几何图形与一元二次方程(1)

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几何图形与一元二次方程练习题

18m,宽9m,第二块木板长
27m;
B
.第一块木板长
12m,宽6m,第二块木板长
10m,宽
18m;
C
.第一块木板长
9m,宽4.5m,第二块木板长
7 m,宽
13.5m;
D.以上都不对
四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面
的长宽之比=9:7,?由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7,设上、下边衬的宽均为9xcm,?则左、右
边衬的宽均为7xcm,依题意，得：中央矩形的长为(27-18X)cm,宽为(21-14x)cm.
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的-，则中央
6.圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2,?上口宽比渠深多2m渠底比渠深多0.4m.
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？
5
•••上口宽为2.8m，渠底为1.2m.
(2)1.6750=25天
48
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25
天才能挖完渠道.
学生活动：例2.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm,?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，？如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，?应如何设计
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）

一元二次方程的几何意义

一元二次方程的几何意义一元二次方程是一种常见的数学表达式，具有重要的几何意义。

通过了解一元二次方程的几何意义，我们可以更好地理解方程的解和图像之间的关系。

本文将探讨一元二次方程的几何意义，并分析其在几何学中的应用。

1. 一元二次方程的定义和特点一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

这个方程的解是x的值，使得方程等式成立。

一元二次方程有以下几个重要特点：- 它是二次方程，最高次项是x的二次幂。

- 它只有一个未知数x。

- 它的系数a、b、c可以是实数，但a不能为0。

2. 一元二次方程的几何意义一元二次方程的几何意义体现在其解和图像之间的关系上。

一元二次方程在平面直角坐标系上对应着一条曲线，称为抛物线。

抛物线是一种拱形曲线，具有以下几个特点：- 抛物线关于y轴对称。

当a为正数时，抛物线开口朝上；当a为负数时，抛物线开口朝下。

- 抛物线的顶点为(xv, yv)，其中xv = -b/(2a)，yv = f(xv)，f(x)表示方程的右侧。

- 抛物线与x轴的交点为方程的根。

当方程有实根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有重根时，抛物线与x轴有一个交点；当方程没有实根时，抛物线与x轴没有交点。

3. 一元二次方程在几何学中的应用一元二次方程在几何学中有广泛的应用。

以下是一些例子：- 平抛运动：在物理学中，对于一个自由下落的物体，其运动轨迹是一个抛物线。

通过建立一元二次方程，可以描述物体的运动状态，如抛体的高度、速度和时间的关系。

- 几何图形：一元二次方程可以用于描述几何图形的形状。

例如，通过变换一元二次方程的系数和常数项，可以得到不同类型的抛物线，如上开口、下开口、左右平移、纵轴伸缩等操作。

- 最优化问题：一元二次方程可以用于解决最优化问题。

例如，对于给定一元二次函数，通过求解方程的最值点，可以找到函数的最大值或最小值，从而解决实际问题中的优化需求。

综上所述，一元二次方程具有重要的几何意义。

一元二次方程与几何问题的联系与应用

一元二次方程与几何问题的联系与应用在数学中，一元二次方程是常见的代数方程，它可以用来解决各种与几何问题相关的数学难题。

本文将探讨一元二次方程与几何问题之间的联系，并介绍它们在实际生活中的应用。

1. 一元二次方程的定义与性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。

该方程含有二次项x^2，一次项x和常数项c。

一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式得到。

方程的解可以是实数或复数。

2. 与几何问题的联系一元二次方程与几何问题之间存在着密切的联系。

让我们探讨一些常见的几何问题与一元二次方程之间的关系。

2.1 直线与抛物线的交点考虑一个一元二次方程y = ax^2 + bx + c和一条直线y = mx + n。

这两个图形的交点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = mx + n得到。

由此可见，一元二次方程可以用来求解直线与抛物线的交点。

2.2 求解面积一元二次方程在几何中也可以用来求解面积问题。

例如，考虑一个矩形的面积问题，已知边长之和为固定值，我们可以设其中一条边的长度为x，另一条边的长度为a-x，根据矩形的性质可以列出一个一元二次方程。

通过解这个方程可以得到矩形的最大面积。

2.3 最小路径问题在几何中，最小路径问题是一个经典的优化问题。

例如，考虑一个人从一个点A沿着x轴走到点B，然后再沿直线走到点C，我们需要找到一条路径使得总路径最小。

这个问题可以通过建立一元二次方程并求解来解决。

3. 实际应用除了与几何问题相关之外，一元二次方程还有着广泛的实际应用。

以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学一元二次方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，通过建立抛物线的方程，可以计算出抛体的运动轨迹和最大高度。

此外，一元二次方程还可以用来描述光的传播和反射等现象。

3.2 经济学经济学中的一些问题也可以通过一元二次方程来解决。

例如，成本函数和收入函数往往可以建模为一元二次方程。

用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。

设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。

求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。

北师版九年级数学上册第二章一元二次方程应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题

12．如图，已知一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到 A 处时，测得台风中心移到位于点 A 正南方向的 B 处，且 AB＝100 海里，若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止． (1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
4．(2020·西藏)列方程(组)解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
知识点二：用一元二次方程解决动态几何图形问题 5．如图，AB⊥CB，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只螳螂从A点出发，以2 cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1 cm/s的速度向B爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了点M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，根据题意可得方程( D )
A.2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
6．(教材 P53 习题 2.9T2 变式)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝12 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到点 B 终止)，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动(到点 C 终止)，若两

人教版九年级数学上册课件第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积几何图形是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽度问题
为整方便列方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.

一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册

4.7一元二次方程的应用（几何图形）
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题），培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m，则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道

10.11.一元二次方程的实际运用(1)

如图，设路宽为x米，横向路面 32x米2 ，
(2)
纵向路面面积为20x米2 。草坪矩形的长（横向）为（32-x)米，草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米。相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即 32 x 20 x 540. 2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。
例.一块长36m，宽24m的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形草地面积的 5 ， 27 求周围走道的宽度。
分析：设走道的宽度为 xm, 其等量关系是喷水池的面 5 积是矩形草地面积的 27
解：设周围走道的宽度为xm，由题意得 5 （36 2 x） (24 2 x） 36 24 27 解得x1 22(舍去), x2 8 答：周围走道的宽度为 8米。
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
(32 2 x)(20 2 x) 540
化简得，
x 26 x 25 0 ( x 25)( x 1) 0 x1 25, x2 1
2
(1)
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
（26 x）米。
想一想，
为什么？
长为(40 2 x）米宽为(26 2 x）米
长为(40 x）米宽为(26 x）米
点评：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便。
练习：
解得x1 x2 25 当x 25时,50 x 25 答 : 长方形模型的长和宽都为25cm。（3）x(50 x） 700此方程无实数解答：要用 100cm的铅丝做成一个面积是 700cm2 的长方形模型是不可能的。

一元二次方程应用题(几何图形面积问题)

解:设道路宽为x米，则
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？

用一元二次方程解决几何图形问题PPT课件

7．【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪) 在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12 ＝0的正确构图是____②________．(只填序号) 【点拨】∵x2－4x－12＝0，即x(x－4)＝12，∴构造大正方形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故填②.
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联，接在____火____线和用电器之间。
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q 从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
解：CP＝(8－t) cm，CQ＝t cm.t的取值范围为 0≤t≤6.
人教版九年级上
第十九章生活用电
第1节家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题

类型二:围成图形面积问题
例2 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米? (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
解:(1)设宽为 x 米,则 x(33-2x+2)=150,
第3课时用一元二次方程解决几何图形问题
1.规则几何图形面积问题:利用对应图形的面积计算公式建立一元二次方程的数学模型. 2.不规则几何图形面积问题:利用平移或割补的方法,将不规则几何图形面积问题转化为规则几何图形面积的和或差求解.
类型一:边框与甬道问题
例1 如图所示,在长为32 m、宽20 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向, 一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570 m2,问道路应多宽?
x cm,根据题意所列方程为
(60+2x)(40+2x)×54%=60×40
.
3.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
解:设AB=x,则BC=100-4x(BC≤25).根据题意,得x(100-4x)=400.解得x1=5,x2=20. 当x=5时,100-4x=80,不满足BC≤25,不符合题意舍去;当x=20时,100-4x=20.所以 AB为20米,BC为20米.
则根据题意可列出关于x的方程为( B )
(A)x(5+x)=6
(B)x(5-x)=6
(C)x(10-x)=6
(D)x(10-2x)=6

一元二次方程与几何问题

一元二次方程与几何问题篇一：一元二次方程与几何问题已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形，则 BE 的长为？一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 ∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm．（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm，（1）当 x 为何值时，点 P、N 重合；（2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． 1 / 10（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由．如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒．（1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度；（2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由．如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t（s）．（1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后，（1）求出△ PBQ 的面积；（2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值．（3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由．例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？（2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前进， 2 / 102 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间为 t 秒，（1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s，则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？（2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ BP 例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，（1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？（2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位？ 5 24 篇二：一元二次方程与几何问题已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形，则 BE 的长为？一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 3 / 10∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm．（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm，（1）当 x 为何值时，点 P、N 重合；（2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P．（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由．如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒．（1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度；（2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由．如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t（s）．（1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 4 / 10向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后，（1）求出△ PBQ 的面积；（2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值．（3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由．例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？（2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前进， 2 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间为 t 秒，（1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s，则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？（2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ P 5 / 10例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，（1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？篇三：一元二次方程与几何运动问题一元二次方程与几何运动问题 1 动态几何图形中边长的表示：1)题设运动时间为 t，表示出动点有关边长。

1一元二次方程的应用(第2课时几何图形问题)教学课件沪科版初中数学八年级(下)

解法1 ：设甬路的宽为x m，根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝ 144×6，整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2. 因为甬路的宽必须小于420 m，即小于20 m，所以x＝ 44 不符合题意，舍去，所以x＝ 2. 答：甬路的宽为2 m.
左右边衬的宽度为: 7 6 3 3 1.4. 4
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
知识讲授
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面
的问题？
解:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm.
依题意,得 9x 7x 3 27 21,
4
故解上得、x下2 边3衬23的，宽x2度为3:23（2舍7 去9x） 2.7
解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m．根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.
随堂训练
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，
则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方
图1
程,得（20-x)(32-x)=540，
整理,得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图2
答：道路宽为2米.
随堂训练
7．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿 AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．

利用一元二次方程解图形问题

利用一元二次方程解图形问题作者：许广跃来源：《中学生数理化·中考版》2008年第07期一元二次方程的知识不仅可以用来解决实际问题，在解决许多几何图形问题时，若能运用所学知识，构造一元二次方程求解，也能起到避繁就简的作用.现举例说明.一、用于判断三角形的形状例1 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断三角形的形状.解：将a2+b2+c2=ab+bc+ca整理为主元为a的一元二次方程，得a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0.这个方程必有实数根，故Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）=-3（b-c）2≥0.∴（b-c）2≤0，又（b-c）2≥0，故b-c=0，即b=c.把b=c代入原方程，得a2-2ac+c2=0.∴（a-c）2=0，得a=c.故a=b=c，即△ABC为等边三角形.二、方案设计问题例2 将一块长18 m、宽15 m的矩形荒地修建成一个花园，道路或四角活动地（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1 m）（1）设计方案1：如图1，花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2：如图2，花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不符合条件，请说明理由.解：（1）符合条件.设小路宽为x m.可列方程18x+16x－x2＝ ×18×15.整理，得x2－34x+180＝0.解这个方程，得x＝，取x≈6.6.即路宽6.6 m.（2）符合条件.设扇形半径为r m，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半径为7.6 m.三、动态几何问题例3 如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可以使得△PCQ的面积为8 cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10 （cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2.所以AP＝x cm，PC＝（6－x） cm，CQ＝2x cm.根据题意，得（6－x）•2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，移动2 s和4 s时△PCQ的面积为8 cm2.（2）设点P移动x s时，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.根据题意，得（6－x）•2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.四、平分几何图形的周长与面积问题例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，点E在下底边BC 上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积.（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由.（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.分析：为了能正确求得图形的面积，不妨过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.这样，由三角形的面积公式即可列出含x的代数式.解：（1）由已知条件，可得梯形周长为24，高为4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.由 = ，可得FG＝ ×4.所以S△BEF ＝BE•FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－ x2+ x＝14.解这个方程，得x1＝7，x2＝5（舍去）.当BE=7时，FG= ×4=4，BF+BE=12.所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，应该有S△BEF ∶S多边形AFECD＝1∶2和（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2同时成立.由面积比例式，得－ x2+ x＝ .整理，得3x2－36x+70＝0.由周长比例式，得BF+x= ×24=8.可知3≤x而方程3x2-36x+70=0的根不在这个范围内，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

一元二次方程的应用-ppt课件

难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数

n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时几何图形面积问题
［答案］解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10

一元二次方程与几何图形的面积问题

解方程得: x1 9, x2 4
∵池底的边长不能为负数 ,∴取x=4答:池底的边长是4m.
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2 倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为570m²，问道路的宽为多少？
SUCCESS
THANK YOU
2019/10/15
例3、求截去的正方形的边长
• 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm２，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一层放(1+x) 支铅笔.得
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为多少？
xm
如图，设路宽为x米， 20m
xm
横向路面为 32x 米

12初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析

初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析一、引言一元二次方程与几何图形问题是初中数学中的重要内容，也是考试中的常见题型。

这类问题结合了代数与几何的知识，旨在考察学生的综合分析和解决问题的能力。

本文将详细解析一元二次方程与几何图形问题的基本概念、解题方法及应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、基本概念1.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。

2.几何图形：初中数学中常见的几何图形有直线、角、三角形、四边形、圆等。

3.方程与图形的关联：在几何问题中，常利用一元二次方程来表示某些特定的条件或关系，如长度、面积、角度等。

三、解题方法1.建立方程：根据几何问题的条件，设定未知数并建立与问题相关的一元二次方程。

这一步是关键，要求能正确理解和转化几何条件为代数表达式。

2.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。

3.回归几何：将求得的代数解回归到原几何问题中，解释其实际意义，并验证其合理性。

四、应用举例1.直线与圆的位置关系：已知圆的半径r和圆心到直线的距离d，判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。

可通过比较d与r的大小来判断，若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。

在此过程中，可通过建立一元二次方程求解d或r。

2.三角形的形状判断：已知三角形的三边a、b、c（满足a²+b²=c²），判断三角形的形状。

由勾股定理知，若满足上述条件，则三角形为直角三角形。

若不满足，则可通过比较a²+b²与c²的大小关系，进一步判断三角形为锐角三角形或钝角三角形。

在此过程中，也可能涉及到一元二次方程的求解。

3.面积问题：在求解某些特定形状（如矩形、梯形等）的面积时，可能会遇到需要利用一元二次方程来解决的问题。

例如，已知矩形的周长和一条边的长度，求矩形的面积。