复合函数的单调性和奇偶性

复合函数奇偶性

一偶则偶，同奇则奇

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，

如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，

则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；

当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数：

当里层的函数是偶函数时，不论外层是怎样的函数，复合函数都是偶函数；

当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数；

当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。