九年级数学圆中的证明与计算(二)

1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。

（1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。

【例题精讲一】切线的性质

例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。

（1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3

2，求AG的长。

2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ；

（2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为

2

5

，CD ＝4，求EF 的长。

3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。

（1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°；

（2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。

【课堂练习】

1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。

（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。

2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。

（1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。

3、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于点E，F为劣弧AD上一点，BF交CD于点G，过点F 作⊙O的切线，交CD的延长线于H。

（1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH＝10，GF＝25，求AG的长。

【例题精讲二】切线的判定

例2.1、如图，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C。

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝2，CE＝4，求AB的长。

2、如图1 ，⊙O 的半径25

3

r =

，弦AB 、CD 相交于点E ，C 为AB 的中点 ，过D 点的直线交AB 的延长线于F ，且DF ＝ EF 。 （1）试判断DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接AC ，若AC ∥DF ，BE 3

5

AE =

，求CE 的长。

3、如图，点O 是∠APB 的平分线CP 上一点，⊙O 与PA 相切于点E 。 （1）如图1，求证：PB 是⊙O 的切线；

（2）如图2， 若⊙O 的半径为1，∠APB ＝60°，点D 为⊙O 上一点，且∠PDE ＝90°，求DE 的长。

图2

图1

O

F

D

B

E

C

A

D

F

B

C

E O

A

【课堂练习】

1、如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC。已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6。

（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC＝∠EDC；（2）求CD的长。

2、如图，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P在BA的延长线上，且∠PEA＝∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D。

（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若D为劣弧BE的中点，且AH＝16，BH＝9，求EG的长。

3、如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F。

（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BC＝6，求DE的长。

1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，且BE＝2

6。（1）求⊙O的半径；（2）若过点C的切线与AB的延长线交于点P，且PC＝8，求线段AC的长。

2、已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F。

（1）求证：四边形OECF是正方形；

（2）连DF并延长交BC的延长线于点G，若BD＝2，⊙O的半径为1，求CG的长。

3、如图1，AB是⊙O的直径，AM、BN是它的两条切线，点D、点E分别是射线AM、⊙O上的点，DE与BN交于点C，DE＝DA。

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OC交⊙O于F点，若AF∥CD，求∠ADC的度数。

4、如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点

A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE。

（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝6，求DE的长。