课题学习：最短路径问题导学案共18页
2022年初中数学精品导学案《课题学习最短路径问题 》导学案
13.4 课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.“两点之间，线段最短〞问题.重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
二、预习新课2、[探究1]如图〔1〕．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？[探究2]为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明．：求作：证明过程：三、随堂练习1、任画一条直线L及直线L同旁两点M、N，画出从点M出发经过直线L上的某一点后，再到达N点的最短路线。
.N .M2、：两点A、B位于直线L的两侧，在直线L上求作一点C，使得AC-BC最大。
A ..B四、课时小结五、稳固提升1、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
2、为保证2021北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L的同侧修建你A，B两个日用品供给站，要在过路边建一个转运站C，使A,B两站到转运站C的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个位置上比拟合理？A .B .第2课时 菱形的判定学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算. 重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用.【预习案】课前预习你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：_____________________________________________________对称性：【探究案】1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下列图形探索：如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD 是菱形. 证明：我发现, 的四边形是菱形。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
课题学习：最短路径问题导学案
13.4课题学习：最短路径问题导学目标:1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。
3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
导学过程：一、创设情景，引入新知。
(1)我们已经学习过“两点的所有连线中，。
”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。
(2)请画出点A关于直线L的对称点。
A．_______________________ L二、自主学习，探究新知。
1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？（I）两点在一条直线异侧：活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
思考：（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？（2）你如何验证PA+PB 最短呢？(Ⅱ) 两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A 地出发到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点C 在什么位置时。
AC 与BC 的和最小。
BA思考：（1） 如何将点B “移”到l 的另一侧B ′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保持CB 与CB ′的长度相等？（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？（3）试证明你的结论。
作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______, 则点_______就是所要求作的点想一想：如果A 、B 处于小河的两侧，在河上建一座与两岸垂直的桥,你能找到所走最短路径吗？2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题活动3，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思考：①怎样将实际问题转化为数学问题？②若直线重合，最短路径是什么？③若将直线平移开，怎样思考该问题？④怎样解决造桥选址问题？A B l作法：如图（2），将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到C.连接BC交河岸与点N，在此处造桥MN，所得路程AMNB就是最短路程。
学案4：13.4课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题
学习目标：
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
学习重点：
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
学习过程
问题1牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P 是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，AP与PB的和最小？
解：
问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
运用新知
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
四、归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
五、布置作业。
最短路径问题导学案
最短路径问题（复习导学案）教学目标：1.知识技能：利用轴对称、平移解决实际问题中路径最短问题。
2.数学思考：能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
3.问题解决：在与他人合作和交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。
4.情感态度：通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌生感和恐惧感，提高学生解决问题的信心和解题能力。
教学重点：利用轴对称、平移作图确定使最距离最短的点教学难点：数形结合思想和数学建模思想的培养教学过程：一、知识回顾：一次对称1.直线l两侧有A、B两点，现要直线l上找一点P，要使PA+PB的和最小，请确定P的位置。
AB ABl2.直线l同侧有A、B两点，现要直线l上找一点P，要使PA+PB的和最小，请确定P的位置。
二、随堂练习1.如图：M,N为∆ABC边AB,BC上的两点，在AC上求作一点P，使∆PMN 周长最短。
A2.正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值是多少？三、合作探究：二次对称1.如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．BOA2. 如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边OA 某一处牧马，再到河边OB 某一处饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
四、 拓展延伸在锐角△ABC 中，AB=8，∠BAC=30°，∠BAC 的平分线交BC 于D 点，M 为AD 上的动点。
（1）若N 是AB 上的定点，要使BM+MN 的和最小，此时M 应在何处 （2）若N 是AB 上的动点，则BM+MN 最小值是_________ ．A五、 课堂小结平面图形上不在同一条直线上的最短路径问题，可以通过（ ）变换，将其转换到同一直线上，利用两点之间（ ）最短等知识来解决。
(完整版)最短路径问题导学案
第十三章第 4 节-----最短路径问题第 1 课时学习内容：利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想问题重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．目标要求：能利用轴对称解决简单的最短路径问题课堂活动：一知识回顾：在几何问题中，有一类描述最短路径问题的命题。
如：二古代数学问题：问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？1探究：1。
把其抽象成数学问题是：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．几何问题是：在直线L上找一点 P，使得AP+BP最小。
2.画出图形，并加以证明三问题解决：例1．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．xp例2已知直线m∥n,直线m,n外分别有两点A,B如图所示，分别在直线m,n上确定P,Q两点（PQ⊥m），使得AP+PQ+QB最小。
Amn四课堂显身手1．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短．求：最短距离EP+BP．32．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？A。
最短路径导学案
最短路径导学案学习目标：1、能利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．2、培养学生探究能力，数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力.3、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟“类比”、“转化”的数学思想．重点、难点重点：利用轴对称变换解决线段和的最小值问题.难点：最短路径问题中位置的确定及说理.（一）将军异侧一次饮马问题一：将军从图中的A 地（军营）出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地（家）．将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？思考1：你能将这个实际问题抽象为数学问题吗？作图如下：作图依据：（二）将军同侧一次饮马问题二将军搬家了，家与军营在河岸同侧。
将军从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．此时到河边什么地方饮马可使他所走的路程最短？思考2：你能将这个实际问题抽象为数学问题吗？提示1：你能把问题2转化成问题1吗？提示2：你能利用轴对称知识把AC和CB转移到同一条直线上吗？提示3：如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？作图如下：思考3：你能用所学的知识证明你的结论吗？小结：（三）学以致用练习1如图，M,N为△ ABC边AB,AC上两点，在BC上求做一点P，使△ PMN周长最短。
练习2如图，将军和马在S点处，同样是饮水问题，现在这只马要先去酸梅汤河饮水，再去柠檬茶河饮水，最后回到原来的S点处，找出出此时饮马的最短路径练习3（拓展题）在直线l 1、l 2上分别找点M、N,使得四边形PMNQ周长最小反思：本节课你学到了什么？用到了什么数学思想？l1·Q ·Pl2酸梅汤河柠檬茶河·S。
人教版数学八年级上册第13章 课题学习 最短路径问题(18页)
A
D
解：如图，连接 BM，
M
交 AC 于点 P，点 P 即为所求．
P
B
C
3.(广州校考)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组
成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上.
l
(1) 在图中画出与△ABC 关
于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；
A
A′
(2) △ABC 的面积是__1_2_._5_；
学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求
教一个百思不得其解的问题：
从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，
然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全
程最短?
A B
l
探究新知 知识点1:将军饮马问题
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它 抽象为数学问题吗？
A B
l C
实际问题
数学问题
通过轴对称将同 侧点转化为异侧
B 利用两点之间， 线段最短，化折 为直
练一练
1.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码头 D 将游客送往
亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l₂ 的码头 C，最
后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确
定两个码头的位置.
再新建一座观赏亭 N，且游船路线为湖岸 l₁ 的码头 D→
亭子 M→亭子 N→湖岸 l2 的码头 C→湖岸 l₁ 的码头 D.请 在图(2)中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.(
提示：思考最短路线是由哪几条线段相加).
湖岸 l₁
M'
湖岸 l₁
M
D M 解：如图(2)示.
D
N
13.4 课题学习 最短路径问题学案2022-2023学年人教版八年级上册
13.4 课题学习最短路径问题学案2022-2023学年人教版八年级上册学习目标•理解最短路径问题的背景与定义。
•掌握最短路径问题的求解方法。
–迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。
–弗洛伊德(Floyd)算法。
•能够应用最短路径算法解决实际问题。
•培养解决问题的动手实践能力和团队合作能力。
课前导入最短路径问题是指在给定的图中，从一个顶点出发到达另一个顶点的最短路径。
在实际生活中，最短路径问题有很多应用，比如导航系统中的路线规划、电力传输网络中的电线铺设等。
解决最短路径问题可以提高效率和优化资源利用。
课堂学习1. 最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个带权重的有向图或无向图中，找到两个顶点之间的最短路径。
其中，顶点代表图中的节点，边代表节点之间的连接关系，权重代表边的长度或权值。
2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法迪杰斯特拉算法是解决单源最短路径问题的常用算法。
其基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展路径，直到找到目标顶点或所有顶点都被遍历。
算法的具体步骤如下：1.创建两个集合：已确定最短路径的顶点集合S，未确定最短路径的顶点集合Q。
初始时，S中只包含起始顶点，Q中包含除起始顶点外的所有顶点。
2.初始化起始顶点到各个顶点的距离为无穷大，起始顶点到自身的距离为0。
3.从Q中选取到起始顶点距离最短的顶点u，将其加入S集合。
4.更新与顶点u邻接的顶点v的距离，如果通过顶点u可以得到比当前已知距离更小的距离，则更新v的距离。
5.重复步骤3和4，直到Q集合为空或找到目标顶点的最短路径。
3. 弗洛伊德(Floyd)算法弗洛伊德算法是解决多源最短路径问题的常用算法。
其基本思想是通过动态规划的方式逐步求解所有顶点对之间的最短路径。
算法的具体步骤如下：1.初始化一个二维矩阵dist，矩阵中的元素dist[i][j]表示顶点i到顶点j 的最短路径长度。
2.初始化矩阵dist的初始值，如果存在直接连接的边，则dist[i][j]为边的权重，否则为无穷大。
课题学习：最短路径问题(导学案)八年级数学上册同步备课系列
13.4课题学习：最短路径问题导学案一、学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.二、学习过程：课前热身1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？问题解决---（牧马人饮马问题）问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究1：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？作法：_________________________________;(依据：____________________).探究2：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？请呈现证明过程：典例解析例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）问题解决---（造桥选址问题）问题：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？（请在组内讨论，并画出图形）请呈现证明过程：典例解析例3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？达标检测1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC3.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是()4.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN;(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.5.甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则:甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，丙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短.6.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的．桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)7.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.。
课题学习】 最短路径问题导学案
13.4课题学习 最短路径问题班级_____________ 姓名_____________ 座号_____________【学习目标】1.重点：利用轴对称、两点之间线段最短解决最短路径问题.2.难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图并能说明理由.一、基础感知1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，如何作点A 关于直线l 的对称点？3.已知：如图，A ，B 在直线l 的两侧，在l 上求一点P ，使得PA+PB 最小.4.阅读课本第85、86页问题1，回答下列问题。
探究：在一条直线上找一个点到直线外两点的距离之和最小问题1： 点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？问题2： 当点A,B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ． 则点C 即为所求．如图所示 你能用所学的知识证明你所作的点C 使AC+BC 最短吗？证明：5.阅读课本第86、87页问题2，回答下列问题。
画一画：（1）把A 平移到岸边.（2）把B 平移到岸边.（3）把桥平移到和A 相连（4）把桥平移到和B 相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.二、探究应用1. 如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法) l AB2.如图所示，P ，Q 为△ABC 边上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．三、能力提升 1.（1）如图1，在AB 直线一侧C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点．（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M 、N ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N ，四点组成的四边形的周长最短，找出E 、F 两点．【课堂记录】【知识点记录】【习题记录】E FAB答案一、1.②2.3.略4.问题1：连接AB问题2：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示证明：在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’,B’C’,证明AC+CB<AC’+C’B.5.略二、1.（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．2.做P（或Q）关于BC的对称点P'（或Q'）,然后再连接QP'（或PQ'）,与BC的焦点即为所求R三、解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．。
最短路径问题导学案XIN
最短路径问题导学案教学目标1、了解最短路径问题；2、掌握解决最短路径问题的方法；重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点：在实际题目中会运用最短路径问题。
第一部分 自主学习1、如图所示，从索镇地到新城有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？2、（1）如图所示，在l 上找一点P ，使PA+PB 最小， 你的理由是什么？（2）为什么P 点是使距离最近的点，而其他点不是？l第二部分 课堂探究1、在l 上找一点P,使PA+PB 最小，你能用你所学的知识证明AP+BP 是最短的吗？ 证明：2、“将军饮马 问题” ： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？索镇 新城·A·B·A·Bl3、拓展运用：A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 提示：①若直线重合，最短路径是什么？②若将直线平移开，怎样思考该问题？③怎样解决造桥选址问题？归纳小结：在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变换及性质，将不在一条直线上的两条线段转化到 ，利用“ ”从而作出最短路径，都可以用三角形的三边关系来推理说明。
第三部分 课堂检测1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．2、饮马问题: 如图牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径。
MNCAB·A·Ba b。
13.4课题学习最短路径问题(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图示和模型来演示Dijkstra算法的执行过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了最短路径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于最短路径问题的兴趣还是比较高的。在导入新课的时候，通过提问的方式，大家都能积极参与进来，分享自己在生活中遇到的最短路径问题。这为接下来的新课讲授奠定了良好的基础。
在新课讲授环节，我尽量用简单明了的语言解释了最短路径的基本概念，并通过案例分析，让学生们看到了这个知识点的实际应用。不过，我也注意到，对于Dijkstra算法这一部分，学生们理解起来还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要在这一部分多花一些时间，用更直观的方式，比如图解或者动画演示，来帮助学生更好地理解这个算法的原理和步骤。
3.增强学生的空间观念，通过实践活动，培养其在现实情境中运用几何知识进行观察、分析和解决问题的能力。
4.培养学生的数据分析素养，使其能够对实际问题进行合理的数据整理和分析，为求解最短路径提供依据。
5.激发学生的创新意识，鼓励其在解决最短路径问题时，积极探索多种可能，优化解决方案。