得到无解，即可+a b b c -r r 2c a +判断，，组成基底向量；选项D ，由，，不共面可知，不存在这样的+a b b c -r r 2c a + a b c实数.【详解】选项A ，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若,,x y z 0a b c，则，该选项正确；0xa yb zc ++=0x y z ===选项B ，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两a b c a b c共面，但，，不共面，该选项正确；a b c选项C ，假设，，共面， +a b b c -r r 2c a +则，此时，无解，+()(2)a b k b c c a λ=-++ 1=2=1=k k λλ⎧⎪⎨⎪⎩所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；+a b b c -r r 2c a +选项D ，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误. a b cx y a xb yc =+ 故选：ABC. 10．ACD【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A 的正误；利用捆绑法，可判断B 的正误；利用插空法，可判断C 的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有13C 33A 种排法，故A 正确；1333C A 对于B ：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种33A 55A 排法，所以共有种排法，故B 错误；5335A A 对于C ：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排44A 35A 法，所以共有种排法，故C 正确；4345A A 对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，4345A A 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，3334A A 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D 正4345A A 3334A A 确. 故选：ACD11.ACD [将原图补为正方体不难得出只有B 错误，故选ACD ．] 12. ACD【分析】A 由椭圆定义求焦点三角形周长；B 根据椭圆离心率定义求离心率；C 当AB x ⊥轴求出最小值，即可得最大值；D 令直线代入椭圆，应用||AB 22||AF BF +:2AB x ky =-韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可.2ABF S k 【详解】A ：由三角形的周长为，正确； 221212||||||||||||||412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==B ：由，故椭圆的离心率为，错误；3,2a c ===23ca =C ：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时22||12||AF BF AB -+=||AB AB x ⊥，故，正确； 2min 210||3b AB a ==22max 26(||)3AF BF +=D ：令直线，代入椭圆方程整理得：，:2AB x ky =-22(95)20250k y ky +--=所以，且，， 2900(1)0k ∆=+>22095A B k y y k +=+22595A By y k =-+而，2121||||602ABF A B S F F y y =⋅-== 令，则211t k =+≥260ABF S ==≤= 且仅当时等号成立，显然等号不成立， 45t =又在上递增，即时最小，此时最大为，正确.1625y t t=+[1,)+∞1t =y 2ABF S 203故选：ACD13．()(),164,20-∞-⋃【分析】先用配方法确定圆心和半径，两圆没有公共点，说明它们内含或者外离，找出圆心距和半径之间的关系可得参数的范围.【详解】圆：，圆： 1C ()2211x y ++=2C ()()222420x y m -+-=-两圆没有公共点，则两圆外离或内含.若两圆外离，则，∴ 12121C C r r >+=420m <<若两圆内含，则，∴. 12121C C r r <+=16m <-综上：. ()(),164,20m ∈-∞-⋃故答案为： ()(),164,20-∞-⋃14．12-【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--3x y 4(3)y x -展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--的展开式中项为：，4(3)y x -3x y ()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-的展开式中没有项，4)2(3x --3x y 故的展开式中含项的系数为， 4(2)(3)y x --3x y 12-故答案为：.12-15．##120.5【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得A B ()()()141|()(|1,55452P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=故 ()()()115|.225P AB P B A P A ===故答案为：1217．(1)；2m =(2)或.1x =512430x y -+=【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心l ()41y k x -=-到直线的距离即可求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：， C 222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭所以，圆心为. ,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线上，得.0x y +=2m =所以，圆的方程为：.C 22(1)(1)4x y ++-=（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；l l 1x =当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，l k l ()41y k x -=-即，40kx y k --+=由于直线和圆，l C 2解得：，代入整理可得. 512k =512430x y -+=所以，直线方程为：或.1x =512430x y -+=18．（1）；（2）；（3）588x =13n =【分析】（1）根据排列数公式求解；（2）由组合数的性质求解；（3）由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算．【详解】（1）由题意，且，，经验8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--116(10)(9)x x <⨯--28x ≤≤N *x ∈算可解得； 8x =（2）22223222232223453345445C C C C C C C C C 1C C C C 1n n n +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-3223551C C C 1C 1n n +=++⋅⋅⋅+-==- 原方程为，，满足题意，且是在且31363C n -=()()113646n n n +-=13n =31C n +*n ∈N 4n ≥时递增的，因此是唯一解；13n =（3）58 [从8个顶点中任取4个有C 种方法，从中去掉6个面和6个对角48面，所以有C －12＝58个不同的四面体．] 4819．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析，. 1925BD BC =【分析】(1)连接，，记两直线的交点为，证明，根据线面平行判定定1AC 1AC F 1//EF AB 理证明平面；1A B 1AC E (2)证明，，根据线面垂直判定定理证明平面；11AC A C ⊥1A C AB ⊥1A C ⊥1ABC (3) 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设A AC AB 1AA x y z ，由垂直关系列方程求出即可. ()101BD BC λλ=≤≤λ【详解】（1）连接，，记两直线的交点为，因为四边形是正方形，所以1AC 1AC F 11AAC C 为的中点，又点为的中点，所以，平面，平面F 1AC E BC 1//FE AB 1A B ⊄1ACE FE ⊂，所以平面；1AC E 1A B 1AC E（2）因为，，，所以，所以， 3AB =5BC =4AC =222BC AB AC =+AB AC ⊥又平面平面，平面平面，平面， ABC ⊥11AAC C ABC ⋂11AACC AC =AB ⊂ABC所以平面，因为平面，所以，因为四边形是AB ⊥11AAC C 1AC ⊂11AAC C 1AB A C ⊥11AAC C 正方形，所以，又，平面，平面，所以11AC A C ⊥1AC AB A = 1AC ⊂1ABC AB ⊂1ABC 平面；1A C ⊥1ABC （3）因为平面，，故以为原点，，，为，，AB ⊥11AAC C 1AC AA ⊥A AC AB 1AA x y z轴建立空间直角坐标系，则，，， ，()10,0,4A ()0,3,0B ()14,0,4C ()10,3,4A B =-u u u r ，()14,3,4BC =- 设在线段上存在点，使得，且， 则， 1BC D 1AD A B ⊥()101BD BC λλ=≤≤1BD BC λ= 所以，()()()14,3,44,33,04,3,0AD AB BD AB BC λλλλλ=+=+=-=+- 因为，若，则，解得：， ()10,3,4A B =-u u u r 1AD A B ⊥199160AD A B λλ==⋅-- 925λ=所以在线段上存在点，使得且. 1BC 364836,,252525D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AD A B ⊥1925BD BC =20．解 设事件A 表示“飞机被击落”，事件B i 表示“飞机被i 人击中”(i=0,1,2,3)，则B 0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B 0)=0，P(A|B 1)=0.2,P(A|B 2)=0.6, P(A|B3) = 1。
江西省宜丰中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
高二期末考试数学试题（文科）一，选择题（每小题5分,共60分）1.命题“”地否定是( )A. B.C. D.【结果】C【思路】【思路】依据特称命题地否定是全称命题即可得到结论.【详解】依据题意,先改变量词,然后否定结论,可得原命题地否定是:“”,故选C.【点睛】本题主要考查特称命题地否定,其方式是先改变量词,然后否定结论。
全称性命题地否定地方式也是如此.2.为了解名学生地学习情况,采用系统抽样地方式,从中抽取容量为地样本,则分段地间隔为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】试题思路：由题意知,分段间隔为,故选C.考点：本题考查系统抽样地定义,属于中等题.3.以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中地成绩(单位：分)．已知甲组数据地中位数为15,乙组数据地平均数为16.8,则x,y地值分别为( )A. 2,5B. 5,5C. 5,8D. 8,8【结果】C【思路】【思路】识别茎叶图,依据中位数，平均数地定义,可求出x，y地值.【详解】依据茎叶图中地数据可得：甲组数据是9,12,10+x,24,27。
它地中位数是15,可得10+x=15,解得：x=5。
乙组数据地平均数为：,解得：y=8,所以x,y地值分别为5和8,故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图及中位数，平均数地定义,依据茎叶图得到各数据进行求解是解题地关键.4.已知椭圆地左焦点为则m=（）A. 2B. 3C. 4D. 9【结果】B【思路】试题思路：由题意,知该椭圆为横椭圆,所以,故选B．考点：椭圆地几何性质．5.执行如图所示地程序框图,输出地s值为( )A. 2B.C.D.【结果】C【思路】试题思路：时,成立,第一次进入循环：。
成立,第二次进入循环：。
成立,第三次进入循环：,不成立,输出,故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一,要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,并依据各自地特点执行循环体。
第二,要明确图中地累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量地值发生地变化。
江西省年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)
， ，即 ， ，即 ， 为方程 的两个不同根，
，
设 ， ，
时， ； 时， ，
是 的极小值点， 的极小值为： ，
又 趋向0时， 趋向 ； 趋向 时， 趋向 ，
时， 和 的图象有两个交点，方程 有两个解，
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
【分析】
求导函数，要保证函数 仅在 处有极值，必须满足 在 两侧异号．
【详解】由题意，
要保证函数 仅在x＝0处有极值，必须满足 在x＝0两侧异号，
所以要 恒成立，
由判别式有： ，∴
∴ ，
∴a的取值范围是
故选A．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7.下列命题正确的是( )
【答案】A
【解析】
设直线 倾斜角为 ，则 .
若 ，得 ，可知倾斜角 大于 ；
由倾斜角 大于 得 ，或 ，即 或 ，
所以“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，故选A.
的单调递减区间是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可得 和定义域，由 ，即可求解函数的递减区间.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是 .(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).
江西高二高中数学期末考试带答案解析
江西高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合等于（）A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{2，4，5}D．{2，5}2.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．3.已知集合，则下列论断中正确的个数为（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个4.若函数内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5.不等式的解集是（）A．B．C．D．6.函数的图象大致是（）7.设函数是自然对数的底数，则在下列区间中，至少有一个零点的是（）A．（—1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8.若等于（）A．B．C．a D．9.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3B．31C．63D．12710.设a、b、c则（）A．B．C．D．11.设函数的最小值为（）A．16B．8C．4D．非前三者12.已知函数，则（）A．B．C．D．二、填空题1.直线的斜率为。
2.关于x的不等式的解集为（—1，2），则复数所对应的点位于复平面内的第象限。
3.已知随机变量X服从正态分布= 。
4.记具有如下性质的函数的集合为M：对任意的、则，现给定函数①②③④则上述函数中，属于集合M的函数序号是。
三、解答题1.（满分12分）已知曲线在第三象限的坐标；（1）求P（2）若直线的方程。
2.（满分12分）已知点上的动点。
①求2m+n的取值范围；②若恒成立，求实数a的取值范围。
3.（满分12分）某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考核依次分为笔试，面试、实际操作共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用，设该大学毕业生通过一、二、三轮考核的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立。
①求该大学毕业生进入第三轮考核的概率；②设该大学毕业生在应聘考核中考核轮数为X，求X的概率分布列及期望和方差。
江西省赣州市梅国学校高二数学文上学期期末试卷含解析
江西省赣州市梅国学校高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A．13 B．15 C．20 D．28参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知，当x=3，y=1时3x+4y取最小值13故选A【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．2. 已知复数若是实数，则实数的值为（）A．6 B．-6 C．0 D．参考答案：A3. 点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为()A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C4. 函数为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则的一个单调递增区间为A．(－∞,0] B．[0,+∞) C．D．参考答案：C5. 若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由题意利用指数函数和对数函数的性质和所给数据所在的范围即可比较a,b,c的大小. 【详解】由对数函数的性质可知，且，，据此可得：.故选：C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．6. 若是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）A、128个B、126个C、72个 D、64个参考答案：B7. 已知椭圆的一个顶点是(0, 2 ), 离心率是，坐标轴为对称轴，则椭圆方程是（）A． B．C．或 D．或参考答案：C略8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】先根据正弦定理以及题设条件可知==sinA进而求得sinB的值．【解答】解：由正弦定理可知=∴==sinA∵sinA≠0∴sinB=故选B9. 点A（4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是（▲）A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（-6，-8）D．（6，8）参考答案：C略10. 下列有关命题的说法正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件.B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“使得”的否定是：“均有”. D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．参考答案：[﹣2，0）∪（3，5]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴1﹣lg（x2﹣3x）≥0，即lg（x2﹣3x）≤1，∴0＜x2﹣3x≤10，解得﹣2≤x＜0或3＜x≤5，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．故答案为：[﹣2，0）∪（3，5]．12. 若向量满足，且与的夹角为，则=参考答案：13. 在极坐标系中，点到直线的距离是________．参考答案：＋114. 我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为。
江西省2022高二数学上学期期末考试试题 文
南昌二中2022—2021学年度上学期期末考试高二数学〔文〕试卷一、选择题〔每题5分，共12小题，共60分〕z 满足z 〔1+i 〕＝2﹣i ，那么复数z 在复平面内对应的点所在象限为〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.以下最新命题的说法错误的选项是〔 〕A ．命题“假设x 2﹣3x +2＝0，那么x ＝2〞的逆否命题为“假设x ≠2，那么x 2﹣3x +2≠0〞B ．“a ＝2〞是“函数f 〔x 〕＝a x在区间〔﹣∞，+∞〕上为增函数〞的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0〞的否认是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0〞D ．“假设f ′〔x o 〕＝0，那么x o 为y ＝f 〔x 〕的极值点〞为真命题 的离心率为，那么其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ． 4.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命. 据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，那么他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为〔 〕A ．67B ．2125C ．4950D ．不确定 C ：1〔a ＞b ＞0〕的离心率为，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，那么椭圆C 的标准方程为〔 〕A ．1B ．C ．1D ．6.下面四个推理,不属于演绎推理的是( )A. 函数)(sin R x x y ∈=的值域为[−1,1]，因为R x ∈-12,所以))(12sin(R x x y ∈-=的值域也为[−1,1]B. 昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C. 在平面中,对于三条不同的直线a ,b ,c ,假设a ∥b ,b ∥c 那么a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论f (x )=x 3-x 2+mx +1不是R 上的单调函数,那么实数m 的取值范围是 ( )A. B. C. D.8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量〔单位：厘米〕，左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为〔 〕A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系x ∈R ，那么“ln 0x <〞是“12x +<〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,f '(x )是f (x )的导函数,且总有f (x )>xf '(x ),那么不等式f (x )>xf (1)的解集为( ) A. (-∞,0) B. (0,1)C. (0,+∞) D.(1,+∞)11.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为.21,F F ,假设在直线a x 2=上存在点P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,那么椭圆的离心率的取值范围是( ) A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛210， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2112.定义在R 上的函数)(x f 满足),()x f x f =-（且对任意的不相等的实数[)有+∞∈,0,21x x0)()(2121<--x x x f x f 成立，假设最新x 的不等式)312()3(2)3ln 2(++--≥--nx mx f f x mx f在]3,1[∈x 上恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+66ln 1,e 21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+36ln 2,e 1 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+33ln 2,e 1 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+63ln 1,e 21 二、填空题〔每题5分，共20分〕13.实数x ，y 满足不等式组，那么z ＝2x ﹣3y 的最小值为．xoy 中，点A 在曲线x y e =〔e 为自然对数的底数〕上，且该曲线在点A处的切线经过原点，那么点A 的坐标是______.F 1与双曲线的右支交于点P ，且PF 2与x 轴垂直〔F 2为右焦点〕，那么此双曲线的离心率为．16.函数f (x )的导函数f '(x)是二次函数，且y =f '(x )的图像最新y 轴对称，f'(3)=0，假设f (x )的极大值与极小值之和为4,那么f (0)=.三、解答题〔共5小题，共60分〕17.〔本小题12分〕命题p ：最新x 的方程在上有实根；命题q ：方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆． 〔I 〕假设p 是真命题，求a 的取值范围；〔II 〕假设是真命题，求a 的取值范围．18. 〔本小题12分〕2022年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取方法．该市教育管理部门为了了解市民对该招生方法的赞同情况，随机采访了440名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表.〔I〕根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取方法与近三年是否家里有小升初学生有关；〔II〕从上述调查的不赞同小升初录取方法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出6人，再从这6人中随机抽出3人进行回访，求3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率.附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dκ-=++++，其中n a b c d=+++.19.〔本小题12分〕函数f〔x〕＝x2+2alnx．(I)假设函数f〔x〕的图象在〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1，求实数a的值；(II)假设函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．20.〔本小题12分〕点F是抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，假设点P〔x0，4〕在抛物线C上，且．〔I〕求抛物线C的方程；〔II 〕动直线l ：x ＝my +1〔m ∈R 〕与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点其中D 〔t ，0〕〔其中t ≠0〕，使得k AD +k BD ＝0？〔k AD ，k BD 分别为直线AD ，BD 的斜率〕假设存在，求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由．21. 〔本小题12分〕函数f (x )=-ln x .(I)求f (x )的最小值;(II)假设最新x 的不等式e x -1+1-f (x )>在(1,+∞)上恒成立,求整数k 的最大值.四、选做题〔共10分〕 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔I 〕写出1C 的极坐标方程；〔II 〕设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后得到曲线C 3，曲线(0)3πθρ=>分别与1C 和3C 交于A ，B 两点，求AB ．()3f x x =-.〔Ⅰ〕求不等式()32f x x ≥--的解集；〔Ⅱ〕假设()24f x m x ≤--的解集非空，求m 的取值范围．高二数学〔文〕期末考试参考答案7.C8．D 11.B12、D13.-614.()1,e 15.e17.令，那么，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，的最小值，故假设p 为真命题，那么；是真命题，那么p ，q 均为真命题，q 为真命题，即方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，那么，由知，p 为真命题时，所以是真命题，那么．18.〔1〕假设是否赞同小升初录取方法与近三年是否有家里小升初学生无关，的观测333.18355220220120320)1404018080(44022≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，因为18.33310.828＞ 所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取方法与近三年是否家里有小升初学生有关.〔2〕设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出x 人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出y 人，由分层抽样的定义可知61204080x y ==，解得2x =，4y =. 设事件M 为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生．在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的2人，分别记为1A ，2A ，近三年家里有小升初学生的4人，分别记为1B ，2B ，3B ，4B ，那么从这6人中随机抽出3人有20种不同的抽法，所有的情况如下：{1A ，2A ，1B }，{1A ，2A ，2B }，{1A ，2A ，3B }，{1A ，2A ，4B }，{1A ，1B ，2B }，{1A ，1B ，3B }，{1A ，1B ，4B }，{1A ，2B ，3B }，{1A ，2B ，4B }，{1A ，3B ，4B }，{2A ，1B ，2B }，{2A ，1B ，3B }，{2A ，1B ，4B }，{2A ，2B ，3B }，{2A ，2B ，4B }，{2A ，3B ，4B }，{1B ，2B ，3B }，{1B ，2B ，4B }，{1B ，3B ，4B }，{2B ，3B ，4B }. 其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况有12种，分别为：{1A ，1B ，2B }，{1A ，1B ，3B }，{1A ，1B ，4B }，{1A ，2B ，3B }，{1A ，2B ，4B }，{1A ，3B ，4B }，{2A ，1B ，2B }，{2A ，1B ，3B }，{2A ，1B ，4B }，{2A ，2B ，3B }，{2A ，2B ，4B }，{2A ，3B ，4B }，所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为12()0.620P M ==.19．(1)由f '〔2〕＝1，解得a ＝﹣3．…(2)由得，…由函数g 〔x 〕为[1，2]上的单调减函数，那么g '〔x 〕≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．令，在[1，2]上，所以h 〔x 〕在[1，2]为减函数.，所以．20.〔1〕由题意得：抛物线的准线方程：x ，∵点P 〔x 0，4〕在抛物线C 上，∴42＝2px 0，所以x 0，所以|PF |＝x 0﹣〔〕，所以由题意：p 〔p ＞0〕，解得：p ＝2，所以抛物线C 的方程：y 2＝4x ；〔2〕由题意得m ≠0，假设存在D 〔t ，0〕使得k AD +k BD ＝0，设A 〔x ，y 〕，B 〔x '，y '〕，整理得：y 2﹣4mx ﹣4＝0，∴y +y '＝4m ，yy '＝﹣4，k AD ，k BD ，由k AD +k BD ＝0得：0⇒2myy '+〔1﹣t 〕•〔y +y '〕＝0⇒2m 〔﹣4〕+〔1﹣t 〕4m ＝0⇒m 〔﹣1﹣t 〕＝0，m ≠0∴t ＝﹣1时，使得k AD +k BD ＝0， 即D 点的坐标：〔﹣1，0〕．21.(1)由(1)知f'(x )=e x-1-.当x>1时,f'(x )>0;当0<x<1时,f'(x )<0.故当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1.(2)e x-1+1-f (x )>,即1+ln x>,即>k 在(1,+∞)上恒成立,记h (x )=,那么h (x )在(1,+∞)上的最小值大于k. h'(x )=,记g (x )=x-2-ln x ,那么当x ∈(1,+∞)时,g'(x )=>0,所以g (x )在(1,+∞)上单调递增.又g (3)=1-ln 3<0,g (4)=2-ln 4>0,所以g (x )=0存在唯一的实根a ,且满足a ∈(3,4),g (a )=a-2-ln a=0,即ln a=a-2,当x>a 时,g (x )>0,h'(x )>0,当1<x<a 时,g (x )<0,h'(x )<0,所以h (x )min =h (a )===a ∈(3,4),故整数k 的最大值是3.22.解：〔1〕将22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=， 即221:40C x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．〔2〕因为1,2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，所以得到2,x x y y '=='⎧⎨⎩，将2,x x y y '=='⎧⎨⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=．3C 的极坐标方程为1ρ=，所以1OB =． 又4cos23OA π==，所以1AB OA OB =-=．23.〔Ⅰ〕因为()32f x x ≥--，即为323x x -+-≥， 当2x ≤时，得253x -+≥，那么1x ≤，当23x ＜＜时，无解,当3x ≥时，得253x -≥，那么4x ≥，综上][()14x ∞∞∈-⋃+，，； 〔Ⅱ〕因为()24f x m x ≤--的解集非空即432x x m -+-≤有解， 等价于()243min m x x ≥-+-， 而()()43431x x x x -+-≥-+-=．∴21m ≥，12m ≥．。
江西省 高二数学上学期期末考试 文
上学期高二年级期末考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分。
考试时间120分钟。
命题人：程军仁参考公式：;)())((1221121x b y a xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i-=--=---=∑∑∑∑====，第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ） A.3个都是正品 B.至少有1个是次品 C.3个都是次品 D.至少有1个是正品 2、已知,a b R ∈且a >b ，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．1a b >B ．22a b > C ．lg()0a b -> D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.右图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为（ ）A ．112399+++⋅⋅⋅+B ．1123100+++⋅⋅⋅+C ．12399+++⋅⋅⋅+D 12399100+++⋅⋅⋅++4.三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是（ ） A. 5.75 1.75y x =-+ B.1.75 5.75y x =+ C. 1.75 5.75y x =-+ D. 1.75 5.75y x =-- 5．设集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“φ≠⋂B A ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6. 已知方程2()2f x x ax b =++的两个根分别在(0,1),(1,2)内，则22(4)ab +-的取值范围为A ．B ．C ．(17,20)D ．81(,20)57、若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则 （ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假8．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）A.23与26B.31与30C.31与2612 420 3 5 6 30 1 1 412D.26与30 9.若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （ ）榆林教学资源 A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.有一个内角为30°的直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形 10．已知数列{}n a 满足，n n na a )41(1=++ ，21123444n n n S a a a a -=++++，11=a ，()n N +∈。
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江西省南昌市进贤一中2019-2021学年高二数学上学期期末考试试题文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题p ：“[0,)x ∀∈+∞，有0x x +≥成立.”则命题p 的否定是（ ）A ．:(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x x +<成立.B ．:(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x x +≥成立.C ．:[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x x +<成立D ．:[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x x +≥成立.2．抛物线212y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(0,)8B ．1()8,0-C ．1(0,)2-D ．1(,0)2-3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．4．直线()()2130a x a y ++--=与()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为( ) A ．1-B ．1C ．±1D ．32-5．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是A ．24B ．845+C ．4+65．126．圆224460x y x y +--+=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是 A 2B ．2C ．4D ．427．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ） A ．若l α，m α⊂，则l mB ．若l α，m α，则l mC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l mD ．若l α，l β∥，m αβ=，则l m8．已知焦点为F 的抛物线C ：y 2＝4x ，点P (1,1)，点A 在抛物线C 上，则PA AF +的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．正四棱锥P ABCD -5底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A ．64B ．13C ．34D ．2410．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( )A ．（－1, 1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－1）D ．（－∞，＋ ∞）11．已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P Q 、两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．12C ．13D ．212．已知函数()24,0,0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax -=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14．直线123x ty t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角大小为________15．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______． 16．记定义在R 上的函数()y f x =的导函数为'()f x ．如果存在0[,]x a b ∈，使得0()()'()()f b f a f x b a -=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为____ ．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22每题12分，共70分) 17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．（1）若4m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3,{(x cos y ααα==为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： （1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面EFA 1∥平面BCHG ．20．已知函数()()2ln 2f x x ax a a R =-+∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性.21．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 22．已知函数3431)(23+++=bx ax x x f （b a ,是实数），且0)2(='f ,(1)0f -=． （1）求实数b a ,的值；（2）当[]1,x t ∈-时，求)(x f 的最大值)(t g 的表达式．文科数学参考答案1-6．CCACBB 7-12．DBDCAA 13．()0,8 14．23π 15． 16．2317．（1）(4,5)；（2）5[,2]3． （1）2:7105p x x -+<∴p 为真命题时实数x 的取值范围是(2,5)4m =∴同理q 为真命题时，实数x 的取值范围是(4,12)． 又p q ∧∵为真∴,p q 同时为真命题，即x 的取值范围的交集，为45x <<，即/2()3123(2)(2)f x x x x =-=+-时，且p q ∧为真，x 的取值范围是(4,5)．（2）因为∞是∞的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件. 又命题q 为真命题时，实数x 的取值范围是(,3)m m .∴235m m ≤⎧⎨≥⎩，解得523m ≤≤．故实数m 的取值范围是5[,2]3．18．（I ）3230x y -=， 22193x y +=；（II 3223+. 试题解析：（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为cos 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即13cos sin 322ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭3230x -=．曲线C 的参数方程为3{3x cos y sin αα==（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得22193x y +=．（Ⅱ）设点()3cos 3sin P αα为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离d==，故当cos14πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，d．19．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G 四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.20．(1) 20x y+=； (2) 若0a≤，()f x在()0,∞+上递增；若0a>，()f x在10,a⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减．【详解】（1）当2a=时，()2ln42f x x x=-+，()24f xx∴=-'，()()12,12f f∴'=-=-，∴曲线()y f x=在1x=处的切线方程为：20x y+=；（2）()()22220axf x a xx x-+=-='>若0a≤，()0f x'>，()f x在()0,∞+上递增；若0a>，当10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；当1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x'<，()f x单调递减．21．（1）28y x=；（2）(8,0).【详解】（1）设A ，B 两点的坐标分别为(),A A x y ，(),B B x y ，则22A A y px =，22B B y px =，两式相减得()()()2A B A B A B y y y y p x x +-=-.即()2A BA B A By y y y p x x -+⋅=-，又线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，∴82p =，∴4p =. 即抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线l ：()0y kx b b =+≠与抛物线C ：28y x =交于点()11,D x y ，()22,E x y ，则28y kx b y x =+⎧⎨=⎩，2880ky y b ⇒-+=，∴064320k kb ≠⎧⎨->⎩，∴128b y y k =，2221212264y y b x x k==，由OD OE ⊥得12120x x y y +=，即8bk=-，8b k =-， 直线为()8y k x =-，∴l 过定点()8,0.22．（1）⎩⎨⎧=-=01b a （2）3214,10333()4,033t t t t g t t ⎧-+-<<>⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩或试题解析：（1）b ax x x f ++='2)(2，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=++03431044b a b a 得⎩⎨⎧=-=01b a ， （2）3431)(23+-=x x x f ，因为x x x f 2)(2-='=)2(-x x ，所以)(x f 在)0,(-∞递增，)2,0(递减，),2(+∞递增。
因为0)1(=-f ，所以)1()2(31)(2+-=x x x f ，又令343431)(23=+-=x x x f ，则0=x 或3=x ，结合图形， （1）当0<t ，max )x f （=3431)(23+-=t t t f（2）当30<≤t 时，34)max =x f （（3）当3≥t 时，min )x f （=3431)(23+-=t t t f综上，3214,10333()4,033t t t t g t t ⎧-+-<<>⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩或。