2.求曲线经过点P处的切线方程
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22.求曲线经过点P 处的切线方程
例2.已知曲线C :3()2f x x x =-+,求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程
错解:由'2()31f x x =-,得'(1)2k f ==,
所以所求的切线方程为22(1)y x -=-,即2y x =。
错因剖析:此处所求的切线只说经过P 点,而没说P 点一定是切点,于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如(如图)当02x π≤≤时,正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条:1l ;而经过点P 的切线却有两条:1l 与2l 。
正解:设经过点P (1,2)的直线与曲线C 相
切于点00(,)x y ,则由'2()31f x x =-,
得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-,
有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。
又因为点00(,)x y 与点P (1,2)均在曲线C 上,
有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩,消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--, 解得01x =或012x =-
,于是2k =或14
-, 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。 归纳:求曲线经过点P 处的切线方程的方法
(1)解题步骤:(1)设出切点坐标00(,)x y ;(2)列关于0x 与0y 的方程组,求解方程组,进而求切线斜率;(3)写出问题的结论。
(2)上述列方程组的方法是根据下面三个条件:①切点在曲线上,②已知点在切线上,③切点处的导数等于切线斜率