基本初等函数知识点(一轮复习)

基本初等函数

中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。

一、一次函数

初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……

画出以下解析式的图像：要求快

（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x

根据以下条件，设出一次函数的解析式：

(1)直线经过(1,2)点

(2)直线的斜率是2

总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。

二、二次函数

二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．

1、二次函数的三种表示形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；

(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))

求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已

Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．

Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.

∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.

∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7

∴4－2(15＋a)a

＝7，∴a ＝－6.

2、二次函数在特定区间上的最值问题

EX ：函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.

解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0

时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0

进阶Eg ：(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-

<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2b

x a

=->=1) key:m=-1 or m=2 解析：每种情况分别画出草图。原草图作法：求根得到与x 轴的交点，c 与y 轴的交点，a

看开口，估计着画。但是这里m 为参数解不出根，c 也未知。题目的条件是固定区间的最值，我们只要知道定义域内的增减性（单调性）即可，由于已经知道开口向下，所以只要分类讨论对称轴的位置即可。123问分别是分类讨论的三种情况

进阶Ex ：已知f(x)=x 2+3x-5,x ∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.

解析：所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.

()()()()()()()()2

2 [],x 1t 1,t ,h t f t 1t 13t 15,h 3

,

2

3551.

222353329

1,.

2222t t 5t 24t t ,h t t t f -⎛⎫-- ⎪⎝=+-=+=+++-=+-<=⎭⎛⎫-<+---=- ⎪⎝⎭Q 解如图所示函数图象的对称轴为当≤即≤时即≤当≤即≤时()()()2223

2

551,22953(),

3t ,h t f t t 3t 542

23.

.

352t t t h t t t t t -⎧⎛⎫+-- ⎪>==+⎪⎝⎭⎪

⎪⎛⎫

=--<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛

⎫+->-⎪ ⎪⎭⎩

-⎝当时≤综上可得≤

3、方法技巧：待定系数法，恒成立问题之分离变量

Eg/Ex:已知二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，求实数m 的取值范围． ()()()()2222222min 1(0)(1)(1)112221

.1.

111[1,1]112231.1(3)2121.f x ax bx a a x b x ax bx x a b b a f x x x a b b x x x x m x x m x x x m m ≠+=+=⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩

∈>><<设函数＝＋＋， ∵f(x+1)-f(x)=2x 带入假设的解析式则＋＋＋＋＝＋＋＋，

整理得，解得所以＝－＋当－时，由－＋＋，得－－当＝时，－＝－【解析】，所以－－，则－故实数(1)m ∞的取值范围是－，－．

Ex ：若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x ＋3，且f(1)=3。X^2+m+2>f(x)在R 上恒成立