应用回归分析课后习题

y1 1 x11 x12 x1p 0 1

3.1 y2 1 x21 x22 x2p 1 + 2 即y=x +

yn 1 xn1 xn2 xnp p n

基本假定

(1)解释变量x1,x2…,xp 是确定性变量，不是随机变量，且要求

rank(X)=p+1

(2)随机误差项具有零均值和等方差，即高斯马尔柯夫条件

(3)对于多元线性回归的正态分布假定条件的矩阵模型为

~N( 0，2I n) 随即向量y~N(X , 2I n)

3.2

当(X T X)1存在时，回归参数的最小二乘估计为&収)収丁丫，

要求出回归参数，即要求X T X是一个非奇异矩阵，|x T X 0，所以

可逆矩阵X T X为P+1阶的满秩矩阵，又根据两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩rank(X) p+1,而X为n (p+1)阶矩阵，于是应有n p+1 结论说明，要想用最小二乘法估计多元线性回归模型的未知参数，样本量n必须大于模型自变量p的个数。

3.3

n

注 tr(H) h

1

3.4不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中

自变量的数目以及样本量n 有关，当样本量个数n 太小，而自变量又较 多，使样本量与自变量的个数接近时， R 2易接近1,其中隐藏一些虚 假成分。

3.5当接受H o 时，认定在给定的显着性水平

下，自变量x1,x2, xp

对因变量y 无显着影响，于是通过x1,x2,

xp 去推断y 也就无多大意

义，在这种情况下，一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描 述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显着影响；另一方面 可能是在考虑自变量时，把影响因变量y 的自变量漏掉了，可以重新 考虑建模问题。

当拒绝H o 时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型 已经完美了，当拒绝H o 时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明 了自变量x1,x2,

xp 与自变量y 的线性关系，这时仍不能排除排除我

们漏掉了一些重要的自变量。

3.6中心化经验回归方程的常数项为0,回归方程只包含p 个参数估计

值1, 2,

p

比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较

SSE (y y)2

e12 e22

1

2

1 E( ) E( -

SSE*

n p 1 n p n

2 [D(e) (E(e))2]

1 n

(1

1 n

2

en

n

E( e

1

1

n p 1 1 n p 1

1

"1 1 n p 1

J (n

D(e)

1

(p 1))

1_ p 1 1

1 n p 1

2 2

n

E(e 2)

(1 h ) 2

1

多时，减少一个未知参数，计算的工作量会减少许多，对手工计算尤为重要。

在用多元线性回归方程描述某种经济现象时，由于自变量所用的

单位大都不同，数据的大小差异也往往很大，这就不利于在同一标准

上进行比较，为了消除量纲不同和数量级的差异带来的影响，就需要

化回归系数。

3.7

对y o 1X1 2x2 P X P进行中心化处理得

y y 1(x 1 X1)2(x 2 X2

)

p(x p X P）再将等式除以因变量的样

* y y 1

y 二一---------- (x1x1) V L yy V L yy

2

------ (X 2

L yy

X2

)

p

----- (x p x p)

L yy

1 . L ii (x 1 X1)

2 •. L22

(X 2 X2)

v L11 L yy L22 p . L pp (x p x p) i L yy L pp

2X2 p X p

所以

3.8 （j为相关阵（r j）p p第i行，第j列的代数余子式）

r

i2;3

12 11 ? 22

3.9

F j =

将样本数据标准化处理, 然后用最小二乘法估计未知参数，求得标准

1

SSE SSR SSE

SSR SSE SSE SST

空R 2

SST

SSE

3.11

SSR j) 1 SSE (n P 1)

SSR (j)

"SST

(n p

八

SSE (j) SSE

(n

1) (SSE (j)

(

SSE (j) SSE (j\ SSE (n P 1)

(n P 1) (SSE (j)

(

SSE (j)

SSE (j )

SSR j)

SSE (j)) (n P 1)

(r

：

TT

2

)

yj

2

r

yj

(n p 1) ( J)

1 r

yj

r y2小于i , F j 与

2 r

yj

对应, 所以F j 与r ；等价

3.10

SSR n

F (n P

1) P

SSR _P

n P 1

SSE

P 1 SSE

SSR SSR 证得

R 2

F (n P 1) P

SSE