矩阵理论ppt汇编

j 1

| xj xt



n
| atj | Rt ，
j 1

jt

jt

n
所以 St ，即 S Si ． i 1

例 估计矩阵

1 0.1 0.2 0.3

A





0.5 1

3 0.3

0.1 0.2 1 0.5





0.2 0.3 0.1 4

的特征值的范围.

解 A的4 个盖尔圆为 z 1 0.6, z 3 0.8 z 1 1.8, z 4 0.6

定理（圆盘定理 1） 设 A (aij ) C nn ，则 A 的一切特
征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值 满
足
n
S Si ． i 1
证明 设 为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x (x 0) ，即 Ax x ，写成分量形式为
n
aij x j xi ， （ i 1,2,, n ）

U H AU T ． 其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,, n) 为 A 的特征
值，于是

n

n

n

| i |2

| tii |2

| tii |2

| tij

|2



T

2．
F

i 1

i 1

i 1

i j

由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以

n

| i |2

T

2 F



A2． F
j 1
或
n
( aii )xi aij x j ．（ i 1,2,, n ） j 1 ji

设 xt 为 x 的各分量中模最大的一个，则 xt 0 ，在上式中当 i t 时
有
n
( att )xt atj x j ， j 1 jt
两边除以 xt 并取模得

| att

|

n
| atj

4.5 特征值的估计

一.特征值的界

定理：设 A (aij ) Cnn 的特征值为 1, , n ，则

n

l

max 1 jn

i 1

aij

(

A) 1

n

l

max 1in

j 1

aij

(

A)

(l 1, 2,

, n)

n

l 2

n

2
aij (Schur)

l 1

i, j1

证明 由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
特征值全为实数．
证明 因为 A 为实矩阵，所以 A 的 n 个盖尔圆都关于实轴对 称．又由这 n 个盖尔圆两两互不相交知， A 的 n 个特征值互不相
等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复 特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若 有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定

．

(k 2,3,, n)

它们两两互不相交，又因为 A 为实矩阵，所以由推论 2 知 A 的特

征值都是实数．

定义 设 A (aij ) C nn ，则称圆盘 Sj {z | z a jj | Rj , z C}
为矩阵 A 在复平面上的第 j 个列盖尔圆（ j 1,2,, n ），其中
n
由圆盘定理 2 可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特 征值，由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值，但可能这两 个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．

例

矩阵

A







1 0.5

00.8 的特征方程为 2 0.4 0 ，所以

A 的特征值为

1 0.6 i

1

2

，

A 的两个盖尔圆为
个列盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值 满足
n
G Gj ． j 1

推论 4 设矩阵 A 的 n 个列盖尔圆中有 k 个互相连通且与其 余 n k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值 (当 A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相

i 1

结论中等号成立当且仅当

| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 已知矩阵

3 i A 1

2 3i 0

2i 0

0

1 0

的一个特征值是2 ，估计另外两个特征值的

上界.

解 因为 A 2 4 25, 所以 F
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是 十分重要的，但是特征值的计算一般是非常 麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精 确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此， 由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范 围就显得尤为重要．本节将主要给出特征值 的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．

特殊矩阵的特征值： 实对称矩阵（厄米特矩阵）：特征值在实轴上 幂等矩阵：特征值为0或1 正交矩阵（酉矩阵）：特征值位于单位圆上
Rj Rj ( A) | aij | （ j 1,2,, n ）称为 Sj 的半径． i 1 i j 因为矩阵 A 与 AT 有相同的特征值，所以若对矩阵 AT 应用圆
盘定理 1 与圆盘定理 2，则得到关于矩阵 A 的列的圆盘定理．
推论 3 设 A (aij ) C nn ，则 A 的一切特征值都在它的 n

| z 1| 0.8 ，

由于

1 0.6 i

2

2

．

| z | 0.5 ．

| 1 || 2 | 0.4 0.63 0.5．
所以这两个特征值都不落在圆盘 | z | 0.5 内．

推论 1 设 n 阶矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交（都是孤 立的），则 A 相似于对角矩阵．
推论 2 设 n 阶实矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交，则 A 的

2,3 5.

二. 特征值的包含区域
定义 设 A (aij ) Cnn , 称由不等式
z aii Ri
在复平面上确定的区域为矩阵A 的第i个
Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号 Gi 来表
n
示. 其中 Ri Ri ( A) aij 称为盖尔圆 Gi 的
j 1
半径 (i 1,, n). ji
在该盖尔圆内，这与圆盘定理 2 的结论相矛盾，所以 A 的特征值
都是实数．

例证明 n 阶矩阵

2 2 1 1

nn

n

1 An

4

1 n

1 n





1

1

1



2n

n n n



能与对角矩阵相似，且 A 的特征值都是实数．

证明 A 的 n 个盖尔圆为

S1 ：| z 2 | 1，

Sk

：|

z



2k

|

n 1 n

在复平面的图：
那么，A的全部特征值就在这四个盖尔圆并起来 的区域之中.

连通区域：区域中的任意两点都可以用位于该 区域内的一条折线连接起来的区域.
连通部分：交结为一起的盖尔圆所构成的最大 连通区域.

定理 （圆盘定理2）在矩阵A所 有盖尔圆组成的任一连通部分中，含有A的特征
值的个数等于该连通部分的盖尔圆的个数.