第9章 梁的应力

rd
r
可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。
2. 物理关系方面
由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料
在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应
力为
E Ey
r
梁横截面上任一点处的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应 力沿截面高度成线性分布。
中性轴上各点处的正应力等于零， 距中性轴最远的上、下边缘上各点处正 应力最大，其它点的正应力介于零到最 大值。
a
b
12
d
r
O1
O2
a1
b1
弯曲应力
距中性层为y处的纵向纤维ab的变形
原
长：
ab O1O2 rd dx
1
d
2
r
变形后长：
a1b1
(r
y)d
o1
o2
a
b
式中ρ为中性层上的纤维的曲率半径。
O1
则纤维的应变为
1
2a1
O2 b1
))
a1b1 ab a1b1 O1O2
ab
O1O2
(r y)d rd y
平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且
仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤 维之间无挤压。
单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，
各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。
中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短 ，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维 层，称为中性层。
σ与ε物理关系
静力学关系
观察变形
应力分布
应力计算公式
1. 几何变形方面
观察纯弯曲梁变形现象
12
o1
o2
a
b
12
z
O
x
y
b
o
z
y
z
M
M
ox
y
M
M
O
z
12
o1
o2
y
a1
b1
1
2
所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的
纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。
横向线仍为直线但转过了一个角度；
矩形截面的上部变宽下部变窄。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，
受压区
受拉区
中性层
z
中性轴 y
由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向 对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时， 其横截面绕中性轴旋转某一角度。
梁中取出的长为dx的微段
12
o1
o2
a
b
1 dx 2
变形后其两端相对转了d角
M
12
M
1
2
12
o1
o2
My
Iz
计算时公式中代入M和y的 绝对值。σ的正负可由弯矩的正 负和所求点的位置来判断.
-
Mz
+
+
Mz
-
My
Iz
适用条件是： (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。 (2) 正应力不超过材料的比例极限。 (3) 梁产生纯弯曲。
二、 纯弯曲理论的推广
横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时， 横截面是不仅有正应力，而且有切应力。
3. 静力学关系方面
坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。 z轴：中性轴。 x轴：沿纵向线。
z M
x O
dA
(y z面上所有内力 组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ， 所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：
ΣFx＝0
M z A ydA M
E
r
A
y
2
dA
E
r
I
Z
M
故： 1 M （中性层曲率公式）
r EI z
1 M
r EI Z
其中 1／ρ是梁轴线变形后的曲率。称EIZ为梁的抗弯刚度。
代入： y 得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式： r
My
Iz
表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和 该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩 成反比。
(拉应力)
c
Mc yc Iz
(
3.5
106 100 8107 )
MPa
4.38MPa
(压应力)
(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。
ql2 3.5 32 M max 8 ( 8 ) kN m 3.94 kN m
梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边 缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中 截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。 其最大正应力的值为
Iz
bh3 12
(120 200 3 ) mm 4 12
8107 mm 4
c
200
计算C截面上a、b、c三点 的正应力：
50 b
a
a
Mc ya Iz
3.5106 100 ( 8107 ) MPa
4.38MPa
120
(拉应力)
b
Mc yb Iz
3.5106 50 ( 8107 ) MPa
2.19 MPa
200
q=3.5kN/m
A
c
1m 3m
c
B
50 b
a
120
解 （1）求指定截面上指定点的应力
先求出支座反力,由对称性
C截面积的弯矩 MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m =3.5kN·m
q=3.5kN/m
A
c
1m 3m
ql 2 8
c
B
50 b a
120
200
矩形截面对中性 轴z的惯性矩
梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的 假设不再成立。
对于跨度与截面高度之比 l 大于5的横力弯曲梁，横截 h
面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的
精度要求。梁的跨高比 l 越大，误差就越小。 h
M (x)y
Iz
例 简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1) 求距左端为１ m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2) 求梁的最大正应力 值，并说明最大正应力发生在何处。(3) 作出C截面上正应 力沿截面高度的分布图。
第9章 梁的应力
a FP AC
FP a DB
FP FQ
FP M
FPa
CD梁段横截面上 只有弯矩,而没有剪力， 这种平面弯曲称为纯 弯曲。
AC和DB 梁段横截 面上不仅有弯矩还伴 有剪力，这种平面弯 曲称为横力弯曲。
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究 方法是：
max
M max ymax Iz
3.94106 100 8107
MPa
4.93MPa
(3) 作C截面上正应力沿截面高度的分布图。
4.38MPa 4.38MPa
三、梁的正应力强度计算 1. 梁的最大正应力
FN
dA 0
A
ΣMy=0 M y AzdA 0
ΣMz=M M z A ydA M
FN
dA 0
A
E
r
A
ydA
E
r
SZ
0
代入胡克定律：
y r
E
及： r
0
故：Sz = 0 即中性轴 z 必过横截面的形心。
M y AzdA 0
E yZdA E Iyz 0
rA
r
故：Iyz＝0， y轴为对称轴，z轴又过形心， 则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。